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In der vorliegenden Arbeit wird das Entstehen von Singularitäten an Oberflächen von dünnen Flüssigkeitsfilmen studiert. Unter einer Singularität versteht man hier das plötzliche Aufreißen einer Flüssigkeitsoberfläche an einer Stelle. Nach einer Diskussion physikalischer Phänomene, wird ein 2D Modell zur Beschreibung von Flüssigkeitsfilmen hergeleitet. Dieses Modell beinhaltet u.a. Oberflächenspannung, van der Waals''sche Kräfte und eine Navier-slip Randbedingung (Schlupf-Randbedingung) zwischen Substrat und Flüssigkeit, d.h. die Flüssigkeite haftet nicht an der Grenzfläche zum Substrat. Dieses Phänomen wird vor allen Dingen im Nano- und Mikrometerbereich beobachtet. Dieses Modell wird vereinfacht und man erhält die sogenannte "strong-slip" Gleichung. In dieser Dissertation werden verschiedene Ansätze verfolgt, um die Singularität der Flüssigkeitsoberfläche zu beschreiben. Der Entstehungsprozess der Singularität wird durch die lineare Stabilitätsuntersuchung beschrieben. Da die Linearisierung schnell ihre Gültigkeit verliert, wird das nichtlineare Verhalten der Singularität mit einem numerischen Verfahren beschrieben. Das dazu hier konstruierte Finite-Differenzen-Schema besitzt eine hohe räumliche und zeitliche Genauigkeit. Dadurch können verschiedene Regime, in denen die Singularität eine selbstähnliche Dynamik besitzt, untersucht und beschrieben werden. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Gleichungen weiter vereinfacht. Dadurch können qualitative Eigenschaften der Singularitätsentstehung bewiesen werden. Weiterhin kann so eine Verbindung zu Modellen der Ostwald-Reifung hergestellt werden und man gelangt zu ähnlichen mathematischen Aussagen wie für selbstähnliche Vergröberungsprozesse. Insbesondere wird in der Arbeit gezeigt, dass die Singularität nach endlicher Zeit auftritt. Für das vereinfachte Problem werden hinreichende und notwendige Bedingungen für selbstähnliches Verhalten angegeben. / In this thesis we study the formation of surface singularites of thin liquid films, i.e., rupture of thin liquid films. First, important physical phenomena are discussed and a two-dimensional model for thin-film rupture is derived . That model contains surface tension, van der Waals forces between a liquid and a underlying substrate, and a Navier-slip condition. Using the thin-film hypothesis, this model is simplified and one obtains the so-called strong-slip equation. The phenomenon slip, where the velocity of the liquid is non-zero at a fluid-solid interface, is particularly important at microscopic length scales. In this text we study interfacial singularities with various approaches. The creation of a singularity is described by a linear stability analysis. The non-linear behavior is investigated by a numerical analysis. A finite-difference scheme is used to study the non-linear self-similar dynamics of the singularity. In the second part of this thesis the equations are further simplified. This allows to study qualitative properties of the singularity formation. Furthermore, we can establish a correspondence to models for Ostwald rippending and obtain similar mathematical statements as they are known for self-similar coarsening processes. In particular it is shown that rupture happens after a finite time. In addition, necessary and sufficient condition for self-similar rupture are proven.

In dieser Arbeit wird das Fraïssé-Hrushowskis Amalgamationsverfahren in Zusammenhang mit nilpotenten graduierten Lie Algebren über einem endlichen Körper untersucht. Die Prädimensionen die in der Konstruktion auftauchen sind mit dem gruppentheoretischen Begriff der Defizienz zu vergleichen, welche auf homologische Methoden zurückgeführt werden kann. Darüber hinaus wird die Magnus-Lazardsche Korrespondenz zwischen den oben genannten Lie Algebren und nilpotenten Gruppen von Primzahl-Exponenten beschrieben. Dabei werden solche Gruppen durch die Baker-Haussdorfsche Formel in den entsprechenden Algebren definierbar interpretiert. Es wird eine omega-stabile Lie Algebra von Nilpotenzklasse 2 und Morleyrang omega + omega erhalten, indem man eine unkollabierte Version der von Baudisch konstruierten "new uncountably categorical group" betrachtet. Diese wird genau analysiert. Unter anderem wird die Unabhängigkeitsrelation des Nicht-Gabelns durch die Konfiguration des freien Amalgams charakterisiert. Mittels eines induktiven Ansatzes werden die Grundlagen entwickelt, um neue Prädimensionen für Lie Algebren der Nilpotenzklassen größer als zwei zu schaffen. Dies erweist sich als wesentlich schwieriger als im Fall 2. Wir konzentrieren uns daher auf die Nilpotenzklasse 3, als Induktionsbasis des oben genannten Prozesses. In diesem Fall wird die Invariante der Defizienz auf endlich erzeugte Lie Algebren adaptiert. Erstes Hauptergebnis der Arbeit ist der Nachweis dass diese Definition zu einem vernüftigen Begriff selbst-genügender Erweiterungen von Lie Algebren führt und sehr nah einer gewünschten Prädimension im Hrushovskischen Sinn ist. Wir zeigen – als zweites Hauptergebnis – ein erstes Amalgamationslemma bezüglich selbst-genügender Einbettungen. / In this work, the so called Fraïssé-Hrushowski amalgamation is applied to nilpotent graded Lie algebras over the p-elements field with p a prime. We are mainly concerned with the uncollapsed version of the original process. The predimension used in the construction is compared with the group theoretical notion of deficiency, arising from group Homology. We also describe in detail the Magnus-Lazard correspondence, to switch between the aforementioned Lie algebras and nilpotent groups of prime exponent. In this context, the Baker-Hausdorff formula allows such groups to be definably interpreted in the corresponding algebras. Starting from the structures which led to Baudisch’ new uncountably categorical group, we obtain an omega-stable Lie algebra of nilpotency class 2, as the countable rich Fraïssé limit of a suitable class of finite Lie algebras. We study the theory of this structure in detail: we show its Morley rank is omega+omega and a complete description of non-forking independence is given, in terms of free amalgams. In a second part, we develop a new framework for the construction of deficiency-predimensions among graded Lie algebras of nilpotency class higher than 2. This turns out to be considerably harder than the previous case. The nil-3 case in particular has been extensively treated, as the starting point of an inductive procedure. In this nilpotency class, our main results concern a suitable deficiency function, which behaves for many aspects like a Hrushovski predimension. A related notion of self-sufficient extension is given. We also prove a first amalgamation lemma with respect to self-sufficient embeddings.

In der Arbeit befassen wir uns mit der Potenznutzenmaximierung des Endvermögens, wenn die Aktienpreise stetigen Semimartingaldynamiken genügen und die Strategien des Agenten Investitions- und Informationsrestriktionen unterworfen sind. Hauptaugenmerk liegt auf der stochastischen Rückwärtsgleichung (BSDE) für den dynamischen Wertprozess und auf der Übertragung von neuen Ergebnissen zu quadratischen Semimartingal-BSDEs auf das Investitionsproblem. Dieses gelingt unter der Annahme endlicher exponentiellen Momente des Mean-Variance Tradeoff und verallgemeinert frühere Resultate, die Beschränktheit fordern. Wir betrachten dabei zunächst die Beziehung zwischen den Dualitäts- und BSDE-Ansätzen zur Lösung des Problems und gehen dann über zum Studium der quadratischen Semimartingal-BSDE, wenn der Marktpreis des Risikos vom BMO-Typ ist. Wir zeigen, dass es stets ein Kontinuum verschiedener BSDE-Lösungen mit quadratisch integrierbarem Martingalteil gibt. Wir stellen dann eine neue scharfe Bedingung an geeignete dynamische exponentielle Momente vor, die die Beschränktheit der BSDE-Lösungen in einer allgemeinen Filtration garantiert. In weiterer Folge weisen wir Existenz-, Eindeutigkeits-, Stabilitäts- und Maßwechselresultate für allgemeine quadratische stetige BSDEs unter exponentiellen Momenten nach. Diese Ergebnisse verwenden wir, um das Investitionsproblem für den Fall konischer Investitionsrestriktionen zu untersuchen. Ausgehend von der Zerlegung von Elementen des dualen Gebietes erhalten wir die zugehörige BSDE und beweisen, dass der Wertprozess in einem Raum liegt, in dem Lösungen quadratischer BSDEs eindeutig sind. Als Folgerung aus dem Stabilitätsresultat für BSDEs erhalten wir die Stetigkeit der Optimierer in der Semimartingaltopologie in den Parametern des Modells. Schließlich betrachten wir das Investitionsproblem unter exponentiellen Momenten, kompakten Handelsrestriktionen und eingeschränkter Information. Hierbei benutzen wir ausschließlich BSDE-Resultate. / In this thesis we consider the problem of maximizing the power utility from terminal wealth when the stocks have continuous semimartingale dynamics and there are investment and information constraints on the agent''s strategies. The main focus is on the backward stochastic differential equation (BSDE) that encodes the dynamic value process and on transferring new results on quadratic semimartingale BSDEs to the portfolio choice problem. This is accomplished under the assumption of finite exponential moments of the mean-variance tradeoff, generalizing previous results which require boundedness. We first recall the relationship between the duality and BSDE approaches to solving the problem and then study the associated quadratic semimartingale when the market price of risk is of BMO type. We show that there is always a continuum of distinct solutions to this BSDE with square-integrable martingale part. We then provide a new sharp condition on the dynamic exponential moments of the mean-variance tradeoff which guarantees the boundedness of BSDE solutions in a general filtration. In a subsequent step we establish existence, uniqueness, stability and measure change results for general quadratic continuous BSDEs under an exponential moments condition. We use these results to study the portfolio selection problem when there are conic investment constraints. Building on a decomposition result for the elements of the so-called dual domain we derive the associated BSDE and show that the value process is contained in a specific space in which BSDE solutions are unique. A consequence of the stability result for BSDEs is then the continuity of the optimizers with respect to the input parameters of the model in the semimartingale topology. Finally, we study the optimal investment problem under exponential moments, compact constraints and restricted information. This is done by referring to BSDE results only.

Diese Arbeit befasst sich mit der Entwicklung einer Theorie bedingter Mengen. Bedingte Mengenlehre ist reich genug um einen bedingten mathematischen Diskurs zu führen, dessen Möglichkeit wir durch die Konstruktion einer bedingten Topologielehre und bedingter reeller Analysis aufzeigen. Wir beweisen die bedingte Version folgender Sätze: Ultrafilterlemma, Tychonoff, Borel-Lebesgue, Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß, und das Gaplemma von Debreu. Darüberhinaus beweisen wir die bedingte Version derjenigen Resultate der klassischen Mathematik, die in den Beweisen dieser Sätze benötigt werden, beginnend mit der Mengenlehre. Wir diskutieren die Verbindung von bedingter Mengenlehre zur Garben-, Topos- und L0-Theorie. / In this thesis, we develop a theory of conditional sets. Conditional set theory is sufficiently rich in order to allow for a conditional mathematical reasoning, the possibility of which we demonstrate by constructing a conditional general topology and a conditional real analysis. We prove the conditional version of the following theorems: Ultrafilter Lemma, Tychonoff, Borel-Lebesgue, Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß, and Debreu’s Gap Lemma. Moreover, we prove the conditional version of those results in classical mathematics which are needed in the proofs of these theorems, starting from set theory. We discuss the connection of conditional set theory to sheaf, topos and L0-theory.

Wir betrachten die stochastische Differentialgleichung mit Gedächtnis (SDDE) mit Gedächtnislänge r dX(t) = b(X(u);u in [t-r,t])dt + sigma(X(u);u in [t-r,t])dB(t) mit eindeutiger schwacher Lösung. Dabei ist B eine Brownsche Bewegung, b and sigma sind stetige, lokal beschränkte Funktionen mit Definitionsbereich C[-r,0], und X(u);u in [t-r,t] bezeichnet das Segment der Werte von X(u) für Zeitpunkte u im Intervall [t,t-r]. Unser Ziel ist eine Folge von diskreten Zeitreihen Xh höherer Ordung zu konstruieren, so dass mit h gegen 0 die Zeitreihen Xh schwach gegen die Lösung X der stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis konvergieren. Desweiteren werden wir Bedingungen angeben, unter denen eine gegeben Folge von Zeitreihen Xh höherer Ordung schwach gegen die Lösung X einer stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis konvergiert. Als ein Beispiel werden wir den schwachen Grenzwert einer Folge von diskreten GARCH-Prozessen höherer Ordnung ermitteln. Dieser Grenzwert wird sich als schwache Lösung einer stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis herausstellen. / Consider the stochastic delay differential equation (SDDE) with length of memory r dX(t) = b(X(u);u in [t-r,t])dt + sigma(X(u);u in [t-r,t])dB(t), which has a unique weak solution. Here B is a Brownian motion, b and sigma are continuous, locally bounded functions defined on the space C[-r,0], and X(u);u in [t-r,t] denotes the segment of the values of X(u) for time points u in the interval [t,t-r]. Our aim is to construct a sequence of discrete time series Xh of higher order, such that Xh converges weakly to the solution X of the stochastic differential delay equation as h tends to zero. On the other hand we shall establish under which conditions time series Xh of higher order converge weakly to a weak solution X of a stochastic differential delay equation. As an illustration we shall derive a weak limit of a sequence of GARCH processes of higher order. This limit tends out to be the weak solution of a stochastic differential delay equation.

Die Arbeit untersucht lokale Geometrien, die Twistorspinoren zulassen auf pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten beliebiger Signatur. Hierzu entwickeln wir die benötigten Methoden, nämlich das konforme Traktorkalkül, welches eine konform-invariante Beschreibung von Twistorspinoren als parallele Objekte ermöglicht, weiter. In diesem Zusammenhang ist unser erstes zentrales Resultat ein Klassifikationssatz für konforme Strukturen, deren Holonomiegruppen einen total ausgearteten Unterraum beliebiger Dimension invariant lassen. Hierauf aufbauend können wir einen partiellen Klassifikationssatz für konforme Strukturen mit Twistorspinoren beweisen. Weiterhin studieren wir die Nullstellenmenge eines Twistorspinors unter Nutzung der Theorie der Orbitzerlegungen für parabolische Geometrien. Wir können die lokale geometrische Struktur der Nullstellenmenge vollständig beschreiben und zeigen, dass lokal jeder Twistorspinor mit Nullstelle konform äquivalent zu einem parallelem Spinor ist. Eine Anwendung dieser Resultate auf niedrig-dimensionale Split-Signaturen führt zu einer vollständigen geometrischen Beschreibung von Mannigfaltigkeiten mit nicht-generischen Twistorspinoren in den Signaturen (3,2) und (3,3) durch parallele Spinoren, was die schon bekannte Analyse des generischen Falls komplementiert. Darüberhinaus wenden wir das Traktorkalkül an, um einer konformen Spin- Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise eine konforme Superalgebra zuzuordnen. Dieser Zugang führt zu verschiedenen Resultaten, die algebraische Eigenschaften dieser Superalgebra mit speziellen Geometrien auf der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit in Verbindung bringen. Weiterhin erhält man so neue Konstruktionsprinzipien für Twistorspinoren und konforme Killingformen. Zuletzt führen wir den Begriff der konformen Spin-c-Geometrie ein. Unter anderem liefern spezielle Spin-c-Twistorspinoren eine neue Charakterisierung von Fefferman-Räumen. / The present thesis studies local geometries admitting twistor spinors on pseudo- Riemannian manifolds of arbitrary signature. To this end, we refine and extend the necessary machinery of first prolongation of conformal structures and conformal tractor calculus which allows a conformally-invariant description of twistor spinors as parallel objects. In this context, our first main theorem is a classification result for conformal geometries whose conformal holonomy group admits a totally degenerate invariant subspace of arbitrary dimension. Based on this we are able to prove a partial classification result for conformal structures admitting twistor spinors. Moreover, we study the zero set of a twistor spinor using the theory of curved orbit decompositions for parabolic geometries. We can completely describe the local geometric structure of the zero set and show that locally every twistor spinor with zero is equivalent to a parallel spinor off the zero set. An application of these results in low-dimensional split-signatures leads to a complete geometric description of manifolds admitting non-generic twistor spinors in signatures (3,2) and (3,3) in terms of parallel spinors which complements the well-known analysis of the generic case. Moreover, we apply tractor calculus for the construction of a conformal superalgebra naturally associated to a conformal spin structure. This approach leads to various results linking algebraic properties of the superalgebra to special geometric structures on the underlying manifold. It also exhibits new construction principles for twistor spinors and conformal Killing forms. Finally, we introduce and elaborate on the notion of conformal Spin-c-geometry. Among other aspects, this gives rise to a new characterization of Fefferman spaces in terms of distinguished Spin-c-twistor spinors.

Gegenstand dieser Arbeit sind stochastische Kontrollprobleme im Kontext von optimaler Portfolioliquidierung in illiquiden Märkten. Dabei betrachten wir sowohl Markovsche sowie nicht-Markovsche Preiseinflussfunktionale und berücksichtigen den Handel sowohl im Primärmarkt als auch in Dark Pools. Besonderes Merkmal von Liquidierungsproblemen ist die durch die Liquidierungsbedingung induzierte singuläre Endbedingung an die Wertfunktion. Der Standardansatz für linear-quadratische Probleme reduziert die HJB-Gleichungen für die Wertfunktion - je nach Zustandsdynamik - auf (ein System) partielle(r) Differentialgleichungen, stochastische(r) Rückwärtsdifferentialgleichungen beziehungsweise stochastische(r) partielle(r) Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSPDE). Wir beweisen neue Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsresultate für diese zur Lösung optimaler Liquidierungsprobleme verwendeten Differentialgleichungen mit singulärer Endbedingung, verifizieren die Charakterisierung der zugehörigen Wertfunktion anhand dieser Differentalgleichungen und geben die optimale Handelsstrategie in Feedbackform. Für Markovsche und nicht-Markovsche Preiseinflussmodelle wird eine neuartiger Ansatz basierend auf der genauen singulären Asymptotik der Wertfunktion vorgelegt. Für vollständig Markovsche Liquidierungsprobleme erlaubt uns dieser, die Existenz glatter Lösungen der singulären partiellen Differentialgleichungen zu zeigen. Für eine Klasse von Problemen mit Markovscher/nicht-Markovscher Struktur charakterisieren wir die HJB-Gleichungen durch eine singuläre BSPDE, für die wir die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung über einen Bestrafungsansatz herleiten. / We study stochastic optimal control problems arising in the framework of optimal portfolio liquidation under limited liquidity. Our framework is flexible enough to allow for Markovian and non-Markovian impact functions and for simultaneous trading in primary venues and dark pools. The key characteristic of portfolio liquidation models is the singular terminal condition of the value function that is induced by the liquidation constraint. For linear-quadratic models, the standard ansatz reduces the HJB equation for the value to a (system of) partial differential equation(s), backward stochastic differential equation(s) or backward stochastic partial differential equation(s) with singular terminal condition, depending on the choice of the cost coefficients. We establish novel existence, uniqueness and regularity results for (BS)PDEs with singular terminal conditions arising in models of optimal portfolio liquidation, prove that the respective value functions can indeed be described by a (BS)PDE, and give the optimal trading strategies in feedback form. For Markovian and non-Markovian impact models we establish a novel approach based on the precise asymptotics of the value function at the terminal time. For purely Markovian liquidation problems this allows us to establish the existence smooth solutions to singular PDEs. For a class mixed Markovian/non-Markovian models we characterize the HJB equation in terms of a singular BSPDE for which we establish existence and uniqueness of a solution using a stochastic penalization method.

Eine almost Einstein-Struktur (M,g,sigma) ist eine n-dimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit M mit einer pseudo-riemannschen Metrik g und einer glatten Skalenfunktion sigma deren almost Einstein-Tensor A[g,sigma] (der spurfreie Anteil von Hess[g] sigma + sigma P[g], wobei P[g] den Schouten-Tensor bezeichnet) verschwindet. Sie verallgemeinert die Idee einer Einsteinmannigfaltigkeit in dem Sinne, dass die konform geänderte Metrik 1/sigma^2 g außerhalb der Nullstellenmenge Sigma = sigma^(-1)(0) eine Einstein-Metrik ist. Ziel dieser Doktorarbeit ist es, ein detailiertes Bild von Sigma in Lorentzsignatur (-+...+) zu erhalten. Teil dieser Arbeit ist zudem eine indexfreie Darstellung ausgewählter Resultate für konform kompaktifizierbare Einsteinmannigfaltigkeiten in Lorentzsignatur im Rahmen von almost Einstein-Strukturen. Diese Umformulierung wird dann benutzt, um eine Verallgemeinerung der konformen Wellengleichungen für beliebige gerade Dimensionen n = 2m > 4 vorzuschlagen. / An almost Einstein structure (M,g,sigma) is an n-dimensional connected manifold M equipped with a pseudo-Riemannian metric g and a scale factor sigma in C^infty(M) such that the almost Einstein tensor A[g,sigma] (the trace-free part of Hess[g] sigma + sigma P[g], with Schouten tensor P[g]) vanishes. It generalises the idea of an Einstein manifold in the way that 1/sigma^2 g is an Einstein metric away from the singularity set Sigma = sigma^(-1)(0). The purpose of this thesis is to get a detailed picture of Sigma in Lorentzian signature (-+...+). Part of this thesis is also an index-free survey of selected results on conformally compact Einstein manifolds in Lorentzian signature in the framework of almost Einstein structures. This reformulation is used to suggest a generalisation of the conformal wave equations to arbitrary even dimensions n = 2m > 4.

In dieser Arbeit wird zuerst das Theorem von Chung, Graham und Wilson über quasi-zufällige Graphen zur sogenannten schwachen Quasi-Zufälligkeit für k-uniforme Hypergraphen verallgemeinert und somit eine Reihe äquivalenter Eigenschaften bestimmt. Basierend auf diesen Resultaten werden nichtbipartite Graphen gefunden, welche die Quasi-Zufälligkeit für Graphen ``forcieren''''. Zuvor waren nur bipartite Graphen mit dieser Eigenschaft bekannt. Desweiteren ist ein konzeptionell einfacher Algorithmus zum Verifizieren nicht erfüllbarer zufälliger k-SAT Formeln angegeben. Dann richtet sich der Fokus auf Anwendungen verschiedener Regularitätslemmata für Hypergraphen. Zuerst wird die Menge aller bezeichneten 3-uniformen Hypergraphen auf n Knoten, die keine Kopie des Hypergraphen der Fano Ebene enthalten, studiert. Es wird gezeigt, dass fast jedes Element aus dieser Menge ein bipartiter Hypergraph ist. Dies führt zu einem Algorithmus, der in polynomiell erwarteter Zeit einen zufälligen Fano-freien (und somit einen zufälligen bipartiten 3-uniformen) Hypergraphen richtig färbt. Schließlich wird die folgende extremale Funktion studiert. Es sind r Farben gegeben sowie ein k-uniformer Hypergraph F. Auf wie viele verschiedene Arten kann man die Kanten eines k-uniformen Hypergraphen H färben, so dass keine monochromatische Kopie von F entsteht? Welche Hypergraphen H maximieren die Anzahl erlaubter Kantenfärbungen? Hier wird ein strukturelles Resultat für eine natürliche Klasse von Hypergraphen bewiesen. Es wird für viele Hypergraphen F, deren extremaler Hypergraph bekannt ist, gezeigt, dass im Falle von zwei oder drei Farben die extremalen Hypergraphen die oben beschriebene Funktion maximieren, während für vier oder mehr Farben andere Hypergraphen mehr Kantenfärbungen zulassen. / This thesis presents first one possible generalization of the result of Chung, Graham and Wilson to k-uniform hypergraphs, and studies the so-called weak quasi-randomness. As applications we obtain a simple strong refutation algorithm for random sparse k-SAT formulas and we identify first non-bipartite forcing pairs for quasi-random graphs. Our focus then shifts from the study of quasi-random objects to applications of different versions of the hypergraph regularity lemmas; all these versions assert decompositions of hypergraphs into constantly many quasi-random parts, where the meaning of ``quasi-random'''' takes different contexts in different situations. We study the family of hypergraphs not containing the hypergraph of the Fano plane as a subhypergraph, and show that almost all members of this family are bipartite. As a consequence an algorithm for coloring bipartite 3-uniform hypergraphs with average polynomial running time is given. Then the following combinatorial extremal problem is considered. Suppose one is given r colors and a fixed hypergraph F. The question is: In at most how many ways can one color the hyperedges of a hypergraph H on n vertices such that no monochromatic copy of F is created? What are the extremal hypergraphs for this function? Here a structural result for a natural family of hypergraphs F is proven. For some special classes of hypergraphs we show that their extremal hypergraphs (for large n) maximize the number of edge colorings for 2 and 3 colors, while for at least 4 colors other hypergraphs are optimal.