Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Karly Barbosa Alvarenga.pdf: 5607783 bytes, checksum: 380cc1f58b63a7896ba29e8476c74d7c (MD5) Previous issue date: 2013-01-28 / This research is a bibliographic one and one of its main challenges is to map and reflect on the academic production about teaching and learning inequalities. A big amount of postgraduate dissertations and mathematics education conferences, and the accessibility to the different ways of communication allow the rise of researches that could be not known, and thus lose the content and the extent of these collaborations, not only to improve the teaching and the learning of mathematics, but to consolidate this knowledge area. In this context, the inequality concept offers the opportunity of approach others concepts as real number properties, logical connectors, quantifiers, order of numbers, algebraic equivalences and transformations. Besides it is a concept the study of which starts in the basic levels and could be extended to postgraduate level in an exact sciences program. This work arises from the chain of these visualizations. In order to face the challenge, we use Content Analysis as well as mixed methods to analyze collected data. The construction of the map was made with computerized data, CD-ROM from national and international events, and journals and printed works taken from libraries, besides of direct contact with some authors. With the objective of relate or link several characteristics of the reviewed work, and construct general research lines, the data is organized in three tables according to the a priori and rising categories. The results in the first table, constructed with bibliographic data, give the movement, time, space and authors. With these data, mainly through the titles, we reflect, for instance, on the genesis of the topic, approaches, research methodology, adopted theoretical references, kind of inequalities more often used to collect data, and the school level of the participants in the recollection. The second table, made up with the readings of the works and, specially, of some abstracts, allow to deepen the results of the first one and to know the goals of the published works, the educational and mathematical theoretical references, and the research or field methodologies. The third one takes into account the conclusions and results of the works, pointing out the different ways in which the topic of inequalities are approached, the nature of mistakes, the methodological aspects of teaching, and the reflective questions. In this stage, because of the amount of information, we used the software NVIVO 09. At the end, we create and analized 44 categories and subcategories. In the works prevail the mistake accounting, the ways in which students solve and interpret inequalities, field researches, and linear and quadratic inequalities. The researches are disseminated in all of the continents and it still is a topic that worries the researchers community. Thus, we claim that research about teaching and learning inequalities could and should be widen and deepen by the community of researchers on mathematics education / Esta investigação é de caráter bibliográfico e tem como desafio principal mapear e refletir sobre a produção acadêmica que trata do ensino e da aprendizagem de inequações. A quantidade de pós-graduações e de eventos em educação matemática e a acessibilidade aos vários meios de comunicação favorecem o aumento de pesquisas que podem não ser conhecidas, e, consequentemente, perde-se a noção e a extensão das colaborações não só para a melhoria do ensino e da aprendizagem matemática, mas também para a consolidação dessa área. Aliado a esse contexto, o conceito de inequação oferece oportunidade de estudar outros, como: propriedades dos números reais, conectivos lógicos, quantificadores, ordenação de números, equivalências e transformações algébricas. Da mesma forma, é um conceito cujo estudo se inicia no ensino fundamental e pode estender-se à pós-graduação aos que optam por uma carreira em ciências exatas. Na concatenação dessas visões, nasce este trabalho. Para enfrentar o desafio, empregam-se tanto recursos da Análise de Conteúdo quanto métodos mistos de análise dos dados coletados. O mapeamento é realizado por meio de dados computadorizados, CD-ROM de eventos nacionais e internacionais, periódicos e trabalhos impressos, obtidos em bibliotecas, além de contatos diretos com alguns autores. Com o intuito de relacionar ou enlaçar várias características, especialmente ideias emitidas pelos trabalhos inventariados e elaborar linhas gerais para o plano de investigação, organizam-se os dados em três tabelas por meio de categorias a priori e emergentes. Os resultados apontados pela primeira tabela, formada dos dados bibliográficos, indica o movimento, o tempo, o espaço, os autores. Mediante tais dados e, principalmente, pelos títulos, reflete-se sobre, por exemplo, a gênese do tema, os enfoques, as metodologias de pesquisa, os referenciais teóricos adotados, os tipos de inequações mais utilizados para a coleta de dados e o nível escolar dos participantes das coletas. A segunda tabela, constituída das leituras dos trabalhos e, em particular, de alguns resumos, permite aprofundar os resultados da primeira e conhecer os objetivos das publicações, os referenciais teóricos educacionais e matemáticos, as metodologias de pesquisa e de campo. A terceira tabela aponta as conclusões e os resultados dos trabalhos, indicando as formas de abordagens às inequações, a natureza dos erros, os aspectos metodológicos de ensino e as questões reflexivas e investigativas. Nessa etapa, em razão do montante de informações, usa-se o software NVIVO 09. Ao final, são criadas e analisadas 44 categorias e subcategorias. Prevalece nas publicações o enfoque nos erros, na maneira de o estudante resolver e interpretar as inequações, a pesquisa de campo, as inequações quadráticas e lineares. As investigações estão disseminadas em todos os continentes, e este continua a ser um tema que inquieta a comunidade de pesquisadores. Assim, afirma-se que investigações sobre o ensino e a aprendizagem de inequações podem e devem ser ampliadas e aprofundadas pela comunidade de pesquisadores de educação matemática

Submitted by Marcos Samuel (msamjunior@gmail.com) on 2017-06-02T14:00:31Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - José Roberto.pdf: 2019621 bytes, checksum: bd0e80b8c1a9575a30ffdb71186ab3a9 (MD5) / Approved for entry into archive by Vanessa Reis (vanessa.jamile@ufba.br) on 2017-06-08T11:18:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - José Roberto.pdf: 2019621 bytes, checksum: bd0e80b8c1a9575a30ffdb71186ab3a9 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-08T11:18:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação - José Roberto.pdf: 2019621 bytes, checksum: bd0e80b8c1a9575a30ffdb71186ab3a9 (MD5) / Tendo em vista que um conceito matemático possui várias formas de representação e a fim de contribuir para o ensino dos sistemas de equações e inequações lineares no ensino médio, nesta dissertação, abordaremos os sistemas lineares de modo a considerar seu significado geométrico. Tal abordagem é feita por meio de uma breve apresentação sobre geometria analítica no plano e no espaço, vetores no plano e no espaço, matrizes, determinantes, regra de Cramer e o método do escalonamento. Nos limitaremos a dimensão dois e três para permitir o uso da intuição geométrica de forma acessível aos educandos da educação básica.

PAULA, A. R. Controle tolerante a falhas aplicado ao modelo de um robô móvel com restrições não holonômicas. 2017. 95 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica)-Centro de Tecnologia, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Hohana Sanders (hohanasanders@hotmail.com) on 2017-10-06T18:14:13Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_arpaula.pdf: 1761285 bytes, checksum: acdb39ee7e0e6d99976283a94c1d4abe (MD5) / Approved for entry into archive by Marlene Sousa (mmarlene@ufc.br) on 2017-11-03T16:41:51Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_arpaula.pdf: 1761285 bytes, checksum: acdb39ee7e0e6d99976283a94c1d4abe (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-03T16:41:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_arpaula.pdf: 1761285 bytes, checksum: acdb39ee7e0e6d99976283a94c1d4abe (MD5) Previous issue date: 2017-07-31 / This work presents the theory and simulation of a model-based Fault Tolerant Control (FTC) strategy for a mobile robot with nonholonomic constraints. The control system consists of a controller whose gain is designed by Linear Matrix Inequalities (LMI) applied to track the robot's linear and angular velocity references. The model used for the robot is Linear Parameter-Varying (LPV) where an LPV observer is also designed by LMI for feedback control purpose. The presented FTC technique is capable of identifying and isolate either multiple faults, simultaneous or non-simultaneous, at the actuators or sensors. The fault identification process applies a Recursive Kalman Filter for each plant component, whether it is an actuator or sensor, in order to identify and isolate the fault. These faults are predicted in a state-space model and introduced in an additive or multiplicative way. LPV virtual actuators and sensors act in the fault correction, which spares the need of the real-time redesign of the controller. Simulation results showcase and validate the presented theory for the FTC strategy including discussion of the pros and cons of its application. / Este trabalho apresenta o estudo teórico e as simulações de uma estratégia de Controle Tolerante a Falhas (FTC, do inglês Fault Tolerant Control) baseada em modelo para um robô móvel com restrições não holonômicas. Essa estratégia de controle é capaz de manter a operação do sistema em malha fechada mesmo sob a influência de falhas nos atuadores e sensores. As falhas são desvios do funcionamento adequado do componente e são classificadas como multiplicativas ou aditivas. O sistema de controle consiste em um controlador com ganho projetado por Inequações Matriciais Lineares (LMI, do inglês Linear Matrix Inequalities) aplicado para o seguimento das referências de velocidade linear e angular do modelo de um robô móvel sobre duas rodas ativas. A dinâmica do robô é descrita por um modelo do tipo Linear com Parâmetros Variantes (LPV), para o qual um observador LPV também é projetado por LMI para o fechamento da malha de controle. A técnica FTC utilizada é capaz de identificar e isolar múltiplas falhas, simultâneas ou não, nos atuadores e sensores do sistema. O processo de identificação de falhas utiliza um Filtro de Kalman Recursivo para estimar a magnitude da falha em cada componente da planta, sendo ele um atuador ou um sensor. A correção das falhas é realizada por meio de atuadores e sensores virtuais LPV, dispensando assim a necessidade de reprojetar o controlador. O resultados de simulação computacionais validam a teoria apresentada pela técnica FTC evidenciando as vantagens e as desvantagens da sua aplicação.

Nesta tese apresentamos duas estratégias para resolver o problema de job-shop flexível com o objetivo de minimizar o makespan. A primeira estratégia utiliza um algoritmo branch and cut (B&C) e a segunda abordagens matheuristics. O algoritmo B&C utiliza novas classes de inequações válidas, originalmente formulada para o problema de job-shop e estendida para o problema em questão. Para que as inequações válidas sejam eficientes, o modelo proposto por Birgin et al, (2014) (A milp model for an extended version of the fexible job shop problem. Optimization Letters, Springer, v. 8, n. 4, 1417-1431), é reformulado (MILP-2). A segunda estratégia utiliza as matheuristcs local branching e diversification, refining and tight-refining. Os experimentos computacionais mostraram que a inclusão dos planos de corte melhoram a relaxação do modelo MILP-2 e a qualidade das soluções. O algoritmo B&C reduziu o gap e o número de nós explorados para uma grande quantidade de instâncias. As abordagens matheuristics tiveram um excelente desempenho. Do total de 59 instâncias analisadas, somente em 3 problemas a resolução do modelo MILP-1 obteve melhores resultados do que as abordagens matheuristcs / This thesis proposes two approaches to solve the flexible job-shop scheduling problem to minimize the makespan. The first strategy uses a branch and cut algorithm (B&C) and the second approach is based on matheuristics. The B&C algorithm uses new classes of valid inequalities, originally formulated for job-shop scheduling problems and extended to the problem at hand. The second approach uses the matheuristics local branching and diversification, refining and tight-refining. For all valid inequalities to be effective, the precedence variable based model proposed by Birgin et al, (2014) (A milp model for an extended version of the fexible job shop problem. Optimization Letters, Springer, v. 8, n. 4, 1417-1431), is reformulated (MILP-2). The computational experiments showed that the inclusion of cutting planes tightened the linear programming relaxations and improved the quality of solutions. B&C algorithm reduced the gap value and the number of nodes explored in a large number of instances. The matheuristics approaches had an excellent performance. From 59 instances analized, MILP-1-Gurobi showed better results than matheuristics approaches in only 3 problems

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Margarete da Silva Hungria Castro Clara.pdf: 899637 bytes, checksum: fa701b524dc6d22f8ca77176bbb86c8f (MD5) Previous issue date: 2007-05-22 / This qualitative research was applied to students of 2nd year of high school in a Public School (Osasco-SP), with the goal to investigate procedures used by students in order to solve problems which involved inequality or logarithmic inequation. In order to reach this goal, we elaborated and selected problems which challenged in the students an investigative attitude. These problems would be solved outside class. We used as reference theorist, the notions of Dialectics Tool-Object and interaction among dominations of the French searcher Reginé Douady (1994).To the analyses of the results, beyond the students protocols, we resorted to the didactic book, used by the students and the information collected in an interview with a teacher who worked with these students in the previous year. From this analyses, it was evidenced that the most used tool was the equality, and algebraic domination was the most explored by the students. We watched the interaction among dominations occurred spontaneously in the resolution of problems. The most frequent mistakes were: Incorrect notion of logarithm definition and the Incorrect use of potency concept . To us the appointed results in our research tell much the teaching and apprenticeship process lived by this group of students. This way we consider it is necessary more investment to the construction of concept and relative properties to potency and logarithms / Essa pesquisa qualitativa foi aplicada em alunos do 2º ano do Ensino Médio de uma escola pública estadual (Osasco SP), com o objetivo de investigar procedimentos utilizados por alunos na resolução de problemas que envolvessem desigualdade ou inequações logarítmicas. A fim de se atingir esse objetivo, elaboramos e selecionamos problemas que provocassem nos alunos atitude investigativa. Estes problemas seriam resolvidos em encontros extraclasse. Utilizamos como referencial teórico, as noções da Dialética Ferramenta-Objeto e Interação entre Domínios da pesquisadora francesa Règine Douady (1984). Analisando os protocolos dos alunos, recorremos ao livro didático utilizado pelos alunos, e as informações coletadas em entrevista com uma professora que trabalhou com estes alunos na série anterior. Dessa análise, ficou evidenciado que a ferramenta mais utilizada foi a noção de igualdade. O domínio algébrico foi o mais explorado pelos alunos. Observamos que a interação entre domínios ocorreu espontaneamente na resolução dos problemas. Os erros mais freqüentes foram: Noção incorreta da definição de logaritmo e Uso incorreto do conceito de potência . Ao nosso ver os resultados apontados em nossa pesquisa dizem muito do processo ensino e aprendizagem vivenciado por esse grupo de alunos. Desse modo consideramos necessário mais investimento para a construção do conceito e propriedades relativas às potências e logaritmos

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Regina Aparecida Xavier Gomes Dias.pdf: 3026191 bytes, checksum: e9346574b49bcad611a0d36af888c204 (MD5) Previous issue date: 2014-09-10 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / It is about study of mint qualitative aspect had as purpose to analyze how teachers of Public School develop the theme inequality and inequation with students of eighth grade from Fundamental Teaching and/or first High School .Our subjects of search were five teachers who teach in Carapicuíba City, situated in Metropolitan São Paulo Region. Our instrument of search was composed by seventeen questions of didatic character and also specific content which brought analyse how teachers develop inequations and what difficulties they show in the moment of resolution,which kind of representation is prioritized by them. We used as theoricreferencial Raymond Duval that treats semioptic representation of teachers'notes searching to facilitate the conceptual apprehension of the Mathematics object. We analyzed teachers'notes and we turned to an interview with two of the five teachers searched to bring subsidies those helped us to improve their notes. From this study were showed up some errors demonstrated by teachers at the moment of the resolution of the proposed exercises in the searching's instruments. We also observed that the most of teachers who were searched do not prioritize the graphic resolution representation, neither in table prioritizing only algebraic representation at the moment of resolution of inequations they make only one kind of register of semiotiptic representation. The teachers' book used by them supplied by Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, prioritizes only algebraic resolution do not encourage the changing to semioptic representation . As this way we have considered the necessity of more investimentsin teachers' training and different kinds of semioptic representation of Mathematics object inequation both in training courses of teachers (initial and continued) and also them didactic material to be adopted / Trata-se de um estudo de cunho qualitativo que teve como objetivo analisar de que modo os professores da Rede Pública Estadual desenvolvem o tema desigualdade e inequações com alunos do 8ºano do Ensino Fundamental e ou 1º Ano do Ensino Médio. Os sujeitos de pesquisa foram cinco professores que lecionam na cidade de Carapicuíba, situada na Região Metropolitana de São Paulo. O instrumento de pesquisa foi composto de 17 questões de caráter didático e também de conteúdo específico que buscou conhecer como os sujeitos do estudo desenvolvem o tema inequações, quais dificuldades apresentam e qual o tipo de representação semiótica priorizam no momento da resolução do objeto em estudo. Como referencial teórico, utilizou-se a teoria de Raymond Duval que trata dos registros de Representação Semiótica, que coordenam os diversos tipos de registros de representações, buscando facilitar a apreensão conceitual de um objeto matemático. O estudo de caso foi a metodologia empregada na realização das análises. Nesta análise ficaram evidentes alguns erros apresentados pelos professores no momento de resolução dos exercícios propostos no instrumento de pesquisa. Observou-se também que todos os professores pesquisados, ao resolverem os exercícios propostos, usaram apenas um tipo de representação semiótica. O Caderno do Professor, material utilizado pelos mesmos, fornecido pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, para o ensino de desigualdades e inequações, também emprega em sua problemática somente a resolução algébrica, não incentiva a mudança para outros tipos de representação semiótica. Desse modo, são considerados necessários mais investimentos em capacitações para professores e a diversificação de tipos de representação semiótica na apresentação da problemática do objeto matemático inequação tanto em cursos de formações de professores (inicial e continuada) e, também, nos materiais didáticos a serem adotados

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:41Z (GMT). No. of bitstreams: 1 GersonFontalva.pdf: 1096885 bytes, checksum: fc983aa2d9ab8b37b6fab5b95506ce2c (MD5) Previous issue date: 2006-05-03 / Essa pesquisa diagnóstica foi aplicada a alunos do 3º ano do Ensino Médio de uma escola técnica estadual localizada em São Bernardo do Campo. Visamos investigar as seguintes questões: (1) De quais recursos esses estudantes lançam mão na resolução de inequações? Quais domínios fazem interagir? (2) Que justificativas fornecem para as diversas etapas na resolução de inequações? (3) Nessas justificativas, explicitam ferramentas tais como conceitos e propriedades ou explicitam apenas termos relativos a técnicas de resolução de inequações? (4) Quais tipos de erros apresentam? Quais são os erros mais freqüentes? Para tanto elaboramos um instrumento de diagnose inspirado no trabalho de Gallo e Battú (2000), entrevistamos o professor de matemática desses alunos nas séries anteriores, consultamos o livro didático adotado por ele e o plano de trabalho docente da instituição. Esse instrumento, com inequações polinomiais do 1º, 2º e 3º graus na forma fatorada e algumas inequações racionais, a serem resolvidas pelos alunos, foi aplicado através da técnica de pesquisa denominada thinking aloud . Para a análise dos resultados, utilizamos como referencial teórico a interação entre domínios de Douady (1986) e a categorização de técnicas devida a Assude (2000). Estabelecemos também relações entre os tipos de erros em inequações dados por Tsamir, Almog e Tirosh (1998) e os encontrados no presente diagnóstico. Em relação aos recursos empregados, verificamos maior tendência do emprego do domínio algébrico, sendo que observamos algumas interações entre domínios, dependendo da inequação proposta. Houve forte tendência do emprego de técnicas de resolução em vez de conceitos e propriedades matemáticas nas resoluções. A maior parte das justificativas se referiu a técnica algébrica, mesmo nos casos onde seu uso era inviável. Verificamos que os tipos de erros também dependem do tipo de inequação proposta, sendo que os mais freqüentes foram: Conexões sem sentido com raízes quadradas , Multiplicar ou dividir por fatores que não são necessariamente positivos e Dedução incorreta de sinais de fatores a partir do sinal do produto ou quociente . É provável que esse quadro seja decorrente do processo ensino-aprendizagem das inequações, o qual julgamos ter privilegiado técnicas em vez de conceitos e propriedades matemáticas. Palavras-chave: inequações, desigualdades, Álgebra, Ensino Médio

Made available in DSpace on 2018-06-27T19:13:43Z (GMT). No. of bitstreams: 3 Angelita Uberti.pdf: 4207045 bytes, checksum: a933ebcf05dcef1f1594171104a8a987 (MD5) Angelita Uberti.pdf.txt: 175519 bytes, checksum: 2a62f8be4bf73630607deee70604ea3c (MD5) Angelita Uberti.pdf.jpg: 3686 bytes, checksum: 30937d2357d8627518b644cbd234f832 (MD5) Previous issue date: 2011-04-15 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This research investigated the use of games as a resource for the teaching and learning of equations, systems of equations and inequalities of first degree. The work was developed with a group of 6th grade of elementary school, in a public school upstate Rio Grande do Sul. From the literature review based on research about games and algebra, as well as the analysis of textbooks used in elementary school for the teaching of equations, systems of equations and inequalities, games were built up, applied to 24 students at grade 6º of elementary school. The research is qualitative in nature and were employed, as instruments, a pre-test and notes of observations in a diary. Application of each of the games were analyzed and it was noticeable that there was better understanding about the content involved in the games. It is considered that the experience can be reapplied in other classes and then we elaborated a set of activities, in which games are presented, as well as suggestions for teachers. This set of activities is the product resulting from the dissertation. / Nesta pesquisa, investigou-se o uso de jogos como recurso para o ensino e a aprendizagem de equações, sistemas de equações e inequações de 1º grau. O trabalho desenvolveu-se com uma turma de 6º série do Ensino Fundamental, de uma escola municipal do interior do Rio Grande do Sul. A partir de revisão de literatura baseada em autores que trabalharam com jogos e com álgebra, bem como da análise de livros didáticos usados no Ensino Fundamental para o ensino de equações, sistemas de equações e inequações, construíram-se jogos, que foram aplicados a 24 alunos de uma 6ª série. A pesquisa é de caráter qualitativo e nela empregaram-se, como instrumentos, um pré-teste e anotações de observações em um diário de campo. Analisou-se a aplicação de cada um dos jogos e foi possível notar que houve melhor compreensão, por parte dos estudantes, sobre os conteúdos envolvidos. Considera-se que a experiência pode ser reaplicada em outras turmas e, para isso, elaborou-se um conjunto de atividades, em que são apresentados os jogos e sugestões para os professores. Este conjunto de atividades é o produto resultante da dissertação.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:56:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Adriana Clara Hamazaki.pdf: 5421733 bytes, checksum: 2dfd60f522a9e810721309d9ba50793d (MD5) Previous issue date: 2010-10-29 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / For this investigation, an analysis was conducted of the learning situation involving logarithmic equations and inequations proposed in the 2009 edition of the Teacher s Book for the third term of the first grade of high school (10th grade) in the state of São Paulo, Brazil. The primary theoretical framework consisted of studies by Fiorentini, Miorim, and Miguel (1993) and Fiorentini, Fernandes, and Cristóvão (2005) on aspects of algebraic thinking, Ursini et al. (2005) on variables, Ribeiro (2007) on the multimeanings of equations, and Figueiredo (2007) on difficulties in elementary Algebra. The investigation sought to answer the following research question: What aspects of the algebraic thinking related to logarithmic equations and inequations emerge from the analysis of the Teacher s Book for the third term of the first year of high school? A qualitative analysis of documents using the content analysis method based on Laville and Dionne (1999) was applied to the solutions proposed in the Teacher's Book for exercises comprising the so-called Learning Situation 4. These exercises were found to elicit ten out of thirteen characterizers of algebraic thinking, facilitating the development of this type of reasoning / Nesta pesquisa empreendeu-se uma análise da situação de aprendizagem sobre equações e inequações logarítmicas apresentada no Caderno do Professor de 2009 referente ao terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Nessa análise adotaram-se como referenciais teóricos principais os estudos de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) e de Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) sobre aspectos do pensamento algébrico, de Ursini et al. (2005) acerca de variáveis, de Ribeiro (2007) sobre os multissignificados de equações e de Figueiredo (2007) sobre dificuldades em Álgebra elementar. Buscou-se responder à seguinte questão de pesquisa: Que aspectos do pensamento algébrico emergem na análise do Caderno do Professor do terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino Médio sobre equações e inequações logarítmicas? Empreendeu-se uma análise documental com abordagem qualitativa utilizando o método de análise de conteúdo com base em Laville e Dionne (1999) das resoluções dos exercícios exemplares pertinentes à Situação de Aprendizagem 4, propostas no Caderno do Professor. Constatou-se que os exercícios exemplares da Situação de Aprendizagem 4 favorecem a presença de dez dos treze caracterizadores do pensamento algébrico, propiciando que esse pensamento se desenvolva

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Em 1951, H. Hopf publicou em um prestigiado artigo um famoso resultado: Seja M uma superfície compacta de gênero zero imersa no espaço Euclidiano de dimensão três com curvatura média constante. Então M é isométrica à esfera redonda. Neste trabalho descreveremos detalhadamente do ponto de vista matemático uma generalização do resultado obtido por H. Hopf, a qual será publicada na revista Communication in Analysis and Geometry em 2007, cujos autores são Hilário Alencar, Manfredo Perdigão do Carmo e Renato Tribuzy. Neste artigo, os pesquisadores classificaram as superfíıcies compactas de gênero zero imersas na variedade produto: superfícies com curvatura Gaussiana constante cartesiano o espaço Euclidiano de dimensão um e cuja diferencial da curvatura média satisfaz uma certa desigualdade envolvendo uma forma quadrátrica. Além disso, estudaremos uma extensão da classificação anterior no caso em que as superfícies estão imersas numa variedade Riemanniana simplesmente conexa, homogênea com um grupo de isometrias de dimensão quatro. Tais resultados foram obtidos recentemente por Hilário Alencar, Isabel Fernández, Manfredo Perdigão do Carmo e Renato Tribuzy. Nas demonstrações destes teoremas foram usadas técnicas de Análise Complexa, fatos de Topologia e uma generalização do Teorema de H. Hopf obtida por Abresch e Rosenberg, publicado em Acta Mathematica em 2004.