Denna studies syfte är att sammanställa vad aktuell forskning säger om hur givande diskussioner kan skapas i matematikundervisningen. Under arbetet har en systematisk litteraturstudie genomförts för att sammanställa och analysera aktuell forskning inom området. Resultatet visar att givande diskussioner till stor del påverkar elevernas kunskapsutveckling i matematik positivt. Givande matematiska diskussioner grundar sig i en lärares kunskaper i att skapa och orkestrera dessa diskussioner. Dessa diskussioner kan antingen genomföras i helklass eller i grupp. Dessa diskussioner ter sig olika baserat på om diskussionerna har ett lärarcentrerat fokus eller elevcentrerat fokus. Resultatet visar att diskussioner i matematikundervisningen kan se väldigt olika ut och på så vis har olika förutsättningar för elevers deltagande och lärande / The purpose of this study is to compile what current research says about how rich discussions can be created in mathematics education. During the research, a systematic literature study was carried out to compile and analyze current research in the field. The results show that rich discussions largely affect students' knowledge development in mathematics in a positive way.Effective mathematical discussions are based on a teacher's skills in creating and orchestrating these discussions. These discussions can either be carried out as a whole class or in groups. These discussions look different based on whether the discussions have a teacher-centered focus or a student-centered focus. The results show that discussions in mathematics education can look very different and thus can have different conditions for students' participation and learning

Denna studie syftar till att undersöka vilka matematiska förmågor som förekommer inom vanliga kursläromedel i matematik på gymnasienivå. Hur dessa är fördelade i förhållande till varandra inom respektive matematikläromedel samt hur de är fördelade i jämförelse över dessa läromedel. Det är en innehållsanalys baserat på ett etablerat ramverk som utgår ifrån att först konstatera vad som är matematiskt kunnande, och därefter implementera ett analysverktyg som kan koda tryckta uppgifter ifrån matematikläromedlen till någon matematisk förmåga. Verktyget bygger på att indentifiera kompetensrelaterade aktiviteter ifrån läromedlen för att bestämma vilken matematisk kompetens det motsvarar, även kallade förmågor. Dessa förmågor är definierade i Skolverkets aktuella läroplan för gymnasieämnet Matematik. De är procedur, begrepp, problemlösning, modellering, resonemang och kommunikation. Resultatet visar att olika förlag med olika författare till de analyserade läromedlen har valt att premiera olikartad över hur fördelningen utav förmågorna ska se ut, inom det undersökta specifika avsnittet. Men generellt sett så konstaterar denna studie, med stöd ifrån resultatet, att procedurs- och begreppsförmågan är överrepresenterade bland uppgifterna som ska träna elever i matematiska förmågor. Historiskt sett är inte resultatet helt märkvärdigt eftersom procedurer, eller algoritmer, alltid har på ett eller sätt varit ett stort fokusområde för inlärningen utav matematisk kunskap inom skolväsendet. För vidare studier på universitet och högskola är det oftast mer väsentligt att basala algoritmiska procedurer sitter hos eleverna. Men då denna studie enbart har fokuserat på läromedlen så kan nästa steg vara att undersöka lärarens pedagogik och möjlighet till påverkning utav vilka matematiska förmågor som eleverna tränas på, både under och utanför lektionstiden. Samtliga matematiska förmågor som innebär matematiskt kunnande bör ges utrymme till att tränas på av eleverna. / This study aims at investigating which mathematical abilities appear in regular math textbooks aimed towards secondary education. How these abilities are proportioned to each other within respective textbook as well as how they are proportioned in comparison over several textbooks. This is a content analysis based on an established framework which proceeds from first determining what is mathematical knowing and thereafter implementing a tool of analysis which can code printed textbook exercises to some mathematical ability, or competency. The tool identifies competence related activities from the textbooks in order to determine which mathematical competency it corresponds to. The mathematical abilities are defined in current Swedish national school curriculum for mathematics in secondary education. They are procedure, concept, problem solving, modelling, reasoning and communication. Results show that different publishers with various authors of the analyzed textbooks have divergent proportions of mathematical abilities represented, within a specific subchapter. In general this study can state that the abilities procedure and concept are overrepresented among all the abilities which students are meant to practice. Historically seen, this result is not that surprising as procedures, or algorithms, have always in one way or another been a primary focus for attaining mathematical knowledge in school. For further studies at college or university it is important that students are already familiar with basic algorithmic procedures. Although this study has mainly focused on mathematics textbooks, next step could be to study the teacher’s role and pedagogy in affecting which abilities students get to practice, both in and outside class time. All mathematical abilities should be given enough time for students to practice and improve in

Problemlösning är en central kompetens för framgång i ämnet matematik och lärare har en nyckelroll i att främja denna förmåga hos elever. Men de möter också utmaningar i att stödja alla elever, vilket den här kvalitativa studien syftar till att undersöka hur de hanterar. Genom intervjuer med sju lärare har dessa tre forskningsfrågor undersökts; Hur kommunicerar lärare i mellanstadiet mål för elevers lärande och utveckling inom problemlösning? Hur arbetar lärare i mellanstadiet för att identifiera elevers kunskaper och utmaningar med problemlösning i samband med undervisningen och arbetet kring den, och vilka är utmaningarna? Samt hur hanterar lärare i mellanstadiet utmaningarna med problemlösning i samband med undervisningen och arbetet kring den? För att uppfylla studiens syfte och besvara forskningsfrågorna har en variant av tematisk analys använts i kombination med ett ramverk baserat på tre nyckelaspekter av formativ bedömning. Resultatet visade att det, utifrån studiens ramverk, finns förbättringspotential kring hur lärare kommunicerar mål men att de har en bred variation av metoder och tillvägagångssätt vid både identifiering och hantering av utmaningar. / Problem-solving is a central skill for success in mathematics, and teachers play a key role in fostering this ability in students. However, they also face challenges in supporting all students, which this qualitative study aims to investigate how they address. Through interviews with seven teachers, these three research questions have been explored: How do middle school teachers communicate goals for students' learning and development in problem-solving? How do middle school teachers identify students' skills and challenges in problem-solving in connection with teaching related work, and what are the challenges? And how do middle school teachers handle challenges in problem-solving in connection with teaching and related work? To fulfill the study's purpose and answer the research questions, a version of thematic analysis has been used in combination with a framework based on three key aspects of formative assessment.  The results showed that, based on the study's framework, there is room for improvement in how teachers communicate goals, but they have a wide variety of methods and approaches in both identifying and addressing challenges.

The aim of the study is to perform a linguistic analysis of mathematics textbooks. Mathematical text exercises are built up of linguistic structures which are significant for the pupil’s understanding of text exercises. Two different mathematics textbooks for grade three are analysed: Prima matematikand Tummen upp. The aim is to investigate how text exercises in mathematics textbooks are linguistically structured. The study analyses the style, form and content of the text and its relation to the reader. The result shows that the content of the text exercises is close to the pupil’s everyday reality, which ensures a close and strong relationship between the writer and the reader. Something which can entail difficulties for reading comprehension, however, is that the form consists of meaning-bearing mathematical terms which it can be difficult to relate to. Since the mathematical language and the everyday Swedish language meet in text exercises, it is important that they interact well with each other.

Syftet med denna mindre etnografiska studie är att utmana uppdelningen mellan matematik och estetikgenom att undersöka barns estetiska skapande och vilken matematiska möjligheter som uppstår underprocessen i barns möte med materialet. Detta med hjälp av deltagande observationer för att kunnaundersöka barns möte med matematik, estetik och material i en sammanflätad tillblivelseprocess däringet överordnar det ena eller det andra. Med hjälp av tidigare forskning, litteratur, metod och teorivisar resultatet i studien att matematiken är möjlig och en del i barns estetiska skapande. I empirin blirdet synligt att det inte endast är människan som är aktiv i skapandet av kunskap utan ävenmaterialiteter har agens och kraft att påverka oss i den dynamiska intra-aktion som uppstår. Slutsatsenmed studien blir att det inte går att göra tydliga uppdelningar av ämnesdiscipliner som matematik ochestetik, subjekt-objekt och teori-praktik utan allt är i rörelse av ständig tillblivelse.

Min teori är att en av förklaringarna till naturens positiva inverkan på oss ligger i att naturen är lättläst för oss när vi avkodar vår omgivning. I naturen finns det matematiska mönster som återkommer och upprepar sig. Fibonaccis talserie, Gyllene snittet, Fyllotaxisspiralen och framförallt fraktaler. De här mönstren hjälper oss att registrera och ta in information från det vi ser i vår omvärld för att förstå den men också för att avgöra om det finns några faror eller om vi är på en trygg plats.   Inom forskning där försökspersonernas ögonrörelser studerades fann man att vi automatiskt fäster blicken vid mönster med den fraktala dimensionen 1,3 - 1,5. Vidare försök visade att testpersonerna blev som mest avslappnade när de fick se bilder med ett D-värde inom det spannet. Ytterligare stöd för växters hälsofrämjande inverkan fann jag i en rapport från ett försök där testpersonerna fick vidröra olika material med förbundna ögon. Man ville mäta både psykiska och fysiska reaktioner. Testpersonerna fick dels skatta sina upplevelser utifrån 10 par motsatsord och dels mättes deras syremättnad i blodet och det cerebrala blodflödet. Den psykologiska delen av försöket gav ett neutralt resultat men de fysiska mätvärdena indikerade att försökspersonerna blev stressade av att vidröra metall och blev mer avslappnade när de vidrörde levande växtmaterial i form av ett blad. Slutsatsen blev att fysisk kontakt med växtmaterial kan ha en lugnande effekt, trots att försökspersonen inte vet att det är växtmaterial den vidrör.   Genom att föra in dessa mönster i bostadsgården skulle den bli mer hälsofrämjande för den urbana människan. Eftersom örtskiktet idag är underrepresenterat i dessa bostadsområden har jag valt att lägga fokus på perenner som skulle lyfta in de fraktala och matematiska mönstren i den miljön. / My theory is that one of the explanations for the nature's positive impact on us is that nature is easy to read when we decode our surroundings. In nature there are mathematical patterns that recur and repeat themselves like the Fibonacci numbers, Golden Ratio, Phyllotaxis spiral and especially fractals. These patterns help us to record and take in information from what we see in our surroundings to understand it but also to determine if there is something scary or if we are in a safe place.   In research where they investigated the subjects’ eye movements it was found that we automatically attach our gaze at pattern of the fractal dimension 1.3 – 1.5. Further experiments showed that the test subjects where the most relaxed when they saw pictures with a dimension value within that range. I found additional support for plant health effects in a report from an experiment in which test subjects touched different materials blindfolded. The research team wanted to measure both psychological and physical reactions. The test subjects were instructed to value their experiences based on 10 pairs of word opposites and additionally their oxygen saturation in the blood and the cerebral blood flow were monitored. The psychological part of the trail gave a neutral result, but the physical measurements indicated that the subjects were stressed by touching metal and were more relaxed when they touched living plant material (a fresh leaf). The conclusion was that physical contact with plant material can have a calming effect, even though the subject does not know it is plant material it touches.   By bringing in these patterns to apartment house courtyards they would become more health promoting for the urban human. Since the herbal layer is underrepresented in these areas today, I have chosen to focus on perennials that would bring in the fractal and mathematical patterns in this environment.

Ett stort fokus inom matematiken ligger på utantillinlärning av kunskap och tillvägagångssätt. Detta trots att forskning och styrdokument visar att elevens resonemangsförmåga är viktig för att utveckla elevers djupare förståelse av matematiken. Denna studie syftar därmed mot att bidra med kunskaper om vilka olika typer av resonemang som elever i årskurs 6 använder sig av och hur detta relaterar till deras förståelse av ett matematiskt område. Det matematiska området som har valts i studien är de geometriska begreppen omkrets och area samt sambandet mellan dem. För att besvara studiens frågeställningar samlades empirin in genom videoinspelningar av elevintervjuer där elever löste och resonerade kring uppgifter i par inom det matematiska området. De resonemang som framkom under intervjuerna identifierades och klassificerades utifrån Lithners (2008) teoretiska ramverk om imitativa och kreativa resonemang samt kopplades till elevens förståelse av begreppen och dess samband. Det resultat som framkom gav upphov till en ny typ av resonemang som inte ingick i ramverket och denna typ benämns som nytänkande resonemang. En anledning till att en ny typ skapades kan vara att denna studie applicerades på lägre åldrar än ramverket är utvecklad för. En problematik synliggjordes vid elevernas lösning av ett praktiskt problem kopplat till sambandet mellan begreppen. I denna uppgift hade inte eleverna ett matematiskt förhållningssätt och förde således inga matematiska resonemang eller visade sin förståelse.

Det verkar finnas en allmän uppfattning om att matematiska texter är så speciella att man måste få lära sig en särskild typ av läsförmåga för att förstå sådana texter. Denna uppfattning verkar dock inte vara baserad på forskningsresultat eftersom det visar sig inte finnas mycket forskning genomförd som behandlar läsförståelse inom matematik. Huvudsyftet med denna avhandling är att undersöka om det krävs speciella kunskaper eller förmågor för att läsa matematiska texter. Fokus ligger på studerandes läsning av olika typer av texter som behandlar matematik från grundläggande universitetsnivå. Detta studeras utifrån två olika perspektiv, dels ett kognitivt, där läsförmågor och ämneskunskaper studeras i relation till läsförståelse, och dels ett metakognitivt, vilket innefattar uppfattningar och hur man som läsare avgör om man förstått en text. I avhandlingen ingår tre empiriska studier samt teoretiska diskussioner som bland annat utgår från två litteraturstudier, den ena om egenskaper hos matematiska texter och den andra om läsning i relation till problemlösning. I de empiriska studierna jämförs dels läsning av matematiska texter med läsning av texter med annat ämnesinnehåll och dels läsning av olika typer av matematiska texter, där speciellt symbolanvändningen och om innehållet berör begrepp eller procedurer studeras. Dessutom undersöks hur studerande uppfattar sin egen läsförståelse samt läsning och texter i allmänhet inom matematik, och huruvida variationer i dessa uppfattningar kan kopplas till läsförståelsen. Resultat från studierna i denna avhandling visar att de studerande verkar använda en speciell sorts läsförmåga för matematiska texter; att fokusera på symboler i en text. För matematiska texter utan symboler utnyttjas en mer generell läsförmåga, det vill säga en läsförmåga som används också för texter med annat ämnesinnehåll. Men när symboler finns i texten läses alltså texten på ett särskilt sätt, vilket påverkar läsförståelsen på olika sätt för olika typer av texter (avseende om de berör begrepp eller procedurer). Jämfört med när den generella läsförmågan utnyttjas, skapas sämre läsförståelse när den speciella läsförmågan används. Det verkar finnas ett behov av att fokusera på läsning och läsförståelse inom matematikutbildning eftersom resultat visar att kurser på gymnasiet (kurs E) och på universitetet (inom algebra och analys) inte påverkar den speciella läsförmågan. De nämnda resultaten påvisar dock att det primärt inte nödvändigtvis handlar om att lära sig att läsa matematiska texter på något särskilt sätt utan att utnyttja en befintlig generell läsförmåga också för matematiska texter. Resultat från det metakognitiva perspektivet påvisar en skillnad mellan medvetna aspekter, såsom avseende uppfattningar och reflektion kring förståelse, samt omedvetna aspekter, såsom de mer automatiska processer som gör att man förstår en text när den läses, där också metakognitiva processer finns aktiva. Speciellt visar det sig att uppfattningar, som undersökts med hjälp av en enkät, inte har någon tydlig och oberoende effekt på läsförståelse. Utifrån de texter som använts och de studerande som deltagit verkar det som helhet inte finnas någon anledning att betrakta läsning av matematiska texter som en speciell sorts process som kräver särskilda läsförmågor. Studerandes utveckling av speciella läsförmågor kan istället handla om att de inte upplevt något behov av (eller krav på) att läsa olika typer av matematiska texter där likheter med läsning i allmänhet kan uppmärksammas och utnyttjas. / There seems to exist a general belief that one needs to learn specifically how to read mathematical texts, that is, a need to develop a special kind of reading ability for such texts. However, this belief does not seem to be based on research results since it does not exist much research that focus on reading comprehension in mathematics. The main purpose of this dissertation is to examine whether a reader needs special types of knowledge or abilities in order to read mathematical texts. Focus is on students’ reading of different kinds of texts that contain mathematics from introductory university level. The reading of mathematical texts is studied from two different perspectives, on the one hand a cognitive perspective, where reading abilities and content knowledge are studied in relation to reading comprehension, and on the other a metacognitive perspective, where focus is on beliefs and how a reader determines whether a text has been understood or not. Three empirical studies together with theoretical discussions, partly based on two literature surveys, are included in this dissertation. The literature surveys deal with properties of mathematical texts and reading in relation to problem solving. The empirical studies compare the reading of different types of texts, partly mathematical texts with texts with content from another domain and partly different types of mathematical texts, where focus is on the use of symbols and texts focusing on conceptual or procedural knowledge. Furthermore, students’ beliefs about their own reading comprehension and about texts and reading in general in mathematics are studied, in particular whether these beliefs are connected to reading comprehension. The results from the studies in this dissertation show that the students seem to use a special type of reading ability for mathematical texts; to focus on symbols in a text. For mathematical texts without symbols, a more general reading ability is used, that is, a type of ability also used for texts with content from another domain. The special type of reading ability used for texts including symbols affects the reading comprehension differently depending on whether the text focuses on conceptual or procedural knowledge. Compared to the use of the more general reading ability, the use of the special reading ability creates a worse reading comprehension. There seems to exist a need to focus on reading and reading comprehension in mathematics education since results in this dissertation show that courses at the upper secondary level (course E) and at the university level (in algebra and analysis) do not affect the special reading ability. However, the mentioned results show that this focus on reading does not necessarily need to be about learning to read mathematical texts in a special manner but to use an existing, more general, reading ability also for mathematical texts. Results from the metacognitive perspective show a difference between conscious aspects, such as regarding beliefs and reflections about comprehension, and unconscious aspects, such as the more automatic processes that make a reader understand a text, where also metacognitive processes are active. In particular, beliefs, which have been examined through a questionnaire, do not have a clear and independent effect on reading comprehension. From the texts used in these studies and the participating students, there seems not do be a general need to view the reading of mathematical texts as a special kind of process that demands special types of reading abilities. Instead, the development of a special type of reading ability among students could be caused by a lack of experiences regarding a need to read different types of mathematical texts where similarities with reading in general can be highlighted and used.

Syftet med denna empiriska studie är att undersöka hur lärare kan erbjuda möjligheter för 6-åringar att vidga sin förståelse av likhetstecknets innebörd. Undersökningen är inspirerad av Learning Study metoden vilket är en metod som har sin utgångspunkt i variationsteorin. Barnens initiala förmågor analyseras före planeringen av undervisningen och det ger en uppfattning om barnens kunskaper. Utifrån det planeras lektionerna och de aspekter som är de mest kritiska för barnen lyfts och på så sätt utvecklas deras kunskap. Vår slutsats är att det är viktigt att arbeta utifrån ett variationsinriktat lärandeperspektiv. Barnen lyckas bra i de uppgifter där de får laborera med konkret material. / The purpose of this empirical study is to examine how teachers can provide opportunities for children aged 6 to extend their understanding of the equal sign. This study is inspired by the Learning Study method which is a method that has its origins in variation theory.  By analyzing the children's initial abilities before planning our lessons, it gives us an idea of the children's knowledge. From there the lessons are planned and the aspects that are the most critical for the children are lifted and thereby develop their knowledge. Our conclusion is that it is important to work with variety oriented learning. The children are successful in tasks in which they are allowed to experiment with concrete materials.

Arbetets syfte är att undersöka hur högstadieelever för matematiskt resonemang. De frågeställningar som studien inriktas på är vilka lösningsstrategier elever väljer då de resonerar matematiskt såväl som vad  det finns för skillnader och likheter mellan de yngre elevernas lösningar och de äldre elevernas lösningar. Undersökningen genomfördes i två klasser, den ena i årskurs 8 och den andra i årskurs 9, på en grundskola. Eleverna fick lösa uppgifter, vilka uppmanade dem att föra matematiskt resonemang, individuellt. Resultatet av studien visar att majoriteten av undersökta elever har valt att resonera deduktivt. Jämförelsen av elevers lösningar i två årskurser visar att årskurs 9 elevers resonemangsföring präglas av större förtrogenhet med den algebraiska demonstrationen. Resultatet visar även att elever med högre kunskaper om algebra oftare visar benägenheter till att vidaregeneralisera de givna påståendena. / The purpose of this study is to examine secondary school students’ strategies of reasoning. The study inquires into which strategies students choose when reasoning mathematically as well as differences and similarities between the younger students’ solutions and the older students’ solutions. The study was conducted in two classes, in years 8 and 9 respectively, at a secondary school. The students were asked to solve tasks, which encouraged them to reason mathematically, on individual basis. The study revealed that the majority of students had chosen to reason deductively. The comparison of students’ presented answers in two years showed that the ninth-graders’ solutions are characterized of greater skill when it comes to algebraic demonstrations. The results of the study also reveal that students with stronger algebraic abilities attempt more often to generalize the given mathematical statements further.