Le sous-sol de Paris est reconnu et topographié depuis environ deux siècles par plusieurs disciplines. Dans cette thèse, nous avons retenu et analysé depuis leur genèses, souvent intimement liées sur le territoire urbain, ces disciplines de l’épaisseur : la géologie, l’hydrogéologie, l’archéologie, la topographie, puis ce que nous nommons actuellement le génie urbain. L’urbanisme, accepté comme « science de l’organisation spatiale des villes », possède peu de méthodes d’appréhension à même de synthétiser dans le temps et l'espace la diversité de ces approches. La méthode proposée par la thèse rend représentables et quantifiables plusieurs évolutions longues issues des « mesures de ville » étalées dans le temps, à travers un Système d’Information Géographique construit dans une perspective diachronique. Il concerne ici spécifiquement la verticalité. Plusieurs cartographies originales concernant le mouvement du sol et de la nappe phréatique en sont issues.Sur la base de ce support, intégrant la topographie historique, environnementale et tridimensionnelle de plusieurs disciplines urbaines, nous développons deux pistes d’analyse.La première est la compréhension de la construction du projet urbain au XIXe siècle jusqu’aux « grands travaux » à la lumière de la mesure de l’espace et des représentations disponibles. Une chronologie spécifique est proposée.La seconde est une proposition pour un récolement urbaniste souterrain appréhendant le temps long et l'épaisseur de la ville. Elle peut contribuer aux bases de données urbaines, actuellement en majorité construites sur un espace conçu comme parcellaire.Le modèle vise donc à fournir une contribution et de nouvelles pistes de recherches à la fois pour la morphologie préindustrielle de Paris, pour l’archéologie industrielle et plus généralement pour l'approche urbaniste de la couche, désormais connue dans un cadre géologique et environnemental, mais encore non définie du point de vue stratigraphique, sous le nom d'anthropocène. / For more than two centuries now, researchers from different backgrounds and disciplines have started studying and making topographical surveys of the Parisian underground.These different ways of studying urban thickness all inform this thesis. They are all analyzed from their very origins, which are often closely linked in an urban context. These methods include: geology, hydrology, archeology, topography, and what is currently called urban engineering. Urbanism, although it is often described as “the science of spatial organization in cities”, can seldom yield as much temporal and spatial information as these various approaches can when put together. This thesis proposes to present and quantify several long-term evolutions, traced through a series of “urban measurements” performed over time by a Geographical Information System, which was designed for the purposes of a diachronic study. The system here specifically targets urban verticality. It has resulted in the creation of many original maps of ground and ground-water movement.Based on these maps, which include historical, environmental and tridimensional topography, two analyses are then conducted.The first deals with understanding the construction of an urban project in the 19th century - up until the “grands travaux” - by looking at space measurement and available representations. A specific chronology is then proposed.The second analysis offers to compile information concerning the thickness of the urban underground and its evolution through time. This could then dispense information to urban databases, many of which are currently based on an urban space fragmented by plots.The model thus built serves to contribute and to give new research perspectives, to the study of Parisian preindustrial morphology, and industrial archeology, and more generally the urban approach of the layer - known in geological and environmental contexts, but which has yet to be defined from a statigraphic point of view - under the name anthropocene.

Le chapitre 1 introduit les modèles et donne les principaux résultats obtenus. Dans le chapitre 2, on présente des simulations numériques d'un modèle macroscopique en deux dimensions. La méthode de discrétisation par éléments finis utilisée est décrite. Pour le cas test de l'écoulement autour d'un cylindre, les phénomènes en jeu dans les fluides vieillissants sont observés. Le chapitre 3 concerne l'étude mathématique de la version unidimensionnelle du système d'équations aux dérivées partielles utilisé pour les simulations. On montre que le problème est bien posé et on examine le comportement en temps long de la solution. Dans le dernier chapitre, des équations macroscopiques sont dérivées à partir d'une équation mésoscopique. L'analyse mathématique de cette équation mésoscopique est également menée / This thesis is devoted to the modelling, the mathematical analysis and the simulation of non-Newtonian fluids. Some fluids in an intermediate liquid-solid phase are particularly considered: aging fluids. Modelling scales are macroscopic and mesoscopic. In Chapter 1, we introduce the models and give the main results obtained. In Chapter 2, we present numerical simulations of a macroscopic two-dimensional model. The finite element method used for discretization is described. For the flow past a cylinder test-case, phenomena at play in aging fluids are observed. The Chapter 3 contains a mathematical analysis of the one-dimensional version of the system of partial differential equations used for the simulations. We show well-posedness and investigate the longtime behaviour of the solution. In the last chapter, macroscopic equations are derived from a mesoscopic equation. The mathematical analysis of this mesoscopic equation is also carried out

André MEYNIER, héritier de la géographie rurale française, étudia, avec le concours de la télédétection, les formes des parcellaires bocagers et y détecta ce qu’il nomma des « ellipses bocagères ». Il y consacra plusieurs articles, parmi lesquels «les ensembles cadastraux circulaires en Bretagne », dans les Annales de Bretagne, (Rennes, 1945) et «la genèse du parcellaire breton » (Norois, Poitiers, 1966). Après la révolution épistémologique de la géographie française des années 1960 et 1970, cet objet d’étude tomba progressivement en désuétude, sort qui fut d’ailleurs celui de la géographie rurale morphologique dans son ensemble. Dans cette thèse, cet objet – élargi à la notion de forme spatiale héritée, donc liée au temps historique long au sens braudélien – est exhumé pour en réexaminer la pertinence au regard des paradigmes de la géographie contemporaine. Comment insérer le temps long – parfois perçu comme permanence et immobilité, du moins à l’échelle de l’actualité – dans une géographie à vocation dynamique ? Comment les nouveaux courants géographiques auraient-ils pu s’emparer de cet objet qu’un regard rapide condamne à une accusation de passéisme ? Les réflexions engagées se veulent ouvertes à tous les courants de la géographie et n’en rejettent aucun. L’objectif est aussi de développer une dialectique disciplinaire qui transgresse les paradoxes apparents. Pour explorer ces problématiques, les formes spatiales héritées sont choisies non plus en Bretagne mais en France du Nord et au Benelux, où les espaces boisés, notamment ardennais, jouent un rôle majeur dans les limites de finages ; ce sont aussi des espaces frontaliers, ce qui permet la mise en relation avec des discontinuités. Cet espace, situé au seuil du monde Hercynien vaudra quelques escapades vers l’est où il se prolonge, engageant à un voyage vers le monde slave / André MEYNIER, one of the heirs of French rural geography studied the forms in partitioned bocage landscapes and with the help of remote sensing distinguished what he called enclosed landscapes ellipses. He dedicated several articles to them among which “les ensembles cadastraux circulaires en Bretagne” in les Annales de Bretagne (Published in 1945 in Rennes) and “la genèse du parcellaire Breton” (Published in 1966 in Norois). After the epistemological revolution of French geography in the 1960’s and 1970’s, this subject gradually became obsolete as well as classical rural geography as a whole. In this thesis, the subject of my study – broadened to the notion of Inherited Spatial Forms, and consequently connected to long historical time as Fernand Braudel defines it – is reexamined to evaluate its relevance when confronted to the paradigms of modern geography. Along with a geography intending to be dynamic, how could we bring long historical time into the equation when such a time is - on a recent scale at least - sometimes perceived as still and permanent ? How would new geographical streams have been able to express interest in this subject when it is often overlooked as a remnant of the past? The present reflection is meant to encompass all geographical streams without leaving any aside. The objective is also to develop a disciplinary dialectic that would go further than visible paradoxes. In order to delve into these problems, Inherited spatial forms were chosen not only in Brittany but in Northern France and in the Benelux as well, where wooded areas on the outskirts of villages, especially in the Ardennes, have a major role on defining the limits of said villages: they are also bordering areas allowing the link with discontinuities to be made. This region on the threshold of the Hercynian world will take us to an adventurous trip through Eastern Europe

Dans ce travail, nous nous intéressons au transport des aérosols dans les voies aériennes supérieures du poumon humain. Ce phénomène est modélisé dans notre étude par un couplage d'équations aux dérivées partielles issues de la mécanique des fluides et de la théorie cinétique. Ainsi, le fluide est décrit par des fonctions macroscopiques (vitesse, pression), par l'intermédiaire des équations de Navier-Stokes incompressibles tandis que la phase dispersée est décrite par sa densité dans l'espace des phases, grâce à une équation de transport (Vlasov ou Vlasov-Fokker-Planck). Le couplage effectué est fort, en ce sens qu'il associe à l'aérosol une force de rétroaction correspondant au retour de l'accélération de traînée fournie par le fluide: l'interaction fluide/spray se fait dans les deux sens. Enfin, les équations sont en toute généralité considérées en domaine spatial mobile, ceci afin de tenir compte de l'éventuel mouvement des bronches. Dans un premier chapitre, après quelques rappels concernant l'arbre pulmonaire et les aérosols, nous décrivons le système d'équations de Vlasov/Navier-Stokes pour lequel nous avons développé un schéma d'approximation numérique. Ce dernier aspect est abordé dans le deuxième chapitre. La méthode utilisée consiste en un couplage explicite d'une méthode ALE/éléments finis pour le fluide et d'une méthode particulaire pour la phase dispersée. L'algorithme développé nécessitant une procédure de localisation des particules dans le maillage, celle-ci a également été mise en place. Différentes exploitations du code ont ensuite été réalisées. Une première série de simulations numériques a été effectuée afin d'évaluer l'influence de la rétroaction du spray sur le fluide. On prouve ainsi que, pour des données en cohérence avec les nébuliseurs commerciaux, l'aérosol peut accélérer un fluide au repos et de ce fait influencer son propre mouvement. Une autre exploitation du code a été effectuée en collaboration avec une équipe de l'INSERM, à Tours, à l'aide de données expérimentales in vitro. Enfin, une dernière étude a été réalisée sur un conduit cylindrique présentant une constriction en son centre. Nous avons évalué l'influence du mouvement de sa paroi sur la capture de particules sur cette géométrie. Les deux derniers chapitres de cette thèse traitent de l'analyse mathématique de deux couplages fluides/cinétiques. Le premier de ces couplages est celui de Vlasov/Navier-Stokes, précédemment introduit. On prouve l'existence de solutions faibles globales périodiques du système par une méthode basée sur un schéma d'approximation voisin de celui utilisé lors de l'implémentation numérique. Le deuxième couplage est celui de Vlasov-Fokker-Planck/Navier-Stokes pour lequel nous avons obtenu l'existence de solutions fortes pour des données initiales régulières et proches d'un point d'équilibre. Nous avons ensuite étudié le comportement en temps long de solutions du système et précisé la régularité que celui-ci leur impose.

Nous nous intéressons d'abord à l'équation aux dérivées partielles stochastique de Cahn-Hilliard en dimension 1 avec une seule singularité. C'est une équation d'ordre 4 dont la non linéarité est de type logarithmique ou en puissance négative $x^{-\alpha}$, à laquelle on ajoute la dérivée d'un bruit blanc en espace et en temps. On montre l'existence et l'unicité des solutions en utilisant les solutions d'équations approchées aux non linéarités Lipschitz. La présence d'une mesure de réflexion permet d'assurer l'existence de solutions. On étudie ces mesures à l'aide des mesures de Revuz associées et, grâce à une formule d'intégration par parties, on montre qu'elles sont identiquement nulles lorsque alpha est plus grand ou égal à 3. Dans un deuxième temps, on considère la même équation mais avec deux singularités logarithmiques en +1 et -1. Il s'agit du modèle complet de l'équation de Cahn-Hilliard. Cette fois-ci on utilise des équations approchées aux non linéarités polynomiales pour montrer l'existence et l'unicité de solutions. Deux mesures de réflexion doivent ici être ajoutées pour assurer l'existence. De plus, on montrera que la mesure invariante est ergodique. Enfin, on étudie l'équation déterministe : des simulations numériques basées sur une méthode d'élements finis de hauts degrés permettent d'illustrer plusieurs résultats théoriques. La capture des interfaces et des états stationnaires requiert une attention particulière. On s'intéressera également aux bifurcations autour de la première valeur propre du Laplacien sur des domaines généraux. Par ailleurs, quelques simulations stochastiques permettent de mettre en évidence les instants de contact avec les singularités, les évolutions stochastiques en temps long et les changements d'états stationnaires.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Lorsqu’un médecin diagnostique une pathologie chronique tel un diabète ou une artérite, pathologies choisies dans cette recherche, le patient entame, de fait, un processus d’apprentissage de la pathologie et de sa nouvelle vie avec ce diagnostic.Pourtant, ce processus diffère d’un patient à un autre et aboutit à des conduites diverses malgré des recommandations médicales consensuelles. Les professionnels de santé, en effet, ont des objectifs communs pour ces pathologies chroniques qui sont que les patients arrivent à avoir une alimentation équilibrée, pratiquent une activité physique quotidienne, s’abstiennent de tout comportement tabagique et prennent le traitement médicamenteux prescrit. Dans ce but, un certain nombre d’actions sont mises en place,de la campagne de santé publique au travail médical dans un cabinet libéral en passant par des programmes construits d’éducation. Ce que le patient fait grâce (ou malgré)cette éducation est l’objet de cette recherche.À la croisée des domaines de la santé et de l’éducation, nous avons choisi une méthodologie variée pour rendre compte à la fois de l’aspect anthropologique de cet apprentissage en considérant ce qui ne dépend pas du patient et à la fois de l’aspect didactique en observant le résultat des différentes situations sollicitées pour faire changer les patients. La première partie, centrée sur les aspects théoriques, montre la nécessité de considérer le corps dans l’éducation lorsqu’elle est dite thérapeutique.Pour comprendre ce qui est généralement peu ou pas interrogé par les acteurs de l’éducation thérapeutique, nous avons examiné l’ancrage historique des rapports entre le corps, la santé et l’éducation pour mieux étudier le « devenir malade » des patients considérés dans notre étude. Après un approfondissement historique du soin, de l’éducation puis du corps, les rapports actuels entre le corps et la santé ont été observés à l’aide des proverbes usuels, des livres en sciences humaines et sociales, de l’image publicitaire ainsi que des articles de presse. Les processus de transformation des corps malades pouvaient alors être compris selon cet ancrage et l’environnement éducatif dans lequel se situent actuellement les patients. Dans la troisième partie nous avons utilisé les récits des patients rencontrés. La mise en récit de la maladie est le dernier temps méthodologique. Grâce à l’histoire, à la compréhension du monde environnant les patients et à leur récit de vie, nous avons pu dégager des styles de discours. Trois grands styles sont repérés : celui des « experts » qui présentent une centration sur les savoirs,celui des « actifs » avec une centration sur l’activité physique et celui des « mangeurs »avec une centration sur l’alimentation. La compréhension de ces différents styles de discours est à mettre en lien avec les changements de conduites considérés sur le temps long de la pathologie chronique, dans le cadre de la dernière partie de ce travail. Ces modes de changements, tout au long du reste de la vie des patients, prennent différentes formes caractéristiques que nous avons pu dégager selon certains chemin explicatifs.L’ensemble des résultats permet de montrer l’intérêt d’interroger l’éducation thérapeutique actuelle et ses programmes ainsi que les concepts qui y sont attachés en utilisant le corps comme entrée. / As soon as a doctor diagnoses a chronic disease such as diabetes or arteritis, pathologies on which we shall focus in our research, patient begins a learning process of the pathology and their new life with this diagnosis. However this process differs from one patient to another and leads to diverse behaviours despite consistent medical recommendations. In fact, health professionals do seek common objectives: a balanced diet, daily physical activities, tobacco abstinence and a treatment medical that is followed. To reach this goal, various actions are put in place such as public health campaigns, work in the doctor’s office or Therapeutic Patient Education (TPE) programs. Our research focuses on how patients may react to (and benefit), from such education. At the junction of the health and education domains, we choose a diverse methodology to account for both the anthropological side of this learning experience, considering what does not depend on the patient, as well as its, the didactic side, thus observing the outcome of different pedagogical activities. The first part, focused on theory, demonstrates how considering the body is essential in education, especially in therapeutic education. To understand what is typically rarely considered, if not at all by TPE’s actors, we explore the historical roots of relationships between body, health and education to then better understand “becoming ill” as it relates to patients considered as part of our studies. After a historical investigation of cure, education and then the body, actual relationships between body and health are examined with using usual saying, books of Human and social sciences, advertisement pictures and newspaper articles. The transformation processes of sick bodies can then be understood from this viewpoint as well as through the patient’s educational environment. In the third part we used disease narratives from patients we have met. The disease storytelling within life stories is the last methodology step. In light of history, and through the patients’ environment and life stories, we could extract different speech styles that make sense when body speech is analysed in light of various anthropological data. Three major style types are identified: “experts” with centration on knowledge, “actives” with centration on physical activities and “eater” with centration on food. Understanding these style types requires considering behaviour changes in the long time of chronic pathologies, as done in the last part of our work. These different modes of change throughout the patients’ life present different characteristics, which we have been able to discern from various explanation paths. All results together allow us to demonstrate the value there is in questioning current TPE programs and its related concepts using the body as an input.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25. / The aim of this thesis is to study the large time behavior of solutions of nonlocal evolution equations and to also study the singular limit of equations and systems of parabolic partial differential equations involving a small parameter epsilon. In Chapter 1, we consider a nonlocal reaction-diffusion equation with mass conservation, which was originally proposed by Rubinstein and Sternberg as a model for phase separation in a binary mixture. The corresponding Neumann problem possesses a Lyapunov functional, namely a functional which decreases in time along solution orbits. After having proved that the solution is conned in an invariant region, we study its large time behavior and apply a Lojasiewicz inequality to show that it converges to a stationary solution as t tends to infinity. We also evaluate the rate of convergence and precisely compute the limiting stationary solution in one space dimension. Chapter 2 is devoted to the study of a nonlocal evolution equation which one obtains by neglecting the diffusion term in the nonlocal Allen-Cahn equation studied in Chapter 1. Without the diffusion term, the solution can not be expected to be more regular than the initial function. Moreover, because of the absence of the diusion term, the method of Chapter 1 can not be applied to study the large time behavior of the solution. We present a new method based up on rearrangement theory and the study of the solution profile. We show that the solution stabilizes for large times and give a detailed characterization of its asymptotic limit as t tends to infinity. More precisely, it turns out that the limiting function is a step function, which takes at most two values, which are stable points of a corresponding ordinary dierential equation. We also show by means of a nontrivial counterexample that, when a certain hypothesis on the initial function does not hold, the limiting function may take three values. One of them is the unstable point and the two others are the stable points of the ordinary dierential equation. We study in Chapter 3 a nonlocal ordinary dierential equation which has been proposed by M. Nagayama. The nonlocal term involves a denominator which may vanish. We apply a contraction fixed point theorem to prove the existence of a unique solution which stays confined in an invariant region. We also show that the corresponding initial value problem possesses a Lyapunov functional and prove that the solution stabilizes for large times to a step function, which takes at most two values. In Chapter 4, we consider a diffuse-interface tumor-growth model which involves a fourth order Cahn-Hilliard type equation. Introducing a related phase-field model, we formally study the singular limit of the solution as the reaction coecient tends to infinity. More precisely, we show that the solution converges to the solution of a moving boundary problem. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

De nombreux travaux récents ont démontré l'importance de la stochasticité dans l'expression des gènes à différentes échelles. On passera tout d'abord en revue les principaux résultats expérimentaux pour motiver l'étude de modèles mathématiques prenant en compte des effets aléatoires. On étudiera ensuite deux modèles particuliers où les effets aléatoires induisent des comportements intéressants, en lien avec des résultats expérimentaux: une dynamique intermittente dans un modèle d'auto-régulation de l'expression d'un gène; et l'émergence d'hétérogénéité à partir d'une population homogène de protéines par modification post-traductionnelle.\\ Dans le Chapitre I, nous avons étudié le modèle standard d'expression des gènes à trois variables: ADN, ARN messager et protéine. L'ADN peut être dans deux états, respectivement ''ON'' et ''OFF''. La transcription (production d'ARN messagers) peut avoir lieu uniquement dans l'état ''ON''. La traduction (production de protéines) est proportionnelle à la quantité d'ARN messager. Enfin la quantité de protéines peut réguler de manière non-linéaire les taux de production précédent. Nous avons utilisé des théorèmes de convergence de processus stochastique pour mettre en évidence différents régimes de ce modèle. Nous avons ainsi prouvé rigoureusement le phénomène de production intermittente d'ARN messagers et/ou de protéines. Les modèles limites obtenues sont alors des modèles hybrides, déterministes par morceaux avec sauts Markoviens. Nous avons étudié le comportement en temps long de ces modèles et prouvé la convergence vers des solutions stationnaires. Enfin, nous avons étudié en détail un modèle réduit, calculé explicitement la solution stationnaire, et étudié le diagramme de bifurcation des densités stationnaires. Ceci a permis 1) de mettre en évidence l'influence de la stochasticité en comparant aux modèles déterministes; 2) de donner en retour un moyen théorique d'estimer la fonction de régulation par un problème inverse. \\ Dans le Chapitre II, nous avons étudié une version probabiliste du modèle d'agrégation-fragmentation. Cette version permet une définition de la nucléation en accord avec les modèles biologistes pour les maladies à Prion. Pour étudier la nucléation, nous avons utilisé une version stochastique du modèle de Becker-Döring. Dans ce modèle, l'agrégation est réversible et se fait uniquement par attachement/détachement d'un monomère. Le temps de nucléation est définit comme le premier temps où un noyau (c'est-à-dire un agrégat de taille fixé, cette taille est un paramètre du modèle) est formé. Nous avons alors caractérisé la loi du temps de nucléation dans ce modèle. La distribution de probabilité du temps de nucléation peut prendre différente forme selon les valeurs de paramètres: exponentielle, bimodale, ou de type Weibull. Concernant le temps moyen de nucléation, nous avons mis en évidence deux phénomènes importants. D'une part, le temps moyen de nucléation est une fonction non-monotone du paramètre cinétique d'agrégation. D'autre part, selon la valeur des autres paramètres, le temps moyen de nucléation peut dépendre fortement ou très faiblement de la quantité initiale de monomère . Ces caractérisations sont importantes pour 1) expliquer des dépendances très faible en les conditions initiales, observées expérimentalement; 2) déduire la valeur de certains paramètres d'observations expérimentales. Cette étude peut donc être appliqué à des données biologiques. Enfin, concernant un modèle de polymérisation-fragmentation, nous avons montré un théorème limite d'un modèle purement discret vers un modèle hybride, qui peut-être plus utile pour des simulations numériques, ainsi que pour une étude théorique.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties traitant des problèmes de Cauchy ou des problèmes périodiques. Dans la première partie, on étudie la stabilité de solutions régulières au voisinage d'états d'équilibre non constants pour un système d'Euler-Maxwell isentropique compressible bipolaire. Par des estimations d'énergie classiques et un argument de récurrence sur l'ordre des dérivées des solutions, on montre l'existence globale et l'unicité des solutions régulières du système lorsque les données initiales sont proches des états d'équilibre. On obtient aussi le comportement asymptotique des solutions quand le temps tend vers l'infini. Dans la deuxième partie, on considère la stabilité en temps long des solutions régulières de systèmes d'Euler-Maxwell et de Navier-Stokes-Maxwell compressibles dans le cas non isentropique lorsque les états d'équilibre sont constants. Grâce à des choix convenables de symétriseurs des systèmes et à des estimations d'énergie, on montre l'existence globale et l'unicité des solutions régulières des systèmes avec données initiales petites. De plus, par le principe de Duhamel et l'outil d'analyse de Fourier, on obtient des taux de décroissance des solutions quand le temps tend vers l'infini. / This thesis is essentially composed of two parts dealing with Cauchy problems and periodic problems. In the first part, we study the stability of smooth solutions near non constant equilibrium states for a two-fluid isentropic compressible Euler-Maxwell system.By classical energy estimates together with an induction argument on the order of the derivatives of solutions, we prove the existence and uniqueness of global solutions to the system when the given initial data are near the equilibrium states. We also obtain the asymptotic behavior of solutions when the time goes to infinity. In the second part, we consider the long time stability of the global smooth solutions for compressible Euler-Maxwell and Navier-Stokes-Maxwell systems in non isentropic case when the equilibrium solutions are constants. With the help of suitable choices of symmetrizers and energy estimates, we prove the existence and uniqueness of global solutions to the systems with given small initial data. Furthermore, using the Duhamel principle and the Fourier analysis tool, we obtain the decay rates of smooth solutions as the time goes to infinity.