University, Diss., 2004--Heidelberg.

<p>Stochastic information, to be understood as &quot;information gained by the application of stochastic methods&quot;, is proposed as a tool in the assessment of changes in climate.</p> <p>This thesis aims at demonstrating that stochastic information can improve the consideration and reduction of uncertainty in the assessment of changes in climate. The thesis consists of three parts. In part one, an indicator is developed that allows the determination of the proximity to a critical threshold. In part two, the tolerable windows approach (TWA) is extended to a probabilistic TWA. In part three, an integrated assessment of changes in flooding probability due to climate change is conducted within the TWA.</p> <p>The thermohaline circulation (THC) is a circulation system in the North Atlantic, where the circulation may break down in a saddle-node bifurcation under the influence of climate change. Due to uncertainty in ocean models, it is currently very difficult to determine the distance of the THC to the bifurcation point. We propose a new indicator to determine the system's proximity to the bifurcation point by considering the THC as a stochastic system and using the information contained in the fluctuations of the circulation around the mean state. As the system is moved closer to the bifurcation point, the power spectrum of the overturning becomes &quot;redder&quot;, i.e. more energy is contained in the low frequencies. Since the spectral changes are a generic property of the saddle-node bifurcation, the method is not limited to the THC, but it could also be applicable to other systems, e.g. transitions in ecosystems. </p> <p>In part two, a probabilistic extension to the tolerable windows approach (TWA) is developed. In the TWA, the aim is to determine the complete set of emission strategies that are compatible with so-called guardrails. Guardrails are limits to impacts of climate change or to climate change itself. Therefore, the TWA determines the &quot;maneuvering space&quot; humanity has, if certain impacts of climate change are to be avoided. Due to uncertainty it is not possible to definitely exclude the impacts of climate change considered, but there will always be a certain probability of violating a guardrail. Therefore the TWA is extended to a probabilistic TWA that is able to consider &quot;probabilistic uncertainty&quot;, i.e. uncertainty that can be expressed as a probability distribution or uncertainty that arises through natural variability.</p> <p>As a first application, temperature guardrails are imposed, and the dependence of emission reduction strategies on probability distributions for climate sensitivities is investigated. The analysis suggests that it will be difficult to observe a temperature guardrail of 2&deg;C with high probabilities of actually meeting the target.</p> <p>In part three, an integrated assessment of changes in flooding probability due to climate change is conducted. A simple hydrological model is presented, as well as a downscaling scheme that allows the reconstruction of the spatio-temporal natural variability of temperature and precipitation. These are used to determine a probabilistic climate impact response function (CIRF), a function that allows the assessment of changes in probability of certain flood events under conditions of a changed climate. </p> <p>The assessment of changes in flooding probability is conducted in 83 major river basins. Not all floods can be considered: Events that either happen very fast, or affect only a very small area can not be considered, but large-scale flooding due to strong longer-lasting precipitation events can be considered. Finally, the probabilistic CIRFs obtained are used to determine emission corridors, where the guardrail is a limit to the fraction of world population that is affected by a predefined shift in probability of the 50-year flood event. This latter analysis has two main results. The uncertainty about regional changes in climate is still very high, and even small amounts of further climate change may lead to large changes in flooding probability in some river systems.</p> / <p>Stochastische Information, zu verstehen als &quot;Information, die durch die Anwendung stochastischer Methoden gewonnen wird&quot;, wird als Hilfsmittel in der Bewertung von Klima&auml;nderungen vorgeschlagen.</p> <p>Das Ziel dieser Doktorarbeit ist es, zu zeigen, dass stochastische Information die Ber&uuml;cksichtigung und Reduktion von Unsicherheit in der Bewertung des Klimawandels verbessern kann. Die Arbeit besteht aus drei Teilen. Im ersten Teil wird ein Indikator entwickelt, der die Bestimmung des Abstandes zu einem kritischen Grenzwert ermöglicht. Im zweiten Teil wird der &quot;tolerable windows approach&quot; (TWA) zu einem probabilistischen TWA erweitert. Im dritten Teil wird eine integrierte Absch&auml;tzung der Ver&auml;nderung von &Uuml;berflutungswahrscheinlichkeiten im Rahmen des TWA durchgeführt.</p> <p>Die thermohaline Zirkulation (THC) ist ein Zirkulationssystem im Nordatlantik, in dem die Zirkulation unter Einfluss des Klimawandels in einer Sattel-Knoten Bifurkation abreißen kann. Durch Unsicherheit in Ozeanmodellen ist es gegenw&auml;rtig kaum m&ouml;glich, den Abstand des Systems zum Bifurkationspunkt zu bestimmen. Wir schlagen einen neuen Indikator vor, der es erm&ouml;glicht, die N&auml;he des Systems zum Bifurkationspunkt zu bestimmen. Dabei wird die THC als stochastisches System angenommen, und die Informationen, die in den Fluktuationen der Zirkulation um den mittleren Zustand enthalten sind, ausgenutzt. Wenn das System auf den Bifurkationspunkt zubewegt wird, wird das Leistungsspektrum &quot;roter&quot;, d.h. die tiefen Frequenzen enthalten mehr Energie. Da diese spektralen Ver&auml;nderungen eine allgemeine Eigenschaft der Sattel-Knoten Bifurkation sind, ist die Methode nicht auf die THC beschränkt, sondern weitere Anwendungen k&ouml;nnten m&ouml;glich sein, beispielsweise zur Erkennung von &Uuml;berg&auml;ngen in &Ouml;kosystemen.</p> <p>Im zweiten Teil wird eine probabilistische Erweiterung des &quot;tolerable windows approach&quot; (TWA) entwickelt. Das Ziel des TWA ist die Bestimmung der Menge der Emissionsreduktionsstrategien, die mit sogenannten Leitplanken kompatibel sind. Diese Leitplanken sind Begrenzungen der Auswirkungen des Klimawandels, oder des Klimawandels selber. Der TWA bestimmt daher den Spielraum, den die Menschheit hat, wenn bestimmte Auswirkungen des Klimawandels vermieden werden sollen. Durch den Einfluss von Unsicherheit ist es aber nicht m&ouml;glich, die betrachteten Auswirkungen des Klimawandels mit Sicherheit auszuschlie&szlig;en, sondern es existiert eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass die Leitplanke verletzt wird. Der TWA wird daher zu einem probabilistischen TWA weiterentwickelt, der es erm&ouml;glicht, &quot;probabilistische Unsicherheit&quot;, also Unsicherheit, die durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgedr&uuml;ckt werden kann, oder die durch den Einfluß von nat&uuml;rlicher Variabilit&auml;t entsteht, zu ber&uuml;cksichtigen.</p> <p>Als erste Anwendung werden Temperaturleitplanken betrachtet, und die Abh&auml;ngigkeit der Emissionsreduktionsstrategien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Klimasensitivit&auml;t wird bestimmt. Die Analyse ergibt, dass die Einhaltung einer Temperaturleitplanke von 2&deg;C sehr schwierig wird, wenn man hohe Wahrscheinlichkeiten des Einhaltens der Leitplanke fordert.</p> <p>Im dritten Teil wird eine integrierte Absch&auml;tzung der &Auml;nderungen von &Uuml;berflutungswahrscheinlichkeiten unter Einfluss des Klimawandels durchgef&uuml;hrt. Ein einfaches hydrologisches Modell wird vorgestellt, sowie ein Skalierungsansatz, der es erm&ouml;glicht, die raum-zeitliche nat&uuml;rliche Variabilit&auml;t von Temperatur und Niederschlag zu rekonstruieren. Diese werden zur Bestimmung einer probabilistischen Klimawirkungsfunktion genutzt, einer Funktion, die es erlaubt, die Ver&auml;nderungen der Wahrscheinlichkeit bestimmter &Uuml;berflutungsereignisse unter Einfluss von Klima&auml;nderungen abzusch&auml;tzen.</p> <p>Diese Untersuchung der Ver&auml;nderung von &Uuml;berflutungswahrscheinlichkeiten wird in 83 großen Flusseinzugsgebieten durchgef&uuml;hrt. Nicht alle Klassen von &Uuml;berflutungen k&ouml;nnen dabei ber&uuml;cksichtigt werden: Ereignisse, die entweder sehr schnell vonstatten gehen, oder die nur ein kleines Gebiet betreffen, k&ouml;nnen nicht ber&uuml;cksichtigt werden, aber großfl&auml;chige &Uuml;berflutungen, die durch starke, langanhaltende Regenf&auml;lle hervorgerufen werden, k&ouml;nnen ber&uuml;cksichtigt werden. Zuguterletzt werden die bestimmten Klimawirkungsfunktion dazu genutzt, Emissionskorridore zu bestimmen, bei denen die Leitplanken Begrenzungen des Bev&ouml;lkerungsanteils, der von einer bestimmten Ver&auml;nderung der Wahrscheinlichkeit eines 50-Jahres-Flutereignisses betroffen ist, sind. Letztere Untersuchung hat zwei Hauptergebnisse. Die Unsicherheit von regionalen Klima&auml;nderungen ist immer noch sehr hoch, und au&szlig;erdem k&ouml;nnen in einigen Flusssystemen schon kleine Klima&auml;nderungen zu gro&szlig;en &Auml;nderungen der &Uuml;berflutungswahrscheinlichkeit f&uuml;hren.</p>

Diss.--Mathematik--Berlin--Humboldt-Universität, 2000. / Notes bibliogr. Bibliogr. p. [175]-179. Index.

Für zufällige dynamische Systeme mit stetiger Zeit existieren zwei wichtige Klassen von Generatoren: Zum einen stationäre zufällige ifferentialgleichungen, i.e. gewöhnliche Differentialgleichungen, die von einem stationärer zufälligen Vektorfeld getrieben werden, und zum anderen stochastische Stratonovichdifferentialgleichungen mit weißem Rauschen. Während die erste Klasse sich gut in den ergodentheoretischen Rahmen der Theorie der zufälligen dynamischen Systeme einfügt, widersetzte sich die zweite Klasse lange Zeit der dynamischen Untersuchung aufgrund des "Konflikts zwischen Ergodentheorie und stochastischer Analysis". In dieser Arbeit wird gezeigt, daß beide Klassen von zufälligen dynamischen Systemen nicht wesentlich verschieden sind, genauer: Zu jeder stochastischen Stratonovichdifferentialgleichung mit weißem Rauschen (unter den üblichen Regularitätsforderungen an die Vektorfelder, die die Existenz von Flüssen garantieren) existiert eine stationäre zufällige Differentialgleichung derart, daß die erzeugten zufälligen dynamischen Systeme konjugiert sind. Als Anwendung wird eine Version des lokalen Linearisierungssatzes von Hartman/Grobman für stochastische Stratonovichdifferentialgleichungen bewiesen. / For continuous time random dynamical systems there exist two important classes of generators: on the one hand stationary random differential quations, i.e. ordinary differential equations driven by a stationary random vector field, and on the other hand stochastic Stratonovich differential equations with white noise. While the first class fits well into the framework of the theory of random dynamical systems, the second class resisted for a long time the dynamical investigation due to the "conflict between ergodic theory and stochastic analysis". The main result of this thesis is that both classes of random dynamical systems are not essentially distinct, more precisely: For each stochastic Stratonovich differential equation with white noise (under usual regularity assumptions) there exists a stationary random differential equation such that the corresponding random dynamical systems are conjugate. As an application a version of the local Hartman/Grobman theorem for stochastic differential equations is proved.

Im Rahmen dieser Dissertation bemühe ich mich, den statistischen Ansatz der zeitkontinuierlichen dynamischen Modellierung, der die Rolle der Zeit explizit berücksichtigt, zu erweitern und praktisch anwendbar zu machen. Diese Dissertation ist so strukturiert, dass ich in Kapitel 1 die Natur dynamischer Modelle bespreche, verschiedene Ansätze zum Umgang mit mehreren Personen betrachte und ein zeitkontinuierliches dynamisches Modell mit Input-Effekten (wie Interventionen) und einem Gaußschen Messmodell detailliert darstelle. In Kapitel 2 beschreibe ich die Verwendung der Software ctsem für R, die als Teil dieser Dissertation entwickelt wurde und die Modellierung von Strukturgleichungen und Mixed-Effects über einen frequentistischen Schätzansatz realisiert. In Kapitel 3 stelle ich einen hierarchischen, komplett Random-Effects beinhaltenden Bayesschen Schätzansatz vor, unter dem sich Personen nicht nur in Interceptparametern, sondern in allen Charakteristika von Mess - und Prozessmodell unterscheiden können, wobei die Schätzung individueller Parameter trotzdem von den Daten aller Personen profitiert. Kapitel 4 beschreibt die Verwendung der Bayesschen Erweiterung der Software ctsem. In Kapitel 5} betrachte ich die Natur experimenteller Interventionen vor dem Hintergrund zeitkontinuierlicher dynamischer Modellierung und zeige Ansätze, die die Art und Weise adressieren, mit der Interventionen auf psychologische Prozesse über die Zeit wirken. Das berührt Fragen, wie: 'Nach welcher Zeit zeigt eine Intervention ihre maximale Wirkung', 'Wie ändert sich die Form des Effektes im Laufe der Zeit' und 'Für wen ist die Wirkung am stärksten oder dauert am längsten an'. Viele Bei-spiele, die sowohl frequentistische als auch bayessche Formen der Software ctsem verwenden, sind enthalten. Im letzten Kapitel fasse ich die Dissertation zusammen, zeige Limitationen der angebotenen Ansätze auf und stelle meine Gedanken zu möglichen zukünftigen Entwicklungen dar. / With this dissertation I endeavor to extend, and make practically applicable for psychology, the statistical approach of continuous time dynamic modelling, in which the role of time is made explicit. The structure of this dissertation is such that in Chapter 1, I discuss the nature of dynamic models, consider various approaches to handling multiple subjects, and detail a continuous time dynamic model with input effects (such as interventions) and a Gaussian measurement model. In Chapter 2, I describe the usage of the ctsem software for R developed as part of this dissertation, which provides a frequentist, mixed effects, structural equation modelling approach to estimation. Chapter 3 details a hierarchical Bayesian, fully random effects approach to estimation, allowing for subjects to differ not only in intercept parameters but in all characteristics of the measurement and dynamic models -- while still benefiting from other subjects data for parameter estimation. Chapter 4 describes the usage of the Bayesian extension to the ctsem software. In Chapter 5 I consider the nature of experimental interventions in the continuous time dynamic modelling framework, and show approaches to address questions regarding the way interventions influence psychological processes over time, with questions such as 'how long does a treatment take to reach maximum effect', `how does the shape of the effect change over time', and 'for whom is the effect strongest, or longest lasting'. Many examples using both frequentist and Bayesian forms of the ctsem software are given. For the final chapter I summarise the dissertation, consider limitations of the approaches offered, and provide some thoughts on possible future developments.

We prove that every (nice) Feller process is an It^o process in the sense of Cinlar, Jacod, Protter and Sharpe (1980). Next we generalize the notion of the symbol and define it for this larger class of processes. As examples the solutions of stochastic differential equations are considered. The symbol is then used to derive a quick approach to the semimartingale characteristics as well as the generator of the process under consideration. Finally we give some examples of how our methods work for processes used in mathematical finance. / Wir haben gezeigt, dass jeder (nette) Feller Prozess ein It^o Prozess im Sinne von Cinlar, Jacod, Protter und Sharpe (1980) ist. Es stellt sich heraus, dass man den Begriff des Symbols, der für Feller Prozesse bekannt ist, auf diese größere Klasse verallgemeinern kann. Dieses Symbol haben wir für die Lösungen verschiedener stochastischer Differentialgleichungen berechnet. Außerdem haben wir gezeigt, dass das Symbol einen schnellen Zugang zur Berechnung der Semimartingal-Charakteristiken und des Erzeugers eines It^o Prozesses liefert. Zuletzt wurden die Ergebnisse auf Prozesse angewendet, die in der Finanzmathematik gebräuchlich sind. - (Die Dissertation ist veröffentlicht im Shaker Verlag GmbH, Postfach 101818, 52018 Aachen, Deutschland, http://www.shaker.de, ISBN: 978-3-8322-8244-8)

We prove that every (nice) Feller process is an It^o process in the sense of Cinlar, Jacod, Protter and Sharpe (1980). Next we generalize the notion of the symbol and define it for this larger class of processes. As examples the solutions of stochastic differential equations are considered. The symbol is then used to derive a quick approach to the semimartingale characteristics as well as the generator of the process under consideration. Finally we give some examples of how our methods work for processes used in mathematical finance. / Wir haben gezeigt, dass jeder (nette) Feller Prozess ein It^o Prozess im Sinne von Cinlar, Jacod, Protter und Sharpe (1980) ist. Es stellt sich heraus, dass man den Begriff des Symbols, der für Feller Prozesse bekannt ist, auf diese größere Klasse verallgemeinern kann. Dieses Symbol haben wir für die Lösungen verschiedener stochastischer Differentialgleichungen berechnet. Außerdem haben wir gezeigt, dass das Symbol einen schnellen Zugang zur Berechnung der Semimartingal-Charakteristiken und des Erzeugers eines It^o Prozesses liefert. Zuletzt wurden die Ergebnisse auf Prozesse angewendet, die in der Finanzmathematik gebräuchlich sind. - (Die Dissertation ist veröffentlicht im Shaker Verlag GmbH, Postfach 101818, 52018 Aachen, Deutschland, http://www.shaker.de, ISBN: 978-3-8322-8244-8)

Economic uncertainty may affect significantly people’s behavior and hence macroeconomic variables. It is thus important to understand how people behave in presence of different kinds of economic risk. The present dissertation focuses therefore on the impact of the uncertainty in capital and labor income on the individual saving behavior. The underlying uncertain variables are here modeled as stochastic processes that each obey a specific stochastic differential equation, where uncertainty stems either from Poisson or Lévy processes. The results on the optimal behavior are derived by maximizing the individual expected lifetime utility. The first chapter is concerned with the necessary mathematical tools, the change-of-variables formula and the Hamilton-Jacobi-Bellman equation under Poisson uncertainty. We extend their possible field of application in order make them appropriate for the analysis of the dynamic stochastic optimization problems occurring in the following chapters and elsewhere. The second chapter considers an optimum-saving problem with labor income, where capital risk stems from asset prices that follow geometric L´evy processes. Chapter 3, finally, studies the optimal saving behavior if agents face not only risk but also uncertain spells of unemployment. To this end, we turn back to Poisson processes, which here are used to model properly the separation and matching process.

Economic uncertainty may affect significantly people’s behavior and hence macroeconomic variables. It is thus important to understand how people behave in presence of different kinds of economic risk. The present dissertation focuses therefore on the impact of the uncertainty in capital and labor income on the individual saving behavior. The underlying uncertain variables are here modeled as stochastic processes that each obey a specific stochastic differential equation, where uncertainty stems either from Poisson or Lévy processes. The results on the optimal behavior are derived by maximizing the individual expected lifetime utility. The first chapter is concerned with the necessary mathematical tools, the change-of-variables formula and the Hamilton-Jacobi-Bellman equation under Poisson uncertainty. We extend their possible field of application in order make them appropriate for the analysis of the dynamic stochastic optimization problems occurring in the following chapters and elsewhere. The second chapter considers an optimum-saving problem with labor income, where capital risk stems from asset prices that follow geometric L´evy processes. Chapter 3, finally, studies the optimal saving behavior if agents face not only risk but also uncertain spells of unemployment. To this end, we turn back to Poisson processes, which here are used to model properly the separation and matching process.

In dieser Arbeit betrachten wir das Strömungs-Diffusions-(Reaktions)-Problem für passive Markerteilchen, die in zweidimensionalen laminaren Strömungsmustern mit geringem thermischem Rauschen gelöst sind. Der deterministische Fluss umfasst Zellen in Form von Quadraten oder Katzenaugen. In ihnen tritt Rotationsbewegung auf. Einige der Strömungen bestehen aus wellenförmigen Bereichen mit gerader Vorwärtsbewegung. Alle Systeme sind entweder periodisch oder durch Wände begrenzt. Eine untersuchte Familie von Strömungen interpoliert kontinuierlich zwischen Reihen von Wirbeln und Scherflüssen. Wir analysieren zahlreiche numerische Simulationen, die bisherige theoretische Vorhersagen bestätigen und neue Phänomene offenbaren. Ohne Rauschen sind die Teilchen in einzelnen Bestandteilen des Flusses für immer gefangen. Durch Hinzufügen von schwachem thermischen Rauschen wird die normale Diffusion für lange Zeiten stark verstärkt und führt zu verschiedenen Diffusionsarten für mittlere Zeiten. Mit Continuous-Time-Random-Walk-Modellen leiten wir analytische Ausdrücke in Übereinstimmung mit den numerischen Ergebnissen her, die je nach Parametern, Anfangsbedingungen und Alterungszeiten von subdiffusiver bis superballistischer anomaler Diffusion für mittlere Zeiten reichen. Wir sehen deutlich, dass einige der früheren Vorhersagen nur für Teilchen gelten, die an der Separatrix des Flusses starten - der einzige Fall, der in der Vergangenheit ausführlich betrachtet wurde - und dass das System zu vollkommen anderem Verhalten in anderen Situationen führen kann, einschließlich einem Schwingenden beim Start im Zentrum einesWirbels nach einer gewissen Alterungszeit. Darüber hinaus enthüllen die Simulationen, dass Teilchenreaktionen dort häufiger auftreten, wo sich die Geschwindigkeit der Strömung stark ändert, was dazu führt, dass langsame Teilchen von schnelleren getroffen werden, die ihnen folgen. Die umfangreichen numerischen Simulationen, die für diese Arbeit durchgeführt wurden, mussten jetzt durchgeführt werden, da wir die Rechenleistung dafür besitzen. / In this thesis, we consider the advection-diffusion-(reaction) problem for passive tracer particles suspended in two-dimensional laminar flow patterns with small thermal noise. The deterministic flow comprises cells in the shape of either squares or cat’s eyes. Rotational motion occurs inside them. Some of the flows consist of sinusoidal regions of straight forward motion. All systems are either periodic or are bounded by walls. One examined family of flows continuously interpolates between arrays of eddies and shear flows. We analyse extensive numerical simulations, which confirm previous theoretical predictions as well as reveal new phenomena. Without noise, particles are trapped forever in single building blocks of the flow. Adding small thermal noise, leads to largely enhanced normal diffusion for long times and several kinds of diffusion for intermediate times. Using continuous time random walk models, we derive analytical expressions in accordance with numerical results, ranging from subdiffusive to superballistic anomalous diffusion for intermediate times depending on parameters, initial conditions and aging time. We clearly see, that some of the previous predictions are only true for particles starting at the separatrix of the flow - the only case considered in depth in the past - and that the system might show a vastly different behavior in other situations, including an oscillatory one, when starting in the center of an eddy after a certain aging time. Furthermore, simulations reveal that particle reactions occur more frequently at positions where the velocity of the flow changes the most, resulting in slow particles being hit by faster ones following them. The extensive numerical simulations performed for this thesis had to be done now that we have the computational means to do so. Machines are powerful tools in order to gain a deeper and more detailed insight into the dynamics of many complicated dynamical and stochastic systems.