In dieser Arbeit behandeln wir die birationale Geometrie verschiedener Modulräume; die Modulräume von Kurven mit einem k-Differential mit vorgeschierbenen Nullen, besser bekannt als Strata von Differenzialen, Moduln von K3 Flächen mit markierten Punkten und Moduln von Kurven. Für bestimmte Geschlechter nennen wir Abschätzungen der Kodaira-Dimension, konstruieren unirationale Parametrisierungen, rationale deckende Kurven und unterschiedliche birationale Modelle. In Kapitel 1 führen wir die zu untersuchenden Objekte ein und geben einen kurzen Überblick ihrer wichtigsten Eigenschaften und offenen Problemen. In Kapitel 2 konstruieren wir einen Hilfsmodulraum, der als Brücke zwischen bestimmten finiten Quotienten von Mgn für kleines g und den Moduln der polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 dient. Wir entwickeln die Deformationstheorie, die nötig ist, um die Eigenschaften und die oben genannten Modulräume zu erforschen. In Kapitel 3 bedienen wir uns dieser Werkzeuge, um birationale Modelle für Moduln polarisierter K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit markierten Punkten zu konstruieren. Diese nutzen wir, um Resultate über die Kodaira-Dimension herzuleiten. Wir beweisen, dass der Modulraum von polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit n markierten Punkten unirational ist, falls n<=6, und uniruled, falls n<=7. Wir beweisen auch, dass die Kodaira-Dimension von Modulraum von polarisierten K3 Flächen vom Geschlecht 11 mit n markierten Punkten nicht-negativ ist für n>= 9. Im letzten Kapitel gehen wir noch auf die fehlenden Fälle der Kodaira-Klassifizierung von Mgnbar ein. Schliesslich behandeln wir in Kapitel 4 die birationale Geometrie mit Blick auf die Strata von holomorphen und quadratischen Differentialen. Wir zeigen, dass die Strata holomorpher und quadratischer Differentiale von niedrigem Geschlecht uniruled sind, indem wir rationale Kurven mit pencils auf K3 und del Pezzo Flächen konstruieren. Durch das Beschränken des Geschlechts 3<= g<=6 bilden wir projektive Bündel über rationale Varietäten, die die holomorphe Strata mit maximaler Länge g-1 dominieren. Also zeigen wir auch, dass diese Strata unirational sind. / In this thesis we investigate the birational geometry of various moduli spaces; moduli spaces of curves together with a k-differential of prescribed vanishing, best known as strata of differentials, moduli spaces of K3 surfaces with marked points, and moduli spaces of curves. For particular genera, we give estimates for the Kodaira dimension, construct unirational parameterizations, rational covering curves, and different birational models. In Chapter 1 we introduce the objects of study and give a broad brush stroke about their most important known features and open problems. In Chapter 2 we construct an auxiliary moduli space that serves as a bridge between certain finite quotients of Mgn for small g and the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven. We develop the deformation theory necessary to study properties of the mentioned moduli space. In Chapter 3 we use this machinery to construct birational models for the moduli spaces of polarized K3 surfaces of genus eleven with marked points and we use this to conclude results about the Kodaira dimension. We prove that the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven with n marked points is unirational when n<= 6 and uniruled when n<=7. We also prove that the moduli space of polarized K3 surfaces of genus eleven with n marked points has non-negative Kodaira dimension for n>= 9. In the final section, we make a connection with some of the missing cases in the Kodaira classification of Mgnbar. Finally, in Chapter 4 we address the question concerning the birational geometry of strata of holomorphic and quadratic differentials. We show strata of holomorphic and quadratic differentials to be uniruled in small genus by constructing rational curves via pencils on K3 and del Pezzo surfaces respectively. Restricting to genus 3<= g<=6 we construct projective bundles over rational varieties that dominate the holomorphic strata with length at most g-1, hence showing in addition, these strata are unirational.

Wir beginnen mit der Herleitung der asymptotischen Entwicklung der Spur des Wärmeleitungskernes, $\tr e^{-t\Delta}$, für $t\to0+$, wobei $\Delta$ der Laplace-Beltrami-Operator auf einer Mannigfaltigkeit mit Kegel-Singularitäten ist; dabei folgen wir der Arbeit von Brüning und Seeley. Dann untersuchen wir, wie die Koeffizienten der Entwicklung mit der Geometrie der Mannigfaltigkeit zusammenhängen, insbesondere fragen wir, ob die (mögliche) Singularität der Mannigfaltigkeit aus den Koeffizienten - und damit aus dem Spektrum des Laplace-Beltrami-Operators - abgelesen werden kann. In wurde gezeigt, dass im zweidimensionalen Fall ein logarithmischer Term und ein nicht lokaler Term im konstanten Glied genau dann verschwinden, wenn die Kegelbasis ein Kreis der Länge $2\pi$ ist, die Mannigfaltigkeit also geschlossen ist. Dann untersuchen wir wir höhere Dimensionen. Im vier-dimensionalen Fall zeigen wir, dass der logarithmische Term genau dann verschwindet, wenn die Kegelbasis eine sphärische Raumform ist. Wir vermuten, dass das Verschwinden eines nicht lokalen Beitrags zum konstanten Term äquivalent ist dazu, dass die Kegelbasis die runde Sphäre ist; das kann aber bisher nur im zyklischen Fall gezeigt werden. Für geraddimensionale Mannigfaltigkeiten höherer Dimension und mit Kegelbasis von konstanter Krümmung zeigen wir weiter, dass der logarithmische Term ein Polynom in der Krümmung ist, das Wurzeln ungleich 1 haben kann, so dass erst das Verschwinden von mehreren Termen - die derzeit noch nicht explizit behandelt werden können - die Geschlossenheit der Mannigfaltigkeit zur Folge haben könnte. / We derive a detailed asymptotic expansion of the heat trace for the Laplace-Beltrami operator on functions on manifolds with one conic singularity, using the Singular Asymptotics Lemma of Jochen Bruening and Robert T. Seeley. Then we investigate how the terms in the expansion reflect the geometry of the manifold. Since the general expansion contains a logarithmic term, its vanishing is a necessary condition for smoothness of the manifold. It is shown in the paper by Bruening and Seeley that in the two-dimensional case this implies that the constant term of the expansion contains a non-local term that determines the length of the (circular) cross section and vanishes precisely if this length equals $2\pi$, that is, in the smooth case. We proceed to the study of higher dimensions. In the four-dimensional case, the logarithmic term in the expansion vanishes precisely when the cross section is a spherical space form, and we expect that the vanishing of a further singular term will imply again smoothness, but this is not yet clear beyond the case of cyclic space forms. In higher dimensions the situation is naturally more difficult. We illustrate this in the case of cross sections with constant curvature. Then the logarithmic term becomes a polynomial in the curvature with roots that are different from 1, which necessitates more vanishing of other terms, not isolated so far.

Gegenstand der vorliegenden Dissertation sind stochastische Kontrollprobleme, denen sich Agenten im Zusammenhang mit Entscheidungen auf Finanzmärkten gegenübersehen. Der erste Teil der Arbeit behandelt die Maximierung des erwarteten Nutzens des Endvermögens eines Finanzmarktinvestors. Für den Investor ist eine Beschreibung der optimalen Handelsstrategie, die zur numerischen Approximation geeignet ist sowie eine Stabilitätsanalyse der optimalen Handelsstrategie bzgl. kleinerer Fehlspezifikationen in Nutzenfunktion und Anfangsvermögen, von höchstem Interesse. In stetigen Marktmodellen beweisen wir Stabilitätsresultate für die optimale Handeslsstrategie in geeigneten Topologien. Für hinreichend differenzierbare Nutzenfunktionen und zeitstetige Marktmodelle erhalten wir eine Beschreibung der optimalen Handelsstrategie durch die Lösung eines Systems von stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDEs). Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit optimalen Stopproblemen für einen Agenten, dessen Ertragsprozess von einem Ausfallsereignis abhängt. Unser Hauptinteresse gilt der Beschreibung der Lösungen vor und nach dem Ausfallsereignis und damit dem besseren Verständnis des Verhaltens des Agenten bei Auftreten eines Ausfallsereignisses. Wir zeigen wie sich das optimale Stopproblem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegen lässt: eines, für das der zugrunde liegende Informationsfluss das Ausfallereignis nicht beinhaltet, und eines, in welchem der Informationsfluss das Ausfallereignis berücksichtigt. Aufbauend auf der Zerlegung des Stopproblems und der Verbindung zwischen der Optimalen Stoptheorie und der Theorie von reflektierenden stochastischen Rückwärts-Differentialgleichungen (RBSDEs), leiten wir einen entsprechenden Zerlegungsansatz her, um RBSDEs mit genau einem Sprung zu lösen. Wir beweisen neue Existenz- und Eindeutigkeitsresultate von RBSDEs mit quadratischem Wachstum. / This thesis studies stochastic control problems faced by agents in financial markets when making decisions. The first part focuses on the maximization of expected utility from terminal wealth for an investor trading in a financial market. Of utmost concern to the investor is a description of optimal trading strategy that is amenable to numerical approximation, and the stability analysis of the optimal trading strategy w.r.t. "small" misspecification in his utility function and initial capital. In the setting of a continuous market model, we prove stability results for the optimal wealth process in the Emery topology and the uniform topology on semimartingales, and stability results for the optimal trading strategy in suitable topologies. For sufficiently differentiable utility functions, we obtain a description of the optimal trading strategy in terms of the solution of a system of forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). The second part of the thesis deals with the optimal stopping problem for an agent with a reward process exposed to a default event. Our main concern is to give a description of the solutions before and after the default event and thereby better understand the behavior of the agent in the presence of default. We show how the stopping problem can be decomposed into two individual stopping problems: one with information flow for which the default event is not visible, and another one with information flow which captures the default event. We build on the decomposition of the optimal stopping problem, and the link between the theories of optimal stopping and reflected backward stochastic differential equations (RBSDEs) to derive a corresponding decomposition approach to solve RBSDEs with a single jump. This decomposition allows us to establish existence and uniqueness results for RBSDEs with drivers of quadratic growth.

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Komplexe Muster neuronaler Aktivität entstehen während der Sharp-wave Ripples (SWRs) im Hippocampus und während der Up States im Neokortex (Zuständen mit hoher Aktivität). Sequenzen von Verhalten, die in der Vergangenheit erlebt wurden, werden während des komplexen Musters abgespielt. Die zugrunde liegenden Mechanismen sind nicht gründlich erforscht: Wie können kleine synaptische Veränderungen die großflächige Netzwerkaktivität während des Gedächtnisabrufes und der Gedächtniskonsolidierung kontrollieren? Im ersten Teil dieser Abhandlung wird die Hypothese aufgestellt, dass eine schwache synaptische Konnektivität zwischen Hebbschen Assemblies von der bereits vorhandenen rekurrenten Konnektivität gefördert wird. Diese Hypothese wird auf folgende Weise geprüft: die vorwärts gekoppelten Assembly-Sequenzen werden in neuronale Netzwerke eingebettet, mit einem Gleichgewicht zwischen exzitatorischer und inhibitorischer Aktivität. Simulationen und analytische Berechnungen haben gezeigt, dass rekurrente Verbindungen innerhalb der Assemblies zu einer schnelleren Signalverstärkung führen, was eine Reduktion der notwendigen Verbindungen zwischen den Assemblies zur Folge hat. Diese Aktivität kann entweder von kleinen sensorisch ähnlichen Inputs hervorgerufen werden oder entsteht spontan infolge von Aktivitätsschwankungen. Globale -- möglicherweise neuromodulatorische -- Änderungen der neuronalen Erregbarkeit können daher die Netzwerkzustände steuern, die Gedächnisabruf und die Konsolidierung begünstigen. Der zweite Teil der Arbeit geht der Herkunft der SWRs nach, die in vitro beobachtet wurden. Neueste Studien haben gezeigt, dass SWR-ähnliche Erscheinungen durch optogenetische Stimulation der Subpopulationen von inhibitorischen Neuronen hervorgerufen werden können (Schlingloff et al., 2014). Um diese Ergebnisse zu erklären wird ein de-inhibierendes Schaltkreis-Modell diskutiert, das die beobachteten Populationsausbrüche generieren kann. Die Auswirkungen der pharmakologischen GABAergischen Modulatoren auf die SWR-Häufigkeit werden in vitro untersucht. Die gewonnenen Ergebnisse wurden in Rahmen des Schaltkreis-Modells analysiert. Insbesondere wird den folgenden Fragen nachgegangen: Wie unterdrückt Gabazine, ein GABA_A-Rezeptor-Antagonist, die Entwicklung von SWRs? Wird das Zeitintervall zwischen SWRs durch die Dynamik der GABA_B Rezeptoren moduliert? / Complex patterns of neural activity appear during up-states in the neocortex and sharp-wave ripples (SWRs) in the hippocampus, including sequences that resemble those during prior behavioral experience. The mechanisms underlying this replay are not well understood. How can small synaptic footprints engraved by experience control large-scale network activity during memory retrieval and consolidation? In the first part of this thesis, I hypothesise that sparse and weak synaptic connectivity between Hebbian assemblies are boosted by pre-existing recurrent connectivity within them. To investigate this idea, sequences of assemblies connected in a feedforward manner are embedded in random neural networks with a balance of excitation and inhibition. Simulations and analytical calculations show that recurrent connections within assemblies allow for a fast amplification of signals that indeed reduces the required number of inter-assembly connections. Replay can be evoked by small sensory-like cues or emerge spontaneously by activity fluctuations. Global--potentially neuromodulatory--alterations of neuronal excitability can switch between network states that favor retrieval and consolidation. The second part of this thesis investigates the origin of the SWRs observed in in-vitro models. Recent studies have demonstrated that SWR-like events can be evoked after optogenetic stimulation of subpopulations of inhibitory neurons (Schlingloff et al., 2014; Kohus et al., 2016). To explain these results, a 3-population model is discussed as a hypothetical disinhibitory circuit that could generate the observed population bursts. The effects of pharmacological GABAergic modulators on the SWR incidence in vitro are analysed. The results are discussed in the light of the proposed disinhibitory circuit. In particular, how does gabazine, a GABA_A receptor antagonist, suppress the generation of SWRs? Another explored question is whether the slow dynamics of GABA_B receptors is modulating the time scale of the inter-event intervals.

No description available.

Die vorliegende Arbeit ist der Untersuchung von Operatorfolgen gewidmet, die typischerweise bei der Anwendung von Approximationsverfahren auf stetige lineare Operatoren entstehen. Dabei stehen die Stabilität der Folgen sowie das asymptotische Verhalten gewisser Charakteristika wie Normen, Konditionszahlen, Fredholmeigenschaften und Pseudospektren im Mittelpunkt. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Entwicklung der Theorie für Operatoren auf Banachräumen. Hierbei bildet ein dafür geeigneter Konvergenzbegriff, die sogenannte P-starke Konvergenz, den Ausgangspunkt, welcher das Studium der gewünschten Eigenschaften in einer erstaunlichen Allgemeinheit gestattet. Die erzielten Resultate kommen, neben einer Reihe weiterer Anwendungen, insbesondere für das Projektionsverfahren für banddominierte Operatoren zum Einsatz.

Der Vortrag beschreibt numerische Singularitäten bei der h- und p-FEM, wie sie erkannt werden und welche Lösungen möglich sind bzw. was nicht vermieden werden kann.

In the last decade, some researches on the star problem in trace monoids (is the iteration of a recognizable language also recognizable?) has pointed out the interest of the finite power property to achieve partial solutions of this problem. We prove that the star problem is decidable in some trace monoid if and only if in the same monoid, it is decidable whether a recognizable language has the finite power property. Intermediary results allow us to give a shorter proof for the decidability of the two previous problems in every trace monoid without C4-submonoid. We also deal with some earlier ideas, conjectures, and questions which have been raised in the research on the star problem and the finite power property, e.g. we show the decidability of these problems for recognizable languages which contain at most one non-connected trace.

Der Spigot-Ansatz ist eine elegante Vorgehensweise, spezielle numerische Werte zuverlässig, effizient und mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen. Die Stärke des Ansatzes ist seine Effizienz, seine totale Korrektheit und seine mathematisch exakt begründete Sicherstellung einer gewünschten absoluten Genauigkeit. Seine Schwäche ist möglicherweise die eingeschränkte Anwendbarkeit. Es gibt in der Literatur Spigot-Berechnung für e und pi. Wurzelberechnung und Logarithmenberechnung gehören zu den Hauptergebnissen der Dissertation. In Kombination mit den Methoden der Reihentransformation von Zeilberger und Wilf bzw. von Gosper ist der Einsatz zur Berechnung von hypergeometrischen Reihen sehr Erfolg versprechend. Eine interessante offene Frage ist die Berechnung der Feigenbaumkonstanten mit dem Ansatz. 'Spigot' bedeutet 'sukzessive Extraktion von Wertanteilen': die Wertanteile werden extrahiert, als ob sie durch einen Hahn (englisch: spigot) gepumpt werden. Es ist dabei besonders interessant, dass in bestimmten Fällen ein Wert-Anteil mit einer Ziffer der Kodierung des Ergebnisses versehen werden kann. Der Spigot-Ansatz steht damit im Gegensatz zu den konventionellen Iterationsverfahren: in einem Schritt des Spigot-Ansatzes wird jeweils ein Wert-Anteil 'extrahiert' und das gesamte Ergebnis ist die Summe der Wert-Anteile; während ein Schritt in einem Iterationsverfahren die Berechnung eines besseren gesamten Ergebnisses aus dem des vorigen Schritt beinhaltet. Das Grundschema der Berechnung mit dem Spigot-Ansatz sieht folgendermaßen aus: zuerst wird für den zu berechnenden numerischen Wert eine gut konvergierende Reihe mit rationalen Gliedern durch symbolisch-algebraische Methoden hergeleitet; dann wird für eine gewünschte Genauigkeit eine Teilsumme ausgewählt; anschließend werden aus der Teilsumme Wert-Anteile iterativ extrahiert. Die Extraktion von Wert-Anteilen aus der Teilsumme geschieht mit dem Spigot-Algorithmus, der auf Sale zurück geht, nur Integer-Arithmetik benötigt und sich als eine verallgemeinerte Form der Basis-Konvertierung dadurch auffassen lässt, dass die Teilsumme als die Kodierung des Wertes in einer inhomogenen Basis interpretiert wird. Die Spigot-Idee findet auch in der Überführung einer Reihe in eine besser konvergierende Reihe auf der Art und Weise Anwendung, dass Wert-Anteile aus der Reihe extrahiert werden, um die originale Reihe werttreu zur Reihe der Wert-Anteile zu transformieren. Dies geschieht mit den Methoden der Reihentransformation von Gosper bzw. Wilf. Die Dissertation umfasst im Wesentlichen die Formalisierung des Spigot-Algorithmus und der Gosperschen Reihentransformation, eine systematische Darstellung der Ansätze, Methoden und Techniken der Reihenentwiclung und Reihentransformation (die Herleitung von Reihen mit Hilfe charakteristischer Funktionalgleichungen; Methoden der Reihentransformation von Euler, Kummer, Markoff, Gosper, Zeilberger und Wilf) sowie die Methoden zur Berechnung von Wurzeln und Logarithmen mit dem Spigot-Ansatz. Es ist interessant zu sehen, wie sich die Grundideen des Spigot-Algorithmus, der Wurzelberechnung und der Logarithmenberechnung jeweils im Wesentlichen durch eine Gleichung ausdrücken lassen. Es ist auch interessant zu sehen, wie sich verschiedene Methoden der Reihentransformation auf einige einfache Grundideen zurückführen lassen. Beispiele für den Beweis von totalen Korrektheit (bei iterativer Berechnung von Wurzeln) könnte auch von starkem Interesse sein. Um die Zuverlässigkeit anderer Methoden zur Berechnung von natürlichen Logarithmen zu überprüfen, scheint der Vergleich der Ergebnisse mit den des Spigot-Ansatzes die beste Methode zu sein. Anders als bei Wurzelberechnung kann hierbei zur Überprüfung die inverse Berechnung nicht angewandt werden. / spigot, total correctness, acceleration of series, computation of roots, computation of logarithms Reliable numerical computations with spigot approach Spigot approach is an elegant way to compute special numerical values reliably, efficiently and with arbitrary accuracy. The advantage of this way are its efficiency and its total correctness including the bounding of the absolute error. The disadvantage is perhaps its restricted applicableness. There are spigot computation for e an pi. The computation of roots and logarithms belongs to the main results of this thesis. In combination with the methods for acceleration of series by Gosper as well as by Zeilberger and Wilf is the use for numerical summation of hypergeometric series very promising. An interesting open question is the computation of the Feigenbaum constant by this way. ‘Spigot’ means ‘successive extraction of portions of value’: the portions of value are ‘extracted’ as if they were pumped through a spigot. It is very interesting in certain case, where these portions can be interpreted as the digits of the result. With respect to that the spigot approach is the opposition to the iterative approach, where in each step the new better result is computed from the result of the previous step. The schema of spigot approach is characterised as follows: first a series for the value to be computed is derived, then a partial sum of the series is chosen with respect to an desired accuracy, afterwards the portions of value are extracted from the sum. The extraction of potions of value is carried by the spigot algorithm which is due to Sale an requires only integer arithmetic. The spigot algorithm can be understood as a generalisation of radix-conversion if the sum is interpreted as an encoding of the result in a mixed-radix (inhomogeneous) system. The spigot idea is also applied in transferring a series into a better convergent series: portions of value are extracted successively from the original series in order to form the series of extracted potions which should have the same value as the original series. This transfer is carried with the methods for acceleration of series by Gosper and Wilf. The thesis incorporates essentially the formalisation of the spigot algorithm and the method of Gosper for acceleration of series, a systematisation of methods and techniques for derivation and acceleration of series (derivation of series for functions by using their characteristic functional equations; methods for acceleration of series by Euler, Kummer, Markov, Gosper Zeilberger and Wilf) as well as the methods for computation of roots and logarithms by spigot approach. It is interesting to see how to express the basic ideas for spigot algorithm, computation of roots and computation of logarithm respectively in some equations. It is also interesting to see how to build various methods for acceleration of series from some simple basic ideas. Examples for proof of total correctness (for iterative computation of roots) can be of value to read. Comparing with the results produced by spigot approach is possibly the best way for verifying the reliability of other methods for computation of natural logarithms, because (as opposed to root computing) the verification by inverse computation is inapplicable.