本論文的研究目的，主要是希望利用新奇選擇權（exotic option）來降低保本型基金的高風險投資部分的權利金，提升參與率，藉此吸引投資人。因為近年來保本型基金面臨最大的問題就是『市場波動度變大，造成衍生性商品的價格上升，侵蝕了保本率。』(Lee,2001)，因為波動度和商品價格具有正比的關係。再加入浮動利率之考量之後，求出更精確的封閉解，以及本文所提『雙邊連動』，提升商品吸引力。 在精算科學界，Esscher transform是一種沿用已久的工具。Gerber and Shiu (1994)闡述在某些假設下評價衍生性證券時，Esscher transform是一種有效率的方法。本論文延伸『Esscher transform』方法來求出商品評價的公式解。 本論文的主要貢獻就是引用Esscher transform（Gerber and Shiu,1994架構傳統機率測度轉換並且求出上(下)出局、上(下)生效等保本型指數連動商品的封閉解，並且加入一個新的概念，『雙邊連動』，作為整篇論文的主要貢獻。基於上述原因，本論文研究成果可以分為下面幾項： 1.以『Esscher transform』為本論文的評價模型，加以說明驗證。 2.設計出雙邊保本的保本型指數連動商品，並且找出封閉解以及探討此種商品的可行性及市場性。 3.利用電腦模擬求算評價公式的避險參數。求出多元常態累積機率分配函數，以期能夠解出多資產連動商品的理論價格。並且整理出上下限型的機率密度整理表。 在程式應用的方面，本論文利用了『Mathematica』求取避險參數，因而不必再費時的計算就可以求出正確的避險參數，及利用計量軟體『R』來求算多元常態累積機率分配函數，使本論文的多因子分析不在只是理論。

對一些退休基金或是壽險基金來說，因為它們的金額都相當龐大，進而影響的層面也相當廣泛；它們影響著金融市場的發展、有價證券的價格和市場的報酬。 所以，對現今市場投資在這樣長期資產的投資策略而言，以下我們要討論的議題將是非常重要。 以前的退休基金管理計畫是建立在單期的假設當中。根據目前所持有所有資產的部位、目前市場的狀況與對未來報酬的期望，基金管理人將尋求對下期的最適投資決策。傳統的方法都是用期望值-變異數方式(Mean-Variance approach)去極大化投資的報酬，以求取最適部位。但是單期的期望值-變異數方式(Mean-Variance approach)面對了二個問題： 一、 集合各個單期最適決策用多期的眼光來看不一定是最適。 二、 單期最適決策並不能同時處理投資面與集資面的問題。例如：退休基金同時間有每月的收入與每月的投資面。 不像單期的投資方式，使用多期的投資方法比較能符合這樣的投資問題與要求，也比較具有合理性。 投資在長期資產的部位與報酬率，最容易受到利率變動的影響。換句話說，利率變化是影響投資在長期性資產的最大變因。因此，我們將討論的問題：在利率是隨機變動時，以Vasicek (1977)的利率模型為主，加入投資人風險偏好的共同基金的分配原則。這樣的理論下，我們將利用風險中立的方法求出最適的投資組合，以滿足在長期投資觀點下避險與套利的需求。其中投資人的風險偏好是以Merton (1973)提出的常數相關風險偏好(Constant Relative Risk Aversion；CRRA)的效用函數去討論；在文章最後，我們將針對投資人的風險偏好做一些討論，包括：改變CRRA的參數、自然對數的效用函數(Logarithmic utility function)。 以往的研究都採用動態程式設計(Dynamic programming approach)的方法來解決這樣多期投資的問題，但是這樣的方法運用的計算相當複雜，也不一定求的出最適部位解；而利用Cox and Huang (1989)提出的風險中立方法(Martingale approach)將完全的解決以上遇到的問題。 / In this study, we investigate the dynamic mutual fund separation theorem applied to portfolio management for constant relative risk averse investors where, in particular, the interest rate risks are incorporated. Within this economy, the real interest rates and stock prices are assumed to follow the Markovian processes whose drifts and diffusion parameters are driven by certain state variables. Our approach involves the use of the martingale methodology developed by Cox and Huang (1989) as proposed in the work of Deelstra et al. (2003). Following their framework, we consider the economy of the investors that consists of cash, bond fund and stock indices. Adding to the previous works, we investigate the obtained optimal strategies through numerical examples in order to be compared to the allocations of popular advice and clarify the hedge and arbitrage demands in financial decision from long-term perspective. Finally, certain mutual funds are constructed to validate the validity of the popular advice.

有鑑於資產報酬常具有自我相關的特性，本文探討當標的資產報酬服從一階移動平均過程之選擇權（MA(1)-type option）評價。研究結果顯示，除了總變異因子（total volatility input）不同外，MA(1)-type option 的評價公式與 Black and Scholes 模型極為相似。而根據數值分析的結果，即使資產報酬間自我相關的程度薄弱，由一階移動平均過程產生之自我相關仍會對選擇權價值造成顯著影韾。 / This paper derives the closed-form formula for a European option on an asset with returns following a continuous-time type of first-order moving average process, which is named as an MA(1)-type option. The pricing formula of these options is similar to that of Black and Scholes except for the total volitility input. Specifically, the total volatility input of MA(1)-type options is the conditional standard deviation of continuous-compounded returns over the option's remaining life, whereas the total volatility input of Black and Scholes is indeed the diffusion coefficient of a geometric Brownian motion times the square root of an option's time to maturity. Based on the result of numerical analyses, the impact of autocorrelation induced by the MA(1)-type process is significant to option values even when the autocorrelation between asset returns is weak.

This thesis aims at contributing to the study of the valuation of insurance liabilities and the management of the assets backing these liabilities. It consists of four parts, each devoted to a specific topic. In the first part, we study the pricing of a classical single premium life insurance contract with profit, in terms of a guaranteed rate on the premium and a participation rate on the (terminal) financial surplus. We argue that, given the asset allocation of the insurer, these technical parameters should be determined by taking explicitly into account the risk management policy of the insurance company, in terms of a risk measure such as the value-at-risk or the conditional value-at-risk. We then design a methodology that allows us to fix both parameters in such a way that the contract is fairly priced and simultaneously exhibits a risk consistent with the risk management policy. In the second part, we focus on the management of the surrender option embedded in most life insurance contracts. In Chapter 2, we argue that we should model the surrender time as a random time not adapted to the filtration generated by the financial assets prices, instead of assuming that the surrender time is an optimal stopping time as it is usual in the actuarial literature. We then study the valuation of insurance contracts with a surrender option in such a model. We here follow the financial literature on the default risk and in particular, the reduced-form models. In Chapter 3 and 4, we study the hedging strategies of such insurance contracts. In Chapter 3, we study their risk-minimizing strategies and in Chapter 4, we focus on their ``locally risk-minimizing' strategies. As a by-product, we study the impact of a progressive enlargement of filtration on the so-called ``minimal martingale measure'. The third part is devoted to the systematic mortality risk. Due to its systematic nature, this risk cannot be diversified through increasing the size of the portfolio. It is thus also important to study the hedging strategies an insurer should follow to mitigate its exposure to this risk. In Chapter 5, we study the risk-minimizing strategies for a life insurance contract when no mortality-linked financial assets are traded on the financial market. We here extend Dahl and Moller’s results and show that the risk-minimizing strategy of a life insurance contract is given by a weighted average of risk-minimizing strategies of purely financial claims, where the weights are given by the (stochastic) survival probabilities. In Chapter 6, we first study the application of the HJM methodology to the modelling of a longevity bonds market and describe a coherent theoretical setting in which we can properly define the longevity bond prices. Then, we study the risk-minimizing strategies for pure endowments and annuities portfolios when these longevity bonds are traded. Finally, the fourth part deals with the design of ALM strategies for a non-life insurance portfolio. In particular, this chapter aims at studying the risk-minimizing strategies for a non life insurance company when inflation risk and interest rate risk are taken into account. We derive the general form of these strategies when the cumulative payments of the insurer are described by an arbitrary increasing process adapted to the natural filtration of a general marked point process and when the inflation and the term structure of interest rates are simultaneously described by the HJM model of Jarrow and Yildirim. We then systematically apply this result to four specific models of insurance claims. We first study two ``collective' models. We then study two ``individual' models where the claims are notified at a random time and settled through time.

Dans cette thèse nous considérons le problème de la maximisation d’utilité et de la formation des prix d’indifférence pour les modèles semimartingales exponentiels dépendant d’un facteur aléatoire ξ. L’enjeu est de résoudre le problème des prix d’indifférence en utilisant le grossissement de l’espace et de la filtration. Nous réduisons le problème de maximisation dans la filtration élargie au problème conditionnel, sachant {ξ = v}, que nous résolvons en utilisant une approche duale. Pour HARA-utilités nous introduisons les informations telles que les entropies relatives et les intégrales de type Hellinger, ainsi que les processus d’information correspondants, enfin d’exprimer, via ces processus, l’utilité maximal. En particulier, nous étudions les modèles de Lévy exponentiels, où les processus d’information sont déterministes ce que simplifie considèrablement les calculs des prix d’indiffrence. Enfin, nous appliquons les rèsultats au modèle du mouvement brownien géométrique et au modèle de diffusion-sauts qui inclut le mouvement brownien et les processus de Poisson. Dans les cas d’utilité logarithmique, de puissance et exponentielle, nous fournissons les formules explicites des informations, et puis, en utilisant les méthodes numériques, nous résolvons les équations pour obtenir les prix d’indifférence en cas de vente d’une option européenne. / This thesis explores the utility maximisation problem and indifference pricing for exponential semimartingale models depending on a random factor ξ. The main idea to solve indifference pricing problem consists in the enlargement of the space and filtration. We reduce the maximization problem on the enlarged filtration to the conditional one, given {ξ = v}, which we solve using dual approach. For HARA-utilities we introduce the information quantities such that the relative entropies, Hellinger type integrals, and the corresponding information processes, and we express the maximal utility via these processes. As a particular case, we study exponential Levy models, where the information processes are deterministic and this fact simplify very much indifference price calculus. Finally, we apply the results to Geometric Brownian motion model and jump-diffusion model which incorporates Brownian motion and Poisson process. In the cases of logarithmic, power and exponential utilities, we provide the explicit formulae of information quantities and using the numerical methods we solve the equations for the seller’s and buyer’s indifference prices of European put option.

Wir modellieren einen Finanzmarkt mit unendlich vielen Wertpapieren als stochastischen Prozeß X in stetiger Zeit mit Werten in einem separablen Hilbertraum H. In diesem Rahmen zeigen wir die Äquivalenz von Vollständigkeit des Marktes und der Eindeutigkeit des äquivalenten Martingalmaßes unter der Bedingung, daß X stetige Pfade besitzt. Weiter zeigen wir, daß (unter gewissen technischen Bedingungen) für X die Abwesenheit von asymptotischer Arbitrage der ersten/zweiten Art (im Sinne von Kabanov/Kramkov) äquivalent zur Absolutstetigkeit des Referenzmaßes zu einem eindeutigen, lokal äquivalenten Martingalmaß ist. Hat X stetige Pfade, so ist die Abwesenheit von allgemeiner asymptotischer Arbitrage äquivalent zur Existenz eines äquivalenten lokalen Martingalmaßes. Außerdem geben wir ein Kriterium für die Existenz einer optionalen Zerlegung von X an. Dies wenden wir auf das Problem der Risikominimierung bei vorgegebener Investitionsobergrenze (effizientes Hedgen (Föllmer/Leukert)) an, um dieses im unendlichdimensionalen Kontext zu behandeln. Außerdem stellen wir eine unendlichdimensionale Erweiterung des Heath-Jarrow-Morton-Modells vor und nutzen den Potentialansatz nach Rodgers, um zwei weitere Zinsstrukturmodelle zu konstruieren. Als Beitrag zur allgemeinen stochastischen Analysis in Hilberträumen beweisen wir eine pfadweise Version der Itoformel für stochastische Prozesse mit stetigen Pfaden in einem separablen Hilbertraum. Daraus läßt sich eine pfadweise Version des Satzes über die Vertauschbarkeit von stochastischem und Lebesgue-Integral ableiten. Außerdem zeigen wir eine Version der Clark-Formel für eine Brownsche Bewegung mit Werten in einem Hilbertraum. / We model a financial market with infinitely many assets as a stochastic process X with values in a separable Hilbert space H. In this setting we show the equivalence of market completeness and the uniqueness of the equivalent martingale measure, if X has continuous paths. Another result for our model is, that under some technical conditions, the absence of asymptotic arbitrage of the first/second kind (in the sense of Kabanov/Kramkov) is equivalent to the absolute continuity of the reference measure to a unique, locally equivalent, martingale measure. If X has continuous paths, the absence of general asymptotic arbitrage is equivalent to the existence of an equivalent local martingale measure. Furthermore, we give a sufficient condition for the existence of the optional decomposition of X. We apply this result to the problem of risk minimization with given upper limit for investion (efficient hedging (Föllmer/Leukert)). This allows us to solve this optimization problem in our infinite dimensional context. Another result is an infinite dimensional extension of the Heath-Jarrow-Morton term structure model. Two further term structure models are constructed, using the Markov potential approach developed by Rodgers. As a contribution to the theory of stochastic analysis in Hilbert spaces, we proof a pathwise version of the Ito formula for stochastic processes with continuous paths in a separable Hilbert space. This leads to a pathwise version of the interchangability theorem for stochastic and Lebesgue integrals. We also show a version of the Clark formula for Hilbert space valued Brownian motion.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence et l'unicité de solution d'équations différentielles stochastiques rétrogrades avec grossissement de filtration. La motivation de ce problème mathématique provient de la résolution d'un problème financier de couverture par un agent possédant une information supplémentaire inconnue sur le marché. Dans une première partie, nous résolvons ce problème, successivement dans un cadre continu puis avec sauts, et montrons que sous l'hypothèse (H3) du grossissement de filtration, grâce à un théorème de représentation des martingales, l'EDSR dans l'espace grossie sous des hypothèses standard a une unique solution. L'une des conséquences principales est que, dans un marché complet, la détention d'une information supplémentaire par l'agent initié ne lui confère pas de stratégie de couverture différente. Dans une seconde partie, nous développons un modèle d'agent informé et influent, ce qui nous amène à résoudre une équation différentielle stochastique progressive rétrograde avec grossissement de filtration, et nous obtenons également un théorème d'existence et d'unicité de solution. Nous sommes également amenés à étudier le problème de couverture en marché incomplet, puisque du fait de l'influence, le marché sans information devient incomplet. Enfin, dans la dernière partie, nous généralisons les résultats d'existence et d'unicité de solution d'EDSR avec grossissement de filtration à des EDSR à horizon aléatoire.

Ce mémoire d'habilitation comporte deux parties. Dans la première, nous étudions une famille de mesures de probabilité construite à partir de la loi du mouvement brownien via une procédure appelée pénalisation. Nous expliquons une partie des résultats obtenus par la construction d'une mesure sigma-finie, que nous généralisons ensuite à d'autres contextes. Dans la deuxième partie, nous étudions des objets infini-dimensionnels associés à des modèles de matrices aléatoires.

Cette thèse se compose de trois parties. Dans la première partie, en utilisant les théorèmes limites par moyennisation logarithmique pour des martingales continues en temps continu, on construit un estimateur du couple $(\theta,\sigma^{2})$ pour un modèle autorégressif gaussien stable à temps continu et on montre que cet estimateur est asymptotiquement distribué comme un couple de variables aléatoires gaussiennes indépendantes quelle que soit la loi de l'\état initial $X_{0}$. La deuxième partie est consacrée à établir des résultats autour du théorème limite presque-sûre pour des martingales vectorielles quasi-continues à gauche en temps continu et à croissance explosive ou mixte. On applique les résultats obtenus au modèle d'Ornstein-Uhlenbeck bivarié utilisé en modélisation biologique et en mathématiques financières. Dans la dernière partie, on établit pour l'estimateur des moindres carrés $\hat{\theta}$ de $\theta$ d'un modèle autorégressif gaussien à temps continu non nécessairement stable, un théorème limite centrale presque-sûre (TLCPS), une loi forte quadratique associée au TLCPS et un théorème de la limite centrale logarithmique. Dans le cas stable, on propose d'utiliser l'estimateur des moindres carrés pondéré $\tilde{\theta}$ de $\theta$ pour améliorer les vitesses de convergence logarithmique dans les théorèmes obtenus. Dans le cas instable, on établit, pour l'estimateur des moindres carrés $\hat{\theta}$, les mêmes type de propriétés asymptotiques avec une vitesse de convergence arithmétique.

In this thesis, we present two different approaches for the stochastic volatility and stochastic interest rate model with jump and analyze the performance of four alternative models. In the first approach, suggested by Scott, the closed form solution for prices on European call stock options are developed by deriving characteristic functions with the help of martingale methods. Here, we study the asset price process and give in detail the derivation of the European call option price process. The second approach, suggested by Bashki-Cao-Chen, describes the closed form solution of European call option by deriving the partial integro-differential equation. In this one we g ive the derivations of both asset price dynamics and the European call option price process. Finally, in the application part of the thesis, we examine the performance of four alternative models using General Electric Stock Option Data. These models are constructed by using the theoretical results of the second approach.