Analoga läromedel används av många lärare, men hur påverkas elevernas förståelse gällande addition och subtraktion av bråk med gemensam nämnare beroende på vilket val av analogt läromedel lärare arbetar med? Genom en empirisk undersökning kommer två analoga läromedel granskas med syfte att undersöka hur utvalda uppgifter kan skapa förståelse hos elever vid beräkning av det matematiska området. Syftet är även att tydliggöra hur val mellan dessa läromedel skulle kunna påverka elevernas förståelse för det matematiska området. Vid analys av resultatet har studien använt sig av Heddens teori, vilket inkluderar begreppen konkret-, semikonkret-, semiabstrakt- och abstrakt nivå (Heddens, 1986). När urval av läromedel samt uppgifter genomfördes användes metoden strategiskt urval (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Studiens resultat påvisar att läromedelsuppgifterna berör majoriteten av nivåerna i Heddens teori (1986), vilket i sin tur avgör huruvida eleverna får förståelse för det matematiska området. I studien fastslås det att eleverna bör få arbeta från den konkreta- till den abstrakta nivån med en systematisk progressionsprocess för ett optimalt lärande inom det matematiska området. Detta resultat skulle kunna värdesättas av lärare när de står inför val av undervisningsmetoder.

The concept of fractions is necessary and vital knowledge in mathematics and has an essential role in perceptions of other mathematical areas. But many claims that this concept is both hard to teach and difficult to understand and thus avoids teaching and using fractions. To find out how the pupils perceive and reason about fractions, didactic theory, George Pólya's, and Frank Lester's problem-solving strategies and the subject theory has been used as a theoretical framework. In the study, which is a case study, participated 24 pupils the ages were between 9 and 10 and performed three diagnoses with a specific focus at part of a whole and part of a number. The diagnostic results were analyzed quantitatively, and then semi-structured interviews were conducted with six pupils according to the selection has obtained from the percentage of the solution frequencies. The results from the diagnoses show that the pupils' solution frequency on the diagnoses was between 14% and 90%. The analyzes from the semi-structured interviews show that the pupils with a lower solution frequency had inadequate knowledge of the concept of fractions and insufficient knowledge of the subject theory and used problem-solving strategies to a very meager extent. The pupils with a higher solution frequency had good perceptions of fractions and had good knowledge of the theory of the subject, and use problem-solving strategies to a much greater extent.

Bråk beskrivs som ett av de mest komplexa ämnesområden inom matematik. Däremot har en del läromedel tonat ner bråkens betydelse samtidigt som forskning visar att läroböcker utgör en central del av lärares matematikundervisning. Syftet med denna studie är att ge en bild av vad tre läromedel läroböcker erbjuder elever att lära om bråk. Undersökningen har inspirerats av variationsteorin och utgår från fyra kritiska aspekter som utifrån tidigare forskning visat sig vara viktiga för elevers förståelse för bråk. Totalt har sex läroböcker analyserats med hjälp av en innehållsanalys, i syfte att identifiera vilka variationsmönster som används för att synliggöra fyra kritiska aspekter. Dessutom undersöktes vilka lärandeobjekt som förekommer i respektive lärobok. Av resultatet framgår en variation i vilken utsträckning de kritiska aspekterna behandlas och vilka variationsmönster som används för att öka elevers förståelse för de kritiska aspekterna. Framförallt ges elever möjlighet att lära om täljaren och nämnarens funktion genom generalisering som mönster av variation. I läromedlen kunde sammanlagt 19 unika lärandeobjekt identifieras. Däribland återfinns lärandeobjekt om såväl bråk som del av en helhet som bråk som del av antal. Även om inget av de analyserade läromedlen behandlar samtliga lärandeobjekt är det möjligt att utläsa en tydlig skillnad vad gäller såväl omfång som innehåll. Oavsett står det klart att en kombination av flera läromedel kan berika elevers möjligheter att lära bråk. För att en sådan variation ska vara möjlig krävs en stärkt skollag som säkerställer elevers rätt till läromedel. / Research shows that there are a number of reasons students struggle with fractions. On the other hand, some mathematics textbooks still reduce the importance of fraction, while research found mathematics textbooks as a central part of teachers’ math teaching. However, the aim of this study is to depict what three educational materials offer pupils to learn about fractions. The study has been inspired by the theory of variation and is based on four critical aspects that, based on previous research, have been found as critical for students’ understanding of fractions. A total of six mathematics textbooks have been analysed using a content analysis, in order to identify which patterns of variation are used to make the selected critical aspects visible. Furthermore, this study examined which learning objects that appear in each textbook. The results show a variation in the extent each critical aspect is treated and which variation patterns that are used to improve pupils understanding of selected critical aspects. A total of 19 unique learning objects could be identified in the mathematics textbooks. Due to the fact that none of the analysed teaching materials deals with all learning objects, it is possible to distinguish a variation of both volume and content. However, result from this study claims that mathematics textbooks combined would offer greater opportunities to learn obviously. If teachers should be able to overcome a various teaching material it is necessary to strengthen students’ rights to teaching material.

Inom matematik har bråk definierats som ett av de svåraste områdena att lära sig. En stor del av att förstå och räkna med bråk är att förstå begreppen som används inom matematik. För elever är matematikboken ett verktyg för matematikinlärning där de även får möta exempel på hur bråk kan skrivas och beskrivas med olika textresurser. Syftet med vår studie var att undersöka vilka matematiska ord och begrepp elever möter i matematikböcker som kan kopplas till bråk. Det gjordes för att undersöka hur matematikboken kan utveckla elevers ordförråd inom bråkområdet. För att uppfylla syftet med studien gjordes en kvalitativ innehållsanalys där innehållet av två matematikböcker för årskurs 6 analyserades. Innehållet analyserades ur ett konstruktivistiskt perspektiv utifrån att matematikböcker är artefakter med potential att konstruera kunskap hos eleven. Resultatet av analysen visade att matematikböcker kan tolkas som språkutvecklande artefakter genom att de introducerar en variation av matematiska ord och begrepp samt upprepar orden i olika kontext. Med utgångspunkt från ett konstruktivistiskt synsätt är det främst mängden unika ord och variation av textexempel eleven kommer i kontakt med i matematikböckerna, som utvecklar elevens ordförråd inom bråk. Därmed kan matematikböcker fungera som en resurs för att utveckla elevers ordförråd. Exempelvis erbjuder   böckerna övningar på hur bråk kan skrivas med olika ord men också hur olika textformer kan stödja elevers matematiska begreppsförståelse. / In mathematics, fraction has been defined as one of the most difficult areas to learn. A big part of understanding and counting fractions is understanding the concepts used in mathematics. For students, mathematics textbook is a tool for learning mathematics where they find examples of how fractions can be written and described with different text resources. Thus, the purpose of our study was to investigate which mathematical words and concepts students encounter in mathematics textbooks that can be linked to fractions.  The study was conducted to investigate mathematics textbooks´ potential to develop vocabulary while learning fractions. To fulfill the aim of the study, a qualitative content analysis was conducted where the contents of two mathematics textbooks for year 6 were analyzed. Based on constructivist learning perspective, the content was analyzed with the assumption that mathematics textbooks are artefacts with the potential to help students construct knowledge. The result of the analysis showed that mathematic textbooks can be interpreted as language developing artefact by introducing a variety of mathematical words and concepts and repeating the words in different contexts. However, from a constructivist point of view, it is mainly the number of unique words and variation of text examples the student comes into contact within the mathematics textbooks, which supports and develop the student's vocabulary in fractions. Thus, mathematics textbooks can serve as a resource for developing students' vocabulary by giving examples of how fractions can be written with different words, and the interaction between different text forms.

Syftet med detta arbete är att undersöka hur elever resonerar i matematiska frågor och vilka synsätt de har på matematiken under laborativt arbete. Jag har i min undersökning valt att lyfta fram det laborativa arbetets roll i att förstå matematik.Undersökningen bygger på intervjuer med 15 elever som går i mellanstadiet. Jag använder mig av kvalitativ forskning. Jag lägger vikten på den språkliga innebörden och utgår från elevers resonemang i matematik för att sedan tolka deras handlingar, attityder och förståelse av matematik.Mina resultat visar att det laborativa arbetssättet kan vara en bra och användbar metod för att utveckla förståelse för matematik, om det används på ett sätt, där man utgår från elevers redan existerande kunskaper.

Syftet med detta arbete är att undersöka hur elever resonerar i matematiska frågor och vilka synsätt de har på matematiken under laborativt arbete. Jag har i min undersökning valt att lyfta fram det laborativa arbetets roll i att förstå matematik.Undersökningen bygger på intervjuer med 15 elever som går i mellanstadiet. Jag använder mig av kvalitativ forskning. Jag lägger vikten på den språkliga innebörden och utgår från elevers resonemang i matematik för att sedan tolka deras handlingar, attityder och förståelse för matematik.Mina resultat visar att det laborativa arbetssättet kan vara en bra och användbar metod för att utveckla förståelse för matematik, om det används på ett sätt, där man utgår från elevers redan existerande kunskaper.

Syftet med den här studien är att undersöka undervisning och lärande av lärandeobjektet, bråk med olika nämnare, i årskurs 4, årskurs 6 och årskurs 9. Då specifikt jämförelsen av bråk med olika nämnare och addition med hjälp av gemensam nämnare. Studien avser att söka vad som är kritiskt för att kunna lära sig detta.   Vi genomförde en learning study som är en typ av aktionsforskning där studien genomförs i klassrumsmiljö och fokus ligger på vad eleverna ges möjlighet att lära sig. Vanligtvis genomförs en learning study i tre cykler där undervisningen gradvis förbättras mellan cyklerna. Vår första cykel genomfördes i årskurs fyra, den andra cykeln i årskurs sex och den sista och avslutande cykeln i årskurs nio. Lektionen i årskurs fyra var en introduktion till bråk där fokus låg på nämnarens funktion. Lektionerna i årskurs sex och nio fokuserade till stor del på addition av bråk med olika nämnare. Processen i varje cykel började med ett förtest som sedan följdes upp med en planerad lektion utifrån utfallet, lektionen i sin tur videofilmades utifrån det iscensatta lärandeobjektet, och som sista del tog vi reda på det erfarna lärandeobjektet med hjälp av eftertest. Materialet (förtest, lektion och eftertest) från de tre lektionerna analyserades därefter och jämfördes för att få fram kritiska aspekter vid inlärning av bråk med olika nämnare.   Resultatet indikerar att de kritiska aspekterna för elever i årskurs fyra är innebörden av täljare och nämnare samt relationen mellan dem. Denna kritiska aspekt lyckades vi komma åt under lektionen. I de senare cyklerna visar resultatet att den viktigaste kritiska aspekten är relationen mellan täljare och nämnare och insikten att de står i proportionalitet till varandra, dessa aspekter kom vi endast till viss del åt under lektionerna i årskurs sex och årskurs nio. I vissa fall försämrades deras förståelse efter lektionerna. Eleverna i årskurs sex och årskurs nio uppvisade samma svårigheter och vi kan inte påvisa någon förbättring mellan årskurserna; eleverna i årskurs sex och nio låg på samma nivå kunskapsmässigt då det gäller bråk med olika nämnare. / The aim of this study is to investigate the teaching and learning of fractions with different denominators as an object of learning in grade 4, 6 and 9. We concentrate more specifically on the comparison of fractions with different denominators as well as performing additions through transformation to a common denominator. Moreover, the study aims at finding out what is critical in order to learn this.   We carried out a learning study, which is a kind of action research where the study is carried out in the classroom environment and where focus is on what the pupils is given the opportunity to learn. Moreover, a learning study is normally conducted in three cycles where the aim is to improve teaching during and between the different cycles. Our first cycle was conducted in grade four, the second cycle in grade six and the final and concluding one in grade nine. The lesson in grade four served as an introduction to fractions since the pupils were unfamiliar with the concept of fractions, yet the focus was on the function of the denominator, whereas the focus of the lessons in grade six and grade nine was on performing addition of fractions with different denominators. The process in each of the cycles in the learning study began with a pretest. The lesson was then planned according to the assumed critical aspects shown in the pretest before carried out. Each lesson was videotaped, and followed by a posttest about a week after the lesson. The material (pre-tests, lessons, and post-tests) from the three cycles were analyzed and thereafter also compared in order to find and compare critical aspects when it comes to the learning of fractions with different denominators.   The result indicates that the critical aspects for pupils in grade four were the meaning of the denominator and the numerator and their relationship. These aspects were targeted in the lesson and the pupils’ understanding of this was improved after the lesson. Moreover, the result implies that the most important critical aspect in grade six, as well as in grade nine, appears to be to understand the proportional relationship between the denominator and the numerator. This aspect was targeted at the respective lessons, yet the pupils only showed little or even no better understanding after the lessons, and in some cases their understanding even became impaired. It appears as if the pupils in grade six and grade nine have the same difficulties when dealing with fractions with unequal denominators, and moreover they were on the same level when dealing with the fractions.

<p>Syftet med den här studien är att undersöka undervisning och lärande av lärandeobjektet, bråk med olika nämnare, i årskurs 4, årskurs 6 och årskurs 9. Då specifikt jämförelsen av bråk med olika nämnare och addition med hjälp av gemensam nämnare. Studien avser att söka vad som är kritiskt för att kunna lära sig detta.</p><p> </p><p>Vi genomförde en learning study som är en typ av aktionsforskning där studien genomförs i klassrumsmiljö och fokus ligger på vad eleverna ges möjlighet att lära sig. Vanligtvis genomförs en learning study i tre cykler där undervisningen gradvis förbättras mellan cyklerna. Vår första cykel genomfördes i årskurs fyra, den andra cykeln i årskurs sex och den sista och avslutande cykeln i årskurs nio. Lektionen i årskurs fyra var en introduktion till bråk där fokus låg på nämnarens funktion. Lektionerna i årskurs sex och nio fokuserade till stor del på addition av bråk med olika nämnare. Processen i varje cykel började med ett förtest som sedan följdes upp med en planerad lektion utifrån utfallet, lektionen i sin tur videofilmades utifrån det iscensatta lärandeobjektet, och som sista del tog vi reda på det erfarna lärandeobjektet med hjälp av eftertest. Materialet (förtest, lektion och eftertest) från de tre lektionerna analyserades därefter och jämfördes för att få fram kritiska aspekter vid inlärning av bråk med olika nämnare.</p><p> </p><p>Resultatet indikerar att de kritiska aspekterna för elever i årskurs fyra är innebörden av täljare och nämnare samt relationen mellan dem. Denna kritiska aspekt lyckades vi komma åt under lektionen. I de senare cyklerna visar resultatet att den viktigaste kritiska aspekten är relationen mellan täljare och nämnare och insikten att de står i proportionalitet till varandra, dessa aspekter kom vi endast till viss del åt under lektionerna i årskurs sex och årskurs nio. I vissa fall försämrades deras förståelse efter lektionerna. Eleverna i årskurs sex och årskurs nio uppvisade samma svårigheter och vi kan inte påvisa någon förbättring mellan årskurserna; eleverna i årskurs sex och nio låg på samma nivå kunskapsmässigt då det gäller bråk med olika nämnare.</p> / <p>The aim of this study is to investigate the teaching and learning of fractions with different denominators as an object of learning in grade 4, 6 and 9. We concentrate more specifically on the comparison of fractions with different denominators as well as performing additions through transformation to a common denominator. Moreover, the study aims at finding out what is critical in order to learn this.</p><p> </p><p>We carried out a learning study, which is a kind of action research where the study is carried out in the classroom environment and where focus is on what the pupils is given the opportunity to learn. Moreover, a learning study is normally conducted in three cycles where the aim is to improve teaching during and between the different cycles. Our first cycle was conducted in grade four, the second cycle in grade six and the final and concluding one in grade nine. The lesson in grade four served as an introduction to fractions since the pupils were unfamiliar with the concept of fractions, yet the focus was on the function of the denominator, whereas the focus of the lessons in grade six and grade nine was on performing addition of fractions with different denominators. The process in each of the cycles in the learning study began with a pretest. The lesson was then planned according to the assumed critical aspects shown in the pretest before carried out. Each lesson was videotaped, and followed by a posttest about a week after the lesson. The material (pre-tests, lessons, and post-tests) from the three cycles were analyzed and thereafter also compared in order to find and compare critical aspects when it comes to the learning of fractions with different denominators.</p><p> </p><p>The result indicates that the critical aspects for pupils in grade four were the meaning of the denominator and the numerator and their relationship. These aspects were targeted in the lesson and the pupils’ understanding of this was improved after the lesson. Moreover, the result implies that the most important critical aspect in grade six, as well as in grade nine, appears to be to understand the proportional relationship between the denominator and the numerator. This aspect was targeted at the respective lessons, yet the pupils only showed little or even no better understanding after the lessons, and in some cases their understanding even became impaired. It appears as if the pupils in grade six and grade nine have the same difficulties when dealing with fractions with unequal denominators, and moreover they were on the same level when dealing with the fractions.</p>

Minion- en ordningsam vän i tvättstugan. Tvättstugan. En samhällstjänst som alla tar för givet eller en arena för dåligt beteende. Vad den än är så är den stället där beteenden som fusk med städning samt stulna tvättider och kläder sker vilket kan mynna ut i riktigt allvarliga bråk som polisanmäls. Att ändra på tvättstugan och hålla ett vakande öga över den kostar pengar och det har inte alla. Under dessa förhållanden kommer problemen som påträffas där, bara att fortsätta att existera tills alla tvättstugor stängs. Forskning har visat att bilder på ögon motarbetar beteenden som orsakar problem i tvättstugan. De skapar en omedveten känsla av övervakning som korrigerar beteenden genom medvetenheten om det dåliga beteendet, eller av rädslan att bli påkommen och bestraffad. När bilder på ögon har en så stor effekt på oss kommer en interaktiv robot försedd med ögon, röst och en snäll personlighet att ha samma effekt samt förstärka känslan av övervakning. Minion är en liten interaktiv robot som håller tvättstugans besökare sällskap och blir dess beskyddare. Minions huvuduppgift är att påminna tvättstugans besökare att de aldrig är ensamma där och därmed motarbeta dåligt beteende som förstärks på avskilda platser. Minion lyckas med det genom att kommunicera, sjunga, dansa, äta ludd från torktumlaren och berätta lite olika saker om världen och sitt eget liv. Till och med i sin tystnad orsakar Minion känslan av övervakning för den som vistas i tvättstugan. Tyvärr är den existerande prototypen bara ett skal och inte en funktionell robot, därför förklarades Minions funktioner muntligt och med hjälp av bilder under användarstudien. Minion mottogs med spänning och godkännande och det visade sig att Minions alla funktioer är relevanta och uppfylls till fullo. Minion skulle kunna vidareutvecklas till andra områden av vardagslivet där en interaktiv robot kan vara användbar, som att förbättra livskvaliteten för människor i behov av en kamrat. / Minion- an orderly friend in the common laundry room The common laundry room. A service to society that everyone takes for granted or an arena for bad behavior. In either case, it is a place where cheating with cleaning up after yourself as well as hijacking appointments and stealing other people’s belongings can lead to really serious fights that are reported to the police. Changing the common laundry room and keeping a waking eye on it, costs a lot of money something that not everyone has access to. Under these circumstances, the problems found there will simply go on existing until all common laundry rooms are shut down.  Research has proven that pictures of eyes can counter act behaviors similar to the ones causing trouble in the common laundry room. These pictures cause an unconscious feeling of being watched that will correct such behaviors either by creating consciousness of the bad behavior or the fear of being caught and then punished. As pictures of eyes have such a severe effect on us, an interactive robot with eyes, a voice and a kind personality will have the same effect as well as reinforce the feeling of being watched. Minion is a small interactive robot that keeps the common laundry room’s visitors company while being its patron. Minion’s main task is to remind the visitors that they are never there alone and can therefore counteract such bad behavior that is reinforced in secluded spaces. Minion succeeds in doing so by having the ability to communicate, sing, dance, eat fluff from the drier and recount facts about the world and its own life. Even while being silent it causes the same feeling of being watched for the ones being in the common laundry room with it. Unfortunately the existing prototype is that only of a shell and not a fully functional robot, as of which Minion’s functions had to be explained through pictures and reenactments during the user study that was made. Minion was embraced with excitement and approval and the case study proved that all of Minion’s functions are relevant as well as completely fulfilled. Minion could be further developed to other areas of daily life where an interactive robot could be of some use, such as in improving the quality of life for people in need of a companion.

Denna systematiska litteraturstudie syftar till att med hjälp av forskning identifiera avgörande faktorer för framgångsrika undervisningsstrategier av stambråk i grundskolans matematikundervisning. Studien baseras på elva vetenskapliga artiklar som bearbetats systematiskt med hjälp av innehållsanalys för att besvara forsknings-frågorna om vilka avgörande faktorer som forskningen visar för undervisningen av stambråk samt vilka framgångsrika undervisningsstrategier som finns. Forskningen visar att areamodellen som representationsform dominerar undervisningen av bråk vilket innebär att stambråk får lite plats i undervisningen. Stambråket är en viktig del för att kunna tillägna sig avgörande faktorer av bråk. Resultatet visar att en undervisning med linear measurement (linjära representationsformer) betonar stambråkets roll som tolkningsverktyg för att kunna jämföra andra bråk samt det omvända förhållandet där en större nämnare utgör en mindre andel. Resultatet visar också att undervisningen av stambråk etablerar grundläggande principer för rationella tal och mer avancerade matematiska områden som proportionalitet och algebra. Därmed är lärares val av undervisningsstrategier och representationsformer samt deras kunskaper inom dessa områden vitala för vad eleverna kan tillägna sig i samband med bråkundervisningen.