The purpose of this study is to understand the difficulties third grade students have with fractions. Previous research indicates that students have difficulties understanding fractions, and fractions as a number seem to be the most difficult, while fractions as part of whole seem less difficult. Further, research also shows that fractions as numbers are the most important for student understanding of advanced levels of mathematics, such as algebra. This study is based on diagnostic tests using the diagnostic tool “Diamantdiagnosen” and follow-up interviews of 6 students. The diagnostic tool is available on the Skolverkets website and serves as a support for teachers to do a formative assessment of students. The diagnostic test was followed by interviews where the students could elaborate on the difficulties they encountered and how they felt when solving the assignments. In order to categorize the difficulties the students encountered during the diagnostic part, theory of formative assessment, variation and perception of number skills was used. The result of the diagnostic test showed that the students made the most errors with fractions as part of a whole, contrary to previous research.  However, the interviews showed a different result where the students felt that the part of diagnosis with fractions as a number was the most difficult. Comparing the result of the diagnostic test in this study with previous research, the results do not come to the same conclusion. If we look at the views expressed in the interviews, and the assistance strategies (drawing), the students needed help with fractions as numbers in the diagnostic test, and the result pointing in the same direction as previous research. Research conducted in a different setting with older students and slightly more advanced tasks.

<p>Syftet med uppsatsen är att se hur verkligheten som är skolan som organisation tar till sig idealet som innebär de olika styrdokumenten. Ett annat syfte är att se om två olika skolor skiljer sig i att förebygga och hantera konflikter. Undersökningen delas på två studier. Den första är en dokumentanalys. Detta innebär att jag tittar på de olika dokumenten från staten, kommunen och den lokala arbetsplanen och jämför dessa med varandra. Den andra delen är intervjuer där viktiga nyckelpersoner på skolor intervjuas. Detta för att jag ska kunna ta del av respondenternas tankar, erfarenheter och se hur verkligheten är ur ett lärarperspektiv. Resultatet av studien visade att idealet kan tolkas på olika sätt och att verkligheten inte ser ut som idealet. Resultatet från intervjuerna visade att lärare kände sig trygga med att hantera konflikter och att de arbetade i ett förebyggande syfte. I en av skolorna var arbetet under utveckling medan den andra skolan var väl organiserade i sitt förebyggande syfte. Detta gör att skolorna skiljer sig från varandra i några punkter. Resultatet visade också att lärarna önskade mer tid för att hantera konflikter och de önskade sig mer fortbildning inom området.   </p>

<p>Mitt examensarbete handlar om hur man kan undervisa elever med matematiksvårigheter, med särskilt fokus på begreppet bråk. Jag redogör för både forskares och lärares uppfattningar om vad matematiksvårigheter är och vilka orsaker de menar kan ligga till grund för att vissa barn har svårigheter med matematik. Det framkommer att det är ett mycket komplext samspel som leder fram till att barns kunskaper i matematik utvecklas så olika. Orsakerna till matematiksvårigheter kan vara medicinska/neuroligiska, psykologiska, sociologiska så väl som pedagogiska. </p><p>För att underlätta matematikinlärningen för elever med matematiksvårigheter menar forskarna att man bör låta eleverna samtala, diskutera och argumentera i matematiken, samt arbeta med konkret matematik. Resultatet av min studie beträffande språkets och det konkreta materialets betydelse vid problemlösning för elever med matematiksvårigheter, tyder på att det matematiska språket är en viktig artefakt för eleverna vid problemlösning, men också att kvalitén på själva kommunikationen mellan eleverna kan variera betydligt. Vidare förefaller det enligt denna studie som att det konkreta materialet inte har någon direkt betydelse för elevernas problemlösning. </p><p>Både forskare och lärare anser att när det gäller begreppet bråk så kan elever uppfatta det som abstrakt och ha svårt för att få en uppfattning om vad det innebär. Resultatet av min studie visar att lärare främst ritar och visar bilder när de konkretiserar begreppet bråk för elever med matematiksvårigheter. Forskarna ställer sig dock kritiska till en sådan undervisning och förespråkar en mer verklighetsanknyten undervisning som tar sin utgångspunkt i elevernas vardagliga erfarenheter av begreppet bråk.</p>

<p>Vi har genomfört en kvalitativ studie i ämnet konflikthantering. Vi har valt att utforma den med hjälp av fem lärare som vi har intervjuat. Konflikter kan man inte undvika, varken i livet eller i skolan och där är det lärarens uppgift att hantera dem. Därför tycker vi att det är viktigt att belysa och förstå kunskapen om konflikthantering.</p><p>Förr hanterades inte konflikter och bråk i skolan som idag. Fram till 1958 var det fortfarande tillåtet att bestraffa elever med aga. Det var genom aga och skäll som man hanterade konflik¬terna istället för att som idag prata med eleverna. Skäll existerar fortfarande men framförallt hanterar lärarna konflikter med hjälp av att kom¬municera med eleverna. Idag är idealet att kommunicera väl; lyssna, tala och känna empati. I konfliktsituationer agerar läraren ofta medlare mellan eleverna.</p><p>För att ta reda på hur kunskapen om konflikthantering i skolan ser ut tar vi hjälp av begreppet tyst kunskap. Eftersom tyst kunskap har många olika tolkningar för vi en diskussion kring begreppet. Att vi använder oss av just detta begrepp beror på att tyst kunskap i alla olika tolk¬ningar ändå anses vara en praktisk kunskap. Så är, menar vi, även fallet med konflikthan¬teringen i skolan eftersom den är kopplad till lärarens vardagliga arbete. Därför kopplar vi samman kunskap om konflikthantering med tyst kunskap.</p><p>Vi har kommit fram till att hur lärare hanterar konflikter beror mycket på vilka ideal som råder just då. Lärarna i våra intervjuer inhämtar kunskapen om konflikthantering till största delen i sitt arbete och de anser alla att det är viktigt att aktivt förebygga konflikter för en fungerande undervisning och ett gott klassrumsklimat. Kunskapen om konflikthantering är situationsbunden och personlig men detta räcker inte för att vi ska kunna sluta oss till att det är tyst kunskap, detta beror helt på vilken definition man utgår ifrån. Vi vill poängtera att våra resultat inte på något sätt försöker vara generaliserande.</p> / <p>We have done a qualitative study about conflict-handling. The purpose of this study is to understand conflict-handling and prevention of conflicts in the classroom from a teacher’s perspective; how does teachers develop their knowledge of conflict-handling and is that knowledge tacit? How can teachers handle conflicts and quarrels in the classroom and how can they prevent them? Those are our questions at issue. To get information we interviewed five different teachers and studied relevant literature. We have chosen to restrict this study to conflicts between pupils or teachers and pupils, grade 4-6 in the Swedish school.</p><p>Conflicts or quarrels are things that can’t be avoided and it is the teacher’s job to handle them, this is called conflict-handling. In former times the conflict-handling in schools meant corporal punishment or telling the pupil off. Telling-off still exists in our schools today but the way conflicts are handled is now mostly by using communication and the teacher will in most cases become the mediator between the pupils.</p><p>To elucidate conflict-handling we chose to use the concept of tacit knowledge. This concept has many different interpretations but all of them are saying that tacit knowledge is practical. Therefore it is interesting for us to connect conflict-handling, which is a part of the teacher’s daily tasks, with tacit knowledge.</p><p>We have compared the interviews with each other and with the literature and found that the conflict-handling depends on what the current ideals are. The teachers in our interviews learn conflict-handling mostly in their work and they all think that it is important to actively prevent conflicts for a functioning education and a good atmosphere in the classroom. In the matter of deciding if conflict-handling is tacit knowledge or not it all comes down to which definition of tacit knowledge you rely on. The results we found are only specific for the teachers we interviewed and for our study.</p>

Syftet med uppsatsen är att se hur verkligheten som är skolan som organisation tar till sig idealet som innebär de olika styrdokumenten. Ett annat syfte är att se om två olika skolor skiljer sig i att förebygga och hantera konflikter. Undersökningen delas på två studier. Den första är en dokumentanalys. Detta innebär att jag tittar på de olika dokumenten från staten, kommunen och den lokala arbetsplanen och jämför dessa med varandra. Den andra delen är intervjuer där viktiga nyckelpersoner på skolor intervjuas. Detta för att jag ska kunna ta del av respondenternas tankar, erfarenheter och se hur verkligheten är ur ett lärarperspektiv. Resultatet av studien visade att idealet kan tolkas på olika sätt och att verkligheten inte ser ut som idealet. Resultatet från intervjuerna visade att lärare kände sig trygga med att hantera konflikter och att de arbetade i ett förebyggande syfte. I en av skolorna var arbetet under utveckling medan den andra skolan var väl organiserade i sitt förebyggande syfte. Detta gör att skolorna skiljer sig från varandra i några punkter. Resultatet visade också att lärarna önskade mer tid för att hantera konflikter och de önskade sig mer fortbildning inom området.

Vi har genomfört en kvalitativ studie i ämnet konflikthantering. Vi har valt att utforma den med hjälp av fem lärare som vi har intervjuat. Konflikter kan man inte undvika, varken i livet eller i skolan och där är det lärarens uppgift att hantera dem. Därför tycker vi att det är viktigt att belysa och förstå kunskapen om konflikthantering. Förr hanterades inte konflikter och bråk i skolan som idag. Fram till 1958 var det fortfarande tillåtet att bestraffa elever med aga. Det var genom aga och skäll som man hanterade konflik¬terna istället för att som idag prata med eleverna. Skäll existerar fortfarande men framförallt hanterar lärarna konflikter med hjälp av att kom¬municera med eleverna. Idag är idealet att kommunicera väl; lyssna, tala och känna empati. I konfliktsituationer agerar läraren ofta medlare mellan eleverna. För att ta reda på hur kunskapen om konflikthantering i skolan ser ut tar vi hjälp av begreppet tyst kunskap. Eftersom tyst kunskap har många olika tolkningar för vi en diskussion kring begreppet. Att vi använder oss av just detta begrepp beror på att tyst kunskap i alla olika tolk¬ningar ändå anses vara en praktisk kunskap. Så är, menar vi, även fallet med konflikthan¬teringen i skolan eftersom den är kopplad till lärarens vardagliga arbete. Därför kopplar vi samman kunskap om konflikthantering med tyst kunskap. Vi har kommit fram till att hur lärare hanterar konflikter beror mycket på vilka ideal som råder just då. Lärarna i våra intervjuer inhämtar kunskapen om konflikthantering till största delen i sitt arbete och de anser alla att det är viktigt att aktivt förebygga konflikter för en fungerande undervisning och ett gott klassrumsklimat. Kunskapen om konflikthantering är situationsbunden och personlig men detta räcker inte för att vi ska kunna sluta oss till att det är tyst kunskap, detta beror helt på vilken definition man utgår ifrån. Vi vill poängtera att våra resultat inte på något sätt försöker vara generaliserande. / We have done a qualitative study about conflict-handling. The purpose of this study is to understand conflict-handling and prevention of conflicts in the classroom from a teacher’s perspective; how does teachers develop their knowledge of conflict-handling and is that knowledge tacit? How can teachers handle conflicts and quarrels in the classroom and how can they prevent them? Those are our questions at issue. To get information we interviewed five different teachers and studied relevant literature. We have chosen to restrict this study to conflicts between pupils or teachers and pupils, grade 4-6 in the Swedish school. Conflicts or quarrels are things that can’t be avoided and it is the teacher’s job to handle them, this is called conflict-handling. In former times the conflict-handling in schools meant corporal punishment or telling the pupil off. Telling-off still exists in our schools today but the way conflicts are handled is now mostly by using communication and the teacher will in most cases become the mediator between the pupils. To elucidate conflict-handling we chose to use the concept of tacit knowledge. This concept has many different interpretations but all of them are saying that tacit knowledge is practical. Therefore it is interesting for us to connect conflict-handling, which is a part of the teacher’s daily tasks, with tacit knowledge. We have compared the interviews with each other and with the literature and found that the conflict-handling depends on what the current ideals are. The teachers in our interviews learn conflict-handling mostly in their work and they all think that it is important to actively prevent conflicts for a functioning education and a good atmosphere in the classroom. In the matter of deciding if conflict-handling is tacit knowledge or not it all comes down to which definition of tacit knowledge you rely on. The results we found are only specific for the teachers we interviewed and for our study.

Mitt examensarbete handlar om hur man kan undervisa elever med matematiksvårigheter, med särskilt fokus på begreppet bråk. Jag redogör för både forskares och lärares uppfattningar om vad matematiksvårigheter är och vilka orsaker de menar kan ligga till grund för att vissa barn har svårigheter med matematik. Det framkommer att det är ett mycket komplext samspel som leder fram till att barns kunskaper i matematik utvecklas så olika. Orsakerna till matematiksvårigheter kan vara medicinska/neuroligiska, psykologiska, sociologiska så väl som pedagogiska. För att underlätta matematikinlärningen för elever med matematiksvårigheter menar forskarna att man bör låta eleverna samtala, diskutera och argumentera i matematiken, samt arbeta med konkret matematik. Resultatet av min studie beträffande språkets och det konkreta materialets betydelse vid problemlösning för elever med matematiksvårigheter, tyder på att det matematiska språket är en viktig artefakt för eleverna vid problemlösning, men också att kvalitén på själva kommunikationen mellan eleverna kan variera betydligt. Vidare förefaller det enligt denna studie som att det konkreta materialet inte har någon direkt betydelse för elevernas problemlösning. Både forskare och lärare anser att när det gäller begreppet bråk så kan elever uppfatta det som abstrakt och ha svårt för att få en uppfattning om vad det innebär. Resultatet av min studie visar att lärare främst ritar och visar bilder när de konkretiserar begreppet bråk för elever med matematiksvårigheter. Forskarna ställer sig dock kritiska till en sådan undervisning och förespråkar en mer verklighetsanknyten undervisning som tar sin utgångspunkt i elevernas vardagliga erfarenheter av begreppet bråk.

Tidigare forskning visar att bråk är ett område där många elever har problem. Syftet med den här studien är att studera gymnasieelevers matematiska kunskaper i multiplikation och division av bråk. Elevernas kunskaper studerades utifrån en konstruktivistisk syn på kunskap och med procedurell och konceptuell kunskap som analysverktyg. 61 elever från kursen Matematik A har löst totalt 10 uppgifter med multiplikation och division av bråk. 7 av eleverna intervjuades dessutom för att få en bättre uppfattning om deras kunskaper. Elevernas kunskaper kategoriserades sedan utifrån procedurella- och konceptuella kvaliteter. Resultatet visar att eleverna främst använder algoritmer för att lösa uppgifterna men även andra strategier som till exempel att skriva bråken som decimaler förekommer. Elevernas kunskap i multiplikation och division av bråk är av procedurell karaktär med fokus på att komma ihåg algoritmer för att lösa uppgifterna. Elevernas konceptuella kunskaper i bråkräkning är överlag inte lika utvecklade. Det framkommer genom att eleverna visar på svårigheter att lösa uppgifter i vissa sammanhang, bristande förståelse för betydelsen av beräkningarna och för varför de olika algoritmerna fungerar. / Earlier researches show that fraction is an area where many students have problems. The aim with this essay is to study upper secondary school students’ mathematical knowledge in multiplication and division of fraction. The students’ knowledge will be studied from a constructivistic perspective of knowledge and with procedural and conceptual knowledge as an instrument for the analysis. 61 students from the course Matematik A have solved totally 10 mathematical problems with multiplication and division of fraction. 7 of the students were furthermore interviewed to get a better understanding of their knowledge. The students’ knowledge were then categorized from procedurally and conceptually qualities. The result shows that the students primarily use algorithms to solve the problems but also other strategies as example to write the fraction as decimals occur. The students’ knowledge in multiplication and division of fraction is of procedural character with focus on remembering the algorithms for the different types of problems. The students conceptually knowledge in fraction arithmetic is overall not fully developed. It comes out by the students difficulties to solve problems in certain context, deficient understanding of the meaning of the calculations and why the different algorithms work.

Abstract   The purpose of this study is to provide a detailed description of the way fractions are processed in Turkish and Swedish mathematics textbooks. For our investigation of textbooks, we used several theoretical notions  such us different ways of understanding fractions (part-whole, ratio, measure, quotient, decimal and operator), representations (treatment, conversion), making distinctions between routine tasks and problems, classifying contexts of examples and problems in terms of real-life situations, semi-realities, and pure mathematics, and about texts narrative and paradigmatic styles.   Through our analyses of these three textbooks, we have come to a result that shows similarities and differences among the textbooks, regarding the topics included and their sequencing, how the concept of fractions is represented in exercises and examples. The findings are emphasized with figures, tables and diagrams that illustrate the similarities and differences between mathematics textbooks inTurkeyinSwedenas well as the textbooks’ development in Turkey. / Abstrakt   Syftet med denna studie är att ge en detaljerad beskrivning av hur bråk behandlas i turkiska och svenska läroböcker för matematik. I vår undersökning, använde vi flera teoretiska begrepp såsom olika sätt att förstå bråk (del-helhet, förhållande, mått, kvot, decimaltal och operator), representationer (behandling, omvandling), att skilja på rutinuppgifter och problem, att klassificera exempel och uppgifters kontexter i termer av verkliga situationer, semi-verkligheter, och ren matematik, och om texters berättande och paradigmatiska stilar.   Genom våra analyser av dessa tre läroböcker, har vi kommit fram till ett resultat som visar både likheter och skillnader mellan dem, både vad gäller de ingående ämnena och deras sekvensering och hur begreppet bråk har representerats i övningar och exempel. Resultaten beskrivs med bilder, tabeller och diagram som illustrerar likheter och skillnader mellan matematikläroböcker i Turkiet och Sverige och dessutom visar läroböckernas utveckling i Turkiet.

Division med bråk är ett av de områden av skolans matematiska innehåll som både elever och lärare har svå-righeter med. I flera internationella studier har man funnit att lärares svårigheter delvis grundas i ett proce-durellt förhållningssätt till de lösningsmetoder som används vid division med bråk. Detta, i kombination med att lärare har svårt att konstruera realistiska förklaringsmodeller till sådana typer av uppgifter, påverkar även lärares undervisning. Syftet med denna uppsats är att undersöka svenska högstadielärares ämneskunskaper och pedagogiska äm-neskunskaper om division med bråk. De frågeställningar studien ämnar besvara är vilka vanliga ämneskun-skaper och specialiserade ämneskunskaper lärare visar samt vilka pedagogiska ämneskunskaper om under-visning och pedagogiska ämneskunskaper om elever lärare visar om division med bråk. Fem matematiklärare i årskurs 7-9 utvaldes för kvalitativ intervju, där de både fick beräkna uppgifter med division med bråk samt beskriva hur de själva resonerar kring sin undervisning, elevers svårigheter och in-troduktion av division med bråk. I intervjuerna framkom att lärarna generellt visade prov på både goda äm-neskunskaper och goda pedagogiska ämneskunskaper.