In dieser Arbeit studieren wir Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie, d.h. ihre Holonomiedarstellung wirkt schwach-irreduzibel aber nicht irreduzibel. Aufgrund der schwachen Irreduzibilität lässt die Darstellung einen ausgearteten Unterraum invariant und damit also auch eine lichtartige Linie. Geometrisch hat dies zur Folge, dass wir zwei parallele Unterbündel (die Linie und ihr orthogonales Komplement) des Tangentialbündels erhalten. Diese Arbeit nutzt diese und weitere Objekte um zu beweisen, dass kompakte Lorentzmannigfaltigkeiten mit Abelscher Holonomie geodätisch vollständig sind. Zudem werden Lorentzmannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie und nicht-negativer Ricci-Krümung auf den Blättern der Blätterung, induziert durch das orthogonale Komplement der parellelen Linie, und maximaler erster Bettizahl untersucht. Schließlich werden vollständige Ricci-flache Lorentzmannigfaltigkeiten mit vorgegebener voller Holonomie konstruiert. / In the present thesis we study dimensional Lorentzian manifolds with special holonomy, i.e. such that their holonomy representation acts indecomposably but non-irreducibly. Being indecomposable, their holonomy group leaves invariant a degenerate subspace and thus a light-like line. Geometrically, this means that, since being holonomy invariant, this line gives rise to parallel subbundles of the tangent bundle. The thesis uses these and other objects to prove that Lorentian manifolds with Abelian holonomy are geodesically complete. Moreover, we study Lorentzian manifolds with special holonomy and non-negative Ricci curvature on the leaves of the foliation induced by the orthogonal complement of the parallel light-like line whose first Betti number is maximal. Finally, we provide examples of geodesically complete and Ricci-flat Lorentzian manifolds with special holonomy and prescribed full holonomy group.

Im ersten Teil der Dissertation wird ein diskretes stochastisches zustandsabhängiges Modell eines zweiseitigen Limit Orderbuchs als bestehend aus den Zustandsgrößen bester Bidpreis (Geldkurs), bester Askpreis (Briefkurs) und vorhandener Kauf- bzw. Verkaufsdichte definiert. Für eine einfache Skalierung mit zwei Zeitskalen wird ein Grenzwertsatz bewiesen. Die Veränderungen der besten Bid- und Askpreise werden im Sinne des Gesetzes der großen Zahlen skaliert und dies entspricht der langsameren Zeitskala. Das Platzieren bzw. Stornieren der Limitorder findet auf der schnelleren Zeitskala statt. Der Grenzwertsatz besagt, dass die fundamentalen Zustandsgrößen, gegeben Regularitätsbedingungen der einkommenden Order, fast sicher zu einem stetigen Limesmodell konvergieren. Im Limesmodell sind der beste Bidpreis und der beste Askpreis die eindeutigen Lösungen von zwei gekoppelten gewöhnlichen DGLen. Die Kauf- und Verkaufsdichten sind jeweils als eindeutige Lösungen von linearen hyperbolischen PDGLen, die anhand der Erwartungswerte der einkommenden Orderparameter festgelegt sind, gegeben. Die Lösungen sind in geschlossener Form erhältlich. Im zweiten Teil wird ein funktionaler zentraler Grenzwertsatz d.h. ein Invarianzprinzip für ein vereinfachtes Modell eines Limitorderbuches bewiesen. Unter einer natürlichen Skalierung konvergiert der zweidimensionale Preisprozess (Bid- und Askpreis) in Verteilung zu einer Semimartingal reflektierten Brownschen Bewegung in der zugelassenen Preismenge. Gleichzeitig konvergieren die Kauf- und Verkaufsdichten im schwachen Sinn zum Betrag einer zweiparametrischen Brownschen Bewegung. Es wird weiterhin anhand eines Beispiels gezeigt, wie man für das Modell im ersten Teil eine stochastiche PDGL, unter einer starken Stationaritätsannahme für die Orderplatzierungen und -stornierungen, herleiten kann. Im dritten Teil wird ein Mittelungs- bzw. ein Invarianzprinzip für diskrete Banach- bzw. Hilbertraumwertige stochastische Prozesse bewiesen. / In the first part of the thesis, we define a random state-dependent discrete model of a two-sided limit order book in terms of its key quantities best bid [ask] price and the standing buy [sell] volume density. For a simple scaling that introduces a slow time scaling, that is equivalent to the classical law of large numbers, for the bid/ask prices and a faster time scale for the limit volume placements/cancelations, that keeps the expected volume rate over the considered price interval invariant, we prove a limit theorem. The limit theorem states that, given regularity conditions on the random order flow, the key quantities converge in the sense of a strong law of large numbers to a tractable continuous limiting model. The limiting model is such that the best bid and ask price dynamics can be described in terms of two coupled ODE:s, while the dynamics of the relative buy and sell volume density functions are given as the unique solutions of two linear first-order hyperbolic PDE:s with variable coefficients, specified by the expectation of the order flow parameters. In the second part, we prove a functional central limit theorem i.e. an invariance principle for an order book model with block shaped volume densities close to the spread. The weak limit of the two-dimensional price process (best bid and ask price) is given by a semi-martingale reflecting Brownian motion in the set of admissible prices. Simultaneously, the relative buy and sell volume densities close to the spread converge weakly to the modulus of a two-parameter Brownian motion. We also demonstrate an example how to easily derive an SPDE for the relative volume densities in a simple case, when a strong stationarity assumption is made on the limit order placements and cancelations for the model suggested in the first part. In the third and final part of the thesis, we prove an averaging and an invariance principle for discrete processes taking values in Banach and Hilbert spaces, respectively.

In order to help children become effective at addition and subtraction, it is important to provide them with an opportunity to investigate and discover the interconnectedness of the two operations. Fact families are one method teachers use to try and help children develop and understand how the operations relate to one another. This paper documents a strategy that was used with a seven year old boy to help him connect addition to subtraction. The strategy incorporated flash card tools to help him create logical problems to discover the mathematical relationship of fact families. With just a few trials, the child was able to create and explain problems that demonstrated the interconnectedness of fact families through addition and subtraction. The model was successful in helping the child advance his understanding. Additionally, it can be extended to more complex addition and subtraction problems as well as multiplication and division fact families.

Die Verwendung von Mathcad an der TU Chemnitz hat sich sowohl im Bereich der Forschung und Entwicklung als auch der Lehre und Bearbeitung studentischer Projekte etabliert. Im Rahmen dieser Entwicklung ist das Expertenwissen entstanden, Lehrveranstaltungen zur gezielten Nutzung von Mathcad bei der Lösung technischer Berechnungsprobleme zu halten. Der erste Teil des Vortrags stellt Bemühungen zur Einführung dieser Software bereits in der Sekundarstufe II des Gymnasiums Einsiedel Chemnitz vor. Im zweiten Teil des Vortrags wird die intuitive Verwendung von Mathcad auch bei aufwendigeren Berechnungen an Beispielen der Getriebekinematik gezeigt. Mittels der Exponentialschreibweise werden eine Kurbelschwinge und ein Roboterarm beschrieben.

In order to help children become effective at addition and subtraction, it is important to provide them with an opportunity to investigate and discover the interconnectedness of the two operations. Fact families are one method teachers use to try and help children develop and understand how the operations relate to one another. This paper documents a strategy that was used with a seven year old boy to help him connect addition to subtraction. The strategy incorporated flash card tools to help him create logical problems to discover the mathematical relationship of fact families. With just a few trials, the child was able to create and explain problems that demonstrated the interconnectedness of fact families through addition and subtraction. The model was successful in helping the child advance his understanding. Additionally, it can be extended to more complex addition and subtraction problems as well as multiplication and division fact families.

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