Syftet med detta arbete är att undersöka hur lärare i F-3 uppfattar begreppet begränsat arbetsminne samt hur de uppfattar svårigheter och framgångsfaktorer hos elever med begränsat arbetsminne i arbete med addition. Undersökningen gjordes genom 8 kvalitativa intervjuer med lärare och speciallärare. Resultatet av undersökningen visade att svårigheterna som ofta uppsåtr är att eleverna får svårt att följa instruktioner, att de lätt tappar bort sig i additionsberäkningar samt att de har svårt att finna strategier. De stöd samt framgångsfaktorer som lärarna kunde finna hos elever med problematiken i arbete med addition var tydliga och korta instruktioner samt praktiskt och kooperativ lärande med samtal i fokus. Undersökningen visar på att det brister i vetskap kring begränsat arbetsminne hos en del lärare men att det är vanligt att ett begränsat arbetsminne är orsaken till matematiksvårigheter.

Studien undersöker hur matematiklärare i årskurs 3 arbetar med problemlösning i undervisningen och hur de använder återkoppling för att utveckla elevernas matematikkunskaper. Semistrukturerade intervjuer genomfördes där åtta lärare från tre olika skolor inom samma kommun deltog. Intervjuunderlaget utgick från en problemlösningsuppgift med två elevlösningar, en korrekt och en inkorrekt, där lärare fick föreslå återkoppling. Detta följdes upp med frågor om lärare såterkoppling. Analysen har skett utifrån Hattie och Timperleys modell för formativ återkoppling samt Lester och Cais tre kategorier för undervisning om, för eller genom problemlösning. Resultatet visar att vissa lärare tilldelar eleverna specifika strategier med förslag på tillvägagångssätt inför problemlösningsuppgiften. De anser att eleverna inte skulle kunna lösa problemet annars. Å andra sidan väljer vissa lärare att inte tilldela specifika strategier och menar att syftet med problemlösningen då går förlorat. Återkopplingen läraren gav till eleverna visade sig bara riktas mot de elever som löser problemet fel, medan de elever som löser problemet rätt inte får någon återkoppling. Vidare undervisar många av lärarna för problemlösning i stället för genom problemlösning, vilket innebär att eleverna lär sig begrepp och procedurer innan de löser problemet.

Denna studie har genomförts för att undersöka om och hur lärare i de lägre årskurserna arbetar med och lär ut problemlösning i matematik. Metoder som använts för att undersöka detta är enkät och intervju. Totalt har 16 lärare svarat på enkäten och 4 lärare har deltagit i en kvalitativ intervju. Resultatet redovisar att alla deltagande lärare arbetar aktivt med problemlösning i matematik. De använder olika arbetssätt, strategier och lösningsstrategier i sitt arbete med att undervisa i problemlösning.

Syftet med denna studie var att undersöka elevers användning av lösningsstrategier i subtraktion samt lärares och läromedlens framställning av dessa, för att kunna komma fram till hur en framgångsrik undervisning i subtraktion, med fokus på lösningsstrategier, kan se ut. Undersökningen genomfördes i tre klasser i åk 3. Metoder i studien var elevenkät, intervju med lärare och läromedelsgranskning. Data bearbetades med hjälp av en egenkonstruerad begreppsmodell utifrån olika lösningsstrategier. Resultatet visar på en större variation av lösningsstrategier i undervisningen än i elevernas uträkningar. Eleverna använder sig oftast av enbart en av lösningsstrategierna, så kallad ”talsortsvis beräkning”. Strategin leder till många fel i elevernas uträkningar. / The purpose of this study was to investigate how pupils use solution strategies for subtraction, and how those are presented by teachers and textbooks in order to find out how successful teaching in subtraction, with focus on solution strategies, might look. The study was carried out on three groups in the 3rd grade. The methods of this study consisted of a pupil survey, interviews with teachers and a review of textbooks. The data were processed using a self-constructed conceptual model based on different solution strategies. The results indicate a larger variation of solution strategies in the teaching than in the pupils´ calculations. The pupils typically use only one of the solution strategies, a so-called "number-splitting calculation". This strategy leads to many errors in the pupils' calculations.

Under lärarutbildningens verksamhetsförlagda utbildning har vi upplevt att räknesättet division varit svårbemästrat för eleverna. Därför har vi valt att genomföra en kvalitativ studie som undersöker elevers användning av lösningsstrategier och olika representationsformer, med ett specifikt fokus på innehållsoch delningsdivision. Lösningsstrategierna som vi önskade identifiera för studien var kort division, trappan, liggande stolen, förenkling samt förlängning. Vidare utgår studiens teoretiska ramverk från en tolkning av Lesh’s representationsmodell som inkluderar manipuleringar, skrivna symboler, bilder, omvärldssituationer samt talade symboler. Den metodologiska ansatsen har en grundkonstruktion utifrån en genomförd diagnos med en uppföljning av sex intervjuer där elevernas tillvägagångssätt och kunskaper har identifierats kring räknesättet division. Intervjuerna gav även oss en överblick för elevernas medvetenhet för innehålls- och delningsdivision. Resultatet redogör att eleverna som deltog i studien använde främst tre representationsformer när de löste uppgifterna i diagnosen. Vidare används enbart förenkling och förkortning som lösningsstrategier. Slutligen har det framkommit att eleverna bemöter division sist av de fyra räknesätten, samt att de inte fått innehålls- och delningsdivision förklarat för sig, vilket möjligtvis kan underlätta beräkningen av aritmetiska problem inom division.

Detta arbete utgår från det didaktiska problemområdet matematisk problemlösning i matematikundervisningen och riktar sig främst till verksamma lärare och lärarstuderande. Aktuella styrdokument betonar att problemlösning i matematikundervisningen är ett centralt innehåll och en förmåga som elever ska utveckla. Matematisk problemlösning ska som mål och medel stimulera utvecklingen av övriga matematikförmågor och det ömsesidiga samspelet mellan förmågorna och det centrala innehållet bidrar till en komplex och oftast en krävande lärandeprocess för elever och andra matematikstuderande. Genom kvalitativa och kvantitativa forskningsmetoder samt korresponderande analysmetoder syftar denna projektstudie till att undersöka huruvida matematisk problemlösning i grupp kan bidra till skapandet av olika lösningsstrategier. Med utgång i tidigare forskning och teoretiska ramverk har adekvata analysverktyg utarbetats i syfte att studera spåren av deltagargruppernas matematiska problemlösningsförmåga samt spåren av de kommunikativa processer som synliggörs då deltagarna arbetar med problembladen i grupp. Analys av det sammanställda resultatet från deltagargruppernas bidrag tyder på att framgångar i matematisk problemlösning i grupp tycks innebära att matematikbegreppen kommuniceras med flera olika uttrycksformer. Arbetet mynnar slutligen ut i förslag på tänkbara undersökningar som skulle kunna fungera som ett komplement till detta arbetes resultat och slutsatser. / This report is based on the didactic problem area mathematical problem solving in mathematics teaching and is targeted primarily at active teachers and teacher students.Current curriculum and syllabus emphasize that problem solving in mathematics teaching is a central content and an ability that students are to develop. As a goal and a means mathematical problem solving is to stimulate the development of other mathematical abilities and the mutual interaction between the abilities and the central content contributes to a complex and usually a demanding learning process for mathematics students. Through qualitative and quantitative research methods and corresponding analytical methods, this project study aims at investigating whether mathematical problem solving in groups can contribute to the creation of different solution strategies. Based on previous research and theoretical frameworks, adequate analysis tools have been developed to study the traces of the participants' mathematical problem solving abilities and the traces of the communicative processes that are visualized when the participants work with the problem sheets in groups.Analysis of the compiled result from the contribution of the participant groups indicates that successes in mathematical problem solving in groups seem to mean that mathematical concepts are communicated with several different forms of expressions. The report finally ends in proposals for possible studies that could serve as a complement to the results and conclusions of this report.

Syftet med detta examensarbete är ta reda på vilka definitioner som finns för intelligensbegreppet i den del som berör logik i matematik och i vilken mån den går att påverka. Resultatet visade att matematiklärarna som ingår i denna undersökning ansåg att intelligensbegreppet har sin plats i problemlösning i matematik och ansåg sig arbeta med att främja denna förmåga hos sina elever. Ett undersökningsformulär med fem sk rika matematiska problem gavs därför till deras elever. Resultatet visade att 68 % dvs ca 200 elever inte kunde finna en lämplig lösningsstrategi till ett enda problem som presenterades i formuläret. Parallellt genomfördes ett arbete inriktat på problemlösning i en grupp om 12 elever som får sin skolundervisning på Ungdomsalternativet. Efteråt fick även denna grupp besvara samma undersökningsformulär som den ovannämnda elevgruppen. Resultatet skilde sig avsevärt mellan grupperna. I den senare elevgruppen växte problemlösare fram. / Syftet med detta examensarbete är ta reda på vilka definitioner som finns för intelligensbegreppet i den del som berör logik i matematik och i vilken mån den går att påverka. Resultatet visade att matematiklärarna som ingår i denna undersökning ansåg att intelligensbegreppet har sin plats i problemlösning i matematik och ansåg sig arbeta med att främja denna förmåga hos sina elever. Ett undersökningsformulär med fem sk rika matematiska problem gavs därför till deras elever. Resultatet visade att 68 % dvs ca 200 elever inte kunde finna en lämplig lösningsstrategi till ett enda problem som presenterades i formuläret. Parallellt genomfördes ett arbete inriktat på problemlösning i en grupp om 12 elever som får sin skolundervisning på Ungdomsalternativet. Efteråt fick även denna grupp besvara samma undersökningsformulär som den ovannämnda elevgruppen. Resultatet skilde sig avsevärt mellan grupperna. I den senare elevgruppen växte problemlösare fram.

Syftet med denna studie är att undersöka vilka svårigheter som finns för lärande inom multiplikation i årskurs 3. För att besvara studiens syfte tillämpades en diagnos samt semistrukturerade intervjuer som metod. Diagnosen genomfördes i två klasser i årskurs 3 och två pedagoger intervjuades för vidare undersökning. För att tydliggöra hur olika räkneuppgifter samt svårigheter hänger samman med olika fenomen tillämpades variationsteorin. Med utgångspunkt i variationsteorin samt begreppen kontrast, separation, generalisering och fusion kategoriseras det insamlade materialet utifrån analysverktyget meningskoncentrering. Resultatet visar att eleverna har svårigheter med följande: upptäcka likheter kring ett lärandeobjekt, skapa förståelse för de enskilda kritiska aspekterna av lärandeobjektet, se skillnad mellan två värden samt att välja en lämplig strategi. Vad gäller pedagogernas uppfattningar och beskrivningar av elevernas lösningsstrategier lyfts följande aspekter fram: stress och slarvfel, bristande förmåga att hitta ett samband mellan multiplikation och addition, bristfällig läs- och begreppsförståelse samt svårigheter att tillämpa en fungerande strategi. För att främja elevernas utveckling inom multiplikation påvisar resultatet vikten av att pedagoger i sin framtida undervisning arbetar med konkret material, didaktiska verktyg såsom areaformen och tallinje, visualisering av multiplikation genom addition, begreppsförståelse och samtal i grupp för att utöka matematikspråket. / The purpose of this study is to investigate the difficulties that exist for learning in multiplication in year 3. To answer the purpose of the study, a diagnosis and semi-structured interviews were used as a method. The diagnosis was performed in two classes in year 3 and two educators were interviewed for further investigation. In order to clarify how different arithmetic tasks and difficulties are related to different phenomena, the theory of variation was applied. Based on the theory of variation and the concepts of contrast, separation, generalization and fusion, the collected material is categorized on the basis of the analysis tool meaning concentration. The results show that the students have difficulties with the following: discover similarities around a learning object, create an understanding of the individual critical aspects of the learning object, see the difference between two values and choose an appropriate strategy. Regarding the educators 'perceptions and descriptions of the students' solution strategies, the following aspects are highlighted: stress and carelessness, lack of ability to find a connection between multiplication and addition, inadequate reading and comprehension and difficulties in applying a working strategy. To promote students' development in multiplication, the results show the importance of educators in their future teaching working with concrete material, didactic tools such as area form and number line, visualization of multiplication through addition,concept understanding and group discussions to expand the language of mathematics.

Studien undersöker hur lärare för årskurs F-3 undervisar och ger återkoppling inom matematikundervisningen. För att undersöka detta användes semistrukturerade intervjuer med 8 lärare. Lärarna fick i början av intervjun ge återkoppling på två elevlösningar på ett matematiskt problem, en korrekt och en inkorrekt. När lärarna givit återkoppling på de båda elevlösningarna ställdes frågor för att komplettera materialet. Resultatet visar att några av lärarna väljer att tilldela strategier, medan majoriteten väljer att inte tilldela strategier eftersom de anser att syftet med problemlösning försvinner. Vidare visar resultatet att lärarna riktade sin återkoppling mot den felaktiga lösningen och gav därför förslag på framåtsyftande återkoppling. Återkopplingen till den korrekta elevlösningen handlade istället om att eleven löst uppgiften. Slutligen pratade majoriteten av lärarna om undervisning för problemlösning, vilket innebär att de lär ut procedurer och begrepp innan eleverna blir tilldelade problemlösningsuppgifter. / The study examines how teachers in years F-3 instruct and give feedback when teaching mathematics. To examine this, semi structured interviews was conducted with 8 teachers. In the beginning of the interview the teachers were asked to give feedback on two student-solutions to a mathematical problem, one correct and one incorrect. When the teachers had given their feedback on both of the student solutions, they were asked questions to complement the material. The result shows that some of the techers choose to assign strategies, while the majority chose not to since they believe the purpose of problem-solving would disappear. The result further shows that the teachers aimed their feedback towards the incorrect solution and suggested ways to improve in the future. The feedback aimed at the correct solution instead focused on the fact that it was correct. Finally, the majority of the teachers spoke about education for problem-solving, which means they teach procedures and concepts before giving the students problem-solving assignments. / <p>Matematikdidaktik</p>

Syftet med studien var att ta reda på vilka strategier elever väljer när de ska lösa ett matematiskt problem. Vi genomförde en observation och nio individuella intervjuer med elever i årskurs 3. De fick lösa ett matematiskt problem som observerades. Utifrån elevernas lösningar genomförde vi sedan intervjuer för att ta reda på vilka strategier de valt att använda för att lösa problemet. Resultatet av elevernas lösningar visade på flera olika lösningsstrategier. Dessa delades in i yttre och inre representationer. Strategier som bilder, grafiska framställningar och matematiska symboler (siffror) hör till de yttre representationerna, då de består av konkreta bilder som eleverna måste se framför sig på papper när de löser matematiska problem. Huvudräkning, automatiserad kunskap och ”tänkande” är samtliga strategier som tillhör de inre representationsformerna. Med inre representationer menar vi det som sker i huvudet, det eleverna inte behöver se framför sig för att kunna lösa problemet. Vi fann att elevlösningarna innehöll kombinationer av flera olika strategier. Vilken eller vilka strategier eleven än väljer till sin problemlösning är det oundvikligt att använda sig av någon form av inre representationsform, för att tänka måste alla göra oberoende av vilken lösningsstrategi som väljs och hur duktiga problemlösare eleverna än är. När eleverna är unga kan det vara svårt och ovant för dem att skriftligt redovisa hur lösningsprocessen gått till. Därför måste vi lärare ha tid att sätta oss in i hur eleven tänker för att kunna bygga vidare undervisningen utifrån den enskilde individens behov. / The purpose of the study was to discern which strategies pupils employ when they solve a mathematical problem. We carried through one observation and nine individual interviews with pupils in school year 3. They were asked to solve a mathematical problem, which was observed. On the basis of the pupils’ solutions, we carried out interviews in order to determine which strategies they chose to employ. The outcome of the pupils’ solutions showed several problem solving strategies. These were divided into external and internal representations. Strategies such as pictures, graphs and mathematical symbols (numerals) are external representations, as they consist of concrete pictures that the pupils must see in front of them on a paper when solving mathematical problems. Mental arithmetic, automated knowledge and “thinking” are all strategies that belong to internal modes of representation. With internal representations, we mean what happens inside our heads – what pupils need not see in front of them in order to solve a problem. We found that the pupils’ solutions contained combinations of several different strategies. Irrespective of which strategy or strategies the pupil choose in his or her problem solving, it is inevitable to use some variety of internal representations; everyone has to think, regardless of the strategy chosen and the problem solving skills of the pupil. When pupils are young, it may be difficult for them to present the flow of their problem solving processes in writing. Consequently, as teachers we must have time to familiarize ourselves with how the pupil thinks in order to develop our teaching on the basis of the needs of the individual pupil.