Syftet med studien är att få inblick i hur eleverna i åk 7 och 8 uppfattar likvärdiga bråktal, förkortning och förlängning samt hur de tolkar sambandet mellan förlängning och multiplikation, och förkortning och division. Syftet är även att undersöka elevernas kunskaper om bråktalsaspekter med fokus på bråktal som ett tal som har ett eget värde på tallinjen. Studien är förankrad i teoretiska modeller om hur bråk kan förstås, teorier om lärande samt tidigare forskning med liknande frågeställningar. Det tillvägagångssätt som valts är flermetodsforskning som omfattar kvantitativ metod för insamling och analys av enkät och kvalitativ metod för insamling och analys av intervjuer med elever. Elevernas lösningar och svar på frågorna i enkäten och intervjuerna gav mycket kvalitativ information att analysera. Analysen besvarade mina frågeställningar och jag fick en inblick i hur eleverna i åk 7 och 8 uppfattar likvärdiga bråktal, förkortning och förlängning som begrepp och beräkningsmetod. Genom elevernas lösningar och svar fick jag även en inblick i på vilket sätt eleverna tänker och ser matematik, specifikt bråktal. Studien indikerade att eleverna har tillräckliga kunskaper om bråktal som del av en hel, medan bristande kunskaper kan sammanfattas som att eleverna inte behärskar bråktalsbegrepp och vad täljare och nämnare representerar. Studien visade också att eleverna har otillräcklig kunskap om likvärdiga bråktal och att bråktal kan skrivas på oändligt många sätt utan att värdet förändras. Dessutom hade de svårigheter med förlängning och förkortning. Att förstå alla dessa begrepp är nödvändigt för att operera med tal i bråkform. Dessa kunskapsbrister ledde till att de använde felaktiga strategier när de behandlade bråktal i uppgifterna. Felaktiga strategier kan sammanfattas som att eleverna använde sina gamla kunskaper om naturliga tal och försökte anpassa svaren tillden nya situationen. / The aim of this study was to get insight into how the pupils in years 7 and 8 understand equivalent fractions, reducing and raising, and into how they interpret the connections between raising and multiplication and between reducing and division. The aim was also to investigate pupils' knowledge of fractional aspects with a focus on fraction as a number that has its own value on the number line. The study was based on theoretical models of how fractions can be understood, theories of learning and previous research into similar issues. The approach chosen was multi-method research, which includes quantitative methods in the collection and analysis of questionnaires and qualitative methods in the collection and analysis of interviews with pupils. Both the pupils' solutions and answers to the questions in the questionnaire and the interviews they provided gave very useful qualitative information to analyse. The analysis answered my questions, and I obtained an insight into how the pupils in years 7 and 8 understand equivalent fractions, reducing and raising as concepts and calculation methods. Through the pupils' solutions and answers, I gleaned an insight into the way in which the pupils think and see mathematics, specifically in fractions. The study indicated that pupils have sufficient knowledge of fractions as a part of a whole, while shortfalls in knowledge were identified in some pupils not mastering the concept of fractions or what numerators and denominators represent. The study also showed that some pupils have insufficient knowledge of equivalent fractions and the fact that fractions can be written in an infinite number of ways without this changing the value. In addition, they had difficulty with raising and reducing. Understanding all these concepts is necessary for pupils to operate effectively with fractions. The areas where they lacked knowledge led them to use incorrect strategies when dealing with fractions in the data. Incorrect strategies were identified pupils using their old knowledge of natural numbers and trying to adapt the answers to the new situation.

När en person ser en skiftnyckel är det inte säkert att personen ser något som är bra att ha när man ska skruva en mutter. Beroende på vad personen vanligtvis använder skiftnyckeln till och vilket problem som personen just då står inför kommer personen att se olika saker. Är det en spik som ska spikas ner kanske personen ser skiftnyckeln som ett alternativ till en hammare. Är det en sten som ska bändas upp kanske skiftnyckeln kan användas som en hävstång. Att ett redskap kan beskrivas på många olika vis och användas till många olika ändamål stämmer även för matematiska redskap. Genom att undersöka vad elever ser när de tänker på bråk och vad de tänker när de räknar med bråk kan läraren anpassa undervisningen för attoptimera elevernas inlärning. Med hjälp av intervjuer där elever besvarar bråkrelaterade uppgifter ger detta arbete en bildav vilka representationsformer eleverna har rörande bråk. Genom uppdelning i operationell och strukturell begreppsbild ger resultatet en fingervisning om vilka begreppsbilder eleverna har samt hur och när de används. Frågeställning Huvudfrågorna som detta arbete försöker svara på är: • Vilka begreppsbilder av matematiska bråk besitter eleverna? • Finns det en systematik i när eleverna använder olika begreppsbilder? En begränsning med detta arbete är att endast tre elever valde att delta. Eleverna var från tre olika skolor i två olika kommuner. Gemensamt för informanterna var att de använde en bildligt beskrivande och strukturell begreppsbild när de beskrev vad bråk är. När frågorna övergick till att göra matematiska beräkningar lämnade alla informanter bilderna och övergick till att använda inlärda och automatiserade processer, operationella begreppsbilder. Processer som de i många fall inte kunde förklara varför de fungerade, eleverna visste bara att de fungerade. Ett stickspår i undersökningen var introducerandet av ”bråk som ett antal av en enhet”. Detta tankesätt var nytt för eleverna men alla förstod tanken och lyckades lösa vissa uppgifter både snabbare och säkrare med hjälp utav den. Denna studie är kvalitativ och visar endast på hur de svarande eleverna ser på bråkräkning. Hur andra elever tänker och räknar på bråk besvaras inte. / When a person sees a wrench, the person might not understand the benefit of it as a tool to tighten a screw-nut. Depending on what the person normally uses the wrench for and the problem the person is facing at the time. The wrench provides different solutions for the person. If it is a nail that needs to be attached, the wrench can be used as a hammer. If it is a rock that needs to be pried up, the wrench can be used as a lever. A tool can be described in many different ways regarding the way it should or could be used and this also applies to mathematical tools. By examining students relation to fractions andhow they think about THEM the teacher can adapt the teaching to optimize the learning. With guidance from the interviews where students answered fraction-related tasks, this report provides a picture of what type of representation the students have regarding fractions. By dividing into operational and structural conceptual image, the result gives an indication of which conceptual images the students have and how and when they are used. Question The main questions that this report tries to answer are: • Which conceptual images of mathematical fractions do the students have? • Is there a system by which a student uses different types of conceptual images? One limitation with this study is that only tree students participated. Common to the respondents was that they used a pictorial descriptive, a structual conceptual image trying to describe what fractions are. When the questions turned to mathematical calculations, all respondents left the images and switched to using learned and automated processes, operational conceptual images. Processes that , they could not explain , why they worked but the students only knew that they worked. One sidebar in the survey was the introduction of ”fractions as a number of a unit”. This way of thinking was new to the students but they all understood the idea and managed to solve certain tasks both faster, and safer with the help of it. This study is qualitative and only shows how the responding students view fractions. How other students think and count fractions is not answered.

Polulärvetenskaplig sammanfattning Uppsatsens undersökning är en kartläggning av lagstiftning och reglering gällande gaturummen i Stockholm 1650-1750. Syftet är att se på hur myndigheterna försökte komma tillrätta med nattliga ordningsproblem, samt vilka ideal och motiv som låg bakom reglerna. Källmaterialet består av förordningar och kungörelser utgivna av Kungl. Maj:t och Stockholms magistrat i det tidigmoderna Stockholm 1650-1750. Metoden till analysen består av diskursanalys, där fasta tas på samhälleliga diskurser som kan avläsas i källmaterialet, och då utifrån kategorier som kön, klass och makt. Undersökningens resultat visar på en kristlig ideal av ordning för de offentliga miljöerna och nattlivet. Lagstiftningen följer även den internationella utvecklingen för tidigmoderna städer, med gatuplanering, införandet av gatubelysning och en förskjutning av dygnsrytmen. Det materiella ordnandet, samt idealen av ordningsamma goda kristliga medborgare sammanfaller även med Sveriges stormaktsideal. I källmaterialet finns även spår av förhandling mellan myndigheter och medborgare. Lagstiftningen anpassas utifrån medborgarnas klagomål och påtryckningar, det sker en förhandling av statens våldsmonopol och medborgarnas individuella rättssäkerhet. I det tidigmoderna Stockholm är individuell rättssäkerhet kopplat till samhällsställning.       Undersökningen visar även på att medborgarna fungerar som lagens förlängda arm, med en angivarkultur som uppmuntras. De ur högre stånd hade traditionellt fungerat som förmyndare och beskyddare för de med lägre samhällelig ställning, och i och med införandet av stadsvakten bestående av medborgare ur de lägre ständerna, ställs denna ordning ur spel - vilket resulterar i en del konflikter.