Undervisning och lärande är grundbultar i ett modernt demokratiskt samhälle. Dessa aktiviteter sker i stor utsträckning av lärare vilka bär ansvaret för att utbilda framtidens generationer. Inom utbildningsväsendet existerar en rad olika läromedel såsom böcker och datorer vilka ofta tenderar att vara statiska i sitt förhållande till eleven. Enligt internationella kunskapsmätningar har svenska elevers matematiska kunskap stagnerat de senaste två decennierna, även om en vändning har skett de senaste åren. En möjlig förklaring till detta kan vara att ett för stort fokus hos bl.a. lärare och matematikböcker ägnats åt procedurella färdigheter snarare än begreppslig förståelse. Detta i kombination med lärares upplevda svårigheter kring att tillämpa ett formativt arbetssätt kan innebära hinder för elevers matematiska kunskapsutveckling. Flera digitala verktyg har utvecklats för att stötta lärare och elever i deras lärandeprocess. Ett sådant digitalt verktyg är Mentimeter som utvecklats för att öka interaktionen mellan en presentatör (t.ex. en lärare) och dess publik. Mentimeterär inte avsett specifikt för en lärandekontext och det finns idag ingen etablerad utgivning av läromedel som använder Mentimeter för skolans värld. Det här examensarbetet har med bakgrund av detta haft som mål att designa och konstruera ett matematiskt läromedel med hjälp av Mentimeter, ämnat för att utveckla elevers förståelse för ett matematiskt begrepp (funktioner). Detta har gjorts med en designbaserad forskningsmetodik vilket är en metod som lämpar sig väl för att utveckla tekniska artefakter inom en skolkontext samt undersöka hur den utvecklade artefakten fungerar i en specifik kontext. Syftet med studien har varit att undersöka lärares upplevelse av att använda det utvecklade läromedlet och med den kunskapen, genom en iterativ process utveckla och samtidigt öka förståelse för hur ett digitalt utbildningsverktyg kan möjliggöra ett formativt arbetssätt. Ett grundantagande inom ramen för detta examensarbete är att ett formativt arbetssätt kan bidra till ett ökat lärande och därmed ökad förståelse för funktionsbegreppet, men att det behövs mer kunskap för att förstå sambandet mellan didaktisk teori och hur den kan användas inom en skolkontext. Detta examensarbete utgår både från en konstruktivistisk och en sociokulturell syn på lärande. Motiveringen av denna breda syn på lärande är att det möjliggör en mer induktiv ansats i förhållande till tolkningen av studiens resultat. Studiens resultat är en“Mentimeter-modul” som designats för att möjliggöra ökad förståelse för matematiska begrepp, samt en teoretisk förståelse för hur modulen upplevts av lärare i en skolkontext. Vidare visar studiens resultat på vikten av att lärare använder Mentimeter-modulen som ett komplement till den ordinarie undervisningen istället för att låta verktyget agera som en egen aktör. Slutsatsen är att den utvecklade Mentimeter-modulen upplevs möjliggöra ett formativt arbetssätt om syftet med modulen tydliggörs och lärarna ser på modulen som ett komplement till sin ordinarie undervisning. / Teaching and learning could be considered as cornerstones of a modern democratic society. These activities are largely being practiced by teachers who are in part responsible for educating future generations. In the education system, there are a number of different teaching materials such as books and computers, which often tend to be static with no or little interaction with the student. According to international surveys the mathematical knowledge among Swedish student’s has stagnated over the past two decades, although a turnaround has taken place in recent years. A possible explanation for this may be that too much focus has been devoted to procedural skills rather than conceptual understanding. This, combined with teachers' perceived difficulties in applying a formative approach, can slow down the development of students' mathematical knowledge. Several digital educational tools have been developed to support teachers and students in their learning process. One such tool is Mentimeter, which was developed to increase the interaction between a presenter (e.g. a teacher) and its audience (e.g. a student). Mentimeter is not intended specifically for a learning context and there is currently no mathematical educational materials developed with the software and that is accessible for everyone with a Menitemeter account. This master thesis has aimed to design and construct a mathematical teaching aid with the help of Mentimeter, intended to develop students' understanding of a mathematical concept (functions). This has been done with a design-based research methodology which is suited for exploring learning environments and gaining deeper theoretical understanding by introducing a designed technical artifact in the context that is being observed. The purpose of this Master Thesis has been to investigate teachers' experience of using the developed teaching aid and with that knowledge, through an iterative process develop understanding on how a digital educational tool can enable a formative approach. A basic assumption made by the authors of this study is that a formative approach can contribute to increased learning andthus increased understanding of the concept of a function. But more knowledge is needed to understand the connection between the didactic theory and how it can be applied in a school context. This study is based partly on a constructivist view of learning but also on a socio-cultural perspective. The motivation for this broad view of learning enables a more inductive approach in relation to the interpretation of the study results. The results of this thesis are a “Mentimeter module” designed to enable an increased understanding of mathematical concepts, as well as a theoretical understanding of how the module is experienced by teachers in a school context. Furthermore, the study shows the importance of teachers using the Mentimeter module as a complement to their regular teaching activities instead of letting the digital education tool act on its own. The conclusion is that the developed Mentimeter module is perceived to enable a formative approach if the purpose of the module is clarified and the teachers see the module as a complement to their established experience andprevious knowledge.

Previous research showed that the use of laboratory materials, cooperative learning or rich mathematical problems promotes problem solving teaching and has a significant role in student learning. That is why the intention of this study was to investigate how the three concepts are used in problem solving teaching and how they can promote this type of mathematics teaching. In order to produce results for the purpose of the study, eight interviews were conducted with eight active primary school teachers to answer the following questions: 1) How do teachers describe their use of laboratory material, cooperative learning and rich mathematical problems in problem-solving teaching? 2) What opportunities and difficulties do teachers see with the use of these concepts? The results showed that the integration of laboratory material in the form of everyday materials, pedagogical materials and digital materials in problem solving teaching has a positive impact on students' problem solving skills and contributes to increased interest in mathematics teaching. It also appeared that the use of these materials enables the students to understand the abstract mathematical content in a clear way. The results of the study showed that the use of cooperative teaching is beneficial for students' development in problem solving. Through this way of working, the students' participation and activity in the classroom is strengthened and increased, which contributes to the students being able to achieve a desired result together. The results analysis clarified that the use of certain criteria for rich mathematical problems are important and necessary to be met in problem solving, while other criteria may be difficult to meet. But previous research showed that all seven criteria for rich math problems are necessary in problem solving tasks.

<p>Syftet med detta examensarbete är att undersöka undervisning och lärande under en matematiklektion som präglas av traditionell skolmatematik. Metoden för undersökningen var en deltagande observation av en matematiklektion i åk 3 på gymnasiet. Med hjälp av begreppen matematikens lärandeobjekt, matematiska resurser, eleven som lärande aktör och sociomatematiska normer har jag tolkat de resultat som genererats från observationen. Två slutsatser som kan dras av undersökningen är att eleverna stimuleras till att bli oberoende lärande aktörer i undervisningen av traditionell skolmatematik samt att det i första hand är läraren som synliggör potentiella matematiska resurser för eleverna. Medvetenheten om elevernas användande av matematiska resurser skulle kunna påverka elevernas lärande genom att läraren synliggör matematiska resurser på ett mer medvetet sätt.</p> / <p>The aim with this degree project is to examine teaching and learning during a mathlesson characterized by traditional school mathematics. The method of the study was aparticipant observation of a mathematics lesson in year 3 in upper secondary school. Using the concepts of mathematical learning objects, mathematical resources, and pupil as an active learner in combination with socio-mathematical norms, I have interpreted the results generated from the observation. Two main conclusions can be drawn from the study. Firstly, pupils are encouraged to become independent as active learners in the teaching of traditional school mathematics. Secondly, it is primarily the teacher who makes potential mathematical resources visible and available for the pupils. With an increasing awareness of pupils’ use of mathematical resources, teachers can affect pupils’ learning by making potential mathematical resources explicit in a more conscious way.</p>

Symboler har alltid varit en viktig del av matematik, därför är det inte konstigt att kunskaperom symbolspråket behövs för att uppnå en full förståelse av ämnet. Den här studiensyftar därför på att utreda användningen av det symboliska språket i den svenska gymnasialaundervisningen ur ett språkvetenskapligt perspektiv. Empirin till det här arbetetbestår av 52 elevlösningar till ett test i matematik samt transkribering av en parintervju.Det insamlade materialet har analyserats utifrån teorier om den metalingvistiska medvetenhetensamt symbolernas semiotiska och epistemologiska funktioner. Det matematiskasymbolspråkets roll i styrdokumenten har också belysts i det här arbetet. Från elevernasfel i testet var det möjligt att åskådliggöra vikten av den metalingvistiska medvetenhetenoch den semiotiska medlingen i algebrainlärningen. Slutligen blev det även tydligt att detmatematiska symbolspråket behöver en mer explicit roll i den svenska matematikundervisningen. / Symbols have always been an important part of mathematics, which is why learning thesymbolic language is necessary in order to acquire a full understanding of the subject.This study aims to investigate the use of the symbolic language in the Swedish uppersecondary school from a linguistic perspective. The data for this study consists of samplesfrom 52 student solutions from a mathematical test, together with one transcribed groupinterview, where two students participated. The analysis is based on theories about themetalinguistic awareness and symbols’ semiotic and epistemological functions. The roleof the mathematical symbolic language described in the steering documents has also beenconsidered in the study. From the mistakes made in the test, it was possible to visualisethe importance of the metalinguistic awareness and the semiotic mediation in algebralearning. In the end, it also became clear that the mathematical symbolic language needsa more explicit role in the Swedish mathematics education.

Social dilemmas constitute a broad class of quandaries, including, for example, common pool resource (CPR) dilemmas and public good (PG) dilemmas. CPR's are characterized by non-excludability and rivalry and are often associated with overexploitation. Through similar arguments, the features non-excludability and non-rivalry give rise to under-provision of PG's. The prevalence and inefficiencies often associated with CPR's have given rise to an extensive literature and the role of resource uncertainty has not been ignored. Uncertainty combined with rivalry is often said to augment users' incentive to overexploit. However, underlying most of the theoretical research is an explicit or implicit assumption of symmetric information, or a symmetric lack of information. In reality, people generally have access to different sources of information and they may differ in their abilities to process information. In the first two papers of this thesis, the assumption of symmetry is relaxed and both papers demonstrate that from a welfare perspective, the distribution of uncertainty is also of importance. Many CPR's and PG's are natural, which can complicate the situation. In the traditional resource management literature, the exploited resource is often assumed to be properly characterized by some concave growth function. Today, there is extensive empirical evidence suggesting that many ecosystems have more complex, often non-linear dynamics. Management of such resources can be quite challenging as the non-linear dynamics can make the ecosystem flip between alternate stable states, and even marginal changes can cause radical transformations of such ecosystems. Most of the CPR models assume the shared resource to be of fixed size or to be able to generate a constant flow of services. In the third paper we aim at providing a more complete picture of the overexploitation of a common resource, by combining the institutional structure with complex ecological dynamics. We manage to raise questions and doubts about the standard assumptions. Another feature of convex-concave resources is that a state can become highly robust and sometimes an ecosystem change may even be irreversible. This is problematic if, for example, we wish to restore a degraded ecosystem. The aim of the fourth paper is to empirically analyze this question, by eliciting peoples' preferences through a hypothetical referendum on the issue. / Diss. Stockholm : Handelshögskolan, 2005

Syftet med detta examensarbete är att undersöka undervisning och lärande under en matematiklektion som präglas av traditionell skolmatematik. Metoden för undersökningen var en deltagande observation av en matematiklektion i åk 3 på gymnasiet. Med hjälp av begreppen matematikens lärandeobjekt, matematiska resurser, eleven som lärande aktör och sociomatematiska normer har jag tolkat de resultat som genererats från observationen. Två slutsatser som kan dras av undersökningen är att eleverna stimuleras till att bli oberoende lärande aktörer i undervisningen av traditionell skolmatematik samt att det i första hand är läraren som synliggör potentiella matematiska resurser för eleverna. Medvetenheten om elevernas användande av matematiska resurser skulle kunna påverka elevernas lärande genom att läraren synliggör matematiska resurser på ett mer medvetet sätt. / The aim with this degree project is to examine teaching and learning during a mathlesson characterized by traditional school mathematics. The method of the study was aparticipant observation of a mathematics lesson in year 3 in upper secondary school. Using the concepts of mathematical learning objects, mathematical resources, and pupil as an active learner in combination with socio-mathematical norms, I have interpreted the results generated from the observation. Two main conclusions can be drawn from the study. Firstly, pupils are encouraged to become independent as active learners in the teaching of traditional school mathematics. Secondly, it is primarily the teacher who makes potential mathematical resources visible and available for the pupils. With an increasing awareness of pupils’ use of mathematical resources, teachers can affect pupils’ learning by making potential mathematical resources explicit in a more conscious way.

Syftet med studien var att ta reda på vilka strategier elever väljer när de ska lösa ett matematiskt problem. Vi genomförde en observation och nio individuella intervjuer med elever i årskurs 3. De fick lösa ett matematiskt problem som observerades. Utifrån elevernas lösningar genomförde vi sedan intervjuer för att ta reda på vilka strategier de valt att använda för att lösa problemet. Resultatet av elevernas lösningar visade på flera olika lösningsstrategier. Dessa delades in i yttre och inre representationer. Strategier som bilder, grafiska framställningar och matematiska symboler (siffror) hör till de yttre representationerna, då de består av konkreta bilder som eleverna måste se framför sig på papper när de löser matematiska problem. Huvudräkning, automatiserad kunskap och ”tänkande” är samtliga strategier som tillhör de inre representationsformerna. Med inre representationer menar vi det som sker i huvudet, det eleverna inte behöver se framför sig för att kunna lösa problemet. Vi fann att elevlösningarna innehöll kombinationer av flera olika strategier. Vilken eller vilka strategier eleven än väljer till sin problemlösning är det oundvikligt att använda sig av någon form av inre representationsform, för att tänka måste alla göra oberoende av vilken lösningsstrategi som väljs och hur duktiga problemlösare eleverna än är. När eleverna är unga kan det vara svårt och ovant för dem att skriftligt redovisa hur lösningsprocessen gått till. Därför måste vi lärare ha tid att sätta oss in i hur eleven tänker för att kunna bygga vidare undervisningen utifrån den enskilde individens behov. / The purpose of the study was to discern which strategies pupils employ when they solve a mathematical problem. We carried through one observation and nine individual interviews with pupils in school year 3. They were asked to solve a mathematical problem, which was observed. On the basis of the pupils’ solutions, we carried out interviews in order to determine which strategies they chose to employ. The outcome of the pupils’ solutions showed several problem solving strategies. These were divided into external and internal representations. Strategies such as pictures, graphs and mathematical symbols (numerals) are external representations, as they consist of concrete pictures that the pupils must see in front of them on a paper when solving mathematical problems. Mental arithmetic, automated knowledge and “thinking” are all strategies that belong to internal modes of representation. With internal representations, we mean what happens inside our heads – what pupils need not see in front of them in order to solve a problem. We found that the pupils’ solutions contained combinations of several different strategies. Irrespective of which strategy or strategies the pupil choose in his or her problem solving, it is inevitable to use some variety of internal representations; everyone has to think, regardless of the strategy chosen and the problem solving skills of the pupil. When pupils are young, it may be difficult for them to present the flow of their problem solving processes in writing. Consequently, as teachers we must have time to familiarize ourselves with how the pupil thinks in order to develop our teaching on the basis of the needs of the individual pupil.

<p>Syftet med studien var att ta reda på vilka strategier elever väljer när de ska lösa</p><p>ett matematiskt problem. Vi genomförde en observation och nio individuella</p><p>intervjuer med elever i årskurs 3. De fick lösa ett matematiskt problem som</p><p>observerades. Utifrån elevernas lösningar genomförde vi sedan intervjuer för att</p><p>ta reda på vilka strategier de valt att använda för att lösa problemet. Resultatet av</p><p>elevernas lösningar visade på flera olika lösningsstrategier. Dessa delades in i</p><p>yttre och inre representationer. Strategier som bilder, grafiska framställningar och</p><p>matematiska symboler (siffror) hör till de yttre representationerna, då de består av</p><p>konkreta bilder som eleverna måste se framför sig på papper när de löser</p><p>matematiska problem. Huvudräkning, automatiserad kunskap och ”tänkande” är</p><p>samtliga strategier som tillhör de inre representationsformerna. Med inre</p><p>representationer menar vi det som sker i huvudet, det eleverna inte behöver se</p><p>framför sig för att kunna lösa problemet. Vi fann att elevlösningarna innehöll</p><p>kombinationer av flera olika strategier. Vilken eller vilka strategier eleven än</p><p>väljer till sin problemlösning är det oundvikligt att använda sig av någon form av</p><p>inre representationsform, för att tänka måste alla göra oberoende av vilken</p><p>lösningsstrategi som väljs och hur duktiga problemlösare eleverna än är. När</p><p>eleverna är unga kan det vara svårt och ovant för dem att skriftligt redovisa hur</p><p>lösningsprocessen gått till. Därför måste vi lärare ha tid att sätta oss in i hur</p><p>eleven tänker för att kunna bygga vidare undervisningen utifrån den enskilde</p><p>individens behov.</p> / <p>The purpose of the study was to discern which strategies pupils employ when they solve</p><p>a mathematical problem. We carried through one observation and nine individual</p><p>interviews with pupils in school year 3. They were asked to solve a mathematical</p><p>problem, which was observed. On the basis of the pupils’ solutions, we carried out</p><p>interviews in order to determine which strategies they chose to employ. The outcome of</p><p>the pupils’ solutions showed several problem solving strategies. These were divided</p><p>into external and internal representations. Strategies such as pictures, graphs and</p><p>mathematical symbols (numerals) are external representations, as they consist of</p><p>concrete pictures that the pupils must see in front of them on a paper when solving</p><p>mathematical problems. Mental arithmetic, automated knowledge and “thinking” are all</p><p>strategies that belong to internal modes of representation. With internal representations,</p><p>we mean what happens inside our heads – what pupils need not see in front of them in</p><p>order to solve a problem. We found that the pupils’ solutions contained combinations of</p><p>several different strategies. Irrespective of which strategy or strategies the pupil choose</p><p>in his or her problem solving, it is inevitable to use some variety of internal</p><p>representations; everyone has to think, regardless of the strategy chosen and the</p><p>problem solving skills of the pupil. When pupils are young, it may be difficult for them</p><p>to present the flow of their problem solving processes in writing. Consequently, as</p><p>teachers we must have time to familiarize ourselves with how the pupil thinks in order</p><p>to develop our teaching on the basis of the needs of the individual pupil.</p>

Diss. (sammanfattning) Stockholm : Handelshögskolan, 2008 Sammanfattning jämte 3 uppsatser

Syftet med denna studie är att undersöka om materialet Praktisk matematik 1 passar att använda i matematikundervisningen i årskurs 1–3 utifrån arbetssättet konkret till abstrakt med fokus på kopplingen till de matematiska förmågorna och det centrala innehållet i matematik från Skolverkets (2019) läroplan. I studien undersöks vilka fem matematiska förmågor som elever ges möjlighet att öva, genom vilket centralt innehåll elever ges möjlighet att öva dessa fem matematiska förmågor samt hur materialet är utformat för arbete genom arbetssättet konkret till abstrakt.    Denna studie innehåller en kvalitativ innehållsanalys av materialet Praktisk matematik 1. För att analysera materialet skapades kriterier utifrån de matematiska förmågorna och det centrala innehållet från den svenska läroplanen (Skolverket, 2019). Materialets utformning för arbetssättet konkret till abstrakt analyserades utifrån studiens teori.   Resultatet visar att elever ges möjlighet att öva samtliga matematiska förmågor i olika utsträckning genom arbete med materialet Praktisk matematik 1. Genom områdena taluppfattning och tals användning, geometri och problemlösning ges elever möjlighet att öva samtliga fem matematiska förmågor. Genom områdena algebra och sannolikhet och statistik ges elever möjlighet att öva begrepps-, räkne- och problemlösningsförmågan och genom området samband och förändring ges elever möjlighet att öva begrepps-, räkne-, problemlösnings- och resonemangsförmågan. Dessa förmågor ges möjlighet att öva i olika utsträckning genom de olika punkterna som områdena innehåller. Materialet är utformat för att arbeta utifrån arbetssättet konkret till abstrakt genom att samtliga kort uppmanar elever till arbete med konkret material. Vid ungefär hälften av korten följs arbetet med det konkreta materialet av abstrakta beräkningar. / The purpose of this study is to investigate whether the material Praktisk matematik 1 is suitable for use in mathematics teaching in years 1–3 based on the working method concrete to abstract with a focus on the connection to the mathematical abilities and the central content in mathematics from Skolverkets (2019) curriculum. This study analyses which five mathematical abilities students are given an opportunity to practice, through which central content students are given the opportunity to practice these five mathematical abilities and in what way the material is designed for working from concrete to abstract.   This study contains a qualitative content analysis of the material Praktisk matematik 1. To analyse the material, criteria were created based of the mathematical abilities and the central content from the Swedish curriculum (Skolverket 2019). The material’s design for working from concrete to abstract was analysed from this study’s theory.   The results show that students are given the opportunity to practice all five mathematical abilities to a verifying degree through working with the material Praktisk matematik 1. Through the areas number perception and number’s use, geometry and problem-solving students are given the opportunity to practice all five mathematical abilities. Through the areas algebra and probability and statistics are students given the opportunity to practice the ability to comprehend mathematical terms, numeracy, and the ability to solve problems. Through the area connections and change student are given the opportunity to practice their ability to comprehend mathematical terms, numeracy, the ability to solve problems and reasoning ability. These abilities are given a varied opportunity to practice through the different points the areas include. The material is designed to work from concrete to abstract because every card calls on using concrete material. The usage of concrete material is in about half of the cards followed by an abstract calculation.