Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung von statistischen Eigenschaften der ungeordneten Metallen im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung. Betrachtet wird ein Elektron auf einem Gitter mit "Nächste-Nachbarn-Hüpfen" und zufälligen potentiellen Gitterplatzenergien. Wegen der Zufälligkeit zeigen die Elektroneigenschaften, zum Beispiel die Eigenenergien und -zustände, irreguläre Fluktuationen, deren Statistik von der Amplitude der Potentialenergie abhängt. Mit steigender Amplitude wird das Elektron immer mehr lokalisiert, was schliesslich zum Metall-Isolator-Übergang führt. In dieser Arbeit wird die Statistik insbesondere im metallischen Bereich untersucht, und dadurch der Einfluss der Lokalisierung an den Eigenschaften des Systems betrachtet. Zuerst wird die Statistik der Matrixelemente des Dipoloperators untersucht. Die numerischen Ergebnisse für das Anderson-Modell werden mit Vorhersagen der semiklassischen Näherung verglichen. Dann wird der spektrale Strukturfaktor betrachtet, der als Fourier-Transformation der zwei-Punkt Zustandsdichtekorrelationsfunktion definiert wird. Dabei werden besonders die nichtuniversellen Abweichungen von den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie untersucht. Die Abweichungen werden numerisch ermittelt, und danach mit den analytischen Vorhersagen verglichen. Die Statistik der Wellenfunktionen zeigt ebenfalls Abweichungen von der Zufallsmatrixtheorie. Die Abweichungen sind am größten für Statistik der großen Wellenfunktionsamplituden, die sogenannte seltene Ereignisse darstellen. Die analytischen Vorhersagen für diese Statistik sind teilweise widersprüchlich, und deshalb ist es interessant, sie auch numerisch zu untersuchen.

In the last decade, a large number of studies have been devoted to the peculiarities of correlated physics found in the quasi-two-dimensional square lattice iridium oxides. It was shown that this 5d family of transition metal oxides has strong structural and electronic similarities to the famous 3d family of copper oxides. Moreover, a delicate interplay of on-site spin-orbit coupling, Coulomb repulsion and crystalline electric field interactions is expected to drive various exotic quantum states. Many theoretical proposals were made in the last decade including the prediction of possible superconductivity in square-lattice iridates emerging as a sister system to high-Tc cuprates, which however met only limited experimental confirmation. One can, therefore, raise a general question: To what extent is the low-energy physics of the quasi-two-dimensional square-lattice iridium oxides different from other transition metal oxides including cuprates? In this thesis we investigate some of the effects which are usually neglected in studies on iridates, focusing on quasi-two-dimensional square-lattice iridates such as Sr2IrO4 or Ba2IrO4. In particular, we discuss the role of the electron-phonon coupling in the form of Jahn-Teller interaction, electron-hole asymmetry introduced by the strong correlations and some effects of coupling scheme chosen to calculate multiplet structure for materials with strong on-site spin-orbit coupling. Thus, firstly, we study the role of phonons, which is almost always neglected in Sr2IrO4, and discuss the manifestation of Jahn-Teller effect in the recent data obtained on Sr2IrO4 with the help of resonant inelastic x-ray scattering. When strong spin-orbit coupling removes orbital degeneracy, it would at the same time appear to render the Jahn-Teller mechanism ineffective. We show that, while the Jahn-Teller effect does indeed not affect the antiferromagnetically ordered ground state, it leads to distinctive signatures in the spin-orbit exciton. Second, we focus on charge excitations and determine the motion of a charge (hole or electron) added to the Mott insulating, antiferromagnetic ground-state of square-lattice iridates. We show that correlation effects, calculated within the self-consistent Born approximation, render the hole and electron case very different. An added electron forms a spin-polaron, which closely resembles the well-known cuprates, but the situation of a removed electron is far more complex. Many-body configurations form that can be either singlets and triplets, which strongly affects the hole motion. This not only has important ramifications for the interpretation of angle-resolved photoemission spectroscopy and inverse photoemission spectroscopy experiments of square lattice iridates, but also demonstrates that the correlation physics in electron- and hole-doped iridates is fundamentally different. We then discuss the application of this model to the calculation of scanning tunneling spectroscopy data. We show that using scanning tunneling spectroscopy one can directly probe the quasiparticle excitations in Sr2IrO4: ladder spectrum on the positive bias side and multiplet structure of the polaron on the negative bias side. We discuss in detail the ladder spectrum and show its relevance for Sr2IrO4 which is in general described by more complicated extended t-J -like model. Theoretical calculation reveals that on the negative bias side the internal degree of freedom of the charge excitation introduces strong dispersive hopping channels encaving ladder-like features. Finally, we discuss how the choice of the coupling scheme to calculate multiplet structure can affect the theoretical calculation of angle-resolved photoemission spectroscopy and scanning tunnelling spectroscopy spectral functions.

This thesis investigates the extension of the well-known canonical correlation analysis for random elements on abstract real measurable Hilbert spaces. One focus is on the application of this extension to the calculation of information-theoretical quantities on finite time intervals. Analytical approaches for the calculation of the mutual information and the information density between Gaussian distributed random elements on arbitrary real measurable Hilbert spaces are derived. With respect to mutual information, the results obtained are comparable to [4] and [1] (Baker, 1970, 1978). They can also be seen as a generalization of earlier findings in [20] (Gelfand and Yaglom, 1958). In addition, some of the derived equations for calculating the information density, its characteristic function and its n-th central moments extend results from [45] and [44] (Pinsker, 1963, 1964). Furthermore, explicit examples for the calculation of the mutual information, the characteristic function of the information density as well as the n-th central moments of the information density for the important special case of an additive Gaussian channel with Gaussian distributed input signal with rational spectral density are elaborated, on the one hand for white Gaussian noise and on the other hand for Gaussian noise with rational spectral density. These results extend the corresponding concrete examples for the calculation of the mutual information from [20] (Gelfand and Yaglom, 1958) as well as [28] and [29] (Huang and Johnson, 1963, 1962).:Kurzfassung Abstract Notations Abbreviations 1 Introduction 1.1 Software Used 2 Mathematical Background 2.1 Basic Notions of Measure and Probability Theory 2.1.1 Characteristic Functions 2.2 Stochastic Processes 2.2.1 The Consistency Theorem of Daniell and Kolmogorov 2.2.2 Second Order Random Processes 2.3 Some Properties of Fourier Transforms 2.4 Some Basic Inequalities 2.5 Some Fundamentals in Functional Analysis 2.5.1 Hilbert Spaces 2.5.2 Linear Operators on Hilbert Spaces 2.5.3 The Fréchet-Riesz Representation Theorem 2.5.4 Adjoint and Compact Operators 2.5.5 The Spectral Theorem for Compact Operators 3 Mutual Information and Information Density 3.1 Mutual Information 3.2 Information Density 4 Probability Measures on Hilbert Spaces 4.1 Measurable Hilbert Spaces 4.2 The Characteristic Functional 4.3 Mean Value and Covariance Operator 4.4 Gaussian Probability Measures on Hilbert Spaces 4.5 The Product of Two Measurable Hilbert Spaces 4.5.1 The Product Measure 4.5.2 Cross-Covariance Operator 5 Canonical Correlation Analysis on Hilbert Spaces 5.1 The Hellinger Distance and the Theorem of Kakutani 5.2 Canonical Correlation Analysis on Hilbert Spaces 5.3 The Theorem of Hájek and Feldman 6 Mutual Information and Information Density Between Gaussian Measures 6.1 A General Formula for Mutual Information and Information Density for Gaussian Random Elements 6.2 Hadamard’s Factorization Theorem 6.3 Closed Form Expressions for Mutual Information and Related Quantities 6.4 The Discrete-Time Case 6.5 The Continuous-Time Case 6.6 Approximation Error 7 Additive Gaussian Channels 7.1 Abstract Channel Model and General Definitions 7.2 Explicit Expressions for Mutual Information and Related Quantities 7.2.1 Gaussian Random Elements as Input to an Additive Gaussian Channel 8 Continuous-Time Gaussian Channels 8.1 White Gaussian Channels 8.1.1 Two Simple Examples 8.1.2 Gaussian Input with Rational Spectral Density 8.1.3 A Method of Youla, Kadota and Slepian 8.2 Noise and Input Signal with Rational Spectral Density 8.2.1 Again a Method by Slepian and Kadota Bibliography / Diese Arbeit untersucht die Erweiterung der bekannten kanonischen Korrelationsanalyse (canonical correlation analysis) für Zufallselemente auf abstrakten reellen messbaren Hilberträumen. Ein Schwerpunkt liegt dabei auf der Anwendung dieser Erweiterung zur Berechnung informationstheoretischer Größen auf endlichen Zeitintervallen. Analytische Ansätze für die Berechnung der Transinformation und der Informationsdichte zwischen gaußverteilten Zufallselementen auf beliebigen reelen messbaren Hilberträumen werden hergeleitet. Bezüglich der Transinformation sind die gewonnenen Resultate vergleichbar zu [4] und [1] (Baker, 1970, 1978). Sie können auch als Verallgemeinerung früherer Erkenntnisse aus [20] (Gelfand und Yaglom, 1958) aufgefasst werden. Zusätzlich erweitern einige der hergeleiteten Formeln zur Berechnung der Informationsdichte, ihrer charakteristischen Funktion und ihrer n-ten zentralen Momente Ergebnisse aus [45] und [44] (Pinsker, 1963, 1964). Weiterhin werden explizite Beispiele für die Berechnung der Transinformation, der charakteristischen Funktion der Informationsdichte sowie der n-ten zentralen Momente der Informationsdichte für den wichtigen Spezialfall eines additiven Gaußkanals mit gaußverteiltem Eingangssignal mit rationaler Spektraldichte erarbeitet, einerseits für gaußsches weißes Rauschen und andererseits für gaußsches Rauschen mit einer rationalen Spektraldichte. Diese Ergebnisse erweitern die entsprechenden konkreten Beispiele zur Berechnung der Transinformation aus [20] (Gelfand und Yaglom, 1958) sowie [28] und [29] (Huang und Johnson, 1963, 1962).:Kurzfassung Abstract Notations Abbreviations 1 Introduction 1.1 Software Used 2 Mathematical Background 2.1 Basic Notions of Measure and Probability Theory 2.1.1 Characteristic Functions 2.2 Stochastic Processes 2.2.1 The Consistency Theorem of Daniell and Kolmogorov 2.2.2 Second Order Random Processes 2.3 Some Properties of Fourier Transforms 2.4 Some Basic Inequalities 2.5 Some Fundamentals in Functional Analysis 2.5.1 Hilbert Spaces 2.5.2 Linear Operators on Hilbert Spaces 2.5.3 The Fréchet-Riesz Representation Theorem 2.5.4 Adjoint and Compact Operators 2.5.5 The Spectral Theorem for Compact Operators 3 Mutual Information and Information Density 3.1 Mutual Information 3.2 Information Density 4 Probability Measures on Hilbert Spaces 4.1 Measurable Hilbert Spaces 4.2 The Characteristic Functional 4.3 Mean Value and Covariance Operator 4.4 Gaussian Probability Measures on Hilbert Spaces 4.5 The Product of Two Measurable Hilbert Spaces 4.5.1 The Product Measure 4.5.2 Cross-Covariance Operator 5 Canonical Correlation Analysis on Hilbert Spaces 5.1 The Hellinger Distance and the Theorem of Kakutani 5.2 Canonical Correlation Analysis on Hilbert Spaces 5.3 The Theorem of Hájek and Feldman 6 Mutual Information and Information Density Between Gaussian Measures 6.1 A General Formula for Mutual Information and Information Density for Gaussian Random Elements 6.2 Hadamard’s Factorization Theorem 6.3 Closed Form Expressions for Mutual Information and Related Quantities 6.4 The Discrete-Time Case 6.5 The Continuous-Time Case 6.6 Approximation Error 7 Additive Gaussian Channels 7.1 Abstract Channel Model and General Definitions 7.2 Explicit Expressions for Mutual Information and Related Quantities 7.2.1 Gaussian Random Elements as Input to an Additive Gaussian Channel 8 Continuous-Time Gaussian Channels 8.1 White Gaussian Channels 8.1.1 Two Simple Examples 8.1.2 Gaussian Input with Rational Spectral Density 8.1.3 A Method of Youla, Kadota and Slepian 8.2 Noise and Input Signal with Rational Spectral Density 8.2.1 Again a Method by Slepian and Kadota Bibliography

In the first two chapters we presented the basics of density functional theory and semiempirical LSD+U approximation, which was implemented in the full-potential local-orbital (FPLO) minimal-basis calculation scheme. In the third chapter we tested the implemented version of LSDA+U on 3d transitional metal monoxides. Essential improvement of the spectroscopic properties was obtained. A simple model describing the value and direction of the magnetic moment of a transition metal ion was presented. The model visualizes the interplay of the spin-orbit coupling and crystal field splitting. In the fourth chapter we calculated the electronic spectrum of the single Zn impurity in CuO2 plane considered as a vacancy in Cu 3d states. The analytic solution for the states of different symmetry was obtained. Depending on the strength of perturbation induced by the impurity on the neighboring Cu ions, the states are either resonant or localized. The critical values of the perturbation were computed. In the fifth chapter we presented the calculations for three novel vanadates: MgVO3, Sb2O2VO3 and VOMoO4. The tight-binding parameters and the exchange integrals were computed. The magnesium and antimony vanadates appeared to be spin-½ one-dimensional systems, the latter having much stronger one-dimensional character and being probably the best realization of inorganic spin-Peierls system. The molybdenum vanadate was found to be two-dimensional spin-½ system. The Mo 4d orbitals play an important role in the electronic transfer.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Mechanismen, die in Einzelzellmodellen zu einer frequenzabhängigen Informationsübertragung führen können. Um dies zu untersuchen, werden Methoden aus der theoretischen Physik (Statistische Physik) und der Informationstheorie angewandt. Die Informationsfilterung in mehreren stochastischen Neuronmodellen, in denen unterschiedliche Mechanismen zur Informationsfilterung führen können, werden numerisch und, falls möglich, analytisch untersucht. Die Bandbreite der betrachteten Modelle erstreckt sich von reduzierten strombasierten ’Integrate-and-Fire’ (IF) Modellen bis zu biophysikalisch realistischeren leitfähigkeitsbasierten Modellen. Anhand numerischer Untersuchungen wird aufgezeigt, dass viele Varianten der IF-Neuronenmodelle vorzugsweise Information über langsame Anteile eines zeitabhängigen Eingangssignals übertragen. Der einfachste Vertreter der oben genannten Klasse der IF-Neuronmodelle wird dahingehend erweitert, dass ein Konzept von neuronalem ’Gedächtnis’, vermittelst positiver Korrelationen zwischen benachbarten Intervallen aufeinander- folgender Spikes, integriert wird. Dieses Model erlaubt eine analytische störungstheoretische Untersuchung der Auswirkungen positiver Korrelationen auf die Informationsfilterung. Um zu untersuchen, wie sich sogenannte ’unterschwelligen Resonanzen’ auf die Signalübertragung auswirken, werden Neuronenmodelle mit verschiedenen Nichtlinearitäten anhand numerischer Computersimulationen analysiert. Abschließend wird die Signalübertragung in einem neuronalen Kaskadensystem, bestehend aus linearen und nichtlinearen Elementen, betrachtet. Neuronale Nichtlinearitäten bewirken eine gegenläufige Abhängigkeit (engl. "trade-off") zwischen qualitativer, d.h. frequenzselektiver, und quantitativer Informations-übertragung, welche in allen von mir untersuchten Modellen diskutiert wird. Diese Arbeit hebt die Gewichtigkeit von Nichtlinearitäten in der neuronalen Informationsfilterung hervor. / Neurons transmit information about time-dependent input signals via highly non-linear responses, so-called action potentials or spikes. This type of information transmission can be frequency-dependent and allows for preferences for certain stimulus components. A single neuron can transmit either slow components (low pass filter), fast components (high pass filter), or intermediate components (band pass filter) of a time-dependent input signal. Using methods developed in theoretical physics (statistical physics) within the framework of information theory, in this thesis, cell-intrinsic mechanisms are being investigated that can lead to frequency selectivity on the level of information transmission. Various stochastic single neuron models are examined numerically and, if tractable analytically. Ranging from simple spiking models to complex conductance-based models with and without nonlinearities, these models include integrator as well as resonator dynamics. First, spectral information filtering characteristics of different types of stochastic current-based integrator neuron models are being studied. Subsequently, the simple deterministic PIF model is being extended with a stochastic spiking rule, leading to positive correlations between successive interspike intervals (ISIs). Thereafter, models are being examined which show subthreshold resonances (so-called resonator models) and their effects on the spectral information filtering characteristics are being investigated. Finally, the spectral information filtering properties of stochastic linearnonlinear cascade neuron models are being researched by employing different static nonlinearities (SNLs). The trade-off between frequency-dependent signal transmission and the total amount of transmitted information will be demonstrated in all models and constitutes a direct consequence of the nonlinear formulation of the models.

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Zur Präparation von hochwertigen Heterostrukturen aus Übergangsmetallperowskiten wurde eine Anlage zur metallorganischen Aerosol-Deposition mit Wachstumskontrolle durch in-situ Ellipsometrie aufgebaut. Durch numerische Anpassung der in-situ Ellipsometrie kann man den beim Wachstum stattfindenden Transfer der $ e_{g} $-Elektronen zwischen unterschiedlich dotierten Perowskit-Manganaten erfassen. Im Verlauf des Wachstums von Übergittern aus $ \mathrm{LaMnO_{3}} $ (LMO) und $ \mathrm{SrMnO_{3}} $ (SMO) variiert die Längenskala, über die die $ e_{g} $-Elektronen delokalisieren, in einem Bereich von $ 0.4\, \mathrm{nm} $ bis $ 1.4 \, \mathrm{nm} $. Mit der neu eingeführten Atomlagenepitaxie (ALE) kann man die Chemie von Perowskit-Grenzflächen vollständig definieren. Am Beispiel von gestapelten $ \mathrm{SrO-SrTiO_{3}} $ (STO) Ruddlesden-Popper-Strukturen und LMO/SMO-Übergittern wird dieses Verfahren erprobt. Mit der in-situ Ellipsometrie kann man Defekte in der SrO-STO-Abfolge vorhersagen, die in anschließenden strukturellen Untersuchungen mit Transmissionselektronenmikroskopie (TEM) erkennbar sind. Außerdem lässt sich die Sr/Ti-Stöchiometrie mit einer Genauigkeit von $ 1.5\, \mathrm{\%} $ festlegen. In Bezug auf das Wachstum von LMO und SMO kann man über die in-situ Ellipsometrie Veränderungen der Mn-Valenzen erkennen und so auf ein zweidimensionales Wachstum jeder halben Perowskitlage schließen. Die in dieser Arbeit etablierte Depositionstechnologie erlaubt das systematische Studium der magnetischen Eigenschaften von Heterostrukturen aus verschieden dotierten Lanthan-Strontium-Manganaten ($ \mathrm{La_{1-x}Sr_{x}MnO_{3}} $ (LSMO(x)). Zunächst wird das magnetische Verhalten von Doppellagen aus dem ferromagnetischen LSMO(0.3) und verschiedenen antiferromagnetischen LSMO(x)-Lagen ($ x=0.6-1.0 $) untersucht. Für $ x>0.6 $ beobachtet man ein erhöhtes Koerzitivfeld und eine Verschiebung der Hysterese entlang der Feldachse (exchange bias (EB)). Als Funktion der Sr-Dotierung zeigen die durch das STO-Substrat verspannten LSMO(x)-Filme einen Übergang vom Antiferromagneten des G-Typs ($ x>0.95 $) zum Antiferromagneten des A-Typs ($ x \leq 0.95 $). Dieser Übergang wird von einer Halbierung der EB-Amplitude begleitet. Für LSMO(0.3)/SMO-Strukturen registriert man eine Abnahme der EB-Amplitude, wenn die epitaktischen Verzerrungen mit zunehmender Dicke der SMO-Lagen relaxieren. Bei Änderungen der tetragonalen Verzerrung der Manganat-Filme kommt es zu einer Modifikation der Balance zwischen den magnetischen Kopplungen in der Filmebene und senkrecht dazu. Dadurch verändern sich die Eigenheiten des Spin-Glases an der Grenzfläche und damit das magnetische Verhalten der Heterostruktur. LMO/SMO-Übergitter auf STO (001) zeigen eine zuvor noch nicht beobachtete Phänomenologie. Wenn die LMO/SMO-Bilagendicke $ \Lambda $ 8 Monolagen übersteigt, bemerkt man zwei separate ferromagnetische Signaturen. Die Tieftemperaturphase (LTP) hat eine Curie-Temperatur $ T_{C}^{L}=180\, \mathrm{K}-300 \, \mathrm{K} $, die mit $ \Lambda $ kontinuierlich abfällt, die Hochtemperaturphase (HTP) hat eine Curie-Temperatur $ T_{C}^{H}=345 \, \mathrm{K} \pm 10 \, \mathrm{K} $, die keine systematische Abhängigkeit von $ \Lambda $ besitzt. LTP und HTP sind magnetisch entkoppelt. Das Skalierungsverhalten des magnetischen Momentes der HTP mit der Bilagendicke und der Zahl von Wiederholungen der LMO/SMO-Einheit deutet auf einen Grenzflächencharakter der HTP. Außerdem besitzt die HTP eine große magnetische Anisotropieenergie, die Literaturwerte für dünne Manganatfilme um zwei Größenordnungen übersteigt. Beim Wachstum auf $ \mathrm{(La_{0.3}Sr_{0.7}) (Al_{0.65}Ta_{0.35})O_{3}} $ (LSAT), das eine kleinere Gitterkonstante als STO besitzt, verschwindet die HTP. Zur Erklärung der HTP stellt man ein Modell vor, bei dem die HTP an der chemisch scharfen SMO/LMO-Grenzfläche lokalisiert ist. Das STO-Substrat führt zu epitaktischen Zugspannungen, die die $ e_{g} $-Elektronen in den an den SMO/LMO-Grenzflächen befindlichen $ \mathrm{MnO_{2}} $-Lagen auf die $ d_{x^{2}−y^{2}} $-Orbitale zwingen. Dadurch ist der Austausch zu den in c-Richtung benachbarten $ \mathrm{MnO_{2}} $-Lagen sehr schwach und der magnetische Austausch findet vorwiegend in der Ebene statt. Durch den Ladungstransfer liegt in der $ \mathrm{MnO_{2}} $-Lage an der SMO/LMO-Grenzfläche ein $ \mathrm{Mn^{4+}} $-Anteil von $ x \approx 0.4 $ vor. Durch den Doppelaustausch bildet sich in dieser Ebene dann eine zweidimensionale ferromagnetische Phase, die die HTP darstellt.

Im Fokus dieser Diplomarbeit steht ein korreliertes Anderson Modell. Unser Modell beschreibt kurzreichweitige Einzelplatzpotentiale, wobei negative Korrelationen zugelassen werden. Für dieses korrelierte Modell wird mittels der fraktionalen Momentenmethode im Falle genügend großer Unordnung exponentieller Abfall der Greenschen Funktion bewiesen. Anschließend wird daraus für den nicht korrelierten Spezialfall Anderson Lokalisierung bewiesen. / This thesis (diploma) is devoted to a correlated Anderson model. Our model describes short range single site potentials, whereby negative correlations become certified. For this correlated model exponential decay of the Greens' function is proven in the case sufficient large disorder according to the fractional moment method. Subsequently, we prove Anderson localization for the not correlated special case.

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