Wir behandeln einige Spezialfälle von Beziehungen zwischen Eich- und Gravitationstheorien. Wir setzen den Schwerpunkt auf Baumlevelstreuamplituden in Einstein-(Skalar-)-Chromo-Dynamik, welche Streuungen zwischen Gluonen, massiven fundamentalen Quarks (Skalaren) und Gravitonen beschreibt. Wir untersuchen den endlichen Anteil von reiner Gluonenstreuung mit zwei kollinearen Gluonen. Basierend auf einem Vorschlag von S. Stieberger und T. Taylor, stehen diese in Beziehung zu Steuamplituden in Einstein-Yang-Mills Theorie, in welchen die kollinearen Gluonen durch ein Graviton ersetzt werden. Wir führen einen Beweis dieser Beziehungen unter der Ausnutzung des Cachazo-He-Yuan Formalismus durch. Parallel dazu werden wir einen Einblick in mysteriöse Wechselwirkunen dieser Beziehungen mit Eichinvarianzverletzungen des kollinearen Gluon Grenzwertes von Yang-Mills Streuampliuden geben. Danach behandeln wir eine andere Art von linearen Beziehungen zwischen Streuamplituden in Yang-Mills Theorie und Einstein-Yang-Mills Theorie, welche ebenfalls von S. Stieberger und T. Taylor vorgeschlagen wurden und direkt einzelne Gluonen mit einzelnen Gravitonen verbinden. Wir beweisen die Universalität dieser Beziehungen, in Anwesenheit von fundamental geladenen und massiven Fermionen und Skalaren. Schliesslich formulieren wir eine neue Zweifachkopiebeziehung zwischen klassisch effektiven Wirkungen. Die effektive Wirkung eines Systems von farblich geladenen, massiven und klassischen Weltlinien, welche über Yang-Mills wechselwirken, wird mit einem System von dilatonisch geladenen, massiven und klassischen Weltlinien, welche über Dilatongravitation wechselwirken, in Verbindung gesetzt. Somit verbessern wir eine, aus dem Kontext von Lösungen zu störungstheoretischen Bewegungsgleichungen, sowohl für das Gluon als auch für das Graviton, derselben Systeme, bekannte Zweifachkopievorschrift, formuliert von W. Goldberger und A. Ridgway. / We analyze several cases of mysterious connections between gauge and gravity theories, known as double copy relations. We focus on tree level scattering amplitudes in Einstein-(scalar-)-chromo-dynamics, i.e. scattering scenarios between gluons, massive fundamental quarks (scalars) and gravitons. In these scenarios we study the sub leading contribution to the adjacent collinear gluon limits in pure Yang-Mills amplitudes. Recently, S. Stieberger and T. Taylor have proposed a linear combination of amplitudes with a pair of collinear gluons to an Einstein-Yang-Mills amplitude. We present a proof of such relations using a novel representation of bosonic tree level amplitudes based on a localized integral on the Riemann sphere, called the Cachazo-He-Yuan formalism. Moreover, we give insight into an intriguing interplay between those relations and surprising gauge invariance violations of the sub-leading collinear gluon limit of Yang-Mills amplitudes. Next, we will focus on yet another set of relations between Yang-Mills amplitudes and Einstein-Yang-Mills amplitudes that were also proposed by S. Stieberger and T. Taylor. They directly relate single gluons to single gravitons. We show universality of such relations, i.e. their validity in the presence of massive fundamental quarks and scalars. For that purpose, we will use a Feynman diagrammatic approach which results in a novel color-to-kinematics rule, mapping gluons to gravitons in these scattering scenarios. Finally, we establish a novel double copy connection between classical effective actions of two massive classical worldlines which are colored and interacting in Yang-Mills theory and dilaton charged and interacting through dilaton-gravity. Doing so, we extend and improve existing work relating the same system of worldlines through a double copy at the level of perturbative solutions to the involved equations of motion for the gluon and graviton fields, as has been proposed by W. Goldberger and A. Ridgway.

Ein Fortschritt im Verständnis der Naturgesetzte wäre eine quantenphysikalische Beschreibung der Gravitation. Eine gültige Theorie der Quantengravitation (QG) existiert derzeit wegen des fehlenden experimentellen Zugangs des Planck-Skalen-Bereichs nicht. Dennoch können Experimente Hinweise für die Suche nach einer QG liefern. Die Standardmodellerweiterung (SME) bspw. beschreibt mögliche QG-induzierte beobachtbare niederenergetische Planck-Skalen-Effekte. Diesem Ansatz folgend wurde ein modernes Michelson-Morley-Experiment der nächsten Generation entwickelt, das es erstmalig erlaubt, simultan Obergrenzen für niederenergetische Planck-Skalen-Effekte in den Bewegungsgleichungen von Photonen und Fermionen zu bestimmen. Das zugrundeliegende theoretische Modell innerhalb der SME wurde neu betrachtet und Unstimmigkeiten korrigiert. Der Aufbau besteht aus ultra-stabilen kryogenen optischen Resonatoren (COREs) und Mikrowellenresonatoren, die gemeinsam im Raum rotieren. Die durch thermisches Rauschen limitierte vorhergesagte relative Frequenzinstabilität der entwickelten COREs liegt bei Temperaturen von flüssigem Helium im Bereich von 10^-17. Die Mikrowellenresonatoren können eine relative Frequenzinstabilität von 10^-16 erreichen. Um Störeinflüsse zu reduzieren, wurde zudem ein rauscharmer Niedrigtemperatur- sowie Drehtischaufbau konzipiert. Parallel wurde mit den Mikrowellenresonatoren ein einjähriges modernes Michelson-Morley-Experiment mit einer Sensitivität im Bereich von 10^-18 durchgeführt und erstmalig vollständig entkoppelte Obergrenzen für niederenergetische Planck-Skalen-Effekte im Bereich von 10^-17 bestimmt. Für den Aufbau der nächsten Generation lässt sich basierend auf der Frequenzinstabilität der COREs und der Mikrowellenresonatoren eine Sensitivität für niederenergetische Planck-Skalen-Effekte im Bereich von 10^-20 abschätzen. Zum ersten Mal kann somit der hypothetische Planck-unterdrückte-Bereich mit elektromagnetischen Resonatoren erkundet werden. / The next big leap in understanding the working principles of nature can be expected from a quantum physical description of gravity. None of the quantum gravity (QG) candidate theories can be verified, since observations at the Planck regime have currently been impossible. Still, experiments can help to give insights. For example, standard model extension (SME) describes potential observable low-energy remnant Planck scale effects. With this in mind, a design for a next-generation modern Michelson-Morley experiment has been developed that allows extracting upper bounds on potentially observable remnant Planck scale effects in the equations of motion of photons and fermions simultaneously. The corresponding theoretical model within the framework of the SME has been revisited and discrepancies have been corrected. The experimental setup consists of co-rotating ultra-stable cryogenic optical resonators (COREs) and ultra-stable sapphire loaded cryogenic microwave whispering-gallery resonators. The developed COREs have a theoretical thermal noise limited fractional frequency instability on the order of 10^-17 at liquid helium temperatures. The cryogenic microwave resonators allow in principle a performance on the order of 10^-16. For noise reduction, a suitable low noise cryogenic as well as turntable system has been designed. In parallel, a one-year modern Michelson-Morley measurement campaign with a sensitivity on the order of 10^-18 was carried out using the cryogenic microwave resonators. The experiment has allowed to set new stringent disentangled upper bounds on remnant Planck scale effects on the order of 10^-17. With the frequency performance of the COREs and cryogenic microwave resonators of the next-generation experimental setup, a sensitivity for remnant Planck scale effects on the order of 10^-20 can be estimated. Thus, the designed setup has the potential to explore the hypothetical Planck suppressed regime using electromagnetic resonators for the first time.

Dans ce manuscrit, nous présentons un mise en place et calcul d'un observable physique dans le cadre de la Gravité Quantique à Boucles covariante, pour un processus physique mettant en jeu la gravité quantique de façon non-perturbatif. Nous considerons la transition d'une région de trou noir à une région de trou blanc, traitée comme une transition de géométrie assimilable à un effet de tunnel gravitationnel. L'observable physique est le temps caractéristique dans lequel ce processus se déroule.Nous commençons par une dérivation formelle de haut--en--bas, allant de l'action de Hilbert-Einstein au ansatz qui définit les amplitudes de l'approche covariante de la GQB. Nous prenons ensuite le chemin de bas--en--haut, aboutissant à l'image d'une intégrale de chemin du type somme-de-géométries qui émerge à la limite semi-classique, et discutons son lien étroite avec une intégrale de chemin basé sur l'action de Regge. En suite, nous expliquons comment construire des paquets d'ondes décrivant des géométries spatiales quantiques, plongées dans un espace-temps quantique de signature Lorentzienne.Nous montrons que lors de la mise en œuvre de ces outils, nous avons une estimation simple des amplitudes décrivant des transitions de géométrie de façon probabiliste. Nous construisons un mise en place basée sur l'espace-temps Haggard-Rovelli, où une approche d'intégrale de chemin peut être appliquée naturellement. Nous procédons à une dérivation d'une expression explicite, analytiquement bien--définie et finie, pour une amplitude de transition décrivant ce processus. Nous utilisons ensuite l'approximation semi-classique pour estimer le temps caractéristique du phénomène. / In this manuscript we present a calculation from covariant Loop Quantum Gravity, of a physical observable in a non-perturbative quantum gravitational physical process. The process regards the transition of a trapped region to an anti--trapped region and is treated as a quantum geometry transition akin to gravitational tunneling. The physical observable is the characteristic timescale in which the process takes place. We start with a top--to--bottom formal derivation of the ansatz defining the amplitudes for covariant LQG, starting from the Hilbert-Einstein action. We then take the bottom--to--top path, starting from the EPRL ansatz, to the sum--over--geometries path integral emerging in the semi-classical limit, and discuss its close relation to the naive path integral over the Regge action. We proceed to the construction of wave--packets describing quantum spacelike three-geometries that include a notion of embedding in a Lorentzian spacetime. We derive a simple estimation for the amplitudes describing geometry transition and show that a probabilistic description for such phenomena emerges, with the probability of the phenomena to take place being in general non-vanishing.The Haggard-Rovelli spacetime, modelling the spacetime surrounding the geometry transition region for a black to white hole process, is formulated. We then use the semi--classical approximation to give a general estimation of amplitudes describing the process. We conclude that the transition is predicted to be allowed by LQG, with a crossing time that is linear in the mass. The probability for the process to take place is suppressed but non-zero.

La relativité générale représente la description la plus précise de l'interaction gravitationnelle. Cependant, alors que la matière est régie par les lois de la mécanique quantique, la gravitation, elle, est une théorie fondamentalement classique. A l'échelle de Planck, c'est-à-dire à des distances d'environ 10E-35 mètres, les effets quantiques et ceux de la gravitation deviennent tous deux importants. A l'heure actuelle, un langage mathématique unifié et décrivant les effets physiques à cette échelle est toujours manquant. Il existe néanmoins plusieurs théories candidates à cette description, et l'une d'entre elles, la gravité quantique à boucles, est l'objet d'étude de cette thèse.Afin de tester si une théorie candidate peur fournir une description appropriée des propriétés quantiques du champ de gravitation, elle doit présenter une certaine cohérence interne du point de vue mathématique, et aussi être en accord avec les tests expérimentaux de la relativité générale. Le but de cette thèse est de développer certains outils mathématiques qui éclairent ces conditions de consistance interne, et qui permettent d'établir un lien entre différentes formulations de la théorie. / General relativity is the most precise theory of the gravitational interaction. It is a classical field theory. All matter, on the other hand, follows the rules of quantum theory. At the Planck scale, at about distances of the order of 10E-35 meters, both theories become equally important. Today, theoretical physics lacks a unifying language to explore what happens at this scale, but there are several candidate theories available. Loop quantum gravity is one them, and it is the main topic of this thesis. To see whether a particular proposal is a viable candidate for a quantum theory of the gravitational field it must be free of internal inconsistencies, and agree with all experimental tests of general relativity. This thesis develops mathematical tools to check these.

Dans cette thèse, nous étudions l’implémentation des contraintes de simplicité dans le nouveau modèle de mousses de spin d’Engle-Pereira-Rovelli-Livine, ainsi que les fonctions de corrélation à deux points de ce modèle. Nous définissons d’une manière simple l’espace de Hilbert limite de la théorie, puis montrons directement que toutes les contraintes s’annulent faiblement sur cet espace. Nous observons que la solution générale a cette contrainte (imposée faiblement) dépend d’un nombre quantique, en plus de ceux de la gravitation quantique a boucles. Nous généralisons également cette construction pour la version de Kaminski-Kisielowski-Lewandowski, ou la mousse n’est pas duale à une triangulation. Nous montrons que cette théorie peut aussi être obtenue comme une théorie BF satisfaisant la contrainte de simplicité, cette fois discrétisée sur un 2-complexe cellulaire oriente. Enfin, nous calculons la fonction de corrélation a deux points du modèle de mousses de spin Engle-Pereira-Rovelli-Livine avec la signature lorentzienne, et nous montrons que la fonction a deux points que nous obtenons correspond dans une certaine limite a celle obtenue a partir du calcul de Regge lorentzien. / In this thesis we study the implementation of simplicity constraints that defines the recent Engle-Pereira-Rovelli-Livine spinfoam model and two-point correlation functions of this model. We define in a simple way the boundary Hilbert space of the theory; then show directly that all constraints vanish on this space in a weak sense. We point out that the general solution to this constraint (imposed weakly) depends on a quantum number in addition to those of loop quantum gravity. We also generalize this construction to Kami´nski-Kisielowski-Lewandowski version where the foam is not dual to a triangulation. We show that this theory can still be obtained as a constrained BF theory satisfying the simplicity constraint, now discretized on a general oriented 2-cell complex. Finally, we calculate the twopoint correlation function of the Engle-Pereira-Rovelli-Livine spinfoam model in the Lorentzian signature, and show the two-point function we obtain exactly matches the one obtained from Lorentzian Regge calculus in some limit.

In dieser Doktorarbeit werden wir das Renormierungsproblem von Gravitationstheorien im Kontext der Renormierungsgruppe (RG) unter Anwendung von perturbativen und nicht-perturbativen Methoden untersuchen. Insbesondere werden wir uns auf verschiedene Gravitationsmodelle und Näherungen konzentrieren, in welchen die zentrale Rolle von einem skalaren Freiheitsgrad eingenommen wird. Wir konzentrieren uns besonders auf zwei Ansätze für Quantengravitation, die in letzter Zeit viel Aufmerksamkeit erhalten haben, nämlich den asymptotisch sicheren Fall der Gravitation und die Hořava-Lifshitz Quantengravitation. Das Prinzip der Asymptotischen Sicherheit beruht auf der Annahme, dass das hochenergetische Gravitationsregime von einem nicht-Gaußschen Fixpunkt bestimmt wird, der nicht-perturbative Renormierung und Endlichkeit der Korrelationsfunktionen sicherstellt. Wir werden die Existenz eines solchen nicht-trivialen Fixpunktes mit Hilfe der funktionalen Renormierungsgruppe untersuchen. Insbesondere werden wir den einzigen konformen Freiheitsgrad quantisieren. Die Frage nach der Existenz eines nicht-Gaußschen Fixpunktes in einem unendlich- dimensionalen Parameterraum, das heißt für eine generische f(R)-Theorie, kann jedoch nicht mit einem solchen konform reduzierten Model analysiert werden. Deshalb werden wir es untersuchen, indem wir eine skalare dynamische Äquivalentstheorie, das heißt eine generische Brans-Dicke Theorie in der lokal-Potential Näherung mit ω = 0, quantisieren. Schließlich werden wir mittels einer perturbativen RG Methode die asymptotische Freiheit der Hořava-Lifshitz Gravitationstheorie analysieren. Diese Gravitationstheorie beruht auf der Entstehung einer Anisotropie zwischen Raum und Zeit, die Newtons Konstante zu einer marginalen Koppelung werden lässt und explizit die Unitarität bewahrt. Insbesondere werden wir die Einschleifenkorrektur in 2+1 Dimensionen berechnen, indem wir nur den konformen Freiheitsgrad quantisieren. / In this Ph.D. thesis we will study the issue of renormalizability of gravitation in the context of the renormalization group (RG), employing both perturbative and non-perturbative techniques. In particular, we will focus on different gravitational models and approximations in which a central role is played by a scalar degree of freedom, since their RG flow is easier to analyze. We restrict our interest in particular to two quantum gravity approaches that have gained a lot of attention recently, namely the asymptotic safety scenario for gravity and the Hořava-Lifshitz quantum gravity. In the so-called asymptotic safety conjecture the high energy regime of gravity is controlled by a non-Gaussian fixed point which ensures non-perturbative renormalizability and finiteness of the correlation functions. We will then investigate the existence of such a non trivial fixed point using the functional renormalization group, a continuum version of the non-perturbative Wilson’s renormalization group. In particular we will quantize the sole conformal degree of freedom, which is an approximation that has been shown to lead to a qualitatively correct picture. The question of the existence of a non-Gaussian fixed point in an infinite-dimensional parameter space, that is for a generic f(R) theory, cannot however be studied using such a conformally reduced model. Hence we will study it by quantizing a dynamically equivalent scalar-tensor theory, i.e. a generic Brans-Dicke theory with ω = 0 in the local potential approximation. Finally, we will investigate, using a perturbative RG scheme, the asymptotic freedom of the Hořava-Lifshitz gravity, that is an approach based on the emergence of an anisotropy between space and time which lifts the Newton’s constant to a marginal coupling and explicitly preserves unitarity. In particular we will evaluate the one-loop correction in 2+1 dimensions quantizing only the conformal degree of freedom.

When calculating scattering amplitudes in gauge and gravitational theories one encounters infrared (IR) divergences associated with massless fields. These are known to be artifacts of constructing a quantum field theory starting with free fields, and the assumption that in the asymptotic limit (i.e. well before and after a scattering event) the incoming and outgoing states are non-interacting. In 1937, Bloch and Nordsieck provided a technical procedure eliminating the IR divergences in the cross-sections. However, this did not address the source of the problem: A detailed analysis reveals that, in quantum electrodynamics (QED) and in perturbative quantum gravity (PQG), the interactions cannot be ignored even in the asymptotic limit. This is due to the infinite range of the massless force-carrying bosons. By taking these asymptotic interactions into account, one can find a picture changing operator that transforms the free Fock states into asymptotically interacting Faddeev- Kulish (FK) states. These FK states are charged (massive) particles surrounded by a “cloud” of soft photons (gravitons) and will render all scattering processes infrared finite already at an S-matrix level. Recently it has been found that the FK states are closely related to asymptotic symmetries. In the case of QED the FK states are eigenstates of the large gauge transformations – U(1) transformations with a non-vanishing transformation parameter at infinity. For PQG the FK states are eigenstates of the Bondi-Metzner-Sachs (BMS) transformations – the asymptotic symmetry group of an asymptotically flat spacetime. It also appears that the FK states are related the Wilson lines in the Mandelstam quantization scheme. This would allow one to obtain the physical FK states through geometrical or symmetry arguments. We attempt to clarify this relation and present a derivation of the FK states in PQG from the gravitational Wilson line in the eikonal approximation, a result that is novel to this thesis.

The Planck constant is one of the most important constants in nature, as it describes the world governed by quantum mechanics. However, it cannot be derived from other natural constants. We present a model from which it is possible to derive this constant without any free parameters. This is done utilizing the force between two oscillating electric dipoles described by an extension of Weber electrodynamics, based on a gravitational model by Assis. This leads not only to gravitational forces between the particles but also to a newly found Casimir-type attraction. We can use these forces to calculate the maximum point mass of this model which is equal to the Planck mass and derive the quantum of action. The result hints to a connection of quantum effects like the Casimir force and the Planck constant with gravitational ones and the origin of mass itself.

On considère, en deux dimensions, une version euclidienne discrète de l’action d’Einstein-Hilbert, qui décrit la gravité en l’absence de matière. À l’intégration sur les géométries se substitue une sommation sur des surfaces triangulées aléatoires. Dans la limite physique de faible gravité, seules les triangulations planaires survivent. Leur limite en distribution, la carte brownienne, est une surface fractale continue dont l’importance dans le contexte de la gravité quantique en deux dimensions a été récemment précisée. Cet espace est interprété comme un espace-temps quantique, obtenu comme limite à grande échelle d’un ensemble statistique de surfaces discrètes aléatoires. En deux dimensions, on peut donc étudier les propriétés fractales de la gravité quantique via une approche discrète. Il est bien connu que les généralisations directes en dimensions supérieures échouent à produire des espace-temps quantiques aux propriétés adéquates : en dimension D>2, la limite en distribution des triangulations qui survivent dans la limite de faible gravité est l’arbre continu aléatoire, ou polymères branchés en physique. Si en deux dimensions on parvient aux mêmes conclusions en considérant non pas des triangulations, mais des surfaces discrètes aléatoires obtenues par recollements de 2p-gones, nous savons depuis peu que ce n’est pas toujours le cas en dimension D>2. L’apparition de nouvelles limites continues dans le cadre de théories de gravité impliquant des espaces discrets aléatoires reste une question ouverte. Nous étudions des espaces obtenus par recollements de blocs élémentaires, comme des polytopes à facettes triangulaires. Dans la limite de faible gravité, seuls les espaces qui maximisent la courbure moyenne survivent. Les identifier est cependant une tâche ardue dans le cas général, pour lequel les résultats sont obtenus numériquement. Afin d’obtenir des résultats analytiques, une coloration des (D-1)-cellules, les facettes, a été introduite. En toute dimension paire, on peut trouver des familles d’espaces discrets colorés de courbure moyenne maximale dans la classe d’universalité des arbres – convergeant vers l’arbre continu aléatoire, des cartes planaires – convergeant vers la carte brownienne, ou encore dans la classe de prolifération des bébé-univers. Cependant, ces résultats sont obtenus en raison de la simplicité de blocs élémentaires dont la structure uni ou bidimensionnelle ne rend pas compte de la riche diversité des blocs colorés en dimensions supérieures. Le premier objectif de cette thèse est donc d’établir des outils combinatoires qui permettraient une étude systématique des blocs élémentaires colorés et des espaces discrets qu’ils génèrent. Le principal résultat de ce travail est l’établissement d’une bijection entre ces espaces et des familles de cartes combinatoires, qui préserve l’information sur la courbure locale. Elle permet l’utilisation de résultats sur les surfaces discrètes et ouvre la voie à une étude systématique des espaces discrets en dimensions supérieures à deux. Cette bijection est appliquée à la caractérisation d’un certain nombre de blocs de petites tailles ainsi qu’à une nouvelle famille infinie. Le lien avec les modèles de tenseurs aléatoires est détaillé. Une attention particulière est donnée à la détermination du nombre maximal de (D-2)-cellules et de l’action appropriée du modèle de tenseurs correspondant. Nous montrons comment utiliser la bijection susmentionnée pour identifier les contributions à un tout ordre du développement en 1/N des fonctions à 2n points du modèle SYK coloré, et appliquons ceci à l’énumération des cartes unicellulaires généralisées – les espaces discrets obtenus par recollement d’un unique bloc élémentaire – selon leur courbure moyenne. Pour tout choix de blocs colorés, nous montrons comment réécrire la théorie d’Einstein-Hilbert discrète correspondante comme un modèle de matrices aléatoires avec traces partielles, dit représentation en champs intermédiaires. / In two dimensions, the Euclidean Einstein-Hilbert action, which describes gravity in the absence of matter, can be discretized over random triangulations. In the physical limit of small Newton's constant, only planar triangulations survive. The limit in distribution of planar triangulations - the Brownian map - is a continuum fractal space which importance in the context of two-dimensional quantum gravity has been made more precise over the last years. It is interpreted as a quantum continuum space-time, obtained in the thermodynamical limit from a statistical ensemble of random discrete surfaces. The fractal properties of two-dimensional quantum gravity can therefore be studied from a discrete approach. It is well known that direct higher dimensional generalizations fail to produce appropriate quantum space-times in the continuum limit: the limit in distribution of dimension D>2 triangulations which survive in the limit of small Newton's constant is the continuous random tree, also called branched polymers in physics. However, while in two dimensions, discretizing the Einstein-Hilbert action over random 2p-angulations - discrete surfaces obtained by gluing 2p-gons together - leads to the same conclusions as for triangulations, this is not always the case in higher dimensions, as was discovered recently. Whether new continuum limit arise by considering discrete Einstein-Hilbert theories of more general random discrete spaces in dimension D remains an open question.We study discrete spaces obtained by gluing together elementary building blocks, such as polytopes with triangular facets. Such spaces generalize 2p-angulations in higher dimensions. In the physical limit of small Newton's constant, only discrete spaces which maximize the mean curvature survive. However, identifying them is a task far too difficult in the general case, for which quantities are estimated throughout numerical computations. In order to obtain analytical results, a coloring of (D-1)-cells has been introduced. In any even dimension, we can find families of colored discrete spaces of maximal mean curvature in the universality classes of trees - converging towards the continuous random tree, of planar maps - converging towards the Brownian map, or of proliferating baby universes. However, it is the simple structure of the corresponding building blocks which makes it possible to obtain these results: it is similar to that of one or two dimensional objects and does not render the rich diversity of colored building blocks in dimensions three and higher.This work therefore aims at providing combinatorial tools which would enable a systematic study of the building blocks and of the colored discrete spaces they generate. The main result of this thesis is the derivation of a bijection between colored discrete spaces and colored combinatorial maps, which preserves the information on the local curvature. It makes it possible to use results from combinatorial maps and paves the way to a systematical study of higher dimensional colored discrete spaces. As an application, a number of blocks of small sizes are analyzed, as well as a new infinite family of building blocks. The relation to random tensor models is detailed. Emphasis is given to finding the lowest bound on the number of (D-2)-cells, which is equivalent to determining the correct scaling for the corresponding tensor model. We explain how the bijection can be used to identify the graphs contributing at any given order of the 1/N expansion of the 2n-point functions of the colored SYK model, and apply this to the enumeration of generalized unicellular maps - discrete spaces obtained from a single building block - according to their mean curvature. For any choice of colored building blocks, we show how to rewrite the corresponding discrete Einstein-Hilbert theory as a random matrix model with partial traces, the so-called intermediate field representation.

Cette thèse porte sur la géométrie du champ libre Gaussien. Le champ libre Gaussien est un objet central en théorie quantique des champs et représente entre autre les fluctuations naturelles d'un potentiel électrique ou d’un modèle de dimères. La thèse commence dans le discret avec la démonstration d'un principe de Donsker en dimension plus grande que 1. Ce résultat est établi grâce à une nouvelle façon de représenter le champ libre en exprimant son gradient comme la partie gradient d'un champ de bruits blancs. Ensuite, les processus d'exploration du champ libre - ou ensembles locaux - introduits par Schramm-Sheffield sont étudiés en détail. Ces ensembles locaux généralisent de façon naturelle le concept de temps d'arrêt. On formalise cette théorie d'une nouvelle manière en procédant par analogie au cas 1D. Pour mieux comprendre le comportement du champs libre près des points d'intersection des ensembles locaux, un étude fine des oscillations du champ libre 2D près du bord s'avère utile. Enfin, la partie principale de cette thèse étudie des processus d'explorations particuliers – les processus SLE qui sont couplés naturellement avec le champ libre. On peut donner par exemple un sens aux lignes de niveau en utilisant le processus SLE_4 (Schramm-Sheffield). Nous avons utilisé ce couplage pour mieux comprendre la relation dite de KPZ qui intervient dans la théorie de la gravité quantique de Liouville. A l ‘aide de résultats fins sur l’enroulement des SLEs, nous avons montré comment adapter la relation de KPZ à la famille ci-dessus de processus d’explorations du champ libre. On peut interpréter ces résultats aussi comme une description de la géométrie du champ libre près des ces lignes d’exploration. / In this thesis we study the geometry of the Gaussian free field (GFF). After a gentle general introduction, we describe what we call the Hodge decomposition of the white noise – a way to represent the white noise vector field as a sum of a gradient and a rotation of independent GFFs. This decomposition gives rise to the Donsker invariance principle for the GFF.Next, we revisit from a slightly different angle the theory of so-called local sets of the GFF, introduced by Schramm and Sheffield. These random sets allow one to study the geometry of the GFF in a Markovian way. We also go a step further in describing the behaviour of the field near the boundary of possibly several local sets. The first chapter ends with a study of boundary oscillations of the GFF.The GFF is only a generalized function, yet it comes out that one can still make sense of it as a „random landscape“. In particular, Schramm and Sheffield gave meaning to the level lines of the GFF in terms of a coupling with SLE_4 process. In chapter 2 we study this coupling and describe the existent proofs and a non-proof of measurability of the SLE_4 process in this coupling. The rest of this chapter contains one of the most technical parts of the thesis – we obtain fine estimates on the winding of the SLE curves, conditioned to pass closely by a fixed point.This technical work is put in use in chapter 3, where we study the so called KPZ relation. In this context, the KPZ formula relates fractal dimensions of sets under the Euclidean geometry and under the „quantum geometry“ given by the exponential of the GFF. So far the KPZ formula was derived for planar sets independent of the quantum geometry. Here, we determine the KPZ formulas for sets that are naturally coupled with the quantum geometry – for the flow and level lines of the GFF. The family of KPZ formulas obtained resemble but still differ from the KPZ formula for independent sets.