Bråk är inkörsporten till rationella tal och en god förståelse av bråk ligger till grund för den enskilda elevens fortsatta matematikutveckling. Yngre elever, i de tidiga skolåren, har ofta en intuitiv förståelse för enkla bråk, men glappet till den mer formella undervisningen är stort. Svårigheter att lära sig bråk är genomgående och ger långtgående konsekvenser. Det är därför av stor vikt att tidigt uppmärksamma och ge stöd till de elever som möter svårigheter inom detta område. Vi har replikerat en tidigare genomförd interventionsstudie med enskild intensivundervisning kring bråk genom explicit undervisning och CRA. Interventionen fokuserar på bråk som tal, där tallinjen spelar en avgörande roll, och består av nio lektionstillfällen. Syftet med studien har varit att bidra med kunskap om interventioner i matematik samt att undersöka vilken effekt ett interventionsprogram med enskild intensivundervisning har på elever i matematiksvårigheter i årskurs 5 och 6. Syftet har också varit att undersöka om elevernas relationer till matematikämnet kan förändras av interventionen.  Studien är en experimentell fallstudie med sex deltagare, där varje individ utgör sin egen kontroll. Data har samlats in i form av resultat på olika tester och skattningar, före, under och efter interventionen. Resultatet visar på en signifikant förbättring av elevernas kunskaper om bråk som tal efter genomförd intervention. Dessutom framkommer en spridningseffekt till området bråk som del av en helhet/antal, vilket tyder på en ökad konceptuell förståelse av bråk. Elevernas kunskaper kvarstår vid ett fördröjt eftertest, fem veckor efter avslutad intervention.  Den slutsats vi drar utifrån resultatet är att en kortare intervention på individnivå, om bråk som tal med tallinjen i fokus, kan ge stor effekt på elevernas kunskaper, som kvarstår över tid. Vi kan inte dra några generella slutsatser kring huruvida elevernas relationer till matematikämnet förändras av interventionen.

I detta arbete granskas och jämförs svenska och japanska läroböcker genom hela grundskolan med avseende på bråk- och proportionsbegrepp. Syftet är att skapa insikter om vilka skillnader det finns mellan läroböckerna som är viktiga för elevers möjligheter att bättre förstå dessa begrepp, och att ge förslag till förbättrad begreppsbildning i matematikundervisningen. Det finns skillnader mellan svenska och japanska läroböcker angående på vilka sätt ett objekt presenteras och behandlas. I svenska läroböcker sker begreppsbildning i början av ett kapitel som en sammanfattning, och genom att eleverna själva löser uppgifterna. I Japan framförs ett objekt med ett problem, och diskussioner om lösningar visas invävda med begreppsdefinitioner. Generalisering och koppling till vad som behandlats tidigare är viktiga element i japanska läroböcker. / This study analyzes and compares Swedish and Japanese mathematics textbooks through the whole compulsory schools in respect of rational numbers and proportion. The purpose is to give an insight of what important differences there are between the textbooks in order to offer pupils opportunities to acquire better conceptual understanding, and to give some suggestions for the improved conceptual understanding in the mathematics education. Various differences are found in how the textbooks treat an object between Sweden and Japan. In the Swedish textbooks, concepts of an object are presented and summarized in the beginning of a chapter, and tasks in the books play an important role in students’ conceptual understanding. In Japan an object is introduced with a problem, and discussions of the solutions are interwoven with definitions of the concepts. Generalization of the concepts and making connections are essential elements in the Japanese textbooks.

I detta arbete undersöks kunskap om bråkbegreppet hos fyra olika lärare och hur de använder denna kunskap i sin undervisning. Resultaten diskuteras bl a med utgångspunkt från Liping Mas bok Knowing and teaching elementary mathematics. Undersökningen har en subjektiv dimension bestående av intervjuer med lärarna. Begreppskunskapen fokuserar på division av bråktal, innehållsdivision och del – helhetsaspekten. Resultatet visar på att det finns stora skillnader men också likheter i lärarnas kunskaper om bråkbegreppen och deras undervisning. De lärare som har bäst kunskaper om bråkbegreppet är de som har längst erfarenhet i yrket och bedriver eller har bedrivit ett aktivt samarbete med kollegor om undervisningen.

Detta arbete syftar till att framställa lektionsplanering anpassad för utomhuspedagogik i ämnesområdet matematik och mer specifikt inom bråk. Planeringen är tänkt att kunna tillämpas i grundskolans senare årskurser och gymnasiet A-kursen. För att kunna bygga en grund för vårt resultat har vi forskat i tidigare forskning inom berörda områden så som utomhuspedagogik, laborativt arbetssätt, lärande, grupparbete samt bråk. Resultatet blev en planering som sträcker sig över fyra lektioner samt tillhörande lärarhandledningar. Lektionerna innehåller del- helhets- och operationsbegreppen för bråk samt applicering av de fyra räknesätten på bråktal.

Syftet med studien var att undersöka möjligheten att stärka förståelsen för bråk som tal hos elever med bristande taluppfattning, genom en kort intervention i matematik. I studien ingick fyra elever i årskurs 6 som alla är i svårigheter i matematik. Interventionen genomfördes under tre veckor och föregicks av en baslinjetestning. De nio lektionerna genomfördes som enskild undervisning. Lektionerna var strukturerade efter metoden CRA och explicita instruktioner. Studien är en experimentell fallstudie med single case-design med multipel baslinje. Data samlades in med hjälp av tre tester som testade tallinjeestimering, bråktalsjämförelse och ekvivalenta bråk. Testerna genomfördes under baslinjetestningen, under interventionen och även som ett fördröjt eftertest. Resultatet visade inte på någon signifikant förbättring av elevernas förståelse för bråk om vi endast utgår från resultatet på dessa tester. Om vi däremot jämför resultatet på det för- och eftertest som gjordes ser vi att eleverna utvecklade sina kunskaper om bråktal. Elevernas inställning till matematik och tilltro till den egna förmågan undersöktes också före och efter interventionen. Någon skillnad kunde inte konstateras. Däremot upplevde elevernas ordinarie lärare en positiv förändring hos eleverna efter interventionen. Eleverna var mer positiva till matematik och mer aktiva under lektionerna.

Syftet med denna litteraturstudie är att undersöka vilka metoder som lärare och speciallärare kan använda för att undervisa om tal i bråkform. Den frågeställning som ligger till grund för studien är att finna metoder som kan främja elevers förståelse och motivation att lära sig om tal i bråkform i framförallt årskurs 4–6. Genom att genomföra en systematisk litteraturstudie redovisas här resultat och metoder som använts i några studier genomförda i olika länder och världsdelar. Resultaten visar att det finns exempel på olika metoder som visat positiva resultat vad gäller elevernas förståelse och motivation. Slutsatsen blir att när eleverna erbjuds en variation av metoder i undervisningen, så kan eleverna utveckla en bättre förståelse för tal i bråkform. / The purpose of this literature study is to investigate which methods teachers and special educators can use to teach fractions. The question that forms the basis of the study is to find methods that can promote students' understanding and motivation to learn about fractions, especially in swedish grades 4–6. By carrying out a systematic literature study, the results and methods used in some studies that were done in different countries and parts of the world are reported here. The results show that there are examples of different methods that have shown positive results in terms of students' understanding and motivation. The conclusion is that when students are offered a variety of teaching methods, they can develop a better understanding of fractions.

Syftet med denna studie är att utröna om och i så fall hur matematiklärarhandledningar ger lärare möjlighet att utveckla viktiga undervisningskunskaper för ämnesområdet bråk. Matematikundervisning bedrivs och planeras oftast med hjälp av läroböcker, som bland annat består av lärarhandledningar. Lärarhandledningarna informerar och stöttar lärare i sin undervisning och även i utvecklingen av lärarkunskaper. Denna artefakt utgör en viktig förbindelse för att tillhandahålla information till lärare och kan ha avgörande betydelse för god undervisning. Lärarhandledningar bör vara designade för att stödja lärare och därmed tala till läraren vilket de tre forskningsbaserade designprinciperna för lärarpedagogiska lärarhandledningar, Ämneskunskap, Elevkunskap och Undervisningskunskap ger möjlighet till. Vi har för denna studie genomfört en innehållsanalys för att urskilja om och hur lärarhandledningarna är designade utefter dessa principer och vilka kunskaper de såldes kan mediera till läraren inom ämnesområdet bråk. Resultatet visar att de tre lärarhandledningarna alla ger möjlighet för läraren att utveckla kunskaper beskrivna i ramverket Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) för ämnesområdet bråk, men att kunskaperna medieras på olika sätt och i olika utsträckning i de olika läromedlen.

I denna studie undersöker vi matematiklärares olika synsätt utifrån deras erfarenheter kring visuella representationer och aspekter av bråk. Lärare intervjuades om en uppsättning problem som deras elever fick lösa, vilka var de metoderna som användes. Vi undersöker därav även om det finns några samband mellan klassresultaten och matematiklärarnas olika synsätt. Tre olika teorier användes som ramverk vid både metodövervägandet och analysen; Fyra utvecklingsstadier vid inlärning med representationer, fem aspekter av bråk och pedagogical content knowledge. Resultaten visar att det finns likheter och skillnader i deltagande lärares synsätt. Några likheter var att alla deltagande lärare finner visuella representationer att vara ett användbart hjälpmedel vid utveckling av elevers förståelse samt att de alla uttrycker en större bekantskap med aspekten del-helhet jämfört med de övriga aspekterna. Några skillnader mellan lärarnas synsätt var att de har olika inställningar till huruvida bråk uppfattas som svårt för eleverna men också i vilken utsträckning visuella representationer ska användas i årskurs 9. Vid analys av klassresultaten finner vi några samband där eleverna har svårare för uppgifter med areamodeller som inte är indelade i lika stora delar, uppgifter med tallinjer och uppgifter där eleverna ska uttrycka sig med ord. Lärarnas kommentarer till detta är att eleverna saknar förståelse för den matematik som ska användas och att eleverna på så sätt använder en felaktig metod. Lärarna kommenterar även att vissa uppgifter i studien kräver en större begreppsförståelse vilket påverkar elevernas resultat på uppgifterna. / In this study we examine mathematics teacher’s verity in their reasoning and their different perspectives about visual representations and sub-constructs of fractions. Teachers were interviewed about task that their students solved, which were the methods used in this study. Therefor we also examine if there are any correlations between the teacher’s different perspectives of visual representations and the classes results on fraction tasks. The study was based on three theoretical frameworks; Four stages through the use of representations, five sub-constructs of fraction and pedagogical content knowledge. The methodological consideration and analysis were based on these theories. The result showed that there were some similarities and differences in the teacher’s reasoning. A similarity was that all participated teachers found visual representations as a helpful tool when teaching fractions for student’s conceptual understanding. Another similarity was that all teachers were more familiar with the part-whole sub-construct than the other subconstructs of fraction. Some differences in the teacher’s reasoning were if they found fraction difficult or not for the students and in which extent visual representation should be used in the ninth grade. When the class results were analyzed some connections were found. Student have difficulties with tasks where area models are not equaled partitioned, with tasks related to number lines and to tasks were the students must change from a visual to a textual representation. According to the teachers comments these difficulties accurse due to that the students lacks a curtain mathematical understanding that is required when solving these tasks. This leads to the use of an inaccurate method. The teacher’s also comments that some tasks in this study requires a higher conceptual understanding which affects the classes’ results.

Vi har i en tidigare kurs genomfört en uppgift innehållande bråk, då vi upptäckte att elever hade svårt att lära sig framförallt sammansatta bråk. Vi blev intresserade av att ta reda på hur man skapar förutsättningar för att eleverna ska lära sig bråk, vilket är denna studies syfte. Studien syftar även till att upptäcka vilka aspekter som är kritiska för att lära sig bråk samt ta reda på hur dessa kan varieras i undervisningen vid elevernas lärande av bråk. I studien används en learning study som kan ses som en typ av aktionsforskning där lärare forskar i sitt eget klassrum. Inom learning study används variationsteorin som är en guidande princip för att förstå och skapa förutsättningar för lärande. Lektionerna som genomfördes av oss, blivande lärare, vid tre olika tillfällen videofilmades. Dessa filmer transkriberades och analyserades därefter. Ur analysen av det transkriberade materialet, videoupptagningarna och observationsanteckningar från lektionerna samt för- och eftertest formulerades resultatet. I resultatet framkom att elevernas förutsättningar för att lära sig bråk ökade när läraren synliggjorde täljaren och nämnarens betydelse i kontrast till varandra samt genom att skapa ett tydligt mönster av variation och invarians av de kritiska aspekterna i undervisningen. / In a previous course, we completed a task containing fractions, and discovered that pupils had difficulties learning particular composite fractions. We became interested in finding out how the teacher can create conditions for the pupils to learn and understand fractions. This is also the aim of this study The study aims at identifying the critical aspects for learning fractions and how these can be varied in the teaching of fractions. In this study we have used a learning study which can be seen as a type of action research where the teachers are researching in their own classrooms. Within learning study, the theory of variation is used as for understanding and creating conditions for learning. The lessons were conducted by us, prospective teachers, on three separate occations, the lessons were video recorded. We transcribed these films and then analyzed them. From an analysis of the transcribed material, video recordings and observation notes from the lessons and pre- and post test we formulated the results. The results showed that conditions for learning fractions increased when the teacher made the role of the numerator and dominator visible by contrasting and by establishing a clear pattern of variation and invariance of the critical features.

<p>Vi har i en tidigare kurs genomfört en uppgift innehållande bråk, då vi upptäckte att elever hade svårt att lära sig framförallt sammansatta bråk. Vi blev intresserade av att ta reda på hur man skapar förutsättningar för att eleverna ska lära sig bråk, vilket är denna studies syfte. Studien syftar även till att upptäcka vilka aspekter som är kritiska för att lära sig bråk samt ta reda på hur dessa kan varieras i undervisningen vid elevernas lärande av bråk.</p><p>I studien används en learning study som kan ses som en typ av aktionsforskning där lärare forskar i sitt eget klassrum. Inom learning study används variationsteorin som är en guidande princip för att förstå och skapa förutsättningar för lärande. Lektionerna som genomfördes av oss, blivande lärare, vid tre olika tillfällen videofilmades. Dessa filmer transkriberades och analyserades därefter. Ur analysen av det transkriberade materialet, videoupptagningarna och observationsanteckningar från lektionerna samt för- och eftertest formulerades resultatet. I resultatet framkom att elevernas förutsättningar för att lära sig bråk ökade när läraren synliggjorde täljaren och nämnarens betydelse i kontrast till varandra samt genom att skapa ett tydligt mönster av variation och invarians av de kritiska aspekterna i undervisningen.</p> / <p>In a previous course, we completed a task containing fractions, and discovered that pupils had difficulties learning particular composite fractions. We became interested in finding out how the teacher can create conditions for the pupils to learn and understand fractions. This is also the aim of this study The study aims at identifying the critical aspects for learning fractions and how these can be varied in the teaching of fractions.</p><p>In this study we have used a learning study which can be seen as a type of action research where the teachers are researching in their own classrooms. Within learning study, the theory of variation is used as for understanding and creating conditions for learning. The lessons were conducted by us, prospective teachers, on three separate occations, the lessons were video recorded. We transcribed these films and then analyzed them. From an analysis of the transcribed material, video recordings and observation notes from the lessons and pre- and post test we formulated the results. The results showed that conditions for learning fractions increased when the teacher made the role of the numerator and dominator visible by contrasting and by establishing a clear pattern of variation and invariance of the critical features.</p>