Zufällige Bewegungen wie Diffusion sind ein allgegenwärtiges Phänomen, anzufinden nicht nur in der Physik. Das Hauptobjekt von Diffusionsmodellen ist oft die mittlere quadratische Verschiebung eines Teilchens, welche für sogenannte normal-diffusive Prozesse linear mit der Zeit anwächst. Anomale Diffusion bezeichnet Prozesse, für welche sie nicht-linear wächst; ein wichtiges Beispiel ist die Bewegung großer Moleküle in biologischen Zellen. Erscheinungen wie schwache Ergodizitätsbrechung sind ebenfalls bei anomaler Diffusion zu finden, und es gibt viele mathematische Modelle zu ihrer Beschreibung. Oft ist es schwierig für ein bestimmtes Experiment das "richtige" Modell, d.h. die physikalische Ursache der Anomalie, zu finden. Eine Methode zur Trennung oder Identifikation der physikalischen Ursachen wird also dringend benötigt. In dieser Arbeit stellten wir uns diesem Problem. Zuerst betrachteten wir ein recht allgemeines Modell zur Diffusion in ungeordneten Medien. Mithilfe der Netzwerktheorie trennten wir zwei Mechanismen, nämlich energetische und strukturelle Unordnung, welche beide zu anomaler Diffusion führen. Diese Klassen wurden dann in die Sprache der stochastischen Prozesse übertragen. Das erlaubte uns eine einfache Methode, die des fundamentalen Momentes, zu formulieren. Jene Methode ist in der Lage die energetischen und strukturellen Anteile eines Diffusionsprozesses voneinander zu trennen. Zuletzt behandelten wir Ergodizität und Ergodizitätsbrechung aus der Sicht der energetischen und strukturellen Unordnung. / Random motion, in particular diffusion, is a ubiquitous phenomenon that is encountered not only in physics. The main object of a diffusion model is usually the mean squared displacement (msd) of a particle, which for so-called normal diffusion grows linearly in time. Anomalous diffusion denotes processes, in which the msd grows non-linearly; an important example is the motion of large molecules in biological cells. Many interesting properties like weak ergodicity breaking are connected to anomalous diffusion, and there are many mathematical models exhibiting anomalous behaviour. Given an experiment, it is often difficult to decide, what is the "correct" model, i.e. the physical cause for the anomaly. Therefore, a method capable of separation and identification of different physical mechanisms is urgently required. This thesis approached the mentioned issue. First of all, we considered a quite general model for diffusion in disordered media. We used some network theory to distinguish two physical mechanisms - energetic and structural disorder. Both cause anomalous diffusion. Those classes of disorder were then translated into the language of stochastic processes. This put ourselves in position to propose a simple method, the fundamental moment, that is capable of separating the energetic and structural components of a diffusion process. At last, we discussed ergodicity and ergodicity breaking from the point of view of energetic and structural disorder.

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung der Theorie der großen Abweichungen auf verschiedene Fragestellungen der stochastischen Analysis und stochastischen Dynamik von Sprungprozessen. Die erste Fragestellung behandelt die erste Austrittszeit aus einem beschränkten Gebiet für eine bestimmte Klasse von Sprungdiffusionen mit exponentiell leichten Sprüngen. In Abhängigkeit von der Leichtheit des Sprungmaßes wird das asymptotische Verhalten der Verteilung und insbesondere der Erwartung der ersten Austrittszeit bestimmt wenn das Rauschen verschwindet. Dabei folgt die Verteilung der ersten Austrittszeit einem Prinzip der großen Abweichungen im Falle eines superexponentiellen Sprungmaßes. Wohingegen im subexponentiellen Fall die Verteilung einem Prinzip moderater Abweichungen genügt. In beiden Fällen wird die Asymptotik bestimmt durch eine deterministische Größe, die den minimalen Energieaufwand beschreibt, um die Sprungdiffusion einen optimalen Kontrollpfad, der zum Austritt führt, folgen zu lassen. Die zweite Fragestellung widmet sich dem Grenzverhalten gekoppelter Vorwärts-Rückwärtssysteme stochastischer Differentialgleichungen bei kleinem Rauschen. Dazu assoziiert ist eine spezielle Klasse nicht-lokaler partieller Differentialgleichungen, die auch in nicht-lokalen Modellen der Fluiddynamik eine Rolle spielen. Mithilfe eines probabilistischen Ansatzes und der Markovschen Struktur dieser Systeme wird die Konvergenz auf Ebene von Viskositätslösungen untersucht. Dabei wird ein Prinzip der großen Abweichungen für die involvierten Stochastischen Prozesse hergeleitet. / This thesis deals with applications of Large Deviations Theory to different problems of Stochastic Dynamics and Stochastic Analysis concerning Jump Processes. The first problem we address is the first exit time from a fixed bounded domain for a certain class of exponentially light jump diffusions. According to the lightness of the jump measure of the driving process, we derive, when the source of the noise vanishes, the asymptotic behavior of the law and of the expected value of first exit time. In the super-exponential regime the law of the first exit time follows a large deviations scale and in the sub-exponential regime it follows a moderate deviations one. In both regimes the first exit time is comprehended, in the small noise limit, in terms of a deterministic quantity that encodes the minimal energy the jump diffusion needs to spend in order to follow an optimal controlled path that leads to the exit. The second problem that we analyze is the small noise limit of a certain class of coupled forward-backward systems of Stochastic Differential Equations. Associated to these stochastic objects are some nonlinear nonlocal Partial Differential Equations that arise as nonlocal toy-models of Fluid Dynamics. Using a probabilistic approach and the Markov nature of these systems we study the convergence at the level of viscosity solutions and we derive a large deviations principles for the laws of the stochastic processes that are involved.

Unmittelbar nach den Tode beginnen im Koerper chemische Prozesse. Waehrend der Zersetung des Gewebes gehen vom Koerper verschieden Gerueche aus - je nach Dekompositionsstadium. Da aasfressende Insektenarten durch diese charakteristischen Gerueche angelockt werden, kann ihre vorhersehbare Sukzession zusammen mit unserem Wissen ueber ihre Entwicklung genutzt werden, Rueckschlusse auf den post mortem interval (PMI) zu fuehren. Solche Berechnungen anhand von Insektenarten und ihrer Larvenentwicklung basieren auf experimentell ermittelten Daten, da das Auftreten der Arten und Temperaturadaptationen lokal variieren koennen. Jedoch sind die Zusammenhaenge zwichen den aeusseren Bedingungen, die die Dekompostion beeinflussen, und den resultierenden Geruechen unbekannt, und somit entsteht auch eine Luecke in unserem Wissen ueber die Besiedelung des Koerpers durch Insekten. Diese Studie beleuchtet die Zersetzungsprozesse in Zusammenhang auf Klima, die Produktion von fluechtigen Geruchssubstanzen der verschiedenen Dekompositionsstadien und der Attraktivitaet der fuer die Gerueche verantwortlichen Substanzen auf Aasinsekten, beispielhaft gezeigt anhand der Kaisergoldfliege Lucilia caesar Linneus, 1758 (Diptera: Calliphoridae. Weiterhin soll gezeigt werden, dass Individuen der gleichen Insektenart, die einen zersetzenden Koerper besiedeln, von verschiedenen Geruchsmustern, und somit verschiedenen Dekompositionsstadien, angelockt werden, abhaengig vonGeschlecht, Ernaehrung und Entwicklungszustand (vittellogene Phase und Paarungszustand). Die Ergebnisse tragen zum Verstaendnis von geruschssinn- und physiologisch gesteurtem Verhalten der Insekten sowie der Dekompositionsprozesse bei und ermoeglichen zuverlaessigere Leichenliegezeitbestimmungen. / After death a body undergoes chemical processes, which depend on oxygen, bacteria, temperature, humidity, and more. The longer a body remained undetected, the more important it is to know these parameters to estimate the time of death. During the decay, a dead body emits a series of odour types, depending on the stage of decomposition. As necrophagous insect species are attracted by the characteristical decomposition odour, we use their predictable succession on a corpse and our knowledge about the larval development rates to draw conclusions about the post mortem interval (PMI). These estimations are based on case-studies and locally collected data as insect succession and development can vary due to external circumstances, as well as distribution and local temperature-adaptation of the insects. However, the interactions between external factors and the resulting emission of different odours and therefore on insect settlements is largely unknown. This study gives new insights on decomposition processes according to climate conditions, the production of volatile odour pattern of distinct decay stages and the attraction of necrophagous insects, exemplified on Lucilia caesar Linneus, 1758 (Diptera: Calliphoridae), to these odours and separated volatile compounds. Furthermore it is shown that insects of the same species, settling a dead body, are attracted by different odour pattern, thus by different decomposition stages, depending on their sex, nutrition and development stage (vittellogenous phase and mating status). The results contribute to the understanding of insect behaviour mediated by odour and physiological parameters, decomposition processes and help making reliable estimates of the exact time of death.

Die Schätzung von Quantilen und verwandten Funktionalen wird in zwei inversen Problemen behandelt: dem klassischen Dekonvolutionsmodell sowie dem Lévy-Modell in dem ein Lévy-Prozess beobachtet wird und Funktionale des Sprungmaßes geschätzt werden. Im einem abstrakteren Rahmen wird semiparametrische Effizienz im Sinne von Hájek-Le Cam für Funktionalschätzung in regulären, inversen Modellen untersucht. Ein allgemeiner Faltungssatz wird bewiesen, der auf eine große Klasse von statistischen inversen Problem anwendbar ist. Im Dekonvolutionsmodell beweisen wir, dass die Plugin-Schätzer der Verteilungsfunktion und der Quantile effizient sind. Auf der Grundlage von niederfrequenten diskreten Beobachtungen des Lévy-Prozesses wird im nichtlinearen Lévy-Modell eine Informationsschranke für die Schätzung von Funktionalen des Sprungmaßes hergeleitet. Die enge Verbindung zwischen dem Dekonvolutionsmodell und dem Lévy-Modell wird präzise beschrieben. Quantilschätzung für Dekonvolutionsprobleme wird umfassend untersucht. Insbesondere wird der realistischere Fall von unbekannten Fehlerverteilungen behandelt. Wir zeigen unter minimalen und natürlichen Bedingungen, dass die Plugin-Methode minimax optimal ist. Eine datengetriebene Bandweitenwahl erlaubt eine optimale adaptive Schätzung. Quantile werden auf den Fall von Lévy-Maßen, die nicht notwendiger Weise endlich sind, verallgemeinert. Mittels äquidistanten, diskreten Beobachtungen des Prozesses werden nichtparametrische Schätzer der verallgemeinerten Quantile konstruiert und minimax optimale Konvergenzraten hergeleitet. Als motivierendes Beispiel von inversen Problemen untersuchen wir ein Finanzmodell empirisch, in dem ein Anlagengegenstand durch einen exponentiellen Lévy-Prozess dargestellt wird. Die Quantilschätzer werden auf dieses Modell übertragen und eine optimale adaptive Bandweitenwahl wird konstruiert. Die Schätzmethode wird schließlich auf reale Daten von DAX-Optionen angewendet. / The estimation of quantiles and realated functionals is studied in two inverse problems: the classical deconvolution model and the Lévy model, where a Lévy process is observed and where we aim for the estimation of functionals of the jump measure. From a more abstract perspective we study semiparametric efficiency in the sense of Hájek-Le Cam for functional estimation in regular indirect models. A general convolution theorem is proved which applies to a large class of statistical inverse problems. In particular, we consider the deconvolution model, where we prove that our plug-in estimators of the distribution function and of the quantiles are efficient. In the nonlinear Lévy model based on low-frequent discrete observations of the Lévy process, we deduce an information bound for the estimation of functionals of the jump measure. The strong relationship between the Lévy model and the deconvolution model is given a precise meaning. Quantile estimation in deconvolution problems is studied comprehensively. In particular, the more realistic setup of unknown error distributions is covered. Under minimal and natural conditions we show that the plug-in method is minimax optimal. A data-driven bandwidth choice yields optimal adaptive estimation. The concept of quantiles is generalized to the possibly infinite Lévy measures by considering left and right tail integrals. Based on equidistant discrete observations of the process, we construct a nonparametric estimator of the generalized quantiles and derive minimax convergence rates. As a motivating financial example for inverse problems, we empirically study the calibration of an exponential Lévy model for asset prices. The estimators of the generalized quantiles are adapted to this model. We construct an optimal adaptive quantile estimator and apply the procedure to real data of DAX-options.

Ziel: war die Untersuchung, ob sich die Aktivität entzündlich rheumatischer Erkrankungen in ausgewählten Parametern des Energiestoffwechsels von PBMC (periphere mononukleäre Zellen des Blutes) reflektiert. Methoden: Es wurden die PBMC von 30 gesunden Probanden und von 28 Patienten (16 inaktiv; 12 aktiv) mit einer Rheumatoiden Arthritis, einem Systemischen Lupus Erythematodes oder einer Vaskulititis präpariert. Aktive Patienten wurden vor und 4-5 Tage nach Beginn einer hochdosierten Glukokortikoidtherapie untersucht. Es wurde der Sauerstoffverbrauch, der Verbrauch an Sauerstoff auf einen definierten mitogenen Stimulus und einzelne Hauptenergieverbrauchende Prozesse mittels der Clark Elektrode bestimmt. Ergebnisse: Für den Sauerstoffverbrauch konnte ein geschlechtsunabhängiger Normalwert von 3.84 +/- 0.1 (alle Werte in nmol O2/min pro 10^7 Zellen) ermittelt werden. Bei inaktiven Patienten war der Sauerstoffverbrauch mit 4.18 +/- 0.28 leicht, bei aktiven Patienten mit 4.82 +/- 0.33 jedoch deutlich und signifikant (p0.05). Desweiteren wurde in stimulierten PBMC von aktiven Patienten eine signifikante Verminderung des Sauerstoffverbrauches für Kationentransportprozesse und Proteinsynthese nachgewiesen. Unter einer 4-5tägigen hochdosierten Glukokortikoidtherapie normalisierten sich die genannten Parameter wieder. Zusammenfassung: In dieser Studie konnte zum ersten Mal gezeigt werden, dass sich Parameter des zellulären Energiestoffwechsels von PBMC zur Einschätzung von Aktivität und Therapieerfolg entzündlich rheumatischer Erkrankungen eignen. / Objective: To investigate whether the activity of rheumatic diseases is reflected by selected parameters of cellular energy metabolism of peripheral blood mononuclear cells (PBMC). Methods: PBMC were prepared from 30 healthy volunteers and from 28 patients (16 inactive; 12 active) with rheumatoid arthritis, systemic lupus erythematosus or vasculitis. Active patients were examined prior to and 4-5 days after starting, restarting or increasing the dose of corticosteroids. Cellular oxygen consumption (as a measure of ATP production), bioenergetic cellular response to a defined stimulus and main ATP-consuming processes were measured using a Clark electrode. Results: A sex-independent normal value for oxygen consumption of 3.84 +/-0.1 (all data in nmol O2/min per 10^7 cells) was found. In inactive patients the respiration rate was slightly increased at 4.18 +/- 0.28, but was significantly increased in active patients to 4.82 +/- 0.33 (p

Zentrale Grenzwertsätze und Konfidenzmengen werden in zwei verschiedenen, nichtparametrischen, inversen Problemen ähnlicher Struktur untersucht, und zwar in der Kalibrierung eines exponentiellen Lévy-Modells und im Dekonvolutionsmodell. Im ersten Modell wird eine Geldanlage durch einen exponentiellen Lévy-Prozess dargestellt, Optionspreise werden beobachtet und das charakteristische Tripel des Lévy-Prozesses wird geschätzt. Wir zeigen, dass die Schätzer fast sicher wohldefiniert sind. Zu diesem Zweck beweisen wir eine obere Schranke für Trefferwahrscheinlichkeiten von gaußschen Zufallsfeldern und wenden diese auf einen Gauß-Prozess aus der Schätzmethode für Lévy-Modelle an. Wir beweisen gemeinsame asymptotische Normalität für die Schätzer von Volatilität, Drift und Intensität und für die punktweisen Schätzer der Sprungdichte. Basierend auf diesen Ergebnissen konstruieren wir Konfidenzintervalle und -mengen für die Schätzer. Wir zeigen, dass sich die Konfidenzintervalle in Simulationen gut verhalten, und wenden sie auf Optionsdaten des DAX an. Im Dekonvolutionsmodell beobachten wir unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit additiven Fehlern und schätzen lineare Funktionale der Dichte der Zufallsvariablen. Wir betrachten Dekonvolutionsmodelle mit gewöhnlich glatten Fehlern. Bei diesen ist die Schlechtgestelltheit des Problems durch die polynomielle Abfallrate der charakteristischen Funktion der Fehler gegeben. Wir beweisen einen gleichmäßigen zentralen Grenzwertsatz für Schätzer von Translationsklassen linearer Funktionale, der die Schätzung der Verteilungsfunktion als Spezialfall enthält. Unsere Ergebnisse gelten in Situationen, in denen eine Wurzel-n-Rate erreicht werden kann, genauer gesagt gelten sie, wenn die Sobolev-Glattheit der Funktionale größer als die Schlechtgestelltheit des Problems ist. / Central limit theorems and confidence sets are studied in two different but related nonparametric inverse problems, namely in the calibration of an exponential Lévy model and in the deconvolution model. In the first set-up, an asset is modeled by an exponential of a Lévy process, option prices are observed and the characteristic triplet of the Lévy process is estimated. We show that the estimators are almost surely well-defined. To this end, we prove an upper bound for hitting probabilities of Gaussian random fields and apply this to a Gaussian process related to the estimation method for Lévy models. We prove joint asymptotic normality for estimators of the volatility, the drift, the intensity and for pointwise estimators of the jump density. Based on these results, we construct confidence intervals and sets for the estimators. We show that the confidence intervals perform well in simulations and apply them to option data of the German DAX index. In the deconvolution model, we observe independent, identically distributed random variables with additive errors and we estimate linear functionals of the density of the random variables. We consider deconvolution models with ordinary smooth errors. Then the ill-posedness of the problem is given by the polynomial decay rate with which the characteristic function of the errors decays. We prove a uniform central limit theorem for the estimators of translation classes of linear functionals, which includes the estimation of the distribution function as a special case. Our results hold in situations, for which a square-root-n-rate can be obtained, more precisely, if the Sobolev smoothness of the functionals is larger than the ill-posedness of the problem.

In dieser Arbeit untersuchen wir das Problem der Maximierung bestimmter konkaver Funktionale auf dem Raum der optionalen, zufälligen Maße. Deartige Funktionale treten in der mikroökonomischen Literatur auf, wo ihre Maximierung auf die Bestimmung des optimalen Konsumplans eines ökomischen Agenten hinausläuft. Als Alternative zu den wohlbekannten Methoden der dynamischen Programmierung wird ein neuer Zugang vorgestellt, der es erlaubt, die Struktur der maximierenden Maße in einem über den üblicherweise angenommenen Markovschen Rahmen hinausgehenden, allgemeinen Semimartingalrahmen zu klären. Unser Zugang basiert auf einer unendlichdimensionalen Version des Kuhn-Tucker-Theorems. Die implizierten Bedingungen erster Ordnung erlauben es uns, das Maximierungsproblem auf ein neuartiges Darstellungsproblem für optionale Prozesse zu reduzieren, das damit als ein nicht-Markovsches Substitut für die Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung der dynamischen Programmierung dient. Um dieses Darstellungsproblem im deterministischen Fall zu lösen, führen wir eine zeitinhomogene Verallgemeinerung des Konvexitätsbegriffs ein. Die Lösung im allgemeinen stochastischen Fall ergibt sich über eine enge Beziehung zur Theorie des Gittins-Index der optimalen dynamischen Planung. Unter geeigneten Annahmen gelingt ihre Darstellung in geschlossener Form. Es zeigt sich dabei, daß die maximierenden Maße absolutstetig, diskret und auch singulär sein können, je nach Struktur der dem Problem zugrundeliegenden Stochastik. Im mikroökonomischen Kontext ist es natürlich, daß Problem in einen Gleichgewichtsrahmen einzubetten. Der letzte Teil der Arbeit liefert hierzu ein allgemeines Existenzresultat für ein solches Gleichgewicht. / In this thesis, we study the problem of maximizing certain concave functionals on the space of optional random measures. Such functionals arise in microeconomic theory where their maximization corresponds to finding the optimal consumption plan of some economic agent. As an alternative to the well-known methods of Dynamic Programming, we develop a new approach which allows us to clarify the structure of maximizing measures in a general stochastic setting extending beyond the usually required Markovian framework. Our approach is based on an infinite-dimensional version of the Kuhn-Tucker Theorem. The implied first-order conditions allow us to reduce the maximization problem to a new type of representation problem for optional processes which serves as a non-Markovian substitute for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation of Dynamic Programming. In order to solve this representation problem in the deterministic case, we introduce a time-inhomogeneous generalization of convexity. The stochastic case is solved by using an intimate relation to the theory of Gittins-indices in optimal dynamic scheduling. Closed-form solutions are derived under appropriate conditions. Depending on the underlying stochastics, maximizing random measures can be absolutely continuous, discrete, and also singular. In the microeconomic context, it is natural to embed the above maximization problem in an equilibrium framework. In the last part of this thesis, we give a general existence result for such an equilibrium.

Zur Prognose des Langzeitverhaltens textilbetonverstärkter Tragwerke wird ein modellfreies Vorgehen auf Basis rekurrenter neuronaler Netze vorgestellt. Das Vorgehen ermöglicht die Prognose zeitveränderlicher Strukturantworten unter Berücksichtigung der gesamten Belastungsgeschichte. Mit unscharfen Größen aus Messungen an Versuchstragwerken werden rekurrente neuronale Netze trainiert. Anschließend ist die unscharfe Prognose des Tragverhaltens möglich.

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