Die vorliegende Arbeit zum Thema der numerischen Analysis von Eigenwertproblemen befasst sich mit fünf wesentlichen Aspekten der numerischen Analysis von Eigenwertproblemen. Der erste Teil präsentiert einen Algorithmus von asymptotisch quasi-optimaler Rechenlaufzeit, der die adaptive Finite Elemente Methode mit einem iterativen algebraischen Eigenwertlöser kombiniert. Der zweite Teil präsentiert explizite beidseitige Schranken für die Eigenwerte des Laplace Operators auf beliebig groben Gittern basierend auf einer Approximation der zugehörigen Eigenfunktion in dem nicht konformen Finite Elemente Raum von Crouzeix und Raviart und einem Postprocessing. Die Effizienz der garantierten Schranke des Eigenwertfehlers hängt von der globalen Gitterweite ab. Der dritte Teil betrachtet eine adaptive Finite Elemente Methode basierend auf Verfeinerungen von Knoten-Patchen. Dieser Algorithmus zeigt eine asymptotische Fehlerreduktion der adaptiven Sequenz von einfachen Eigenwerten und Eigenfunktionen des Laplace Operators. Die hier erstmals bewiesene Eigenschaft der Saturation des Eigenwertfehlers zeigt Zuverlässigkeit und Effizienz für eine Klasse von hierarchischen a posteriori Fehlerschätzern. Der vierte Teil betrachtet a posteriori Fehlerschätzer für Konvektion-Diffusion Eigenwertprobleme, wie sie von Heuveline und Rannacher (2001) im Kontext der dual-gewichteten residualen Methode (DWR) diskutiert wurden. Zwei neue dual-gewichtete a posteriori Fehlerschätzer werden vorgestellt. Der letzte Teil beschäftigt sich mit drei adaptiven Algorithmen für Eigenwertprobleme von nicht selbst-adjungierten Operatoren partieller Differentialgleichungen. Alle drei Algorithmen basieren auf einer Homotopie-Methode die vom einfacheren selbst-adjungierten Problem startet. Neben der Gitterverfeinerung wird der Prozess der Homotopie sowie die Anzahl der Iterationen des algebraischen Löser adaptiv gesteuert und die verschiedenen Anteile am gesamten Fehler ausbalanciert. / This thesis "on the numerical analysis of eigenvalue problems" consists of five major aspects of the numerical analysis of adaptive finite element methods for eigenvalue problems. The first part presents a combined adaptive finite element method with an iterative algebraic eigenvalue solver for a symmetric eigenvalue problem of asymptotic quasi-optimal computational complexity. The second part introduces fully computable two-sided bounds on the eigenvalues of the Laplace operator on arbitrarily coarse meshes based on some approximation of the corresponding eigenfunction in the nonconforming Crouzeix-Raviart finite element space plus some postprocessing. The efficiency of the guaranteed error bounds involves the global mesh-size and is proven for the large class of graded meshes. The third part presents an adaptive finite element method (AFEM) based on nodal-patch refinement that leads to an asymptotic error reduction property for the adaptive sequence of simple eigenvalues and eigenfunctions of the Laplace operator. The proven saturation property yields reliability and efficiency for a class of hierarchical a posteriori error estimators. The fourth part considers a posteriori error estimators for convection-diffusion eigenvalue problems as discussed by Heuveline and Rannacher (2001) in the context of the dual-weighted residual method (DWR). Two new dual-weighted a posteriori error estimators are presented. The last part presents three adaptive algorithms for eigenvalue problems associated with non-selfadjoint partial differential operators. The basis for the developed algorithms is a homotopy method which departs from a well-understood selfadjoint problem. Apart from the adaptive grid refinement, the progress of the homotopy as well as the solution of the iterative method are adapted to balance the contributions of the different error sources.

Gegenstand dieser Arbeit ist die numerische Approximation von Eigenwerten elliptischer Differentialoperatoren vermittels der adaptiven finite-Elemente-Methode (AFEM). Durch lokale Netzverfeinerung können derartige Verfahren den Rechenaufwand im Vergleich zu uniformer Verfeinerung deutlich reduzieren und sind daher von großer praktischer Bedeutung. Diese Arbeit behandelt adaptive Algorithmen für Finite-Elemente-Methoden (FEMs) für drei selbstadjungierte Modellprobleme: den Laplaceoperator, das Stokes-System und den biharmonischen Operator. In praktischen Anwendungen führen Störungen der Koeffizienten oder der Geometrie auf Eigenwert-Haufen (Cluster). Dies macht simultanes Markieren im adaptiven Algorithmus notwendig. In dieser Arbeit werden optimale Konvergenzraten für einen praktischen adaptiven Algorithmus für Eigenwert-Cluster des Laplaceoperators (konforme und nichtkonforme P1-FEM), des Stokes-Systems (nichtkonforme P1-FEM) und des biharmonischen Operators (Morley-FEM) bewiesen. Fehlerabschätzungen in der L2-Norm und Bestapproximations-Resultate für diese Nichtstandard-Methoden erfordern neue Techniken, die in dieser Arbeit entwickelt werden. Dadurch wird der Beweis optimaler Konvergenzraten ermöglicht. Die Optimalität bezüglich einer nichtlinearen Approximationsklasse betrachtet die Approximation des invarianten Unterraums, der von den Eigenfunktionen im Cluster aufgespannt wird. Der Fehler der Eigenwerte kann dazu in Bezug gesetzt werden: Die hierfür notwendigen Eigenwert-Fehlerabschätzungen für nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden werden in dieser Arbeit gezeigt. Die numerischen Tests für die betrachteten Modellprobleme legen nahe, dass der vorgeschlagene Algorithmus, der bezüglich aller Eigenfunktionen im Cluster markiert, einem Markieren, das auf den Vielfachheiten der Eigenwerte beruht, überlegen ist. So kann der neue Algorithmus selbst im Fall, dass alle Eigenwerte im Cluster einfach sind, den vorasymptotischen Bereich signifikant verringern. / The numerical approximation of the eigenvalues of elliptic differential operators with the adaptive finite element method (AFEM) is of high practical interest because the local mesh-refinement leads to reduced computational costs compared to uniform refinement. This thesis studies adaptive algorithms for finite element methods (FEMs) for three model problems, namely the eigenvalues of the Laplacian, the Stokes system and the biharmonic operator. In practice, little perturbations in coefficients or in the geometry immediately lead to eigenvalue clusters which requires the simultaneous marking in adaptive finite element methods. This thesis proves optimality of a practical adaptive algorithm for eigenvalue clusters for the conforming and nonconforming P1 FEM for the eigenvalues of the Laplacian, the nonconforming P1 FEM for the eigenvalues of the Stokes system and the Morley FEM for the eigenvalues of the biharmonic operator. New techniques from the medius analysis enable the proof of L2 error estimates and best-approximation properties for these nonstandard finite element methods and thereby lead to the proof of optimality. The optimality in terms of the concept of nonlinear approximation classes is concerned with the approximation of invariant subspaces spanned by eigenfunctions of an eigenvalue cluster. In order to obtain eigenvalue error estimates, this thesis presents new estimates for nonconforming finite elements which relate the error of the eigenvalue approximation to the error of the approximation of the invariant subspace. Numerical experiments for the aforementioned model problems suggest that the proposed practical algorithm that uses marking with respect to all eigenfunctions within the cluster is superior to marking that is based on the multiplicity of the eigenvalues: Even if all exact eigenvalues in the cluster are simple, the simultaneous approximation can reduce the pre-asymptotic range significantly.

Im Rahmen der Biomechanik werden der Einfluss mechanischer Bedingungen auf die Heilung biologische Gewebe, wie zum Beispiel Knochen und Knorpeln untersucht. Die vorliegende Arbeit bestimmte zum Einen am Beispiel des Humerus das mechanische Verhalten von intakten und frakturierten Knochen mit verschiedener Knochenqualität (Osteoporose versus gesunden Knochen) unter verschiedenen physiologischen Belastungen. Dazu wurde ein Finite Elemente Modell des entsprechenden Knochens erstellt. Die Knochenqualität erwies sich für die Heilung als wichtigerer Parameter, als die jeweilige physiologische Belastung. Künftige Therapien der Osteoporose sollten daher die jeweils individuelle Dichteverteilung des entsprechenden Knochens explizit berücksichtigen. Zum zweiten wurde ein biphasisches, linear-elastisches Gewebedifferenzierungsmodell entwickelt, mit dem durch iterative Berechnung der Elastizität die Heilung eines osteochondralen Defektes verfolgt werden konnte. Damit konnten die Steifigkeiten und die Orte im und um den ursprünglichen Defekt, an denen sich während der osteochondralen Heilung die verschiedenen Gewebearten neu bilden, quantitativ und qualitativ (Vergleich mit Tierexperimentation) ermittelt werden. Der Erfolg dieses Modells erlaubte die Antwort auf verschiedene Fragestellungen: Einfluß der Defekt- und Gelenkgeometrie auf die Häufigkeit des Auftretens osteochondraler Defekte und ihre Heilungschancen, sowie die Wahl der Steifigkeit eines optimalen Biomaterials zur Defektausfüllung. Osteochondrale Defekte scheinen in konkaver Geometrie etwas besser zu heilen, weil dort mehr hyaliner Knorpel gebildet wird. Grafts mit derselben Steifigkeit des ursprünglichen Knochens bilden kalzifizierenden Knorpel um mehr hyaliner Knorpel am Ende des Heilungsprozesses und sind daher weicheren Biomaterialien vorzuziehen. / In biomecanics the influence of mechanical conditions on healing of biological tissues as bones or soft tissues are analysed. In the frame of this work the mechanical behavior of intact and fractured bones with different bone qualities (osteoporotic versus normal) has been examined in a proximal humerus. Therefore a finite element model of the bone was constructed. It was found that the bone quality has a stronger impact on healing than the actual physiological loading condition does. Hence, for a future therapy of osteoporosis the precise density distribution of each individual bone must be considered. In a second step a biphasic, linear-elastic model for tissue differentiation was developed, where osteochondral healing was simulated by iterative calculation of the elastic modulus of Young within the joint region. By using this model it was possible to predict in which order in all regions of the joint the osteochondral healing took place. The stiffnesses of the newly differentiated tissues agreed well to the derived quantities of animal experimentation. Hence, this tissue differentiation model could be used to analyse some questions concerning the geometry and healing success of osteochondral defects. In concave geometry more hyaline cartilage was formed, which has better mechanical properties than fibrous one. Moreover, the stiffness of an optimal biomaterial could be determined: grafts with the same stiffness as the original bone will lead to the formation of calcified bone and more hyaline cartilage, which is favourable compared to a less stiffer biomaterial.

In dieser Arbeit wird das lokal aufgelöste Deformationsfeld einzelner (In,Ga)N/GaN Drähte mit Hilfe nanofokussierter Röntgenbeugung und der Methode der Finiten Elemente untersucht. Hiermit soll ein Beitrag zum grundlegenden Verständis der optischen Eigenschaften geleistet werden, die durch das Deformationsfeld maßgeblich beeinflusst werden. Zunächst wird die Abhängigkeit der vertikalen Normalkomponente, epsilon_zz, des elastischen Dehnungstensors von der Geometrie eines axialen (In,Ga)N/GaN Nanodrahtes diskutiert. Dabei wird ein signifikant negativer epsilon_zz-Wert beobachtet, sobald das Verhältnis von Nanodrahtradius und (In,Ga)N-Segmentlänge gegen eins strebt. Auffallend große Scherkomponenten und eine konvexe Verformung der äußeren Oberfläche begleiten das Auftreten des negativen epsilon_zz- Wertes und sind die Ursache dieses Effekts. Durch eine Ummantelung von GaN-Nanodrähten mit einer (In,Ga)N-Schale lässt sich die aktive Fläche und somit die potentielle Lichtausbeute pro Fläche im Vergleich zu planaren Strukturen deutlich erhöhen. Es wurde jedoch festgestellt, dass das entlang der Drahthöhe emittierte Licht rotverschoben ist. Um den Ursprung dieses Phänomens zu beleuchten, wird das lokale Deformationsfeld mit Hilfe nanofokussierter Röntgenbeugung vermessen. Durch die gute räumliche Auflösung ist es möglich, das Deformationsfeld innerhalb einzelner Seitenfacetten zu untersuchen, wobei ein deutlicher Gradient festgestellt wird. Basierend auf dem mit der Methode der Finiten Elemente simulierten Deformationsfeld und kinematischen Streusimulationen, ist es möglich, den Deformationszustand in einen In-Gehalt zu übersetzen. Wenn neben dem Deformationsfeld auch der strukturelle Aufbau in der Simulation berücksichtigt wird, kann der In-Gehalt mit noch größerer Genauigkeit bestimmt werden. / In this thesis, nanofocus x-ray diffraction and the finite element method are applied to analyze the local strain field in (In,Ga)N/GaN nanowires and micro-rods which are discussed as candidates for a plethora of future optoelectronic applications. However, to improve and tailor their properties, a fundamental understanding on the level of individual objects is essential. In this spirit, the dependence of the vertical normal component, epsilon_zz, of the elastic strain tensor on the geometry of an axial (In,Ga)N/GaN nanowire is systematically analyzed using the finite element method. Hereby, it is found that if the ratio of nanowire radius and (In,Ga)N segment length approaches unity, a significantly negative epsilon_zz value is observed. This stands in stark contrast to naive expectations and shows that the common knowledge about planar systems where epsilon_zz would always be greater or equal zero cannot easily be translated to nanowires with an equivalent material sequence. As the origin of this effect significant shear strains are discussed which go along with a convex deformation of the outer surface resulting in a highly complex strain distribution. The increased active area of core-shell (In,Ga)N/GaN micro-rods makes them promising candidates for next-generation light emitting diodes. However, it is found that the emission wavelength is significantly red-shifted along the rod height. To shed light on the origin of this phenomenon, nanofocus x-ray diffraction is applied to analyze the local strain field. Due to the high spatial resolution it is possible to investigate the strain field within individual side-facets and to detect a significant gradient along the rod height. Based on the deformation field simulated using the finite element method and subsequent kinematic scattering simulations it is possible to translate the strain state into an In content.

Die Forschung an der Hefe Saccharomyces cerevisiae – auch als Bäckerhefe bekannt – hat sich für die biologische Grundlagenforschung als unentbehrlich erwiesen und führte zu wichtigen Erkenntnissen in der Erforschung von Krankheiten wie Krebs. Am Beispiel der Paarung von Hefezellen werden in dieser Arbeit wesentliche Aspekte der eukaryotischen Zellbiologie untersucht. In der Haplophase des Lebenszyklus der Hefe, treten haploide Zellen als Paarungstyp MATa oder MATα auf. Diese Paarungstypen kommunizieren über Pheromone, die in ein extrazelluläres Medium abgesondert werden und von Zelloberflächenrezeptoren des komplementären Paarungstyps erkannt werden. Hefezellen wachsen in die Richtung eines möglichen Paarungspartners, da sie sich nicht aktiv bewegen können. Die Auswertung von empirischen Daten aus der Fluoreszenzmikroskopie und Rasterkraftmikroskopie (AFM) mit mathematischen Modellen ermöglichte die Rekonstruktion wesentlicher Prozesse der Hefepaarung: (i) Interzelluläre Kommunikation über die Sezernierung und Rezeption von Pheromonen, (ii) Aufbau der Zellpolarität als Reaktion auf die Pheromonantwort, (iii) Induktion und Mechanik der Zellformänderung. Folgende Modelle wurden dazu entwickelt: (i) Die interzelluläre Kommunikation wurde unter Verwendung von zellulären Automaten mit Hilfe von Reaktions-Diffusions (RD) Gleichungen modelliert. Das Modell zeigte, dass die gegenseitige Stimulierung und erhöhte Pheromonabsonderung zu einer verbesserten Abstimmung in der Paarung in der Zellpopulation führt. (ii) Ein Turing- und ein Phasenseparations- Mechanismus wurden als Modelle zum Aufbau der Zellpolarität verwendet. Volumen-Oberflächen gekoppelte RD Gleichungen wurden analytisch und numerisch mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) untersucht. (iii) Die Zellwandveränderung wurde mit klassischer Kontinuumsmechanik und der FEM Methode modelliert. Dies ermöglichte eine Beschreibung der reversiblen elastischen und der irreversiblen plastischen Verformungen der Zellwand. / Research on the yeast Saccharomyces cerevisiae – also known as baker’s yeast – has been essential not only for fostering basic biological knowledge but even more so for contributing towards understanding diseases such as cancer. In this thesis, general biological phenomena occurring in eukaryotic cells are investigated, exemplified by the mating process of yeast. In the haploid phase of their life cycle, yeast cells occur as mating type MATa or MATα, both of which communicate via pheromones that are secreted in an extracellular medium and can be sensed by cell-surface receptors of the complementary mating type. In order to mate, yeast cells grow towards a potential mating partner, since they are not able to actively move. Mathematical models on the basis of fluorescence and atomic force microscopy (AFM) data were developed. The key aspects of the yeast mating process that I examined were (i) intercellular communication of cells via pheromones, (ii) the initial symmetry break and implementation of cell polarity, and (iii) subsequent morphogenetic changes. The methods used and findings were as follows: (i) Pheromone secretion and sensing motifs were modelled using cellular automata models based on reaction-diffusion (RD) equations. My models show that mutual stimulation and increased pheromone secretion between cells improves mating efficiency in cell populations. (ii) To explain yeast mating decisions, two possible model types for cell polarity were tested: a Turing-type and a phase-separation mechanism. Bulk-surface RD equations were investigated analytically and numerically using the finite element method (FEM). Typical cell shapes were reconstructed in 2D and 3D. (iii) The cell wall was modelled using classical continuum mechanics that allows for reversible elastic and irreversible plastic cell wall deformation. Mathematical modelling demonstrated that all three processes investigated are precisely orchestrated and interlocked during yeast mating.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Bereitstellung eines geeigneten Simulationswerkzeuges für die numerische Untersuchung der beim Rollkontakt zwischen Rad und Schiene auftretenden Phänomene. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf der kontinuumsmechanischen Formulierung des mechanischen Feldproblems kontaktierender Körper sowie dessen numerischer Lösung mittels der Finite-Element-Methode. Zur Reduzierung des bei der Simulation von Rollkontakt aus der notwendigen sehr feinen Diskretisierung der Kontaktgebiete resultierenden numerischen Aufwandes wird eine relativkinematische Beschreibung herangezogen. Diese gemischte LAGRANGE-EULER-Betrachtungsweise beruht auf der Zerlegung der Bewegung in einen Starrkörperanteil und eine dazu relative Deformation. Die Herleitung der Bewegungsgleichung für das Kontaktproblem erfordert die relativkinematische Formulierung der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen, d.h. der Bilanzgleichungen sowie der konstitutiven Beziehungen. Eine geeignete Kontaktmechanik einschließlich der Berücksichtigung des Kontakts rauer Oberflächen und veränderlicher Kontaktrandbedingungen ist ebenfalls notwendig. Die physikalische Einbindung der Körper in die Umgebung erfolgt über NEUMANNsche und DIRICHLETsche Randbedingungen. Auf dieser Basis können die Bewegungsgleichungen der Elastomechanik hergeleitet werden, welche sich jedoch einer analytischen Lösung verschließen. Somit werden sie in ihrer schwachen Form im integralen Mittel formuliert, was der Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen als Ausgangspunkt für die numerische Lösung entspricht. Die rechentechnische Umsetzung erfordert die inkrementelle und diskrete Formulierung der Bewegungsgleichungen unter besonderer Beachtung der Trägheits-und Kontaktterme, wobei auf die Unterscheidung zwischen Haften und Gleiten beim Tangentialkontakt besonderes Augenmerk gelegt wird. Die numerische Lösung des Finite-Element-Gleichungssystems liefert den aktuellen Beanspruchungszustand zweier Körper im Rollkontakt. Die Funktionsfähigkeit der entwickelten Algorithmen wird abschließend anhand aussagekräftiger Beispielrechnungen zum statischen Kontakt und zum stationären Rollkontakt demonstriert, deren Ergebnisse gute Übereinstimmung mit analytischen Vergleichslösungen, soweit verfügbar, aufweisen. / Scope of this work is the preparation of a suitable simulation tool for the numerical investigation of rolling contact phenomena. The main focus lies on the continuum–mechanical formulation of the mechanical field problem of contacting bodies and its numerical solution within the framework of the Finite Element Method. For reducing the numerical effort in rolling contact simulation, induced by the necessity of a very fine discretization within the expected contact area, a relative–kinematical description is utilized. This arbitrary LAGRANGian–EULERian approach is based upon the decomposition of the total motion into a rigid body motion and a superimposed deformation. The derivation of the equation of motion for the contact problem requires the relative–kinematical formulation of the continuum–mechanical fundamental equations, i. e. the balance equations and the constitutive relations. A suitable contact model including the contact of rough surfaces and varying contact boundary conditions is also necessary. The physical embedding into the environment is accomplished by NEUMANN and DIRICHLET boundary conditions. Based upon that foundation the elastomechanics’ equations of motion are derived, which however can not be solved analytically in general. Hence, the equations of motion are transferred into their weak form by the application of the principle of virtual displacements serving for the numerical solution. The implementation of the problem demands for an incremental and discrete formulation of the equations, especially regarding the terms of inertia and the contact terms. Thereby, special attention has to be paid to the distinction between sticking and sliding within the framework of the tangential contact analysis. The numerical solution of the finite elements’ system of equations provides the state of stress, displacement and contact of two bodies in rolling contact. The reliability of the developed algorithms is finally verified by means of meaningful numerical examples for both static contact and for stationary rolling contact, whereby the numerical results coincide well with available analytical reference solutions.

In the present thesis the crack propagation in the ductile-brittle transition region is studied on two scales with deterministic models. In the macroscopic model the ductile failure is described by a non-local Gurson-model whereas the discrete void microstructure is resolved around the crack tip in the microscopic model. The failure by cleavage is not evaluated by means of a post-processing criterion but is modeled equivalently using a cohesive zone model on both scales. Thus, cleavage is not a priori identified with unstable crack propagation but the transition between stable and unstable mode of propagation is a result of the simulation. The problem of handling completely failed material within the framework of non-local damage models is pointed out. A method to overcome this problem is proposed and successfully applied. The case of contained plastic yielding at the crack tip is addressed with a modified-boundary layer model. The macroscopic simulations reproduce many features which are known from experiments like the formation of stretch zones, cleavage after initial ductile tearing, pop-ins with crack arrest, among others. The microscopic simulations substantiate the understanding of the macroscopically observed behavior. Systematic parameter studies are performed. Starting with considerations on the limit cases like pure ductile failure or the lower-ductile brittle transition region allows to separate the effects of the different constitutive parameters. Based on these results, a methodology is proposed to extract the macroscopic material parameters from experiments. This scheme is successfully applied to experimental data from literature. The results show that the behavior of a low-constraint specimen can be reliably predicted with the parameters extracted from a high-constraint specimen. / In der vorliegenden Arbeit wird die Rissausbreitung im spröd-duktilen Übergangsbereich auf zwei Skalen mittels deterministischer Modelle untersucht. Das duktile Versagen wird im makroskopischen Modell durch ein nichtlokales Gurson-Modell beschrieben, während im mikroskopischen Modell die Porenmikrostruktur im Bereich um die Rissspitze diskret aufgelöst wird. Das mögliche Versagen durch Spaltbruch wird nicht, wie üblich, nachträglich durch ein spannungsbasiertes Kriterium bewertet. Stattdessen wird der Spaltbruch auf beiden Skalen durch ein Kohäsivzonenmodell abgebildet. Somit wird die Spaltbruchinitiierung nicht a priori mit instabiler Rissausbreitung gleichgesetzt. Vielmehr ist die Stabilität der Rissausbreitung ein Ergebnis der Simulationen. Außerdem wird das Problem der der Handhabung vollständig ausgefallenen Materials im Rahmen nichtlokaler Schädigungsmodelle herausgestellt. Es wird eine Methode vorgestellt, dieses Problem zu behandeln und erfolgreich angewendet. In den Simulationen wird der Fall vollständig eingebetteten, plastischen Fließens untersucht. Die Simulationen mit dem makroskopischen Modell geben viele Effekte wieder, die aus Experimenten bekannt sind. Dazu zählen die Ausbildung von Stretchzonen, die Spaltbruchinitiierung nach anfänglichem, duktilem Reißen oder lokale Instabilitäten mit Rissarrest. Die mikroskopischen Simulationen tragen zum Verständnis des makroskopisch beobachteten Verhaltens bei. In der vorliegenden Arbeit werden systematische Parameterstudien durchgeführt. Zunächst werden Grenzfälle wie das rein duktile Versagens oder der Spaltbruch in Abwesenheit der Mikroporen untersucht, um die Einflüsse der einzelnen Materialparameter abzugrenzen. Ausgehend von diesen Ergebnissen wird eine Prozedur vorgeschlagen, die Materialparameter des makroskopischen Modells Schritt für Schritt aus Experimenten zu bestimmen. Diese Prozedur wird erfolgreich auf experimentelle Daten aus der Literatur angewendet. Die Ergebnisse zeigen, dass es das entwickelte Modell erlaubt, das Verhalten einer Bruchmechanikprobe mit geringer Dehnungsbehinderung an der Rissspitze mit denjenigen Materialparametern vorherzusagen, die an Proben mit einer hohen Dehnungsbehinderung ermittelt wurden.

Die Arbeit widmet sich der Simulation und der Prognose des Materialverhaltens des Hochleistungsverbundwerkstoffes Textilbeton unter Zugbeanspruchungen. Basierend auf einer hierarchischen mechanischen Modellbildung (Multi-Skalen-Analyse) werden die Tragmechanismen des Verbundwerkstoffes auf drei Strukturebenen abgebildet. Damit lassen sich die den Verbundwerkstoff charakterisierenden mechanischen Kenngrößen aus experimentell ermittelten Kraft-Verschiebungs-Abhängigkeiten ableiten. Diese Kenngrößen sind mit heutiger Messtechnik nicht direkt experimentell bestimmbar. Es wird ein Mikro-Meso-Makro-Prognosemodell (MMM-Prognosemodell) für Textilbeton entwickelt, das basierend auf der Simulation des Mikrostrukturverhaltens das makroskopische Materialverhalten prognostiziert. Die Grundlage dafür bildet die qualitative und quantitative Bestimmung der Verbundeigenschaften zwischen der Filamentbewehrung und der einbettenden Matrix. Für das Verbundverhalten von Rovings in einer Feinbetonmatrix wird, ausgehend von einer Rovingapproximation mit superelliptischem Querschnitt, die partielle Imprägnierung des Rovings und die daraus resultierende Verbundwirkung identifiziert und simuliert. Auf Grundlage der mikro- und mesomechanischen Modelle sowie der Kalibrierung und Verifizierung des MMM-Prognosemodells durch die Simulation von Filament- und Rovingauszugsversuchen wird das makroskopische Zugverhalten von Textilbeton mit Mehrfachrissbildung prognostiziert. Die numerischen Ergebnisse werden durch die Ergebnisse der experimentellen Dehnkörperversuche validiert. Das MMM-Prognosemodell für Textilbeton wird im Rahmen einer hierarchischen Multi-Skalen-Analyse auf Zugversuche von Textilbetonbauteilen angewendet. Weiterhin wird die Verstärkungswirkung einer Textilbetonschicht an Stahlbetonbauteilen unter Biegebeanspruchung zutreffend simuliert. Es wird das nichtlineare Bauteilverhalten abgebildet, wobei die Bauteildurchbiegung, die effektiven Rovingbeanspruchungen und die Beanspruchungen der Filamente im Roving abgebildet werden. / The present work deals with the simulation and the prediction of the effective material behavior of the high performance composite textile reinforced concrete (TRC) subjected to tension. Based on a hierarchical material model within a multi scale approach the load bearing mechanisms of TRC are modeled on three structural scales. Therewith, the mechanical parameters characterizing the composite material can be deduced indirectly by experimentally determined force displacement relations obtained from roving pullout tests. These parameters cannot be obtained by contemporary measuring techniques directly. A micro-meso-macro-prediction model (MMM-PM) for TRC is developed, predicting the macroscopic material behavior by means of simulations of the microscopic and the mesoscopic material behavior. The basis is the qualitative and quantitative identification of the bond properties of the roving-matrix system. The partial impregnation of the rovings and the corresponding varying bond qualities are identified to characterize the bond behavior of rovings in a fine-grained concrete matrix. The huge variety of roving cross-sections is approximated by superellipses on the meso scale. The macroscopic behavior of TRC subjected to tension including multiple cracking of the matrix material is correctly predicted on the basis of the micro- and meso-mechanical models. The calibration and verification of the MMM-PM is performed by simulations of roving pullout tests, whereas a first validation is carried out by a comparison of the numerical predictions with the experimental data from tensile tests. The MMM-PM for TRC is applied to tensile tests of structural members made of TRC. Furthermore, a steel-reinforced concrete plate strengthened by a TRC layer is accurately simulated yielding the macroscopic deflection of the plate, the mesoscopic stress state of the roving and the microscopic stresses of the filaments.

Durch die zunehmende technologische Entwicklung des Getriebe-, Gelenkwellen-, Werkzeugmaschinen-, Kraftfahrzeug-, sowie Landmaschinenbaus steigen die zu übertragenden Leistungen und Drehmomente enorm. Dies führt zu einem wachsenden Bedarf an formschlüssigen Profilwellenverbindungen und deren erhöhter Lebensdauer und Genauigkeit. Hierbei bilden die Zahnwellenverbindungen (ZWVen) mit Evolventenflanken nach DIN 5480 /N1/ den Regelfall für eine Vielzahl der Anwendung. Abhängig von Festigkeitsüberlegungen, Herstellungsverfahren und Platzbedarf treten in der Praxis nahezu ausschließlich die folgenden zwei Grundtypen auf. Es handelt sich dabei zum Ersten um die Zahnwelle (ZW) mit freiem Auslauf.Die zweite Geometrievariante ist die Zahnwelle mit gebundenem Auslauf, die eine nach DIN 471 /N2/ genormte Sicherungsringnut (SRN) enthalten kann. Zahnwellenverbindungen dienen zur Übertragung großer, wechselnder und stoßartiger Drehmomente ohne zusätzliches Verbindungselement durch die Profilierung der Welle und Nabe. Axiale Verschiebbarkeit unter Last, Profilverschiebungsmöglichkeit, einfache Montage und Demontage sowie die Herstellung mit hochleistungsfähigen umformenden und spanenden Massenfertigungsverfahren, die die Herstellungskosten verhältnismäßig niedrig halten, sind technisch bedeutsame Eigenschaften, die zum ansteigenden Einsatz von ZWVen führen (z.B. /N1/, /Vil84/, /Koh86/ und /Wes96/). Starke Kerbwirkung und erhebliche Überdimensionierung benachbarter Gestaltungszonen sind die wesentlichen Schwachpunkte der Profilverbindungen. Eine große Anzahl (ca. 80 %) von Ausfällen im Maschinenbau ist auf Schäden an Achsen und Wellen infolge konstruktiv bedingter Kerben zurückzuführen (z.B. /N3/ und /Hai89/). Speziell im Bereich der hochbeanspruchten Profilwellen-Verbindungen kommt es auf Grund der starken Querschnittsveränderungen und der häufig angewandten Ausläufe und Formelemente, z. B. Zahn- und Keilwellen zu Kerbwirkungen, die erhebliche örtliche Spannungskonzentrationen sowohl im Zahnfußbereich und Zahnlückenauslauf als auch im Bereich der Verbindung selbst verursachen. Diese Beanspruchungskonzentrationen sind fast in der Hälfte aller Zahnwellenbrüche die häufigste Ursache für Dauerbrüche (Ermüdungs- bzw. Schwingungsbrüche) und für Schäden (bleibende Verformung, Anriss, Gewaltbruch) infolge Maximalbelastung. Hier trifft die Lastüberhöhung am Welle-Nabe-Verbindungsrand mit dem Steifigkeitssprung des Verzahnungsendes auf der Welle zusammen /Die93/. Die erwähnten Schadensfälle belegen, dass der heutige Kenntnisstand über eine beanspruchungsgerechte Auslegung von Zahnwellen noch recht lückenhaft ist. Deshalb sind neue Erkenntnisse über Form- bzw. Kerbwirkungszahlen bei Einzel- und Mehrfachkerben von scharf und weniger scharf gekerbten Zahnwellen mit Auslauf für eine treffsichere Festigkeitsberechnung erforderlich und stellen damit die Hauptschwerpunkte dieser Arbeit dar. Das vorliegende Forschungsprojekt, welches sich erstmals mit der Ermittlung der Beanspruchungen in torsions-, und biegebelasteten Zahnwellen mit freiem und gebundenem Auslauf befasst, wurde im Rahmen der Forschungsvereinigung für Antriebstechnik e.V. (FVA) unter der Nummer T 467 und dem Forschungsthema „ Ermittlung der Kerbwirkung bei Profilwellen für die praktische Getriebeberechnung von Zahnwellen“ initiiert und untersucht.

When the finite element method is used to solve boundary value problems, the corresponding finite element mesh is appropriate if it is reflects the behavior of the true solution. A posteriori error estimators are suited to construct adequate meshes. They are useful to measure the quality of an approximate solution and to design adaptive solution algorithms. Singularly perturbed problems yield in general solutions with anisotropic features, e.g. strong boundary or interior layers. For such problems it is useful to use anisotropic meshes in order to reach maximal order of convergence. Moreover, the quality of the numerical solution rests on the robustness of the a posteriori error estimation with respect to both the anisotropy of the mesh and the perturbation parameters. There exist different possibilities to measure the a posteriori error in the energy norm for the singularly perturbed reaction-diffusion equation. One of them is the equilibrated residual method which is known to be robust as long as one solves auxiliary local Neumann problems exactly on each element. We provide a basis for an approximate solution of the aforementioned auxiliary problem and show that this approximation does not affect the quality of the error estimation. Another approach that we develope for the a posteriori error estimation is the hierarchical error estimator. The robustness proof for this estimator involves some stages including the strengthened Cauchy-Schwarz inequality and the error reduction property for the chosen space enrichment. In the rest of the work we deal with adaptive algorithms. We provide an overview of the existing methods for the isotropic meshes and then generalize the ideas for the anisotropic case. For the resulting algorithm the error reduction estimates are proven for the Poisson equation and for the singularly perturbed reaction-difussion equation. The convergence for the Poisson equation is also shown. Numerical experiments for the equilibrated residual method, for the hierarchical error estimator and for the adaptive algorithm confirm the theory. The adaptive algorithm shows its potential by creating the anisotropic mesh for the problem with the boundary layer starting with a very coarse isotropic mesh.