Centrala gränsvärdessatsen (CGS) är en av grundpelarna inom statistik och sannolikhetsteori. CGS säger att ”summan av ett stort antal oberoende likafördelade slumpmässiga variabler är approximativt normalfördelad”. Det finns olika bevis för CGS. I denna uppsats kommer jag att bevisa centrala gränsvärdessatsen genom att utnyttja karaktäristiska funktioner, eftersom karaktäristiska funktioner har bra egenskaper vilket vi kommer att få se när vi definierar dem. I detta arbete har jag kopplat samman olika pusselbitar som behövs för att kunna bevisa CGS. Genom att göra det så blir det enklare för läsaren att förstå CGS mer grundläggande. / The Central Limit Theorem (CLT) is one of the pillars of statistics and probability theory. CLT states that ”the sum of a large number of independent equally distributed random variables is approximately normally distributed”. There are different proofs for CLT. In this essay I will prove the central limit theorem by utilizing characteristic functions, since characteristic functions have good features, which we will see when defining them. In this paper I have linked various pieces of the puzzle needed to prove CLT. By doing so it becomes easier for readers to gain a deeper understanding of CLT.

I kvällstidningen Aftonbladet har det under flera år publicerats artiklar med långtidsprognoser för sommaren. För prognoserna står en tysk man vid namn Wolfgang Röder, som tidigare arbetat på meteorologiska institutionen vid Freie Universität i Berlin. Röders metod att ställa långtidsprognoser är hemlig, men han har avslöjat för Aftonbladet att han bl.a. studerar vädret under våren och jämför med statistik från tidigare år. Han gör dessutom en rad påståenden om aprilvädrets påverkan på sommarvädret, framförallt juli månad. Syftet med undersökningen var att ta reda på hur pass bra Röders lång- tidsprognoser är med det verkliga utfallet och utifall hans påståenden om april- vädrets påverkan på sommarvädret stämmer. I denna undersökning granskades Röders prognoser för Östra Svealand, med Stockholm-Bromma som represente- rande mätstation. För att bedömma Röders prognoser antogs månadsmedeltemperaturerna föl- ja en normalfördelning under en 30-årsperiod. I och med normalfördelningsan- tagandet kunde en standardavvikelse ifrån temperaturmedelvärdet för en viss månad beräknas. Med hjälp av sannolikhetstabeller för standardiserad normal- fördelning beräknades sedan avvikelseintervall från månadsmedelvärdet, vilka delades in i fem klasser: “Mycket kallt”, “kallt”, “normalt”, “varmt” och “myc- ket varmt”. Denna indelning skulle göra det enkelt att avgöra om Röder haft rätt eller fel. Vidare undersöktes också korrelation mellan aprils månadsme- deltemperatur och julis månadsmedeltemperatur samt julinederbörd under en 49-årsperiod. Det gjordes även detaljstudier av somrar som följt av varma re- spektive kalla aprilmånader. Detta för att eventuellt kunna urskilja ett mönster beroende på vädret i april. Resultatet blev inte särskilt tillfredställande. Med gällande klassindelning fick Röder endast rätt vid 10 tillfällen av 33, vilket ger en tillförlitlighet på cirka 30%. Hans påståenden om aprilvädrets påverkan på sommarvädret kunde inte heller styrkas. Korrelationskoefficienterna mellan aprils månadsmedeltem- peratur och julis månadsmedeltemperatur samt julinederbörd hamnade på 0.11 respektive 0.015, vilket är mycket lågt. Ur detaljstudien av ett antal somrar som följt av kall respektive varm april, kunde heller inga tydliga mönster urskiljas. Sammansfattningsvis visade undersökningen att det praktiskt taget är omöjligt för Röder att ställa en långtidsprognos för sommaren. Det går lika bra att singla slant!

<p>Att mäta olika variabler är ett av de mest säkra sätten att erhålla kunskap om naturen. Inga mätningar kan dock vara helt fria från osäkerheter, som kan kopplas till de erhållna mätvärdena. Att mätningar inte ger helt tillförlitliga värden utgör i många fall inga problem, men i vissa sammanhang kan mätosäkerhet vara av största betydelse. Utsläppskontroll vid miljöfarlig verksamhet är ett område där mätningar är av avgörande betydelse. Den här uppsatsen syftar till en djupare förståelse om vilka problem som mätosäkerhet medför när villkorsöverskridande utsläpp ska konstateras. Detta genom olika infallsvinklar av ett rättsfall. Av rättegångshandlingar samt intervjuer framgår det att det inte finns någon enhetlig syn angående vilket sätt mätosäkerhet ska beaktas, vid uppskattande av överutsläpp för miljöfarlig verksamhet som omfattas av rikt- och gränsvärden. Det framkom vidare att det finns lagar, förordningar och föreskrifter i sådan omfattning att mätosäkerheten för utförda mätningar egentligen inte borde vara något påtagligt problem. Svårigheterna att ge tillförlitliga uppskattningar tillsammans med att det är ett tidskrävande arbete kan tänkas vara anledningen till problemet med mätosäkerhet kvarstår.</p>

When data is collected sample size and precision in measurements are often limited. In what sense this impacts the size, unadjusted and adjusted power of different normality tests is a relatively unexplored field. Therefore this paper is dedicated to perform a simulation study where these three properties of the normality tests Anderson-Darling, Jarque-Bera and Shapiro-Wilk are examined. The study is based on different combinations of sample sizes and roundings where repeated samples are drawn from both normally and asymmetrically distributed populations. The results from the study indicate that coarser roundings results in increased size and unadjusted power of Anderson-Darling and Shapiro-Wilk, while Jarque-Bera is seemingly unaffected by roundnings. The three tests have in common that a larger sample size leads to an increase in the size, unadjusted and adjusted power of the tests and that roundings have no substantial impact on adjusted power. / När data samlas in är ofta stickprovsstorlek och precision i mätningarna begränsad i olika grad. Vilken betydelse detta får för sannolikheten för typ I-fel, ojusterad samt justerad styrka hos olika normalitetstest är ett förhållandevis outforskat område. Därför dedikeras denna uppsats till att genomföra en simuleringsstudie där dessa tre egenskaper hos normalitetstesten Anderson-Darling, Jarque-Bera samt Shapiro-Wilk undersöks. Studien baseras på olika kombinationer av stickprovsstorlekar samt avrundningar där upprepade stickprov dras från både normalfördelade och asymmetriskt fördelade populationer. Resultaten från studien indikerar att grövre avrundningar leder till ökad sannolikhet för typ I-fel och ojusterad styrka hos Anderson-Darling och Shapiro-Wilk, medan Jarque-Bera inte påverkas nämnvärt av avrundningar. Gemensamt för samtliga test är att en större stickprovsstorlek leder till ökad sannolikhet för typ I-fel, ojusterad styrka och justerad styrka samt att avrundningar inte nämnvärt påverkar justerad styrka.

Att mäta olika variabler är ett av de mest säkra sätten att erhålla kunskap om naturen. Inga mätningar kan dock vara helt fria från osäkerheter, som kan kopplas till de erhållna mätvärdena. Att mätningar inte ger helt tillförlitliga värden utgör i många fall inga problem, men i vissa sammanhang kan mätosäkerhet vara av största betydelse. Utsläppskontroll vid miljöfarlig verksamhet är ett område där mätningar är av avgörande betydelse. Den här uppsatsen syftar till en djupare förståelse om vilka problem som mätosäkerhet medför när villkorsöverskridande utsläpp ska konstateras. Detta genom olika infallsvinklar av ett rättsfall. Av rättegångshandlingar samt intervjuer framgår det att det inte finns någon enhetlig syn angående vilket sätt mätosäkerhet ska beaktas, vid uppskattande av överutsläpp för miljöfarlig verksamhet som omfattas av rikt- och gränsvärden. Det framkom vidare att det finns lagar, förordningar och föreskrifter i sådan omfattning att mätosäkerheten för utförda mätningar egentligen inte borde vara något påtagligt problem. Svårigheterna att ge tillförlitliga uppskattningar tillsammans med att det är ett tidskrävande arbete kan tänkas vara anledningen till problemet med mätosäkerhet kvarstår.

<p>Syftet med denna uppsats är att med tre GARCH-modeller skatta volatiliteten för fjorton aktier med t- och normalfördelade slumptermer. Dessa volatiliteter implementeras sedan i Black-Scholes modell samt i Monte-Carlo simuleringar och utfallen av dessa två värderingsmetoder jämförs.</p><p>Författarna har kommit fram till att GARCH-modeller behövs för att skatta volatiliteten för de aktier som ingår i arbetet då modellerna tar hänsyn till den föreliggande heteroskedasticiteten.</p><p>De skillnader som uppstår mellan Monte-Carlo simuleringar och Black-Scholes modell beror främst på skillnader mellan normal- och t-fördelningen samt att volatiliteten ger större effekt i Monte-Carlo simuleringarna. Författarna kan inte uttala sig om huruvida Monte-Carlo skattningarna ger bättre resultat än den vedertagna Black-Scholes modell, däremot är Monte-Carlo mer teoretiskt korrekt.</p>

Syftet med denna uppsats är att med tre GARCH-modeller skatta volatiliteten för fjorton aktier med t- och normalfördelade slumptermer. Dessa volatiliteter implementeras sedan i Black-Scholes modell samt i Monte-Carlo simuleringar och utfallen av dessa två värderingsmetoder jämförs. Författarna har kommit fram till att GARCH-modeller behövs för att skatta volatiliteten för de aktier som ingår i arbetet då modellerna tar hänsyn till den föreliggande heteroskedasticiteten. De skillnader som uppstår mellan Monte-Carlo simuleringar och Black-Scholes modell beror främst på skillnader mellan normal- och t-fördelningen samt att volatiliteten ger större effekt i Monte-Carlo simuleringarna. Författarna kan inte uttala sig om huruvida Monte-Carlo skattningarna ger bättre resultat än den vedertagna Black-Scholes modell, däremot är Monte-Carlo mer teoretiskt korrekt.

Collected data may simultaneously be of low sample size and high dimension. Such data exhibit some geometric regularities consisting of a single observation being a rotation on a sphere, and a pair of observations being orthogonal. This thesis investigates these geometric properties in some detail. Background is provided and various approaches to the result are discussed. An approach based on the mean value theorem is eventually chosen, being the only candidate investigated that gives explicit convergence bounds. The bounds are tested employing Monte Carlo simulation and found to be adequate. / Data som insamlas kan samtidigt ha en liten stickprovsstorlek men vara högdimensionell. Sådan data uppvisar vissa geometriska mönster som består av att en enskild observation är en rotation på en sfär, och att ett par av observationer är rätvinkliga. Den här uppsatsen undersöker dessa geometriska egenskaper mer detaljerat. En bakgrund ges och olika typer av angreppssätt diskuteras. Till slut väljs en metod som baseras på medelvärdessatsen eftersom detta är den enda av de undersökta metoderna som ger explicita konvergensgränser. Gränserna testas sedermera med Monte Carlo-simulering och visar sig stämma.

The purpose with this study is to show how the subjective uncertainty analysis can be applied to the cost estimates and examine how the attitudes towards risk budgeting of construction projects works. Biogas Mellannorrland is based on a case study and focuses on four location options for the biogas plant. For each option, a cost estimate in form of a fixed cost and variable cost elements, where the latter are uncertain. Pearson-Tukey method have been applied as a method to estimating subjective probabilities. An assumption is made so that the uncertain costs are normally distributed, where the parameters’ mean and standard deviation collected from respondents indicating percentiles at 5% and 95% for doubtful cost elements. In order to identify the project managers risk attitude, the risk premium method will be used to calculate where the expected value is produced by Pearson-Tukey method. The expected value is subtracted with certainty equivalent, which consist of the budgeted amount. The study was conducted through interviews in order to obtain the costs and the subjective probabilities. The study results show that it is difficult to determine which option is the best, or the worst, by just looking at the expected value. The risk premium shows that each option is a risk averse choice for the project managers, since the risk premium was greater than zero. / Denna studie syftar till att visa hur subjektiv osäkerhetsanalys kan tillämpas vid kostnadskalkyler samt undersöka riskattityder vid budgetering av byggprojekt. Undersökningen är en fallstudie vid Biogas Mellannorrland och fokuserar på fyra lokaliseringsalternativ för biogasanläggning. För varje alternativ görs en kostnadskalkyl i form av ett antal fasta och rörliga delkostnader, där de senare är osäkra. Som metod för att skatta subjektiva sannolikheter har Pearson-Tukey-metoden tillämpats. Ett antagande görs att osäkra kostnader är normalfördelade, där parametrarna väntevärde och standardavvikelse hämtas från respondenter som anger percentilerna vid 5 % och 95 % för osäkra delkostnader. För att identifiera projektledarnas riskattityd, kommer riskpremium att beräknas, där det förväntade värdet tas fram med Pearson-Tukey- metoden. Det förväntade värdet subtraheras med säkerhetsekvivalensen, vilket utgörs av det budgeterade beloppet. Studien har genomförts med hjälp av intervjuer för att få fram kostnader och subjektiva sannolikheter. Studiens resultat visar att det är svårt att avgöra vilka alternativ som är bäst eller sämst genom att bara titta på väntevärdet. Med riskpremium visar alla alternativ att projektledarna gör ett riskaversivt val, eftersom riskpremium blev större än noll.

This thesis aims to investigate the potential effects on Value at Risk (VaR) measurements when including social media sentiments from Reddit and Twitter. The investigated stock companies are Apple, Alphabet and Tesla. Furthermore, the VaR measurements will be computed through volatility forecasts and assumptions about the return distributions. The volatility will be forecasted by two different models and each model will both include and exclude social media sentiments, so there will be four different volatility forecasts for each stock. Moreover, the volatility models will be the Heterogeneous autoregression (HAR) model and the Heterogeneous autoregression Neural Network (HAR-NN) model. The assumptions of return distributions are a log-logistic distribution and a log-normal distribution. In addition to this, the VaR measurements are computed and evaluated through number of breaches for each of the volatility forecasts and for both assumptions of a return distribution. The result shows that there is an improvement in forecasting volatility for Apple and Alphabet, as well as fewer VaR breaches for both assumptions of log-return distributions. However, the results for Tesla showed that the volatility forecasts were better when excluding social media sentiment. A possible reason for this might be due to Twitter posts made by influential people, like Elon Musk that would have a larger effect on the volatility than the average sentiment score over that day. Another possible explanation to this might be due to multicollinearity. Overall, the results showed that the assumption of a log-logistic distribution was more suitable over a log- normal return distribution for all three stocks. / Den här studien undersöker de potentiella effekterna av att inkludera sentiment från Reddit och Twitter vid beräkning av det finansiella riskmåttet VaR. De undersökta aktierna är Apple, Alphabet och Tesla. VaR måtten beräknas genom att förutspå volatiliteten samt genom att göra antaganden om aktiernas avkast- ningsfördelning. Volatiliteten förutspås genom två olika modeller och bägge modeller kommer både att inkludera sentiment från sociala medier samt exkludera sentimenten. Därav kommer det totalt vara fyra olika volatilitets prognoser för vardera aktie. Volatilitetsmodellerna som används i denna studie är HAR modellen och HAR-NN modellen. De antaganden som görs om logartimen av avkastningsfördelningarna är att de följer en logistik fördelning samt en normalfördelning. Dessutom är VaR måtten beräknade och eval- uerade genom antalet gånger portföljen överskrider VaR måttet för varje volatilitetsprognos och för vardera antagande om avkastningsfördelning. Resultaten av denna studie visar att inkludering av sentiment från sociala medier förbättrar volatilitetsprognosen för Apple och Alphabet, samt att portföljen överskrider dessa VaR mått för båda fördelningsantaganden. Däremot, visar resultaten för Tesla att volatilitetsprog- nosen är sämre då sentiment från sociala medier inkluderas i modellerna. En möjlig anledning till detta skulle kunna vara på grund av inflyelserika personer, så som Elon Musk vars Twitter inlägg har större påverkan på aktievolatiliteten än medelsentimentet. En annan anledning till detta skulle kunna vara på grund av multikollinearitet, ifall sentimenten till Tesla är starkt korrelerade med volatiliteten. Samman- taget visade resultaten att antagandet av att logaritmen av avkastningarna följer en logistikt fördelning var mer passande än antagandet av en normalfördelning för alla tre aktier.