Die Ergebnisse dieser Arbeit, insbesondere die Untersuchungen zur 3–D–Vibration belegen eindrucksvoll, dass die räumliche Herangehensweise an die Problematik der Befüllung von Modellhohlräumen und –hinterschneidungen sowie der Formsandverdichtung beim Lost–Foam–Prozess der richtige Lösungsansatz ist. D. h., um die Gesetzmäßigkeiten, Abhängigkeiten und gegenseitigen Beeinflussungen der Sandbewegungen in den drei Achsen des Raumes umfassend beurteilen zu können, ist es erforderlich, auch den Formstoffbehälter in diesen drei Achsrichtungen mit voneinander unabhängigen Frequenzen und Amplituden zu erregen. Durch die Kombination der drei Vibrationsrichtungen werden im Hohlraum Dichtewerte des Quarzsandes erreicht, die ihm eine hohe Stabilität und ausreichend Widerstand gegen das Penetrieren des flüssigen Metalls in die Sandschichten verleihen. Für die Erzielung eines optimalen Befüllungs- und Verdichtungsverhaltens werden also alle drei axialen Vibrationsrichtungen benötigt, eine optimale Vibrationsrichtung wurde nicht ermittelt.

An der TU Chemnitz haben sich seit über zwei Jahrzehnten die Gebiete der rechnergestützten Wissenschaften (Computational Science) sowie des parallelen und verteilten Hochleistungsrechnens mit zunehmender Verzahnung entwickelt. Die Koordinierung und Bündelung entsprechender Forschungsarbeiten in der Profillinie 6 “Modellierung, Simulation, Hochleistungsrechnen” wird es ermöglichen, im internationalen Wettbewerb des Wissens mitzuhalten.

This thesis is concerned with the finite element analysis and the a posteriori error estimation for eigenvalue problems for general operator pencils on two-dimensional manifolds. A specific application of the presented theory is the computation of corner singularities. Engineers use the knowledge of the so-called singularity exponents to predict the onset and the propagation of cracks. All results of this thesis are explained for two model problems, the Laplace and the linear elasticity problem, and verified by numerous numerical results.

In der Archäologie besteht das Problem, dass es für die Beschreibung von Objekteigenschaften keine einheitliche Begriffsbasis gibt. Nicht nur bei der Klassifikation von Gefäßen, aber besonders dort kommt es dann zu Schwierigkeiten, denn neben der Subjektivität der Wortwahl existiert auch eine internationale Sprachbarriere. Somit werden Forderungen nach einer mathematisch-algorithmisch orientierten Merkmalsbeschreibung laut. Damit ginge langfristig nicht nur die Etablierung weltweit einheitlicher Typologien einher, sondern auch die Möglichkeit einer computergestützten automatischen Klassifikation. Die Diplomarbeit behandelt im ersten Teil die Segmentierung archäologischer Gefäße. Diese ist notwendig, um die Analyse sekundärer Gefäßmerkmale vollautomatisch und unabhängig vom Gefäßrumpf durchführen zu können. Weil sich dabei topologische, skelettbasierte und krümmungsbasierte Verfahren aus verschiedenen Gründen als ungeeignet herausstellten, wurde ein neuer Segmentierungsansatz über die Rotation einer adaptiven Profillinie entwickelt. Dieser leistet eine schnelle, robuste, vor allem aber genaue Trennung asymmetrischer Teile vom Gefäßrumpf. Im zweiten Teil werden die aus der Segmentierung gewonnenen Informationen über sekundäre und ggf. auch tertiäre Gefäßmerkmale zusammen mit den primären Attributen wie äußere Form und globale geometrische Maße in das Klassifikationssystem integriert. Aufgrund der im Klassifikationsprozess immanenten Hierarchie ist es zweckmäßiger, einen spezifischen mehrstufigen Ansatz gegenüber einstufigen oder globalen Shape-Matching-Ansätzen vorzuziehen. Darüber hinaus werden Vergleichsmetriken und ein Attributgraph vorgestellt sowie Vorschläge zur Segmentinterpretation gemacht.

The results presented in this dissertation refer to the geometry of Minkowski spaces, i.e., of real finite-dimensional Banach spaces. First we study geometric properties of radial projections of bisectors in Minkowski spaces, especially the relation between the geometric structure of radial projections and Birkhoff orthogonality. As an application of our results it is shown that for any Minkowski space there exists a number, which plays somehow the role that $\sqrt2$ plays in Euclidean space. This number is referred to as the critical number of any Minkowski space. Lower and upper bounds on the critical number are given, and the cases when these bounds are attained are characterized. Moreover, with the help of the properties of bisectors we show that a linear map from a normed linear space $X$ to another normed linear space $Y$ preserves isosceles orthogonality if and only if it is a scalar multiple of a linear isometry. Further on, we examine the two tangent segments from any exterior point to the unit circle, the relation between the length of a chord of the unit circle and the length of the arc corresponding to it, the distances from the normalization of the sum of two unit vectors to those two vectors, and the extension of the notions of orthocentric systems and orthocenters in Euclidean plane into Minkowski spaces. Also we prove theorems referring to chords of Minkowski circles and balls which are either concurrent or parallel. All these discussions yield many interesting characterizations of the Euclidean spaces among all (strictly convex) Minkowski spaces. In the final chapter we investigate the relation between the length of a closed curve and the length of its midpoint curve as well as the length of its image under the so-called halving pair transformation. We show that the image curve under the halving pair transformation is convex provided the original curve is convex. Moreover, we obtain several inequalities to show the relation between the halving distance and other quantities well known in convex geometry. It is known that the lower bound for the geometric dilation of rectifiable simple closed curves in the Euclidean plane is $\pi/2$, which can be attained only by circles. We extend this result to Minkowski planes by proving that the lower bound for the geometric dilation of rectifiable simple closed curves in a Minkowski plane $X$ is analogously a quarter of the circumference of the unit circle $S_X$ of $X$, but can also be attained by curves that are not Minkowskian circles. In addition we show that the lower bound is attained only by Minkowskian circles if the respective norm is strictly convex. Also we give a sufficient condition for the geometric dilation of a closed convex curve to be larger than a quarter of the perimeter of the unit circle.

Itô’s Lemma Ausarbeitung im Rahmen des Seminars "Finanzmathematik", SS 2009 Die Arbeiten des japanischen Mathematikers Kiyosi Itô aus den 1940er Jahren bilden heute die Grundlage der Theorie stochastischer Integration und stochastischer Differentialgleichungen. Die Ausarbeitung beschäftigt sich mit Itô's Kalkül, in dem zunächst das Itô-Integral bezüglich diverser Integratoren bereitgestellt wird, um sich anschließend mit Itô's Lemma bzw. der Itô-Formel als grundlegendes Hilfsmittel stochastischer Integration zu widmen. Am Ende wird ein kurzer Ausblick auf das Black-Scholes-Modell für zeitstetige Finanzmärkte vollzogen. Grundlage für die Ausarbeitung ist das Buch "Risk-Neutral Valuation" von Nicholas H. Bingham und Rüdiger Kiesel.

This work refers to ball-intersections bodies as well as covering, packing, and kissing problems related to balls and spheres in normed spaces. A quick introduction to these topics and an overview of our results is given in Section 1.1 of Chapter 1. The needed background knowledge is collected in Section 1.2, also in Chapter 1. In Chapter 2 we define ball-intersection bodies and investigate special classes of them: ball-hulls, ball-intersections, equilateral ball-polyhedra, complete bodies and bodies of constant width. Thus, relations between the ball-hull and the ball-intersection of a set are given. We extend a minimal property of a special class of equilateral ball-polyhedra, known as Theorem of Chakerian, to all normed planes. In order to investigate bodies of constant width, we develop a concept of affine orthogonality, which is new even for the Euclidean subcase. In Chapter 2 we solve kissing, covering, and packing problems. For a given family of circles and lines we find at least one, but for some families even all circles kissing all the members of this family. For that reason we prove that a strictly convex, smooth normed plane is a topological Möbius plane. We give an exact geometric description of the maximal radius of all homothets of the unit disc that can be covered by 3 or 4 translates of it. Also we investigate configurations related to such coverings, namely a regular 4-covering and a Miquelian configuration of circles. We find the concealment number for a packing of translates of the unit ball.

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