Die Gewichte eines Portfolios liegen meist als als Kombination des Produkts der Präzisionsmatrix und des Erwartungswertvektors vor. In der Praxis müssen diese Parameter geschätzt werden, allerdings ist die Beschreibung der damit verbundenen Schätzunsicherheit über eine Verteilung dieses Produktes eine Herausforderung. In dieser Arbeit wird demonstriert, dass ein geeignetes bayesianisches Modell nicht nur zu einer leicht zugänglichen Posteriori-Verteilung führt, sondern auch zu leicht interpretierbaren Beschreibungen des Portfoliorisikos, wie beispielsweise einer Ausfallwahrscheinlichkeit des gesamten Portfolios zu jedem Zeitpunkt. Dazu werden die Parameter mit ihren konjugierten Prioris ausgestatet. Mit Hilfe bekannter Ergebnisse aus der Theorie multivariater Verteilungen ist es möglich, eine stochastische Darstellung für relevante Ausdrücke wie den Portfoliogewichten oder des effizienten Randes zu geben. Diese Darstellungen ermöglichen nicht nur die Bestimmung von Bayes-Schätzern der Parameter, sondern sind auch noch rechentechnisch hoch effizient, da Zufallszahlen nur aus bekannten und leicht zugänglichen Verteilungen gezogen werden. Insbesondere aber werden Markov-Chain-Monte-Carlo Methoden nicht benötigt. Angewendet wird diese Methodik an einem mehrperiodigen Portfoliomodell für eine exponentielle Nutzenfunktion, am Tangentialportfolio, zur Schätzung des effizienten Randes, des globalen Minimum-Varianz-Portfolios wie auch am gesamten Mittelwert-Varianz Ansatzes. Für alle behandelten Portfoliomodelle werden für wichtige Größen stochastische Darstellungen oder Bayes-Schätzer gefunden. Die Praktikabilität und Flexibilität wie auch bestimmte Eigenschaften werden in Anwendungen mit realen Datensätzen oder Simulationen illustriert. / Usually, the weights of portfolio assets are expressed as a comination of the product of the precision matrix and the mean vector. These parameters have to be estimated in practical applications. But it is a challenge to describe the associated estimation risk of this product. It is demonstrated in this thesis, that a suitable Bayesian approach does not only lead to an easily accessible posteriori distribution, but also leads to easily interpretable risk measures. This also includes for example the default probability of the portfolio at all relevant points in time. To approach this task, the parameters are endowed with their conjugate priors. Using results from the theory of multivariate distributions, stochastic representations for the portfolio parameter are derived, for example for the portfolio weights or the efficient frontier. These representations not only allow to derive Bayes estimates of these parameters, but are computationally highly efficient since all th necessary random variables are drawn from well known and easily accessible distributions. Most importantly, Markov-Chain-Monte-Carlo methods are not necessary. These methods are applied to a multi-period portfolio for an exponential utility function, to the tangent portfolio, to estimate the efficient frontier and also to a general mean-variance approach. Stochastic representations and Bayes estimates are derived for all relevant parameters. The practicability and flexibility as well as specific properties are demonstrated using either real data or simulations.

Es wird die Theorie der generischen pro-$p$ Hecke-Algebren und ihrer Bernstein-Abbildungen entwickelt. Für eine Unterklasse diese Algebren, der \textit{affinen} pro-$p$ Hecke-Algebren wird ein Struktursatz bewiesen, nachdem diese Algebren unter anderem stets noethersch sind, wenn es der Koeffizientenring ist. Hilfsmittel ist dabei der Nachweis der Bernsteinrelationen, der in abstrakter Weise geführt wird und so die bestehende Theorie verallgemeinert. Ferner wird der top. Raum der Orientierungen einer Coxetergruppe eingeführt und im Falle der erweiterten modularen Gruppe $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$ untersucht, und ausgenutzt um Kenntnisse über die Struktur der zugehörigen Hecke-Algebra als Modul über einer gewissen Unteralgebra, welche zur Spitze im Unendlichen zugeordnet ist, zu erlangen. Schließlich wird die Frage des Zerfallens des Normalisators eines maximalen zerfallenden Torus innerhalb einer zerfallenden reduktiven Gruppe als Erweiterung der Weylgruppe durch die Gruppe der rationalen Punkte des Torus untersucht, und mittels zuvor erreichter Ergebnisse auf eine kohomologische Frage zurückgeführt. Zur Teilbeantwortung dieser werden dann die Kohomologiegruppen bis zur Dimension drei der Kocharaktergitter der fasteinfachen halbeinfachen Wurzeldaten einschließlich des Rangs 8 berechnet. Mittels der Theorie der $\mathbf{FI}$-Moduln wird daraus die Berechnung der Kohomologie der mod-2-Reduktion der Kowurzelgitter für den Typ $A$ in allen Rängen bewiesen. / The theory of generic pro-$p$ Hecke algebras and their Bernstein maps is developed. For a certain subclass, the \textit{affine} pro-$p$ Hecke algebras, we are able to prove a structure theorem that in particular shows that the latter algebras are always noetherian if the ring of coefficients is. The crucial technical tool are the Bernstein relations, which are proven in an abstract way that generalizes the known cases. Moreover, the topological space of orientations is introduced and studied in the case of the extended modular group $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$, and used to determine the structure of its Hecke algebra as a module over a certain subalgebra, attached to the cusp at infinity. Finally, the question of the splitness of the normalizer of a maximal split torus inside a split reductive groups as an extension of the Weyl group by the group of rational points is studied. Using results obtained previously, this questioned is then reduced to a cohomological one. A partial answer to this question is obtained via computer calculations of the cohomology groups of the cocharacter lattices of all almost-simple semisimple root data of rank up to $8$. Using the theory of $\mathbf{FI}$-modules, these computations are used to determine the cohomology of the mod 2 reduction of the coroot lattices for type $A$ and all ranks.

Es sei A_2 der toroidal kompaktifizierte Modulraum prinzipal polarisierter komplexer abelscher Flächen, und M_k(Sp_4(Z)) das Geradenbündel Siegel'scher Modulformen von Gewicht k auf A_2, versehen mit der Petersson-Metrik. Betrachtet man A_2 als komplexe Faser einer arithmetischen Varietät über Spec(Z), und M_k(Sp_4(Z)) als das von einem Geradenbündel auf dieser arithmetischen Varietät induzierte Geradenbündel, so kann man die Frage nach dem arithmetischen Grad dieses Geradenbündels stellen. Wir stellen nachfolgend den Grad als Ausdruck in speziellen Werten der logarithmischen Ableitung der Riemann'schen Zeta-Funktion dar. Der arithmetische Grad setzt sich aus einem Beitrag vom Schnitt über den endlichen Fasern und einem Integral von Green'schen Formen über die komplexe Faser zusammen. Die Berechnung des von der komplexen Faser A_2 induzierten Anteils am arithmetischen Grad erfolgt durch eine spezifische Wahl von Schnitten von M_k(Sp_4(Z)), deren Eigenschaften bekannt oder durch ihre Darstellung als Polynome in Theta-Funktionen ableitbar sind. Mittels eines induktiven Arguments werden wir das Integral über das Stern-Produkt der zugehörigen Green'schen Formen auf eine Summe von Integralen über spezielle Zykel zurückführen, die beim sukzessiven Schneiden der zu den Schnitten gehörigen Divisoren auftauchen. Bei diesem Prozess entstehen Randterme in Form von Integralen um den toroidalen Rand. Wir werden zeigen, dass diese verschwinden, indem wir Minkowski-Theorie anwenden und eine bestimmte Wahl der Teilung der Eins treffen, die in der arithmetischen Schnitttheorie für logarithmisch singuläre Metriken auftaucht. Die Integrale über die speziellen Zykel berechnen wir durch Zurückführen auf ein Resultat von Kudla sowie auf eine modulare Version der Jensen-Formel. / Let A_2 be the toroidally compactified moduli stack of principally polarized complex abelian surfaces, and let M_k(Sp_4(Z)) be the line bundle of Siegel modular forms of weight k on A_2, equipped with the Petersson metric. Viewing A_2 as the complex fibre of an arithmetic variety over Spec(Z), and M_k(Sp_4(Z)) as the complex line bundle induced by a line bundle on this arithmetic variety, we can ask for the arithmetic degree of this line bundle. We will state a formula for the arithmetic degree in terms of special values of the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function. The arithmetic degree consists of a contribution from intersection over Spec(Z), and from an integral of Green forms over the complex fibre. The computation of the summand of the arithmetic degree coming from the complex fibre A_2 will be approached by making a specific choice of sections of M_k(Sp_4(Z)), whose behaviour is well-known or can be worked out by their representation via theta-functions. With an induction argument, we will trace back the integral over the star-product of the corresponding Green forms to a sum of integrals over particular cycles on A_2 coming from the successive intersection of the divisors of these sections, as well as some boundary terms in the form of integrals around the toroidal boundary. We will prove that the boundary terms vanish, using Minkowski theory and a specific choice of the partition of unity that appears in arithmetic intersection theory for logarithmically singular metrics. The integrals over the special cycles will be traced back to results of Kudla and an application of a modular version of Jensen's formula.

Sei $K$ eine endliche Erweiterung von $QQ_p $ und sei $R$ der Robba-Ring mit Koeffizienten in $K$ sein, die mit einem absoluten Frobenius-Lift $phi$ ausgestattet sind. Sei $F$ der Fixköper von $K$ unter $phi $ und sei $G$ eine verbundene reduktive Gruppe über $F$. Diese Arbeit untersucht $G$-$ (phi,nabla)$-Module über $R$, nämlich $(phi,nabla)$-Module über $R$ mit einer zusätzlicher $G$-Struktur. In Kapitel 3 konstruieren wir einen gefilterten Faserfunktor aus der Darstellungskategorie von $G$ auf endlich-dimensionalen $F$-Vektorräumenbis zur Kategorie von $QQ$-gefilterten Modulen über $R$, und beweisen, dass dieser Funktor spaltbar ist. In Kapitel 4 beweisen wir eine $G$-Version des $p$-adischen lokalen Monodromie-Satzes. In Kapitel 5 beweisen wir eine $G$-Version des logarithmischen lokalen Monodromie-Satzes unter bestimmten Annahmen. Als Anwendung fügen wir jedem $G$-$(phi,nabla)$-Modul eine Weil-Deligne-Darstellung der Weil-Gruppe $W_{kk((t))} $ in $G(K^{nr})$ an, wobei $kk$ der Restklassenkörper von $K$, und $K^{nr}$ die maximal unverzweigte Erweiterung von $K$ ist. / Let $K$ be a finite extension of $QQ_p$ and let $R$ be the Robba ring with coefficients in $K$, equipped with an absolute Frobenius lift $phi$. Let $F$ be the fixed field of $K$ under $phi$ and let $G$ be a connected reductive group over $F$. This thesis investigates $G$-$(phi,nabla)$-modules over $R$, namely $(phi,nabla)$-modules over $R$ with an additional $G$-structure. In Chapter 3, we construct a filtered fiber functor from the category of representations of $G$ on finite-dimensional $F$-vector spaces to the category of $QQ$-filtered modules over $R$, and prove that this functor is splittable. In Chapter 4, we prove a $G$-version of the $p$-adic local monodromy theorem. In Chapter 5, we prove a $G$-version of the logarithmic $p$-adic local monodromy theorem under certain assumptions. As an application, we attach to each $G$-$(phi,nabla)$-module a Weil-Deligne representation of the Weil group $W_{kk((t))}$ into $G(K^{nr})$, where $kk$ is the residue field of $K$, and $K^{nr}$ is the maximal unramified extension of $K$.

In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit angepassten Zusammenhängen und ihren (horizontalen) Dirac-Operatoren auf strikt pseudokonvexen CR-Mannigfaltigkeiten. Einen Zusammenhang nennen wir dann angepasst, wenn er die relevanten Daten parallelisiert. Wir beschreiben den Raum der angepassten Zusammenhänge, indem wir ihre Torsionstensoren studieren, von denen gewisse Teile durch die Geometrie der Mannigfaltigkeit festgelegt sind, während andere frei wählbar sind. Als Anwendung betrachten wir die Eigenschaften der Dirac-Operatoren, die zu diesen Zusammenhängen gehören. Weiter betrachten wir horizontale Dirac-Operatoren, die nur in Richtung des horizontalen Bündels H ableiten. Diese Operatoren sind besser an die Sub-Riemannsche Struktur einer CR-Mannigfaltigkeit angepasst als die vollen Dirac-Operatoren. Wir diskutieren, wann diese Operatoren formal selbstadjungiert sind und beweisen eine Weitzenböck-Typ-Formel. Wir konzentrieren uns dann auf den horizontalen Dirac-Operator zum Tanaka-Webster-Zusammenhang. Dieser ändert sich konform kovariant, wenn wir die Kontaktform konform ändern. Für diesen Operator betrachten wir weiterhin zwei Beispiele: Wir betrachten S^1-Bündel über Kähler-Mannigfaltigkeiten, insbesondere berechnen wir für Sphären einen Teil des Spektrums. Außerdem betrachten wir kompakte Quotienten der Heisenberggruppe und berechnen hier in den Dimensionen 3 und 5 das volle Spektrum. Die horizontalen Dirac-Operatoren sind nicht mehr elliptisch, sondern „elliptisch in Richtung von H“. Mithilfe des Heisenbergkalküls stellen wir fest, dass die horizontalen Dirac-Operatoren nicht hypoelliptisch sind. Im Fall des Tanaka-Webster-Zusammenhangs lässt sich aber zeigen, dass der zugehörige Operator auf gewissen Teilen des Spinorbündels hypoelliptisch ist. Dies genügt, um zu beweisen, dass er (nun auf dem gesamten Spinorbündel) ein reines Punktspektrum hat und die Eigenräume, bis auf den Kern, endlich-dimensional sind und aus glatten Eigenspinoren bestehen. / In the present thesis, we study adapted connections and their (horizontal) Dirac operators on strictly pseudoconvex CR manifolds. An adapted connection is one that parallelises the relevant data. We describe the space of adapted connections through their torsion tensors, certain parts of which are determined by the geometry of the manifold, while others may be freely chosen. As an application, we study the properties of the Dirac operators induced by these connections. We further consider horizontal Dirac operators, which only derive in the direction of the horizontal bundle H. These operators are more adapted to the essentially sub-Riemannian structure of a CR manifold than the full Dirac operators. We discuss the question of their self-adjointness and prove a Weitzenböck type formula for these operators. Focusing on the horizontal Dirac operator associated with the Tanaka-Webster connection, we show that this operator changes in a covariant way if we change the contact form conformally. Moreover, for this operator we discuss two examples: On S^1-bundles over Kähler manifolds, we can compute part of the spectrum and for compact quotients of the Heisenberg group, we determine the whole spectrum in dimensions three and five. The horizontal Dirac operators are not elliptic, but rather "elliptic in some directions". We review the Heisenberg Calculus for such operators and find that in general, the horizontal Dirac operators are not hypoelliptic. However, in the case of the Tanaka-Webster connection, the associated horizontal Dirac operator is hypoelliptic on certain parts of the spinor bundle and this is enough to prove that its spectrum consists only of eigenvalues and except for the kernel, the corresponding eigenspaces are finite-dimensional spaces of smooth sections.

Diese Dissertation hat zwei Teile. Im ersten Teil untersuchen wir die Modulräume von Kurven mit multiplen Spinstrukturen. Wir stellen eine neue Kompaktifizierung dieser Räume mit geometrisch sinnvollem Grenzverhalten vor. Die irreduziblen Komponenten dieser Räume werden vollstandig klassifiziert. Die Ergebnisse aus diesem ersten Teil der Dissertation sind fundamental für die Degenerationstechniken im zweiten Teil. Im zweiten Teil untersuchen wir eine Reihe von Problemen, die von der klassischen Geometrie inspiriert werden. Unser Hauptaugenmerk liegt hierbei auf dem Fall von zwei Hyperebenen, die eine kanonische Kurve in jedem Schnittpunkt tangential berühren. Wir fragen, ob eingemensamer Tangentialpunk existieren kann. Unsere Analyse zeigt, dass so ein gemeinsamer Punkt nur in Kodimension 1 im Modulraum existieren kann. Wir berechen dann weiter die Klasse dieses Divisors. Insbesonders zeigen wir, dass diese Klasse eine hinreichend kleine Steigung hat, sodass die kanonischen Klassen von Modulräumen von Kurven mit zwei ungeraden Spinstrukturen gross ist, wenn der Genus grösser ist als neun. Falls die zugehörigen groben Modulräume gutartige Singularitäten haben, dann haben sie in diesem Intervall maximale Kodaria Dimension. / This thesis has two parts. In Part I we consider the moduli spaces of curves with multiple spin structures and provide a compactification using geometrically meaningful limiting objects. We later give a complete classification of the irreducible components of these spaces. The moduli spaces built in this part provide the basis for the degeneration techniques required in the second part. In the second part we consider a series of problems inspired by projective geometry. Given two hyperplanes tangential to a canonical curve at every point of intersection, we ask if there can be a common point of tangency. We show that such a common point can appear only in codimension 1 in moduli and proceed to compute the class of this divisor. We then study the general properties of curves in this divisor. Our divisor class has small enough slope to imply that the canonical class of the moduli space of curves with two odd spin structures is big when the genus is greater than 9. If the corresponding coarse moduli spaces have mild enough singularities, then they have maximal Kodaira dimension in this range.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit asymptotischen Syzygien und Gleichungen Abelscher Varietäten, sowie mit deren Anwendung auf zyklische Überdeckungen von Kurven von Geschlecht zwei. Was asymptotischen Syzygien angeht, zeigen wir für beliebige Geradenbündel auf projektiven Schemata: Wenn die asymptotischen Syzygien von Grad p eines Geradenbündels verschwinden, dann ist das Geradenbündel p-sehr ampel. Darüber hinaus verwenden wir die Bridgeland-King-Reid-Haiman Korrespondenz, um zu zeigen, dass dieses Ergebnis auch umgekehrt wahr ist, wenn es um eine glatte Fläche und kleine p geht. Dies dehnt Ergebnisse von Ein-Lazarsfeld und Ein-Lazarsfeld-Yang aus. Wir verwenden unsere Ergebnisse, um zu untersuchen, wie Syzygien verwendet werden können, um den Grad der Irrationalität einer Varietät zu begrenzen. Ferner, beweisen wir eine Vermutung von Gross and Popescu über Abelsche Flächen, deren Ideal durch Quadriken und Kubiken erzeugt wird. Außerdem verwenden wir die projektive Normalität einer Abelschen Fläche, um die Prym Abbildung, die mit zyklischen Überdeckungen von Geschlecht zwei Kurven assoziert ist, zu untersuchen. Wir zeigen, dass das Differential der Abbildung generisch injektiv ist, wenn der Grad der Überdeckung mindestens sieben ist. Wir dehnen damit Ergebnisse von Lange und Ortega aus. Abschließend zeigen wir, dass das Differential genau für bielliptische Überdeckungen nicht injectiv ist. / In this thesis we study asymptotic syzygies of algebraic varieties and equations of abelian surfaces, with applications to cyclic covers of genus two curves. First, we show that vanishing of asymptotic p-th syzygies implies p-very ampleness for line bundles on arbitrary projective schemes. For smooth surfaces we prove that the converse holds, when p is small, by studying the Bridgeland-King-Reid-Haiman correspondence for the Hilbert scheme of points. This extends previous results of Ein-Lazarsfeld and Ein-Lazarsfeld-Yang. As an application of our results, we show how to use syzygies to bound the irrationality of a variety. Furthermore, we confirm a conjecture of Gross and Popescu about abelian surfaces whose ideal is generated by quadrics and cubics. In addition, we use projective normality of abelian surfaces to study the Prym map associated to cyclic covers of genus two curves. We show that the differential of the map is generically injective as soon as the degree of the cover is at least seven, extending a previous result of Lange and Ortega. Moreover, we show that the differentials fails to be injective precisely at bielliptic covers.

Frühe mathematische Bildung ist in den vergangenen Jahren verstärkt auch zum Gegenstand der fachdidaktischen Forschung geworden. Ob frühpädagogische Fachkräfte im Rahmen ihrer Ausbildung oder beruflichen Praxis die zur Begleitung früher mathematischer Bildung erforderliche Kompetenz erwerben, wurde erst in den vergangenen sechs Jahren verstärkt empirisch untersucht. Nach wie vor können große Forschungsdesiderate identifiziert werden. Mit der vorliegenden kumulativen Dissertation wird ein Beitrag zur Schließung der Forschungslücken geleistet. Das Hauptziel der Arbeit ist die Analyse der Kompetenzstruktur angehender frühpädagogischer Fachkräfte im Bereich Mathematik unter Berücksichtigung von Dispositionen und situationsspezifischen Fähigkeiten. Damit verbunden sind die Entwicklung eines videobasierten Instruments zur Erfassung der situationsspezifischen Fähigkeiten und die Überprüfung der prognostischen und differenziellen Validität der im Rahmen des Projekts KomMa entwickelten Leistungstests zur Erfassung des professionellen Wissens. Im empirischen Teil der Arbeit wird gezeigt, dass es möglich ist, ein solches videobasiertes Instrument zu entwickeln. In einer quantitativ-empirischen Studie können erste Belege für die prognostische und differenzielle Validität der KomMa-Leistungstests gegeben werden. Bezogen auf das Hauptziel zeigt die Analyse der Daten, dass professionelle Kompetenz frühpädagogischer Fachkräfte im Bereich Mathematik erwartungsgemäß ein mehrdimensionales Konstrukt ist, bei dem insbesondere das fachdidaktische Wissen und anwendungsorientierte Überzeugungen bedeutsam für die Situationswahrnehmung und Handlungsplanung sind. Damit werden im Anschluss an die wenigen bisher vorliegenden Befunde zur professionellen Kompetenz frühpädagogischer Fachkräfte im Bereich Mathematik weitere Hinweise darauf gegeben, dass dies eine spezifische Form pädagogischen Handelns ist, die somit auch entsprechender Aus- und Weiterbildungsangebote bedarf. / In recent years early mathematical education has increasingly become a subject of didactic research. Whether preschool teachers acquire the competence needed to foster early mathematical literacy as part of their professional training or practice has been examined empirically only in the last six years. Up to now there are still some lacks of research which can be identified. The presented cumulative Ph.D. Study is a first step to close these research gaps. The main objective of this work is to analyze the competence structure of prospective preschool teachers taking into account their dispositions and situation specific skills. This entails two more goals, firstly, the development of a videobased assessment to measure situation specific skills, and, secondly, the review of the prognostic and differential validity of the two achievement tests to measure professional knowledge, developed within the KomMa-project. In the empirical part of the paper it is shown that it is possible to develop such a videobased assessment. In a quantitative empirical study first evidence for the prognostic and differential validity of the KomMa achievement tests is given. Concerning the main objective of this Ph.D. project, the professional competence of prospective preschool teachers in the field of mathematics is examined. As expected, it is shown that competence is a multidimensional construct. Especially the mathematics pedagogical content knowledge and the application-oriented beliefs of the prospective preschool teachers are predictive for their perception of situations and planning of actions. Following the current state of research this P.hD. project provides further evidence that professional competence of prospective preschool teachers in the field of mathematics is a specific form of mathematics education, which thus also requires appropriate training and further education opportunities.

Diese Arbeit widmet sich der Untersuchung von zwei Problemen der abzählenden Geometrie im Zusammenhang mit linearen Systemen auf algebraischen Kurven. Das erste Problem besteht darin, die Frage der Gültigkeit der Jonquières-Formeln zu klären. Diese Formeln berechnen die Anzahl von Divisoren mit vorgeschriebener Multiplizität, genannt de Jonquières-Divisoren, die in einem linearen System auf einer glatten projektiven Kurve enthalten sind. Um dies zu tun, konstruieren wir den Raum der de Jonquières-Divisoren als einen Determinantenzyklus des symmetrischen Produkts der Kurve und beweisen, dass er für eine allgemeine Kurve die erwartete Dimension hat. Dabei beschreiben wir die Degenerationen der Jonquières-Divisoren zu den Knotenkurven sowohl mit linearen Systemen als auch mit kompaktifizierten Picard-Schemata. Das zweite Problem behandelt Zyklen von Untergeordneten-, oder allgemeiner, Sekanten-Divisoren zu einem gegebenen linearen System auf einer Kurve. Wir betrachten den Durchschnitt zweier solcher Zyklen, die Sekanten-Divisoren von zwei verschiedenen linearen Systemen auf der gleichen Kurve entsprechen, und untersuchen die Gültigkeit der enumerativen Formeln, die die Anzahl der Teiler im Durchschnitt zählen. Wir untersuchen einige interessante Fälle mit unerwarteten Transversalitätseigenschaften und etablieren eine allgemeine Methode, um zu überprüfen, wann dieser Durchschnitt leer ist. / This thesis is dedicated to the study of two enumerative geometry problems in the context of linear series on algebraic curves. The first problem is that of settling the issue of the validity of the de Jonquières formulas. These formulas compute the number of divisors with prescribed multiplicity, or de Jonquières divisors, contained in a linear series on a smooth projective curve. To do so, we construct the space of de Jonquières divisors as a determinantal cycle of the symmetric product of the curve and prove that, for a general curve with a general linear series, it is of expected dimension. In doing so, we describe the degenerations of de Jonquières divisors to nodal curves using both limit linear series and compactified Picard schemes. The second problem deals with cycles of subordinate or, more generally, secant divisors to a given linear series on a curve. We consider the intersection of two such cycles corresponding to secant divisors of two different linear series on the same curve and investigate the validity of the enumerative formulas counting the number of divisors in the intersection. We study some interesting cases, with unexpected transversality properties, and establish a general method to verify when this intersection is empty.

Inhalt dieser Arbeit ist eine Erweiterung der Hopfalgebrastruktur der Feynmangraphen und Renormierung von Connes und Kreimer. Zusätzlich wird eine Struktur auf faktoriell wachsenden Potenzreihen eingeführt, die deren asymptotisches Wachstum beschreibt und die kompatibel mit der Hopfalgebrastruktur ist. Die Hopfalgebrastruktur auf Graphen erlaubt die explizite Enumeration von Graphen mit Einschränkungen in Bezug auf die erlaubten Untergraphen. Im Fall der Feynmangraphen wird zusätzlich eine algebraische Verbandstruktur eingeführt, die weitere eindeutige Eigenschaften von physikalischen Quantenfeldtheorien aufdeckt. Der Differenzialring der faktoriell divergenten Potenzreihen erlaubt es asymptotische Resultate von implizit definierten Potenzreihen mit verschwindendem Konvergenzradius zu extrahieren. In Kombination ergeben beide Strukturen eine algebraische Formulierung großer Graphen mit Einschränkungen für die erlaubten Untergraphen. Diese Strukturen sind motiviert von null-dimensionaler Quantenfeldtheorie and werden zur Analyse ebendieser benutzt. Als reine Anwendung der Hopfalgebrastruktur wird eine hopfalgebraische Formulierung der Legendretransformation in Quantenfeldtheorien formuliert. Der Differenzialring der faktoriell divergenten Potenzreihen wird dazu benutzt zwei asymptotische Enumerationsprobleme zu lösen: Die asymptotische Anzahl der verbundenen Chorddiagramme und die asymptotische Anzahl der simplen Permutationen. Für beide asymptotischen Lösungen werden vollständige asymptotische Entwicklungen in Form von geschlossenen Erzeugendenfunktionen berechnet. Kombiniert werden beide Strukturen zur Anwendung an null-dimensionaler Quantenfeldtheorie. Zahlreiche Größen werden in den null-dimensionalen Varianten von phi^3, phi^4, QED, quenched QED and Yukawatheorie mit ihren kompletten asymptotischen Entwicklungen berechnet. / This thesis provides an extension of the work of Dirk Kreimer and Alain Connes on the Hopf algebra structure of Feynman graphs and renormalization to general graphs. Additionally, an algebraic structure of the asymptotics of formal power series with factorial growth, which is compatible with the Hopf algebraic structure, will be introduced. The Hopf algebraic structure on graphs permits the explicit enumeration of graphs with constraints for the allowed subgraphs. In the case of Feynman diagrams a lattice structure, which will be introduced, exposes additional unique properties for physical quantum field theories. The differential ring of factorially divergent power series allows the extraction of asymptotic results of implicitly defined power series with vanishing radius of convergence. Together both structures provide an algebraic formulation of large graphs with constraints on the allowed subgraphs. These structures are motivated by and used to analyze renormalized zero-dimensional quantum field theory at high orders in perturbation theory. As a pure application of the Hopf algebra structure, an Hopf algebraic interpretation of the Legendre transformation in quantum field theory is given. The differential ring of factorially divergent power series will be used to solve two asymptotic counting problems in combinatorics: The asymptotic number of connected chord diagrams and the number of simple permutations. For both asymptotic solutions, all order asymptotic expansions are provided as generating functions in closed form. Both structures are combined in an application to zero-dimensional quantum field theory. Various quantities are explicitly given asymptotically in the zero-dimensional version of phi^3, phi^4, QED, quenched QED and Yukawa theory with their all order asymptotic expansions.