Det finns olika aspekter för att förstå multiplikation och resultat från tidigare forskning visar att många av dagens elever använder formler och uträkningar de egentligen inte förstår. Syftet med denna studie är att exemplifiera olika sätt lärare kan ge stöttning för att eleverna ska utveckla sin förståelse för multiplikation. I studien genomfördes fyra observationer med efterföljande intervjuer i olika mellanstadieklasser. Resultatet visar att lärare ofta ger feedback innehållandes en hög grad av stöttning till eleverna. Det vanligaste matematiska innehållet i den feedback lärarna gav till eleverna var procedurellt inriktad mot den aktuella uppgiften eleverna arbetade med. Stöttningen gavs generellt för att eleverna skulle klara uppgiften snarare än att de skulle få en ökad förståelse för multiplikation. Tidigare forskning visar att lärare upplever det tidskrävande att arbeta med formativ feedback. Detta kan vara en av orsakerna till att vi i denna studie inte kunde identifiera något exempel på formativ feedback från lärare till elev. Resultatet av vår studie skulle kunna användas av yrkesverksamma lärare till att förstå hur formuleringen av deras feedback kan påverka elevernas möjlighet till productive struggle och den konceptuella förståelsen i ett matematiskt område, likt multiplikation.

Syftet med denna studie har varit att undersöka multiplikation i läromedel från årskurs fyra för att se vad som påverkar multiplikationens struktur och innehåll. För att undersöka detta har studien utgått från följande frågeställningar: ”Hur framställs multiplikation i läromedlen, utifrån begreppen klassifikation och inramning?”, ”Hur förändras läromedlen mellan olika läroplaner, utifrån begreppen klassifikation och inramning?” samt ”Hur skiljer sig multiplikationens klassifikation och inramning mellan de olika läromedlen?”. Studien utgår från ramverket skapad av Bernstein med inspiration från Prytz. De begrepp som ramverket utgår från är intern klassifikation, inramning tempo och inramningorganisation. Läromedelsanalysen är huvudsakligen kvalitativ men med kvantitativa inslag i form av tabeller. Resultatet i studien visade att läromedlen varierade utifrån begreppen klassifikation och inramning. Det framgick även att läromedlen i studien påverkades minimalt av läroplanernas innehåll, istället var författarnas egna intresse i fokus vilket främst influerade läromedlens innehåll och struktur. Slutligen framgick att eleven hade olika mycket makt i läromedlen, det vill säga att läromedlen gav eleven olika mycket utrymme i sitt lärande. En del läromedel var tydliga med vad eleven skulle lära sig och andra läromedel gav mer utrymme att själv välja metod i uppgifterna. En vanligt förekommande introduktion till multiplikation i läromedlen var upprepad addition som ett flertal studier riktar kritik mot. Slutsatsen är att läromedel varierar enligt studiens ramverk. Faktorer som exempelvis läroplan hade en liten påverkan på läromedlets innehåll och struktur. Mönster fanns istället i läromedelsserier och hos den enskilda författaren.

Syftet med denna studie är att undersöka matematikläromedel för årskurs 3. Hur utmanas elevernas kognitiva förmågor och hur framställs sambandet mellan division och multiplikation i läroböckerna. Studien har undersökt innehållet i läromedel som används i de svenska skolorna i dag. För att undersöka detta valdes tre läromedel ut för att göra en innehållsanalys.  Studien genomfördes genom att analysera och räkna uppgifter i läromedel för att sedan föra in  dessa i olika kategorier. Kategorierna är olika räknesätt; division, multiplikation och övriga uppgifter, samt fyra kognitiva kravnivåer utifrån Smith och Steins (1998) modell. I undersökningen av de olika räknesätten lades extra fokus på uppgifter som innehöll sambandet mellan division och multiplikation. Utifrån studiens resultat framkom att eleverna får träna på sambandet mellan division och multiplikation i olika utsträckning i alla av de undersökta böckerna. Det framkom även att det fanns ett varierat utbud av uppgifter som tränar elevernas olika kognitiva förmågor i samtliga av de undersökta läroböckerna. Majoriteten av uppgifterna låg på en kognitiv kravnivå 2 (mellan 85-93% av uppgifterna), det vill säga de uppgifter som ofta benämns som rutinuppgifter. Minst antal uppgifter var av kravnivå 1 som endast återfanns i en av de undersökta läroböckerna. Trots att de flesta uppgifterna var på en lägre kognitiv kravnivå så innehöll alla läromedel även uppgifter på båda av de högre kravnivåerna, det vill säga kravnivå 3 (mellan 2 och 12%) och 4 (mellan 1 och 4%) om än i mycket lägra omfattning.    Studiens slutsats är att dagens läromedel i matematik ger elever utmaningar på olika kognitiva kravnivåer samt att de får träna på sambandet mellan division och multiplikation.

Syftet med denna studie är att belysa hur lärare beskriver sin undervisning av multiplikation i årskurs 1−3 och årskurs 4−6 när det kommer till introduktion, fortlöpande undervisning och tabellträning. Kvalitativa intervjuer med sex lärare har genomförts för att undersöka vilka mål de intervjuade lärarna har med sin multiplikationsundervisning samt hur lärarna beskriver innehållet i sin multiplikationsundervisning. Bakgrunden är att lärares uppfattning om vad multiplikation är samt vad multiplikationsundervisningen ska innehålla påverkar vilka lärandemöjligheter eleverna får. Detta innefattar val av förklaringsmodeller, arbetssätt samt lektionsinnehåll, vilket i högsta grad påverkar elevers förståelseutveckling av multiplikationsbegreppet. Att svenska lärare typiskt sett baserar sin undervisning på läromedel lyfts av forskning som en orsak till att svenska elevers taluppfattning och kunskap om aritmetik är svag. Lärare behöver därför komplettera läromedlens framställning av multiplikation i undervisningen. Studiens resultat visar att lärarnas mål med undervisningen berör områden som enligt läroplan och forskning är viktiga för elevers begreppsförståelse och procedurkunskap, men att viktiga bitar i undervisning verkar saknas. Detta berör undervisning om multiplikativa förklaringsmodeller, räknelagar och begrepp kopplade till multiplikation. Lärarnas undervisning om de grundläggande multiplikationstabellerna, där både strategier för att härleda tabellfakta samt drillövningar av dessa uppges ingå, verkar ligga i fas med vad forskning lyfter fram som viktigt för att uppnå automatisering av tabellerna. / The purpose of this study is to illustrate how teachers describe their multiplication teaching in grades 1−3 and 4−6 when it comes to the introduction, continuous teaching and table training. Qualitative interviews with six teachers have been conducted to examine what objectives the interviewed teachers have with their multiplication teaching and how they describe the contents of their multiplication teaching. The reason behind is that teachers’ perception of what multiplication means and their thoughts on what multiplication teaching should cover affects the learning opportunities pupils receive. This includes teachers’ choice of explanatory models, methods and lesson content which highly affects the pupils’ development of understanding regarding the concept of multiplication. The fact that Swedish teachers typically base their teaching on textbooks is indicated by research to be a contributing factor why Swedish pupils’ number sense and understanding of arithmetic is weak. Teachers therefore need to complement the presentations that textbooks contain regarding multiplication in teaching. The result of this study shows that teachers’ teaching objectives affects areas that the curriculum and research highlights as important for pupils’ conceptual understanding and procedural knowledge, but that important pieces seems to be missing in their teaching. These concerns the teaching about the multiplicative models of explanation, mathematical properties and concepts related to multiplication. However, teachers’ teaching about the basic multiplication facts, where both strategies to derive facts and drill exercises of facts is said to be included, seems to correspond largely with what research highlights as important in achieving automaticity in multiplication facts.

Multiplikation är ett av de fyra räknesätten inom matematik som elever ska utveckla kunskap och förståelse inom. Utifrån lärarens undervisning ska eleverna ges möjlighet att i slutet av årskurs 6 kunna behärska olika metoder inom multiplikation. Syftet med studien är att urskilja vilka metoder inom multiplikation som är vanligast förekommande i två stycken årskurs 5-klasser samt vilka metoder som matematikläraren för dessa klasser använder mest i genomgången av multiplikation. Syftet är även att försöka tolka olika elevers uppfattningar inom dessa metoder. Studien genomfördes med hjälp av en kvalitativ analys utifrån en fenomenografisk ansats.

Många elever saknar goda kunskaper och strategier för att lösa multiplikationer och en större pedagogisk variation i matematisk undervisning behövs för att stödja matematisk inlärning. Ett sätt att stimulera inlärning kan vara att använda lek för att göra arbetet mer lustfyllt och motiverande. Forskning visar att motorisk aktivitet har samband med framgångar inom både svenska och matematik. Föreliggande studie syftar till att undersöka om det pedagogiska materialet SmartDart - en magnetisk piltavla - är ett likvärdigt alternativ till en mer traditionell undervisning. I arbetet med SmartDart tränar eleverna multiplikation i grupper om tre och spelet involverar även motorik då de kastar pilar mot målet (tavlan). Föreliggande studie genomfördes i två olika skolor i en förort till Stockholm. Av de 89 elever i årskurs 4 som tillfrågades valde 67 att medverka i studien. I experimentgruppen, som arbetade med SmartDart deltog 36 elever och i kontrollgruppen, som arbetade med konventionell datorträning deltog 31 elever. Träningen pågick i tre veckor. Före och efter träning testades samtliga deltagares kunskaper i multiplikation genom AG6 testet. Eleverna fick även besvara ett antal frågor i en enkät som rörde deras upplevelser av matematik generellt samt hur de upplevde SmartDart och datorträningen. Resultaten visade att både träning i SmartDart och konventionell datorträning förbättrade resultaten i multiplikationstestet i samma utsträckning. Vidare analyser visade även att ett fåtal elever förbättrade sina kunskaper markant med SmartDart, vilket inte påvisades i datorgruppen. Vad gäller elevernas upplevelse av träningen så ansåg många att det var roligt att arbeta med SmartDart; att arbeta tillsammans och röra på sig var två positiva faktorer, medan en negativ faktor var att det blev rörigt i samband med träningen. Datorgruppen upplevde det positivt att arbeta enskilt och att det fanns en stor frihetsgrad kring hur och vad man tränade inom multiplikation. Sammantaget visar denna studie att eleverna som arbetade med SmartDart lärde sig multiplikation i samma utsträckning som de elever som arbetade med dator.

<p>This thesis investigates how systolic architectures can be used in the implementation of an arithmetic unit for small finite fields of characteristic two with polynomial basis representation. </p><p>Systolic architectures provide very high performance but also consume a lot of chip area. A number of design methods for tailoring the systolic arrays for a specified requirement are presented, making it possible to trade throughput, chip area and propagation delays for oneanother. </p><p>A study is also made on how these systolic arrays can be combined to form an arithmetic logic unit, ALU, that canperform operations in many different fields. A number of design alternatives are presented, and an example ALU is presented to give an idea of the performance of such a circuit.</p>

<p>I detta examensarbete har olika sätt att implementera färgrymdskonverterare i multipel konstant multiplikationsteknik beskrivits med VHDL, syntetiserats och jämförts med avseende på effektförbrukning.</p>

Die vorliegende Arbeit widmet sich der Repräsentation und Verarbeitung arithmetischer Fakten. Dieser Bereich semantischen Wissens eignet sich unter anderem deshalb besonders gut als Forschungsgegenstand, weil nicht nur seine einzelne Bestandteile, sondern auch die Beziehungen dieser Bestandteile untereinander außergewöhnlich gut definierbar sind. Kognitive Modelle können also mit einem Grad an Präzision entwickelt werden, der in anderen Bereichen kaum je zu erreichen sein wird. Die meisten aktuellen Modelle stimmen darin überein, die Repräsentation arithmetischer Fakten als eine assoziative, netzwerkartig organisierte Struktur im deklarativen Gedächtnis zu beschreiben. Trotz dieser grundsätzlichen Übereinstimmung bleibt eine Reihe von Fragen offen. In den hier vorgestellten Untersuchungen werden solche offene Fragen in Hinsicht auf drei verschiedene Themenbereiche angegangen: 1) die neuroanatomischen Korrelate 2) Nachbarschaftskonsistenzeffekte bei der verbalen Produktion sowie 3) die automatische Aktivierung arithmetischer Fakten. In einer kombinierten fMRT- und Verhaltensstudie wurde beispielsweise der Frage nachgegangen, welche neurofunktionalen Entsprechungen es für den Erwerb arithmetischer Fakten bei Erwachsenen gibt. Den Ausgangspunkt für diese Untersuchung bildete das Triple-Code-Modell von Dehaene und Cohen, da es als einziges auch Aussagen über neuroanatomische Korrelate numerischer Leistungen macht. Das Triple-Code-Modell geht davon aus, dass zum Abruf arithmetischer Fakten eine „perisylvische“ Region der linken Hemisphäre unter Einbeziehung der Stammganglien sowie des Gyrus angularis nötig ist (Dehaene & Cohen, 1995; Dehaene & Cohen, 1997; Dehaene, Piazza, Pinel, & Cohen, 2003). In der aktuellen Studie sollten gesunde Erwachsene komplexe Multiplikationsaufgaben etwa eine Woche lang intensiv üben, so dass ihre Beantwortung immer mehr automatisiert erfolgt. Die Lösung dieser geübten Aufgaben sollte somit – im Gegensatz zu vergleichbaren ungeübten Aufgaben – immer stärker auf Faktenabruf als auf der Anwendung von Prozeduren und Strategien beruhen. Hingegen sollten ungeübte Aufgaben im Vergleich zu geübten höhere Anforderungen an exekutive Funktionen einschließlich des Arbeitsgedächtnisses stellen. Nach dem Training konnten die Teilnehmer – wie erwartet – geübte Aufgaben deutlich schneller und sicherer beantworten als ungeübte. Zusätzlich wurden sie auch im Magnetresonanztomografen untersucht. Dabei konnte zunächst bestätigt werden, dass das Lösen von Multiplikationsaufgaben allgemein von einem vorwiegend linkshemisphärischen Netzwerk frontaler und parietaler Areale unterstützt wird. Das wohl wichtigste Ergebnis ist jedoch eine Verschiebung der Hirnaktivierungen von eher frontalen Aktivierungsmustern zu einer eher parietalen Aktivierung und innerhalb des Parietallappens vom Sulcus intraparietalis zum Gyrus angularis bei den geübten im Vergleich zu den ungeübten Aufgaben. So wurde die zentrale Bedeutung von Arbeitsgedächtnis- und Planungsleistungen für komplexe ungeübte Rechenaufgaben erneut herausgestellt. Im Sinne des Triple-Code-Modells könnte die Verschiebung innerhalb des Parietallappens auf einen Wechsel von quantitätsbasierten Rechenleistungen (Sulcus intraparietalis) zu automatisiertem Faktenabruf (linker Gyrus angularis) hindeuten. Gibt es bei der verbalen Produktion arithmetischer Fakten Nachbarschaftskonsistenzeffekte ähnlich zu denen, wie sie auch in der Sprachverarbeitung beschrieben werden? Solche Effekte sind nach dem aktuellen „Dreiecksmodell“ von Verguts & Fias (2004) zur Repräsentation von Multiplikationsfakten erwartbar. Demzufolge sollten richtige Antworten leichter gegeben werden können, wenn sie Ziffern mit möglichst vielen semantisch nahen falschen Antworten gemeinsam haben. Möglicherweise sollten demnach aber auch falsche Antworten dann mit größerer Wahrscheinlichkeit produziert werden, wenn sie eine Ziffer mit der richtigen Antwort teilen. Nach dem Dreiecksmodell wäre darüber hinaus sogar der klassische Aufgabengrößeneffekt bei einfachen Multiplikationsaufgaben (Zbrodoff & Logan, 2004) auf die Konsistenzverhältnisse der richtigen Antwort mit semantisch benachbarten falschen Antworten zurückzuführen. In einer Reanalyse der Fehlerdaten von gesunden Probanden (Campbell, 1997) und einem Patienten (Domahs, Bartha, & Delazer, 2003) wurden tatsächlich Belege für das Vorhandensein von Zehnerkonsistenzeffekten beim Lösen einfacher Multiplikationsaufgaben gefunden. Die Versuchspersonen bzw. der Patient hatten solche falschen Antworten signifikant häufiger produziert, welche die gleiche Zehnerziffer wie das richtigen Ergebnisses aufwiesen, als ansonsten vergleichbare andere Fehler. Damit wird die Annahme unterstützt, dass die Zehner- und die Einerziffern zweistelliger Zahlen separate Repräsentationen aufweisen – bei der Multiplikation (Verguts & Fias, 2004) wie auch allgemein bei numerischer Verarbeitung (Nuerk, Weger, & Willmes, 2001; Nuerk & Willmes, 2005). Zusätzlich dazu wurde in einer Regressionsanalyse über die Fehlerzahlen auch erstmalig empirische Evidenz für die Hypothese vorgelegt, dass der klassische Aufgabengrößeneffekt beim Abruf von Multiplikationsfakten auf Zehnerkonsistenzeffekte zurückführbar ist: Obwohl die Aufgabengröße als erster Prädiktor in das Modell einging, wurde diese Variable wieder verworfen, sobald ein Maß für die Nachbarschaftskonsistenz der richtigen Antwort in das Modell aufgenommen wurde. Schließlich wurde in einer weiteren Studie die automatische Aktivierung von Multiplikationsfakten bei gesunden Probanden mit einer Zahlenidentifikationsaufgabe (Galfano, Rusconi, & Umilta, 2003; Lefevre, Bisanz, & Mrkonjic, 1988; Thibodeau, Lefevre, & Bisanz, 1996) untersucht. Dabei sollte erstmals die Frage beantwortet werden, wie sich die automatische Aktivierung der eigentlichen Multiplikationsergebnisse (Thibodeau et al., 1996) zur Aktivierung benachbarter falscher Antworten (Galfano et al., 2003) verhält. Ferner sollte durch die Präsentation mit verschiedenen SOAs der zeitliche Verlauf dieser Aktivierungen aufgeklärt werden. Die Ergebnisse dieser Studie können insgesamt als Evidenz für das Vorhandensein und die automatische, obligatorische Aktivierung eines Netzwerkes arithmetischer Fakten bei gesunden, gebildeten Erwachsenen gewertet werden, in dem die richtigen Produkte stärker mit den Faktoren assoziiert sind als benachbarte Produkte (Operandenfehler). Dabei führen Produkte kleiner Aufgaben zu einer stärkeren Interferenz als Produkte großer Aufgaben und Operandenfehler großer Aufgaben zu einer stärkeren Interferenz als Operandenfehler kleiner Aufgaben. Ein solches Aktivierungsmuster passt gut zu den Vorhersagen des Assoziationsverteilungsmodells von Siegler (Lemaire & Siegler, 1995; Siegler, 1988), bei dem kleine Aufgaben eine schmalgipflige Verteilung der Assoziationen um das richtige Ergebnis herum aufweisen, große Aufgaben jedoch eine breitgipflige Verteilung. Somit sollte die vorliegende Arbeit etwas mehr Licht in bislang weitgehend vernachlässigte Aspekte der Repräsentation und des Abrufs arithmetischer Fakten gebracht haben: Die neuronalen Korrelate ihres Erwerbs, die Konsequenzen ihrer Einbindung in das Stellenwertsystem mit der Basis 10 sowie die spezifischen Auswirkungen ihrer assoziativen semantischen Repräsentation auf ihre automatische Aktivierbarkeit. Literatur Campbell, J. I. (1997). On the relation between skilled performance of simple division and multiplication. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 23, 1140-1159. Dehaene, S. & Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematical Cognition, 1, 83-120. Dehaene, S. & Cohen, L. (1997). Cerebral pathways for calculation: double dissociation between rote verbal and quantitative knowledge of arithmetic. Cortex, 33, 219-250. Dehaene, S., Piazza, M., Pinel, P., & Cohen, L. (2003). Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506. Domahs, F., Bartha, L., & Delazer, M. (2003). Rehabilitation of arithmetic abilities: Different intervention strategies for multiplication. Brain and Language, 87, 165-166. Galfano, G., Rusconi, E., & Umilta, C. (2003). Automatic activation of multiplication facts: evidence from the nodes adjacent to the product. Quarterly Journal of Experimental Psychology A, 56, 31-61. Lefevre, J. A., Bisanz, J., & Mrkonjic, L. (1988). Cognitive arithmetic: evidence for obligatory activation of arithmetic facts. Memory and Cognition, 16, 45-53. Lemaire, P. & Siegler, R. S. (1995). Four aspects of strategic change: contributions to children's learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, 124, 83-97. Nuerk, H. C., Weger, U., & Willmes, K. (2001). Decade breaks in the mental number line? Putting the tens and units back in different bins. Cognition, 82, B25-B33. Nuerk, H. C. & Willmes, K. (2005). On the magnitude representations of two-digit numbers. Psychology Science, 47, 52-72. Siegler, R. S. (1988). Strategy choice procedures and the development of multiplication skill. Journal of Experimental Psychology: General, 117, 258-275. Thibodeau, M. H., Lefevre, J. A., & Bisanz, J. (1996). The extension of the interference effect to multiplication. Canadian Journal of Experimental Psychology, 50, 393-396. Verguts, T. & Fias, W. (2004). Neighborhood Effects in Mental Arithmetic. Psychology Science. Zbrodoff, N. J. & Logan, G. D. (2004). What everyone finds: The problem-size effect. In J. I. D. Campbell (Hrsg.), Handbook of Mathematical Cognition (pp.331-345). New York, NY: Psychology Press. / The present thesis deals with the representation and processing of arithmetic facts. This domain of semantic knowledge has gained a substantial amount of interest as its components as well as their interrelations are well specified. Thus, cognitive models can be developed with a degree of precision, which cannot be reached in many other domains. Most recent models agree that arithmetic facts are represented in an associative, network-like structure in declarative memory. Despite this general agreement a lot of issues still remain unresolved. The open questions tackled in the present work address three different aspects of arithmetic facts: 1) their neuro-anatomical correlates, 2) neighbourhood consistency effects in their verbal production and 3) their automatic activation. In a combined behavioural and fMRI study the neurofunctional correlates of the acquisition of arithmetic facts in adults were examined. This research was based on the Triple-Code-Model of Dehaene and Cohen, the only recent model which makes explicit assumptions on neuroanatomical correlates of numerical abilities. The Triple-Code-Model assumes that a “perisylvian” region in the left hemisphere including the basal ganglia and the Angular Gyrus is involved in the retrieval of arithmetic facts (Dehaene & Cohen, 1995; Dehaene & Cohen, 1997; Dehaene, Piazza, Pinel, & Cohen, 2003). In the present study healthy adults were asked to train complex multiplication problems extensively during one week. Thus, these problems could be solved more and more automatically. It was reasoned that answering these trained problems should more and more rely on the retrieval of facts from declarative memory, whereas answering untrained problems should rely on the application of strategies and procedures, which impose high demands on executive functions including working memory. After the training was finished, participants – as expected – could solve trained problems faster and more accurately than non-trained problems. Participants were also submitted to a functional magnetic resonance imaging examination. In general, this examination added to the evidence for a mainly left hemispheric fronto-parietal network being involved in mental multiplication. Crucially, comparing trained with non-trained problems a shift of activation from frontal to more parietal regions was observed. Thus, the central role of central executive and working memory for complex calculation was highlighted. Moreover, a shift of activation from the Intraparietal Sulcus to the Angular Gyrus took place within the parietal lobe. According to the Triple-Code-Model, this shift may be interpreted to indicate a strategy change from quantity based calculation, relying on the Intraparietal Sulcus, to fact retrieval, relying on the left Angular Gyrus. Are there neighbourhood consistency effects in the verbal production of arithmetic facts similar to what has been described for language production? According to the “Triangle Model” of simple multiplication, proposed by Verguts & Fias (2004), such effects can be expected. According to this model corrects answers can be given more easily if they share digits with many semantically close wrong answers. Moreover, it can be assumed that wrong answers, too, are more likely to be produced if they share a digit with the correct result. In addition to this, the Triangle Model also states that the classical problem size effect in simple multiplication (Zbrodoff & Logan, 2004) can be drawn back to neighbourhood consistency between the correct result and semantically close wrong answers. In fact, a re-analysis of error data from a sample of healthy young adults (Campbell, 1997) and a patient with acalculia (Domahs, Bartha, & Delazer, 2003) provided evidence for the existence of decade consistency effects in the verbal production of multiplication results. Healthy participants and the patient produced significantly more wrong answers which shared the decade digit with the correct result than otherwise comparable wrong answers. This result supports the assumption of separate representations of decade and unit digits in two-digit numbers in multiplication (Verguts & Fias, 2004) and in number processing in general (Nuerk, Weger, & Willmes, 2001; Nuerk & Willmes, 2005). Moreover, an additional regression analysis on the error rates provided first empirical evidence for the hypothesis that the classical problem size effect in the retrieval of multiplication facts may be an artefact of neighbourhood consistency: Although problem size was the first variable to enter the model, it was excluded from the model once a measure for neighbourhood consistency was included. Finally, in a further study the automatic activation of multiplication facts was examined in a number matching task (Galfano, Rusconi, & Umilta, 2003; Lefevre, Bisanz, & Mrkonjic, 1988; Thibodeau, Lefevre, & Bisanz, 1996). This experiment addressed the question how the automatic activation of actual multiplication results (Thibodeau et al., 1996) relates to the activation of semantically close wrong answers (Galfano et al., 2003). Furthermore, using different SOAs the temporal properties of these activations should be disclosed. In general, the results of this study provide evidence for an obligatory and automatic activation of a network of arithmetic facts in healthy educated adults in which correct results are stronger associated with the operands than semantically related wrong answers. Crucially, products of small problems lead to stronger interference effects than products of larger problems while operand errors of large problems lead to stronger interference effects than operand errors of small problems. Such a pattern of activation is in line with predictions of Siegler’s Distribution of Associations Model (Lemaire & Siegler, 1995; Siegler, 1988) which assumes a more peaked distribution of associations between operands and potential results for small compared to large multiplication problems. In sum, the present thesis should shed some light into largely ignored aspects of arithmetic fact retrieval: The neural correlates of its acquisition, the consequences of its implementation in the base 10 place value system, as well as the specific effects of its semantic representation for automatic activation of correct multiplication facts and related results. References Campbell, J. I. (1997). On the relation between skilled performance of simple division and multiplication. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 23, 1140-1159. Dehaene, S. & Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematical Cognition, 1, 83-120. Dehaene, S. & Cohen, L. (1997). Cerebral pathways for calculation: double dissociation between rote verbal and quantitative knowledge of arithmetic. Cortex, 33, 219-250. Dehaene, S., Piazza, M., Pinel, P., & Cohen, L. (2003). Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506. Domahs, F., Bartha, L., & Delazer, M. (2003). Rehabilitation of arithmetic abilities: Different intervention strategies for multiplication. Brain and Language, 87, 165-166. Galfano, G., Rusconi, E., & Umilta, C. (2003). Automatic activation of multiplication facts: evidence from the nodes adjacent to the product. Quarterly Journal of Experimental Psychology A, 56, 31-61. Lefevre, J. A., Bisanz, J., & Mrkonjic, L. (1988). Cognitive arithmetic: evidence for obligatory activation of arithmetic facts. Memory and Cognition, 16, 45-53. Lemaire, P. & Siegler, R. S. (1995). Four aspects of strategic change: contributions to children's learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, 124, 83-97. Nuerk, H. C., Weger, U., & Willmes, K. (2001). Decade breaks in the mental number line? Putting the tens and units back in different bins. Cognition, 82, B25-B33. Nuerk, H. C. & Willmes, K. (2005). On the magnitude representations of two-digit numbers. Psychology Science, 47, 52-72. Siegler, R. S. (1988). Strategy choice procedures and the development of multiplication skill. Journal of Experimental Psychology: General, 117, 258-275. Thibodeau, M. H., Lefevre, J. A., & Bisanz, J. (1996). The extension of the interference effect to multiplication. Canadian Journal of Experimental Psychology, 50, 393-396. Verguts, T. & Fias, W. (2004). Neighborhood Effects in Mental Arithmetic. Psychology Science. Zbrodoff, N. J. & Logan, G. D. (2004). What everyone finds: The problem-size effect. In J. I. D. Campbell (Ed.), Handbook of Mathematical Cognition (pp.331-345). New York, NY: Psychology Press.

Tidigare forskning visar att bråk är ett område där många elever har problem. Syftet med den här studien är att studera gymnasieelevers matematiska kunskaper i multiplikation och division av bråk. Elevernas kunskaper studerades utifrån en konstruktivistisk syn på kunskap och med procedurell och konceptuell kunskap som analysverktyg. 61 elever från kursen Matematik A har löst totalt 10 uppgifter med multiplikation och division av bråk. 7 av eleverna intervjuades dessutom för att få en bättre uppfattning om deras kunskaper. Elevernas kunskaper kategoriserades sedan utifrån procedurella- och konceptuella kvaliteter. Resultatet visar att eleverna främst använder algoritmer för att lösa uppgifterna men även andra strategier som till exempel att skriva bråken som decimaler förekommer. Elevernas kunskap i multiplikation och division av bråk är av procedurell karaktär med fokus på att komma ihåg algoritmer för att lösa uppgifterna. Elevernas konceptuella kunskaper i bråkräkning är överlag inte lika utvecklade. Det framkommer genom att eleverna visar på svårigheter att lösa uppgifter i vissa sammanhang, bristande förståelse för betydelsen av beräkningarna och för varför de olika algoritmerna fungerar. / Earlier researches show that fraction is an area where many students have problems. The aim with this essay is to study upper secondary school students’ mathematical knowledge in multiplication and division of fraction. The students’ knowledge will be studied from a constructivistic perspective of knowledge and with procedural and conceptual knowledge as an instrument for the analysis. 61 students from the course Matematik A have solved totally 10 mathematical problems with multiplication and division of fraction. 7 of the students were furthermore interviewed to get a better understanding of their knowledge. The students’ knowledge were then categorized from procedurally and conceptually qualities. The result shows that the students primarily use algorithms to solve the problems but also other strategies as example to write the fraction as decimals occur. The students’ knowledge in multiplication and division of fraction is of procedural character with focus on remembering the algorithms for the different types of problems. The students conceptually knowledge in fraction arithmetic is overall not fully developed. It comes out by the students difficulties to solve problems in certain context, deficient understanding of the meaning of the calculations and why the different algorithms work.