Ce manuscrit est divisé en trois parties distinctes. les deux<br />premières parties sont axées sur l'étude de quelques mécanismes<br />intrinsèques de l'effet Hall anormal. Nous montrons notamment que la<br />diffusion des porteurs de charge par des impuretés ou des défauts<br />donne une contribution intrinsèque non négligeable à l'effet Hall<br />anormal. Nous proposons ensuite une expérience, basée sur un réseau de<br />nanocylindres magnétiques, placé au dessus d'un gaz d'électrons<br />bidimensionnel, dans laquelle les contributions intrinsèques de<br />l'effet Hall anormal sont clairement identifiables et contrôlables.<br />Enfin, nous abordons le problème du mécanisme de chiralité de spin<br />proposé pour expliquer l'effet Hall dans le composé pyrochlore<br />Nd$_2$Mo$_2$O$_7$. En utilisant un modèle de gaz sur réseau ainsi<br />qu'une configuration magnétique non colinéaire (chirale), nous<br />montrons que la conductivité transverse a une dépendance complexe par<br />rapport à la chiralité de spin.<br /><br />La dernière partie de ce manuscrit est dédiée à l'étude de quelques<br />propriétés des gaz d'électrons soumis à un champ magnétique<br />inhomogène. Après un bref rappel sur la dynamique d'électron en<br />présence d'un gradient de champ magnétique constant, nous abordons le<br />problème d'un champ magnétique périodique spatialement. En calculant<br />quelques états de Bloch aux points de haute symétrie, nous montrons qu'il<br />existe des états pour lesquels les électrons sont localisés au<br />voisinage des lignes de champ nul. Le calcul des courants de<br />probabilité montre que ces états sont porteurs de courants permanents<br />dont l'origine est liée aux inhomogénéités du champ magnétique au<br />voisinages des lignes de champ nul.

Notre travail porte sur la définition d'outils de conception préliminaire de mécanismes, capables de construire des solutions admissibles à partir d'un cahier des charges donné et de débuter le processus de conception (esquisse et dimensionnement approché des formes des pièces).<br /><br />Dans cette optique, nous proposons une méthode de conception adaptée à la classe des mécanismes de transmission de mouvement rotatif, à structure linéaire, à 1 degré de mobilité et à rapport constant. Le logiciel CASYMIR (Conception Assistée de SYstèmes Mécaniques de transmIssion en Rotation) a été développé pour illustrer cette démarche qui comporte 3 étapes :<br /><br />À l'étape de synthèse topologique, un algorithme créatif génère l'ensemble des mécanismes-solutions admissibles. Il est basé sur l'exploration combinatoire d'une base de mécanismes (engrenages, courroies, trains épicycloïdaux, accouplements, etc.) et sur des règles de conception permettant d'éliminer les combinaisons inadaptées. Les mécanismes-solutions sont classés par ordre de préférence grâce à une méthode multi-critères ou par un algorithme de logique floue.<br /><br />Pour le pré-calcul dimensionnel, nous proposons la notion de squelette de mécanisme, qui est une représentation filaire spatiale des arbre, des entraxes et des angles du mécanisme. On peut alors construire un modèle géométrique basé sur celui de Denavit-Hartenberg puis l'optimiser pour trouver la position et l'orientation des étages minimisant l'encombrement et vérifiant les conditions de fermeture du mécanisme.<br /><br />La dernière étape de synthèse dimensionnelle permet de calculer les dimensions principales du mécanisme en intégrant des contraintes à la fois géométriques (non interférence des pièces, continuité géométrique et cinématique) et technologiques (résistance des dentures d'engrenages, rapport de réduction, etc.) au sein d'un même problème d'optimisation.<br /><br />Enfin, l'étude d'un réducteur industriel permet de valider le logiciel et la démarche.

Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur deux aspects de la modélisation géométrique de surfaces lisses. L'ambition des recherches menées sur le thème de l'interpolation de triangulations polygonales quelconques par des surfaces polynomiales a été de revenir à la source du problème en introduisant un autre découpage, régulier en quatre cette fois ci, des triangles données en entrée. Nous présentons de nouvelles approches en insistant sur la résolution du problème de raccordement lisse de patchs triangulaires en un sommet commun ainsi que sur le choix optimal des paramètres de forme permettant de contrôler la qualité esthétique de la surface. De plus, l'invariance par subdivision d'un des schémas permet une hiérarchisation des procédés d'interpolation. Il devient alors possible d'avoir un modèle de surface multirésolution paramétrique, et permettant de décrire de topologies quelconques, applicable dans des domaines aussi divers que la CAO, la réalité virtuelle ou la médecine. Le deuxième thème concerne le lissage de surfaces B-splines. Deux types de méthodes, basées sur la diminution de la variation de courbures, sont présentés. Les premières utilisent des stratégies de recherche heuristiques ou systématiques. Les secondes reposent sur la convolution du réseau des points de contrôle de la surface par des filtres discrets.

On s'intéresse à la géométrie des variétés de courbure de Ricci presque supérieure à $k$ (i.e. telle qu'une norme $L^p$---locale ou globale---de la fonction $(\underline(\rm Ric)-k)^-$ soit petite, où $\underline(\rm Ric)(x)$ est la plus petite valeur propre de la courbure de Ricci en $x$). On démontre sous cette hypothèse les équivalents des inégalités géométriques classiques de Myers, de Bishop-Gromov, de Lichnerowicz,... puis on caractérise les variétés qui réalisent presque les cas d'égalité (généralisant des travaux de T.~Colding et de P.~Petersen). Sur une variété compacte $M^n$ de courbure presque positive, le laplacien sur les 1-formes a au plus $n$ petites valeurs propres. S'il a exactement $n$ petites valeurs propres ($n-1$ suffisent si $M$ est orientable) alors $M$ est difféomorphe à une Nilvariété et la métrique est presque invariante à gauche. Ces résultats découlent d'estimées analytiques établies dans la première partie de la thèse.

Ce mémoire est une synthèse de nos travaux de recherche menés au sein des laboratoires d'Orange Labs (anciennement France Télécom R&D) pour répondre à une problématique identifiée par ledit opérateur et concernant les flux d'échanges en mode pair-à-pair (P2P). Communément assimilé à un échange de fichiers, le P2P a de nombreuses applications. Il correspond à une évolution du monde du logiciel, des réseaux et des équipements. Au-delà du partage, nous sommes confrontés à une puissance disponible de façon distribuée (en termes de CPU, bande passante, stockage, etc.). La montée en puissance du P2P exige de nouveaux systèmes pouvant satisfaire les besoins des usagers, mais aussi ceux des fournisseurs d'accès à Internet (FAI) et autres opérateurs de réseaux. Les premiers cherchent en permanence une bonne qualité de service (QoS) bien perceptible. Les seconds aspirent à l'optimisation de l'usage des ressources du réseau (notamment la bande-passante) et à la réduction des différents coûts d'opération et de maintenance (dont ceux découlant de leurs accords économiques inter-opérateurs). D'où l'intérêt de nos travaux de recherche qui visent à sensibiliser un réseau P2P au réseau IP sous-jacent, afin d'aboutir à un système de routage P2P efficace, en phase avec les politiques des réseaux d'infrastructures sous-jacents. Ces travaux se focalisent sur les systèmes P2P utilisant des tables de hachage distribuées (DHT), après les avoir étudiées et analysées. Ce mémoire commence par une analyse des principaux protocoles de découverte de ressources dynamiques dans les différentes architectures de réseaux P2P. Les exigences requises pour un routage P2P efficace sont par la suite établies. Il s'en suit une présentation des techniques de génération de l'information de proximité sous-jacente, ainsi que des techniques et principaux systèmes d'exploitation de cette information. Nos travaux de recherche ont abouti à la définition, la conception, la spécification et l'analyse individuelle et comparative de deux systèmes : CAP (Context-Aware P2P system) et NETPOPPS (NETwork Provider Oriented P2P System). Le premier système est sensible au contexte et introduit une sémantique dans les identifiants des pairs et des objets. Le second système est orienté opérateur de réseau, et adapte les flux P2P à la topologie sous-jacente et aux politiques de l'opérateur, tout en simplifiant la gestion des différents identifiants.

Magnetic Resonance Imaging, Computed Tomography, and other image modalities are routinely used to visualize a particular structure in the patient's body. The classification of the image region corresponding to this structure is called segmentation. For applications in Neuroscience, it is important for the segmentation of a brain scan to represent the boundary of the brain as a folded surface with no holes. However the segmentation of the brain generally exhibits many erroneous holes. Consequently we have developed an algorithm for automatically correcting holes in segmented medical scans while preserving the accuracy of the segmentation. Upon concepts of Discrete Topology, we remove the holes based on the smallest modification to the image. First we detect each hole with a front propagation and a Reeb graph. Then we search for a number of loops around the hole on the isosurface of the image. Finally we correct the hole in the image using the loop that minimizes the modification to the image. At each step we limit the size of the data in memory. With these contributions our algorithm removes every hole in the image with high accuracy and low complexity even for images too large to fit into the main memory. To help doctors and scientists to obtain segmentations without holes, we have made our software publicly available at http://www.OpenTopology.org. / Les images par Résonance Magnétique, la Tomographie par Rayons X et les autres modalités d'imagerie médicale sont utilisées quotidiennement pour visualiser une structure particulière dans le corps du patient. La classification de la région de l'image qui correspond à cette structure s'appelle la segmentation. Pour des applications en Neuroscience, il est important que la segmentation d'une image du cerveau représente la surface extérieure du cerveau comme une surface pliée sans trous. Cependant la segmentation du cerveau présente généralement de nombreux trous. Par conséquent, nous avons développé un algorithme pour corriger automatiquement les trous dans les images médicales segmentées tout en préservant la précision de la segmentation. Sur des concepts de Topologie Discrète, nous enlevons les trous en fonction de la plus petite modification apportée à l'image. D'abord nous détectons chaque trou avec un certain nombre de boucles autour du trou sur l'isosurface de l'image. Finalement nous corrigeons le trou dans l'image en utilisant la boucle qui minimise la modification de l'image. A chaque étape, nous limitons la taille des données en mémoire. Grâce à ces contributions notre algorithme enlève tous les trous dans l'image avec une grande précision et une faible complexité même pour des images trop grandes pour tenir dans la mémoire de l'ordinateur. Pour aider les médecins et les chercheurs à obtenir des segmentations sans trous, nous avons rendu notre logiciel disponible publiquement à http://www.OpenTopology.org.

Ce mémoire présente des résultats dans trois directions. En géométrie riemannienne, on montre une généralisation de l'inégalité de Günther sur le volume, et en dimension 4 une inégalité isopérimétrique pour les variétés à courbure majorée. En géométrie des espaces de Wasserstein, issus du transport optimal, on montre des résultats plongement et de non-plongement, on calcule des groupes d'isométries, et on étudie la dynamique de l'action sur les mesures des applications dilatantes du cercle. En topologie de Chabauty, on montre que l'espace des sous-groupes fermés de $R^n$ est simplement connexe.

La théorie des catégories (TC) vaut tant par ses applications mathématiques que par les débats philosophiques qu'elle suscite. Elle sert à exprimer en topologie algébrique, à déduire en algèbre homologique et, en tant qu'alternative à la théorie des ensembles, à construire des objets en géométrie algébrique dans la conception de Grothendieck. Des sources non publiées montrent que Grothendieck quitta le groupe Bourbaki à l'issue d'un débat sur la TC relevant en partie de l'épistémologie, notamment quant à la réalisation ensembliste des constructions catégorielles. Nous soutenons que la TC est fondamentale, car elle traite d'opérations typiques de la mathématique de structures : d'après notre position pragmatique, la justification de la connaissance mathématique ne se fait pas par la réduction à des objets de base mais plutôt, à chaque niveau, par rapport au sens commun technique (les théories de niveau ultérieur ont pour objets les théories des objets originaux).

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Ce mémoire étudie les dynamiques holomorphes glocales, celles qui sont l'expression (locale) dans un germe de carte d'une dynamique holomorphe (globale) sur une variété projective complexe. On y établit l'existence de germes de feuilletages holomorphes du plan complexe qui ne sont localement conjugués à aucun feuilletage algébrique. Cette preuve repose sur un théorème de type Baire, dans lequel les unions dénombrables de fermés analytiques propres (ensembles analytiquement maigres) sont d'intérieur vide. La notion d'analyticité (en dimension infinie) utilisée est celle associée à des topologies localement convexes particulières sur l'algèbre différentielle des germes de fonctions holomorphes en un point. On en déduit par ailleurs que les germes holomorphes satisfaisant des relations analytiques "raisonnables" constituent un ensemble analytiquement maigre. Ce mémoire discute ensuite la description "explicite" d'un exemple de système non glocal. Une méthode calculable de réalisation de feuilletages nœuds-cols, d'invariants de Martinet-Ramis prescrits, est décrite. La production d'un exemple est donc ramenée à la caractérisation effective des invariants de Martinet-Ramis de feuilletages glocaux. Une conjecture de type Hermite-Lindemann, allant dans ce sens, est ensuite présentée. Enfin ce mémoire présente une généralisation de la construction de la monodromie de Marín-Mattei, cet objet étant un invariant local des feuilletages singuliers du plan complexe. On espère ici encore pouvoir obtenir des caractérisations partielles des monodromies de feuilletages glocaux. Les hypothèses permettant de réaliser la construction, portant sur le type de réduction de la singularité, sont affaiblies et des exemples montrant leur optimalité sont présentés.