Ce document de synthèse résume les travaux de l'auteur sur les extensions et systèmes de Hopf-Galois et leurs applications en théorie des représentations des groupes quantiques, ainsi que sur les constructions d'exemples de groupes quantiques.

L'imagerie des propriétés spectroscopiques locales, par microphotoluminescence, nous a permis de comprendre et d'analyser les propriétés de localisation dans les fils quantiques semiconducteurs gravés en V, et d'identifier les causes structurales de désordre. Nous avons ainsi mis en évidence les différences entre deux générations de fils quantiques. Dans la première, la rugosité des hétéro-interfaces impliquées dans le confinement des porteurs est importante et donne lieu à la localisation des excitons; le fil quantique, dit en "régime 0D", se comporte comme une collection de boîtes quantiques. Dans la deuxième génération, les fluctuations des hétéro-interfaces sont beaucoup plus rares (2 par µm dans les meilleurs échantillons) et les excitons sont délocalisés sur plusieurs centaines de nanomètres. Chaque îlot peut alors être considéré comme une portion de fil quantique, justifiant l'appellation de "régime 1D". Les propriétés électroniques des fils quantiques ont été étudiées en microluminescence sur une boîte quantique ou un îlot unique, et ont été corrélées à leurs propriétés structurales. Cette approche "nano-objet individuel" nous a donné accès aux propriétés intrinsèques de ces objets, en nous affranchissant de l'élargissement inhomogène des résultats habituellement obtenus sur une population macroscopique. Dans les fils quantiques en régime 0D, la structure fine du doublet radiatif de l'exciton localisé dans les boîtes quantiques a été mise en évidence expérimentalement et reliée à l'interaction Coulombienne d'échange. L'évolution en température des spectres de microluminescence a été interprétée comme l'établissement du couplage fort entre excitons et phonons acoustiques : le pic zéro phonon observé à basse température disparaît dès 30 K au profit d'une raie plus large de luminescence assistée par les processus d'émission et d'absorption de phonons. Dans les fils quantiques en régime 1D, nous avons montré que les excitons délocalisés dans les îlots sont sensibles au désordre résiduel, principalement dû à la présence de champs piézoélectriques internes. La théorie de l'exciton a été reprise dans le cas des fils quantiques, dont la singularité nécessite une grande rigueur dans la résolution de l'hamiltonien de l'atome d'hydrogène à 1D. Le temps de vie radiatif des excitons a été mesuré et suit à basse température une loi en sqrt(T), prouvant que les excitons de bas de bande sont localement à l'équilibre thermique et que leur densité est en 1/sqrt(E) à l'échelle de kT, comme attendu pour un système unidimensionnel. Nous avons enfin mis en évidence la transition de Mott entre un gaz dilué d'excitons en interaction Coulombienne et un plasma dense d'électrons et de trous lorsque la densité de porteurs photocréés est augmentée, et nous avons caractérisé ces différents régimes de densité. La formation de biexcitons dans le gaz dilué d'excitons a en particulier été confirmée.

Dans les nanostructures 1D et 0D, le confinement latéral des porteurs autorise des transitions intrabandes polarisées dans le plan des couches. Ces structures présentent alors un intérêt pour la photodétection à incidence normale ou l'émission de lumière par la surface. Les échantillons sont réalisés par épitaxie par jets moléculaires. Les contraintes dues au désaccord de maille entre l'InAs et l'InP donnent naissance à des îlots de taille nanométrique en suivant le mode de croissance Stranski-Krastanov. La caractérisation structurale de ces îlots par AFM et TEM montre un profil en forme de pyramide tronquée et un allongement le long de la direction [1-10]. Le faible désaccord de maille (3%) conduit à une couverture complète de la surface d'InAlAs par des boîtes allongées ou des fils. Les échantillons ont été caractérisés par photoluminescence et par spectroscopie d'absorption photo-induite. Ces expériences ont permis de montrer la présence d'absorptions infrarouges remarquables (12-14µm), polarisées dans le plan des couches et attribuées à la transition optique entre l'état fondamental et le premier état excité confiné suivant la direction [110]. D'autre part, nous mettons également en évidence la présence de transitions moins intenses à plus courte longueur d'onde (9-12µm) dans les polarisations [110] et [1-10] dont l'intensité est fortement dépendante de la température. Nous attribuons ainsi ces résonances à des transitions entre niveaux excités de la bande de conduction. Des mesures de spectroscopie de photocourant complètent l'étude optique et montrent les performances remarquables de ce système pour la photodétection à incidence normale. Les résultats issus de simulations, tenant compte de la non-parabolicité des bandes, montrent un accord satisfaisant avec les expériences et autorisent l'identification des raies observées. La synthèse des différentes spectroscopies conduit à la reconstruction de la structure énergétique des boîtes.

Nous avons étudié des systèmes hybrides supraconducteurs/ métal normal balistiques dont la partie normale est une hétérojonction GaAs/AlGaAs, et la partie supraconductrice de l'indium. C'est un système qui permet, grâce à la grande cohérence de phase et la possibilité d'utiliser des grilles, d'envisager la manipulation de paires corrélées dans la partie normale : une nouvelle approche de bits quantiques.<br />Nous avons mis au point un procédé de fabrication de jonctions S/N de très bonnes transparences, avec des dimensions mésoscopique, en faisant diffuser de l'indium. Le problème essentiel est lié à l'inhomogénéité de la diffusion de l'indium. Nous avons caractérisé l'interface par différents types de mesures de transport à très basses températures. Nous avons montré, d'une part que l'indium diffuse de façon directionnel, d'autre part, qu'il ne s'agit ni d'une jonction diffusive ni d'une jonction sale, mais d'une barrière tunnel dont seul un faible nombre de canaux participent à la conduction. Nous avons mis en évidence la présence d'une zone de désordre près de l'interface qui s'étend sur quelques centaines de nanomètres. La présence de filaments d'indium diffusés a été corroborée par l'observation sur des jonctions courtes d'un super courant porté par ces filaments. Nous avons enfin fait une première tentative de manipulation de paires de Cooper à l'aide d'un QPC : nous avons observé des plateaux de conductance en fonction de la tension de grille dont la hauteur est divisée par deux lorsqu'on applique un faible champ magnétique>

Cette thèse a pour objectif de proposer un modèle mathématique pour le transport électronique hors-équilibre dans des systèmes mésoscopiques tels que les hétérostuctures ou les super-réseaux. On est amené à faire une étude asymptotique de systèmes non-linéaires stationnaires 1D du type Schrödinger-Poisson hors-équilibre. Le potentiel présente des sauts ainsi que des puits quantiques ponctuels à la limite. Pour l'étude non-linéaire à proprement parler, on établit l'existence de solutions asymptotiques, et que celles-ci sont déterminées par un nombre fini de paramètres. Néanmoins, le gros de l'étude consiste en une compréhension des propriétés spectrales de l'équation de Schrödinger linéaire associée, le système non-linéaire étudié étant semi-linéaire. La nature du problème nécessite une analyse sur le spectre continu, qui plus est la présence des puits engendre des résonances quantiques. Après avoir établi l'asymptotique des fonctions du Hamiltonien, on s'attarde sur les fonctions du moment. Leur analyse, plus complexe, est étroitement liée aux résonances de l'opérateur. On fournit une réponse complète dans les cas où la répartition des puits permet un traitement de ces résonances, notamment lorsque les puits sont bien groupés ou confinés à l'intérieur de l'île et suivant qu'ils sont alimentés ou non. Cette discussion met en évidence l'existence de solutions stationnaires dites classiques, par opposition aux solutions de nature quantique. On termine l'étude en mettant en évidence l'existence de solutions quantiques dans des cas particuliers.

La membrane cellulaire est un environnement très dynamique où diffusent plusieurs familles de protéines. Pour assurer la communication entre neurones, certains récepteurs membranaires diffusant librement doivent être stabilisés aux jonctions de communication neuronales: les synapses. Des changements dans le comportement diffusif de ces récepteurs induisent des variations de leurs populations à la synapse. La capacité d'observer ces protéines diffuser individuellement est donc importante pour mieux comprendre certains mécanismes cellulaires associés au fonctionnement du système nerveux. Alors que les fluorophores organiques (Alexa, Atto, ...) et génétiquement encodées (GFP, RFP, ...) photoblanchissent rapidement, les nanocristaux semi-conducteurs fluorescents (points quantiques: QDs) sont photo-stables, ce qui permet de suivre les protéines marquées sur de plus longues périodes. Même si la structure cristalline du QD dépasse rarement les 10nm de diamètre, la taille de la sonde fonctionnalisée, une fois équipée d'un enrobage hydrophile et de protéines d'hameçonnage, est d'environ 30 nm, limitant leur accessibilité dans la fente synaptique (environ 20 nm). De plus, la multivalence des versions commerciales des QDs fonctionnalisés pose problème, en leur permettant de lier plusieurs récepteurs à la fois. Dans ce mémoire, nous présentons donc différentes approches pour la biofonctionnalisation de petit QDs monovalents, ainsi que les principales stratégies pour marquer des récepteurs synaptiques uniques à partir de QDs. De plus, nous présentons une étude de la diffusion de récepteurs synaptiques diffusant à l'intérieur et à l'extérieur de synapses et comparons les résultats en fonction des 2 types de sondes utilisés : QDs enrobés d'anticorps et QDs enrobés de streptavidine. Ces travaux devraient contribuer à l'optimisation d'une approche pour suivre les dynamiques des récepteurs synaptiques dans des modèles de plasticité synaptique.

Dans cette thèse nous proposons plusieurs contributions à l'étude des groupes quantiques et de leurs représentations. Dans le cadre de l'étude des représentations de dimension finie des algèbres affines quantiques, nous proposons une nouvelle construction algébrique générale des q,t-caractères (t-déformations des q-caractères de Frenkel-Reshetikhin), indépendante de la construction géométrique de Nakajima (cette dernière n'est valable que pour le cas ADE). Cela nous permet d'étendre la quantification de l'anneau de Grothendieck et la définition des analogues des polynômes de Kazhdan-Lusztig aux cas non simplement lacés. Par ailleurs nous établissons une décomposition triangulaire des affinisées quantiques générales (incluant les algèbres affines et toroïdales quantiques) et classifions leurs représentations intégrables de plus haut poids. Nous proposons une nouvelle construction d'un produit de fusion en définissant une déformation du ``nouveau coproduit de Drinfel'd''.

En mécanique statistique quantique, un système quantique ouvert représente un petit système de degré fini de liberté en interaction avec un système extérieur très large (bain thermique, réservoir bosonique, environnement... ).<br /> <br /> Pour décrire cette interaction, les physiciens et les mathématiciens utilisent souvent deux approches: l'approche markovienne et l'approche hamiltonienne.<br /> <br /> Nous comparons systématiquement les approches hamiltonienne et markovienne dans les cas des modèles de spin-boson et de Pauli-Fierz. Ensuite, nous présentons un modèle lindbladien pour une chaîne de N spins couplée à des bains thermiques. Puis, nous étudions le lien entre les interactions quantiques répétées et la limite de densité faible. Finalement, nous étudions les propriétés des équations d'évolutions discrètes associées aux modèles d'interactions répétées, qui sont dirigées par des bruits discrets classiques.

Dans cette thèse nous étudions le groupe quantique d’automorphismes des graphes finis, introduit par Banica et Bichon. Dans un premier temps nous montrerons un théorème de structure du groupe quantique d’automorphismes du produit lexicographique de deux graphes finis réguliers, qui généralise un résultat classique de Sabidussi. Ce théorème donne une condition nécessaire et suffisante pour que ce groupe quantique s’exprime comme le produit en couronne libre des groupes quantiques d’automorphismes de ces deux graphes. Dans un deuxième temps, nous expliciterons certaines améliorations de résultats de Banica, Bichon et Chenevier permettant d’obtenir des critères de non symétrie quantique sur les graphes, à l’aide des outils développés par les auteurs susmentionnés.Enfin, pour poursuivre ces recherches, nous développerons une autre méthode utilisant la dualité de Tannaka-Krein et inspirée de l’étude des groupes quantiques compacts orthogonaux par Banica et Speicher. Celle-ci nous permettra, à l’aide d’une étude orbitale approfondie des graphes sommets-transitifs, d’énoncer une condition suffisante pour qu’un graphe ait des symétries quantiques ; condition qui a vocation à être aussi nécessaire mais ceci reste une conjecture à ce stade. / In this thesis we study the quantum automorphism group of finite graphs, introduces by Banica and Bichon. First we will prove a theorem about the structure of the quantum automorphism group of the lexicographic product of two finite regular graphs. It is a quantum generalization of a classical result of Sabidussi. This theorem gives a necessary and sufficient condition for this quantum group to be discribe as the free wreath product of the quantum automorphism groups of these two graphs. Then, we will give some improvement of Banica, Bichon and Chenevier results, to obtain a quantum non-symmetry criteria on graphs, using tools developped by the above authors. Finally, to continue this research, we will describe another method using Tannaka-Krein duality and inspired by the study of orthogonal compact groups by Banica and Speicher. This will enable us, with a thorough orbital study of vertex-transitive graphs, to state a sufficient condition for a graph to have quantum symmetries ; condition which is intended to be also necessary but this remains conjecture at this point.

Cette thèse est consacrée à l’étude des trajectoires quantiques issues de la théorie desmesures continues en mécanique quantique non relativiste. On y présente de nouveaux résultatsthéoriques ainsi que des exemples d’applications. Sur le front théorique, on étudie principalementla limite de mesure «forte» dans laquelle on met en évidence l’émergence de sauts quantiques etd’échardes quantiques, deux phénomènes dont on précise la statistique. Hors de la limite forte, onpropose une méthode d’extraction optimale d’information pour un registre de qubits. Sur le frontdes applications, on introduit une méthode originale de contrôle utilisant l’intensité de la mesurecomme unique variable et on explique la transition balistique-diffusif dans les marches aléatoiresquantiques ouvertes; deux sous produits de l’étude théorique préalable des situations de mesureforte. On s’intéresse aussi au problème de la gravité semi-classique et montre que la théorie desmesures continues peut permettre d’en construire un modèle cohérent à la limite newtonienne. Onsuggère enfin quelques extensions possibles de la théorie à l’estimation a posteriori et d’éventuellesgénéralisations des résultats théoriques à des situations de mesures répétées discrètes. Dans laprésentation des résultats, l’accent est mis davantage sur l’explicitation des liens entre les multiplespoints de vue possibles sur les trajectoires quantiques (parallèles avec la théorie classique du filtrageet les modèles de collapse objectif utilisés dans les fondements) que sur la rigueur mathématique. / This thesis is devoted to the study of the quantum trajectories obtained from thetheory of continuous measurement in non relativistic quantum mechanics. New theoretical resultsas well as examples of applications are presented. On the theoretical front, we study mostly thelimit of «strong» measurement where we put forward the emergence of quantum jumps and quantumspikes, two phenomena we characterize in detail. Out of the strong measurement limit, weinvestigate a method to extract information from a register of qubits optimally. On the applicationfront, we introduce an original method to control quantum systems exploiting only the freedomof changing the measurement intensity and we explain the transition between a ballistic and adiffusive behavior in open quantum random walks; two byproduct of the theoretical study of thestrong measurement regime. We further study the problem of semi-classical gravity and show thatcontinuous measurement theory allows to construct a consistent model in the Newtonian regime.We eventually suggest possible extensions of the formalism to a posteriori estimation and hint atgeneralizations of the results for the strong measurement limit in the wider context of discreterepeated measurements. In the course of our presentation, we emphasize the link with other approachesto the theory of continuous measurement (parallels with stochastic filtering and collapsemodels in foundations) rather than aim for mathematical rigor.