Soient K/Qp une extension finie et GK le groupe de Galois absolu de K. Cette thèse est consacrée à l'étude de produits tensoriels cristallins (ou semi-stables, ou de de Rham, ou de Hodge-Tate) de représentations p-adiques de GK,, ainsi que de produits tensoriels triangulins de représentations p-adiques de GK. On étudie également la situation où l'image d'une représentation p-adique par un foncteur de Schur (tel Symn ou Λn) est cristalline (ou semi-stable, ou de de Rham, ou de Hodge-Tate). Les résultats présentés dans cette thèse sont énoncés pour les B-paires, et ils s'appliquent donc en particulier aux représentations p-adiques. / Let K/Qp be a finite extension and let GK be the absolute Galois group of K. This thesis is devoted to the study of crystalline (as well as semi-stable, de Rham, or Hodge-Tate) tensor products of p-adic representations of GK, as well as trianguline tensor products of p-adic representations of p-adic representations of GK. We also study the situation when the image of a p-adic representation by a Schur functor (for example, Symn or Λn) is crystalline (or semi-stable, or de Rham, or Hodge-Tate). The results presented in this thesis are stated for B-pairs, and apply in particular to p-adic representations.

As enterobactérias são importantes pátogenos comunitários e hospitalares e o aparecimento cada vez mais frequente de cepas multirresistentes tem sido motivo de preocupação em hospitais e instituições de saúde por todo o mundo, devido às opções terapêuticas restritas. Nas últimas décadas, o aumento global de cepas produtoras de β-lactamases plasmidiais induzíveis e β-lactamases de espectro estendido (ESBL), fizeram com que os carbapenêmicos fossem considerados a primeira opção para o tratamento de infecções graves. No entanto, a resistência aos carbapenêmicos já é considerada um problema de saúde pública em diversos países e a produção da enzima Klebsiella pneumoniae Carbapenemase (KPC) tem sido descrita como o principal mecanismo de resistência a esta classe de antibióticos na família Enterobacteriaceae. Considerando que apenas relatos esporádicos de cepas produtoras de KPC têm sido reportados no Rio Grande do Sul (RS), em contraste à situação de muitos estados brasileiros, este estudo teve por objetivo estabelecer a prevalência de KPC entre isolados com reduzida sensibilidade aos carbapenêmicos provenientes de 11 hospitais do RS, promover a caracterização molecular destes isolados, bem como avaliar as principais metodologias fenotípicas utilizadas na sua detecção. Diferenças significativas foram observadas entre os perfis de sensibilidade a imipenem (IPM) e meropenem (MEM), quando comparados ao de ertapenem (ERT), sendo que para este último menos de 10% dos isolados foram considerados sensíveis em comparação a mais de 73% para os dois primeiros. Nossos resultados também demonstraram que a redução de sensibilidade aos carbapenêmicos esteve associada à produção de β-lactamases do tipo AmpC e ESBL, em detrimento de carbapenemases. Dentre as principais carbapenemases encontradas em enterobactérias, apenas cepas produtoras de KPC foram detectadas entre os isolados estudados, cuja prevalência foi de 4%. Entre os produtores de KPC, foram identificadas espécies de E. cloacae, K. pneumoniae, S. marcescens e K. georgiana, provenientes de quatro hospitais distintos. A análise por sequenciamento revelou que todos foram produtores da enzima KPC-2. Quanto ao perfil de sensibilidade, a maioria foi altamente resistente aos β-lactâmicos e às quinolonas, enquanto que, amicacina e polimixima foram os antibióticos mais efetivos contra os isolados in vitro. Dois grupos clonais foram evidenciados entre os isolados de E. cloacae e S. marcescens e quatro entre os isolados de K. pneumoniae, na análise por PFGE. Com relação ao contexto genético que envolve o blaKPC-2, apenas uma caracterização parcial foi possível, evidenciando uma plataforma alterada em relação ao ambiente genético clássico (Tn4401). A análise plasmidial dos produtores de KPC resultou em plasmídeos de tamanhos variáveis, evidenciando a maior prevalência de plasmídeos de ~20Kb no carreamento do gene. A análise também revelou que todos foram não- tipáveis pela técnica de PBRT. Com relação às metodologias fenotípicas utilizadas na detecção de KPC, o IPM apresentou melhor desempenho que o MEM na realização do teste de discos combinados com ácido borônico (AB), resultando em 100% de sensibilidade (SN) e 96.1% de especificidade (SP). A quantificação do Teste Modificado de Hodge (MHT), proposta neste trabalho, eliminou a subjetividade na sua interpretação e evidenciou um aumento considerável na SP do teste em relação à metodologia convencional. Em conclusão, nossos resultados confirmaramm a elevada plasticidade genética e os diversos fenótipos observados na família Enterobacteriaceae; contribuíram para o conhecimento da epidemiologia local de resistência aos carbapenêmicos e dos isolados produtores de KPC; bem como reforçaram o valor das metodologias fenotípicas como ferramenta capaz de discriminar os mecanismos envolvidos na resistência aos carbapenêmicos. / The Enterobacteriaceae family includes important community and nosocomial pathogens frequently associated to multirresistance. Multidrug-resistant strains represent an important concern among hospitals and healthcare institutions around the world, due to the limited therapeutic options. In recent decades, the overall increase of strains producing inducible β-lactamases and extended spectrum β-lactamases (ESBL) has lead to the use of carbapenems as the first option for the treatment of serious infections. However, the carbapenem resistance has been considered a public health problem in many countries and the production of the enzyme Klebsiella pneumoniae carbapenemase (KPC) has been described as the major resistance mechanism to carbapenems in this family. Whereas only sporadic reports of KPC-producing strains have been reported in Rio Grande do Sul (RS), in contrast to the situation in many Brazilian states, this study aimed to establish the prevalence of KPC among isolates with reduced susceptibility to carbapenems from 11 disctinct hospitals of RS, promote the molecular characterization of these isolates, as well as evaluate the main phenotypic methods used for KPC detection. Significant differences were observed among the susceptibility profiles of imipenem (IPM) and meropenem (MEM), when compared to ertapenem (ERT): less than 10% of the isolates were classified as susceptible to ERT compared to over 73% to IPM and MEM. Our results demonstrated that the reduced susceptibility to carbapenems, was mainly due to the production of AmpC β-lactamases and ESBL, instead of true carbapenemases. Regarding the major carbapenemases found in Enterobacteriaceae, only KPC was detected among the isolates studied, at a prevalence of 4%. KPC producers included the species E. cloacae, K. pneumoniae, S. marcescens and K. georgiana, from four different hospitals. The sequencing analysis demonstrated that all of them were KPC-2 producers. According to the susceptibility profile, most were highly resistant to β-lactams and quinolones, whereas polymyxin and amikacin were the most effective drugs in vitro. Two clonal groups were detected among isolates of E. cloacae and S. marcescens and four among isolates of K. pneumoniae, by PFGE analysis. Only a partial characterization of the genetic context that involves the blaKPC-2 gene was possible for these isolates, indicating an altered platform compared to the classic genetic environment (Tn4401). The plasmid analysis indicated plasmids of variable sizes, with a higher prevalence of those of ~ 20Kb involved with the blaKPC-2 gene. The analysis also showed that all of them were non-typable by PBRT technique. With respect to the phenotypic methods used for KPC detection, IPM proved to present a better performance than MEM in the combined-disc test with boronic acid (AB), resulting in 100% of sensitivity (SN) and 96.1% of specificity (SP). The quantification of Modified Hodge Test (MHT), proposed in this study, eliminated the subjectivity of this test leading to a considerable increase in the SP of the test compared to the conventional methodology. In conclusion, our results confirmed the high genetic plasticity and the distinct phenotypes observed in the Enterobacteriaceae family; contributed to the knowledge of the local epidemiology of carbapenem resistance and for KPC-producing isolates; as well as reinforced the use of phenotypic methods as an useful tool able to discriminate the mechanisms involved in carbapenem resistance.

Dans cette thèse, on s'intéresse à des questions relatives aux arrangements d'hyperplans du point de vue des périodes motiviques. Suivant un programme initié par Beilinson et al., on étudie une famille de périodes appelée polylogarithmes d'Aomoto et leurs variantes motiviques, vues comme éléments de l'algèbre de Hopf fondamentale de la catégorie des structures de Hodge-Tate mixtes, ou de la catégorie des motifs de Tate mixtes sur un corps de nombres. On commence par calculer le coproduit motivique d'une famille de telles périodes, appelées polylogarithmes de dissection génériques, en montrant qu'il est régi par une formule combinatoire. Ce résultat généralise un théorème de Goncharov sur les intégrales itérées. Puis, on introduit les bi-arrangements d'hyperplans, objets géométriques et combinatoires qui généralisent les arrangements d'hyperplans classiques. Le calcul de groupes de cohomologie relative associés aux bi-arrangements d'hyperplans est une étape cruciale dans la compréhension du coproduit motivique des polylogarithmes d'Aomoto. On définit des outils cohomologiques et combinatoires pour calculer ces groupes de cohomologie, qui éclairent dans un cadre global des objets classiques tels que l'algèbre d'Orlik-Solomon. / In this thesis, we deal with some questions about hyperplane arrangements from the viewpoint of motivic periods. Following a program initiated by Beilinson et al., we study a family of periods called Aomoto polylogarithms and their motivic variants, viewed as elements of the fundamental Hopf algebra of the category of mixed Hodge-Tate structures, or the category of mixed Tate motives over a number field. We start by computing the motivic coproduct of a family of such periods, called generic dissection polylogarithms, showing that it is governed by a combinatorial formula. This result generalizes a theorem of Goncharov on iterated integrals. Then, we introduce bi-arrangements of hyperplanes, which are geometric and combinatorial objects which generalize classical hyperplane arrangements. The computation of relative cohomology groups associated to bi-arrangements of hyperplanes is a crucial step in the understanding of the motivic coproduct of Aomoto polylogarithms. We define cohomological and combinatorial tools to compute these cohomology groups, which recast classical objects such as the Orlik-Solomon algebra in a global setting.

Cette thèse comporte trois volets indépendants en cryptographie, en théorie de Hodge p-adique et en analyse numérique.La première partie consiste en l'étude d'algorithmes performants de résolution du logarithme discret. La résolution du logarithme discret consiste à déterminer les exposants d'une famille fixée de générateurs dans la décomposition des éléments du groupe. Dans le cas des groupes multiplicatifs d'un corps fini, la complexité des calculs dépendent de la taille - dite de petite, moyenne ou grande caractéristique- de la caractéristique du corps dans lesquels on effectue les calculs.Nous présentons différents algorithmes dans chacune des caractéristiques (petite, moyenne ou grande) en précisant quel est l'algorithme le plus performant dans chacun des cas.La seconde partie s'inscrit dans le contexte du programme de Langlands p-adique. Nous présentons une généralisation de l'un des outils centraux de la théorie, les modules de Breuil-Kisin, en plusieurs variables La troisième partie est un travail effectué en collaboration avec Victor Vilaça Da Rocha, Roberta Tittarelli, Richard Sambilason Rafefimanana, Victor Michel-Dansac et Benjamin Couéraud. Il a été initié lors de la treizième SEME, Semaine d'Etudes Maths Entreprises organisée par l'Agence pour les Mathématiques en Interaction avec l'Entreprise et la Société (AMIES).L'Institut Français du Pétrole et des Energies Nouvelles nous a soumis un problème de résolution numérique d'un système d'équations modélisant la désorption d'un gaz de schiste en une dimension.Nous proposons plusieurs schémas du premier ordre recourant à un traitement implicite de l'équation de relaxation. Enfin nous présentons un schéma numérique d'ordre deux en temps. / In this thesis, we present three independent works in cryptography, p-adic Hodge theory and Numerical analysis.First we present several algorithms to solve the discrete logarithm in several characteristic finite fields. We are particularly interested with the determination of classes of polynomial functions with small coefficients.The second part of the thesis deals with one of the major object of p-adic Hodge theory. We present a multi-variable version of Breuil-Kisin modules where the Lubin-Tate tower replaces the classical cyclotomic tower. He third proposes two numerical schemes for the modelisation of desorption of shale gaz.

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The central theme of this thesis is the application of mirror symmetry to the study of the arithmetic geometry of Calabi-Yau threefolds. It formulates a conjecture about the properties of the limit mixed Hodge structure at the large complex structure limit of an arbitrary mirror threefold, which is supported by a two-parameter example of a self-mirror Calabi-Yau threefold. It further studies the connections between this conjecture with Voevodsky's mixed motives. This thesis also studies the connections between the conifold transition and Beilinson's conjecture on the values of the L-functions at integral points. It carefully studies the arithmetic geometry of the conifold in the mirror family of the quintic Calabi-Yau threefold and its L-function, which is shown to provide a very interesting example to Beilinson's conjecture.

Le but de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats arithmétiques connus pour les formes modulaires elliptiques au cas des formes modulaires de Hilbert. Parmi ces résultats citons le contrôle de l'image de la représentation galoisienne résiduelle [Serre, Ribet], le critère de congruence de Hida, ainsi que la liberté de la cohomologie entière de la variété modulaire de Hilbert sur certaines composantes locales de l'algèbre de Hecke et la propriété de Gorenstein de celles-ci [Mazur, Faltings-Jordan]. Dans le cas de niveau "minimal" ceci permet de relier la $p$-partie "algébrique" de la valeur en 1 de la fonction L adjointe d'une forme modulaire de Hilbert nouvelle au cardinal du groupe de Selmer correspondant. L'approche des propriétés arithmétiques des formes modulaires de Hilbert se fait à travers leurs représentations galoisiennes modulo $p$ et l'outil principal est l'action de l'inertie en $p$. Cette action est contrôlée par le calcul des poids de Hodge-Tate (resp. de Fontaine-Laffaille) de la cohomologie $p$-adique (resp. modulo $p$) de la variété modulaire de Hilbert. La partie cohomologique de ce travail repose sur la construction des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété abélienne de Hilbert-Blumenthal universelle (et de ses produits fibrés), au-dessus des compactifications toroïdales arithmétiques de la variété modulaire de Hilbert en niveau $\Gamma_1(c,n)$.

Soit $X$ une variété algébrique lisse et projectif sur un corps de nombres $F \subset \mathbb{C}$. On suppose que le motif de Hodge absolu $h^i(X)$ appartient à la catégorie Tannakienne engendrée par les motifs des variétés abélienne sur $F$. Pour tout nombre premier $\ell$, le groupe de Galois $\Gamma_F:= Gal(\bar{F}/F)$ opère sur $H_{\ell}(M)$, la réalisation $\ell$-adique de $M$. Quitte à remplacer $F$ par une extension finie, on peut supposer que cette action se factorise par un morphisme $\rho_{M,\ell}: \Gamma_F\rightarrow G_M(\ql)$, où $G_M$ est le groupe de Mumford-Tate de $M$. Fixons une valuation $v$ de $F$ et supposons $v(\ell)=0 $. La restriction $\rho_{M,\ell} \vert_{ \Gamma_{F_v}}$ définit une représentation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ du groupe de Weil-Deligne de $F_v$. Des conjectures de J-P Serre et J-M Fontaine indiquent que pour tout $\ell $, la représentation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ est définie sur $\mathbb{Q}$ et pour $\ell$ variable elles forment un système compatible de représentations. Sous certaines hypothèses supplémentaires, nous montrons que ceci est vrai si $X$ a bonne réduction en $v$ où réduction semi-stable en $v$.

Dans cette thèse, on étudie liens étroits qui existent entre les valeurs zêta multiples et la géométrie des espaces de modules de courbes en genre 0. En particulier, on y montre comment les deux produits de mélanges (shuffle et stuffle) des valeurs zêta multiples reflètent le comportement de certaines applications d'oubli entre espaces de modules courbes. Un des objectifs de mon travail a été de comprendre comment ces produits de mélange existent dans le cadre des motifs de Tate mixtes attachés aux espaces de module de courbes. On rappellera, dans un premier temps, les définitions et les propriétés des deux produits de mélange. Ensuite, on fera le lien avec la géométrie des espaces de modules de courbes. Puis, après quelques rappels sur les motifs encadrés, on montrera comment effectuer le passage aux motifs de Tate mixtes pour le produit shuffle dans le cadre des valeurs zêta multiples motiviques de Goncharov et Manin. Enfin, le dernier chapitre est consacré au stuffle motivique. Après avoir adapté un théorème de Y. Hu sur les successions d'éclatements à la situation des motifs de Tate mixtes, on construira une famille de variétés. À partir de là, on définira une nouvelles versions des valeurs zêta multiples motiviques. Pour parvenir à cette construction, on étudiera, entre autres, l'intersection d'hypersurfaces particulières et la structure de Hodge mixte de certains groupes de cohomologie relative. On obtient alors une forme de relation stuffle pour les motifs de Tate mixtes encadrés ces nouvelles valeur zêta motiviques dont on déduit les relations de stuffle pour les MZV motiviques de Goncharov et Manin.