L'instabilité du spectre des opérateurs non-autoadjoints constitue la thématique centrale de cette thèse. Notre premier objectif est de mettre en évidence ce phénomène dans le cas de certains modèles naturels tels que l'opérateur d'Airy, l'oscillateur harmonique ou l'oscillateur cubique complexes. Dans ce but, nous nous intéressons au comportement des projecteurs spectraux associés aux valeurs propres de ces opérateurs, poursuivant une démarche initiée par E. B. Davies. Le second objectif de notre travail consiste à montrer de quelle manière ces modèles peuvent contribuer à la compréhension de certains problèmes issus de domaines mathématiques et physiques aussi variés que la mécanique quantique, la supraconductivité ou la théorie du contrôle. Nos résultats sur l'instabilité spectrale de l'oscillateur cubique complexe viennent ainsi corroborer un travail de B. Krejcirik et P. Siegl, soulignant l'impossibilité de fournir une justification rigoureuse aux théories actuelles de la mécanique quantique non-hermitienne. Par ailleurs, nous nous appuyons sur les propriétés des modèles mentionnés ci-dessus pour obtenir des résultats sur le spectre et la résolvante d'opérateurs de Schrödinger à potentiels imaginaires purs dans des ouverts bornés. Ces résultats peuvent en particulier être appliqués à l'étude du système de Ginzburg-Landau dépendant du temps en supraconductivité. Enfin, nous présentons des résultats sur la contrôlabilité d'équations paraboliques dégénérées qui reposent sur une étude spectrale et pseudospectrale de l'opérateur d'Airy et de l'oscillateur harmonique complexes. Ce dernier travail est le fruit d'une collaboration avec K. Beauchard, B. Helffer et L. Robbiano.

Dans cette thèse, nous nous inté́ressons à l'é́tude précise de valeurs propres exponentiellement petites du Laplacien de Witten. Plus particulièrement, nous considérons la ré́alisation autoadjointe du Laplacien de Witten agissant sur les fonctions, sur une variété à bord, avec conditions au bord de type Neumann. Cette étude prolonge et complète des travaux de B. Helffer, M. Klein et F. Nier dans le cas sans bord, et de B. Helffer et F. Nier dans le cas d'une varié́té́ à bord, avec conditions au bord de type Dirichlet. La prise en compte de conditions au bord de type Neumann demande de traiter l'analyse au bord avec un niveau de géné́ralité plus large que dans les travaux antérieurs. En particulier la construction de solutions WKB doit être abordée dans le cadre géné́ral des p-formes.

La première partie de la thèse est consacrée au problème de l'inversion d'opérateurs dynamiques de convolution formulé en termes de symboles diffusifs. Après avoir introduit un cadre algébrique adapté, on établit plusieurs résultats garantissant la résolubilité concrète du problème de l'inversion opératorielle, en fait mal posé au sens de Hadamard, mais régularisable. La continuité de l'opération d'inversion est en particulier obtenue pour un mode de convergence convenablement affaibli. Diverses méthodes d'inversion numérique sont ensuite proposées et testées sur quelques exemples. Dans la seconde partie, divers problèmes dynamiques sont abordés de façon originale au moyen des outils développés dans la première partie. Plus particulièrement, plusieurs techniques d'identification de modèles de Volterra basées sur la paramétrisation de l'opérateur dynamique via son symbole diffusif, sont proposées et étudiées sur la base d'exemples numériques non triviaux.

Ce travail de thèse est consacré dans un premier temps à l'étude des propriétés spectrales de localisation dynamique pour des opérateurs de Schrödinger ainsi qu'à leur classification.Nous allons introduire trois classes de propriétés équivalentes en cherchant à établir le lien entre elles d'une façon optimale que nous illustrerons par des contre-exemples.Certaines de ces propriétés s'avèrent jouer un rôle crucial dans l'étude mathématique de plusieurs phénomènes issus de la physique, notamment la quantificationde la conductance de Hall et l'apparition des plateaux dûs aux états localisés.Nous nous intéressons ainsi dans la seconde partie, aux conductances de Hall et de bord pour des modèles désordonnés continus et en présence d'un mur électrique aussi bien que magnétique. Nous expliquons comment les murs entrent en jeu pour pouvoir définir la conductance de bord, en tenant compte de la contribution des états localisés et la régularisation que les systèmes désordonnés requièrent. Nous établissons l'égalité de ces deux conductances en dérivant l'une de l'autre, et non par quantification séparée. / The first part of this thesis is devoted to the study of spectral properties of dynamical localization for Schr\"odinger operators and their classification.We introduce three classes of equivalent properties and investigate the relationships between them in an optimal way.Moreover, some of these properties have been shown to play a crucial role in the mathematical proof of several phenomenon of physical interestsuch as the quantization of the Hall conductance and the existence of the plateaux due to localized states.Then, we are interested in the bulk and edge Hall conductances for continuous models in the presence of magnetic and electric walls. We explain how the walls come into play in order to define the edge conductance, taking into account the contribution of localized states and the regularization that a disordered media requires. We prove the equality of these conductances by deriving one from the other, and not by separate quantization.

Dans la première partie de la thèse, nous donnons les résultats classiques concernant l’espace de Hardy, les espaces modèles et les espaces de Bergman analytique et harmonique. Les notions de base telles que les projections et les noyaux reproduisant y sont introduites. Nous exposons ensuite nos résultats concernant d’une part, la stabilité du produit et la commutativité de deux opérateurs de Toeplitz quasihomogènes et d’autre part, la description matricielle des opérateurs de Toeplitz tronqués du type "a" "dans le cas de la dimension finie. / In the first part of the thesis,we give some classical results concerning theHardy space, models spaces and analytic and harmonic Bergman spaces. The basic concepts such as projections and reproducing kernels are introduced. We then describe our results on the the stability of the product and the commutativity of two quasihomogeneous Toeplitz operators on the harmonic Bergman space. Finally, we give the matrix description of truncated Toeplitz operators of type "a" in the finite dimensional case.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés spectrales des opérateurs non-auto-adjoints aléatoires. Nous allons considérer principalement les cas des petites perturbations aléatoires de deux types des opérateurs non-auto-adjoints suivants :1. une classe d’opérateurs non-auto-adjoints h-différentiels Ph, introduite par M. Hager [32],dans la limite semiclassique (h→0); 2. des grandes matrices de Jordan quand la dimension devient grande (N→∞). Dans le premier cas nous considérons l’opérateur Ph soumis à de petites perturbations aléatoires. De plus, nous imposons que la constante de couplage δ vérifie e (-1/Ch) ≤ δ ⩽ h(k), pour certaines constantes C, k > 0 choisies assez grandes. Soit ∑ l’adhérence de l’image du symbole principal de Ph. De précédents résultats par M. Hager [32], W. Bordeaux-Montrieux [4] et J. Sjöstrand [67] montrent que, pour le même opérateur, si l’on choisit δ ⪢ e(-1/Ch), alors la distribution des valeurs propres est donnée par une loi de Weyl jusqu’à une distance ⪢ (-h ln δ h) 2/3 du bord de ∑. Nous étudions la mesure d’intensité à un et à deux points de la mesure de comptage aléatoire des valeurs propres de l’opérateur perturbé. En outre, nous démontrons des formules h-asymptotiques pour les densités par rapport à la mesure de Lebesgue de ces mesures qui décrivent le comportement d’un seul et de deux points du spectre dans ∑. En étudiant la densité de la mesure d’intensité à un point, nous prouvons qu’il y a une loi de Weyl à l’intérieur du pseudospectre,une zone d’accumulation des valeurs propres dûe à un effet tunnel près du bord du pseudospectre suivi par une zone où la densité décroît rapidement. En étudiant la densité de la mesure d’intensité à deux points, nous prouvons que deux valeurs propres sont répulsives à distance courte et indépendantes à grande distance à l’intérieur de ∑. Dans le deuxième cas, nous considérons des grands blocs de Jordan soumis à des petites perturbations aléatoires gaussiennes. Un résultat de E.B. Davies et M. Hager [16] montre que lorsque la dimension de la matrice devient grande, alors avec probabilité proche de 1, la plupart des valeurs propres sont proches d’un cercle. De plus, ils donnent une majoration logarithmique du nombre de valeurs propres à l’intérieur de ce cercle. Nous étudions la répartition moyenne des valeurs propres à l’intérieur de ce cercle et nous en donnons une description asymptotique précise. En outre, nous démontrons que le terme principal de la densité est donné par la densité par rapport à la mesure de Lebesgue de la forme volume induite par la métrique de Poincaré sur la disque D(0, 1). / In this thesis we are interested in the spectral properties of random non-self-adjoint operators. Weare going to consider primarily the case of small random perturbations of the following two types of operators: 1. a class of non-self-adjoint h-differential operators Ph, introduced by M. Hager [32], in the semiclassical limit (h→0); 2. large Jordan block matrices as the dimension of the matrix gets large (N→∞). In case 1 we are going to consider the operator Ph subject to small Gaussian random perturbations. We let the perturbation coupling constant δ be e (-1/Ch) ≤ δ ⩽ h(k), for constants C, k > 0 suitably large. Let ∑ be the closure of the range of the principal symbol. Previous results on the same model by M. Hager [32], W. Bordeaux-Montrieux [4] and J. Sjöstrand [67] show that if δ ⪢ e(-1/Ch) there is, with a probability close to 1, a Weyl law for the eigenvalues in the interior of the pseudospectrumup to a distance ⪢ (-h ln δ h) 2/3 to the boundary of ∑. We will study the one- and two-point intensity measure of the random point process of eigenvalues of the randomly perturbed operator and prove h-asymptotic formulae for the respective Lebesgue densities describing the one- and two-point behavior of the eigenvalues in ∑. Using the density of the one-point intensity measure, we will give a complete description of the average eigenvalue density in ∑ describing as well the behavior of the eigenvalues at the pseudospectral boundary. We will show that there are three distinct regions of different spectral behavior in ∑. The interior of the of the pseudospectrum is solely governed by a Weyl law, close to its boundary there is a strong spectral accumulation given by a tunneling effect followed by a region where the density decays rapidly. Using the h-asymptotic formula for density of the two-point intensity measure we will show that two eigenvalues of randomly perturbed operator in the interior of ∑ exhibit close range repulsion and long range decoupling. In case 2 we will consider large Jordan block matrices subject to small Gaussian random perturbations. A result by E.B. Davies and M. Hager [16] shows that as the dimension of the matrix gets large, with probability close to 1, most of the eigenvalues are close to a circle. They, however, only state a logarithmic upper bound on the number of eigenvalues in the interior of that circle. We study the expected eigenvalue density of the perturbed Jordan block in the interior of thatcircle and give a precise asymptotic description. Furthermore, we show that the leading contribution of the density is given by the Lebesgue density of the volume form induced by the Poincarémetric on the disc D(0, 1).

Cette thèse comporte deux parties qui correspondent à deux domaines distincts : les opérateurs aléatoires et les opérateurs périodiques en dimension 1. Dans la première partie, nous prouvons une estimée de décorrélation pour un opérateur aléatoire avec désordre hors diagonal en dimension 1. En se servant de cette estimée, nous déduisons l'indépendance asymptotique des statistiques locales des valeurs propres près d'énergies distinctes positives dans le régime localisé. Finalement, nous donnons une démonstration alternative de l'estimée de décorrélation pour le modèle d'Anderson discret unidimensionnel. La deuxième partie de cette thèse est liée à un problème de résonances pour l'opérateur de Schrödinger discret en dimension 1 avec potentiel périodique tronqué [...]. / This thesis consists of two parts : te random and periodic operators in dimension 1. In this part, we prove the decorrelation estimate for a 1D lattice Hamiltonian with off-diagonal disorder. Consequently, we deduce the asymptotic independance of the local level statistics near distinct positive energies in the localized regime. Finally, we revisit a known result on the decorrelation estimate for the 1D discret Anderson model. The second part on my thesis adresses questions on resonances for a 1D Schrödinger operators with truncated periodic potential [...].

Nous nous intéressons aux opérateurs de Hankel $H_{bar{f}}$ de symbole anti holomorphe $bar{f}$ et regardons l'espace de Dixmier $mathcal{D}^{p}$ associé ($pgeq1$), c'est à dire l'ensemble des $f$ tel que $|H_{bar{f}}|^{p}$ soit dans l'idéal de Macaev $mathcal{S}^{+}_{1}$. Notre approche est de voir l'espace de Dixmier comme une certaine limite des classes de Schatten. Quand $f in mathcal{D}^{p}$, nous étudions $Tr_{omega}(|$H_{bar{f}}$|^{p})$ la trace de Dixmier de $|H_{bar{f}}|^{p}$. Nous redémontrons certains résultats classiques quand $f$ est holomorphe sur le disque alors que nous donnons de nouveaux résultats quand $f$ est entière. Nous utilisons notre méthode pour étudier l'espace de Dixmier du petit opérateur de Hankel, des opérateurs de Toeplitz $T_{varphi}$ ($varphi$ définie sur le disque ou sur le plan complexe tout entier) ainsi que pour l'opérateur de composition. / We study Hankel operators $H_{bar{f}}$ with anti holomorphic symbol $bar{f}$ and we are interested to the Dixmier space $mathcal{D}^{p}$ ($pgeq1$), the set of functions $f$ such that $|H_{bar{f}}|^{p} in mathcal{S}^{+}_{1}$ the Macaev ideal. We look Dixmier space as a limit of Schatten class. When $f in mathcal{D}^{p}$, we study $Tr_{omega}(|$H_{bar{f}}$|^{p})$ the Dixmier trace of $|H_{bar{f}}|^{p}$. We have different results when $f$ is an entire or a holomorphic function of the unit disk in the complex plan. We study also the Dixmier space of the little Hankel operator, Toeplitz operator and composition operator.

Le Steam Assisted Gravity Drainage (SAGD) est le procédé de récupération thermique sur lequel plusieurs compagnies pétrolières fondent de grande espoirs. Il consiste en deux horizontaux forés l'un au-dessus de l'autre à quelques mètres d'écart. De la vapeur est injectée dans le réservoir par le puits supérieur ce qui provoque la formation d'une chambre. L'huile au voisinage des parois de la chambre se réchauffe et descend ensuite par gravité vers le puits producteur avec l'eau liquide issue de la condensation de la vapeur. La simulation numérique de ce procédé est un outil qui permet de comprendre les mécanismes physiques, d'estimer la production et d'évaluer les investissement ainsi que les risques associés. Cependant, les simulations numériques de SAGD présentent des inconvénients : la zone d'écoulement est peu épaisse comparée aux dimensions du réservoir. La discrétisation en espace doit être assez fine si l'on souhaite prédire de façon précise la production, ce qui peut amener à des simulations à plusieurs millions de mailles dans des cas réels et donc à des temps de simulation extrêments longs. A l'IFP, un générateur de maillages adaptatifs permet de mettre à jour le maillage au cours de la simulation en raffinant localement les mailles situées dans la zone d'écoulement. Basés sur des estimations d'erreur a posteriori pour des schémas volumes finis pour des équations hyperboliques non linéaires, les nouveaux critères de raffinement que nous proposons ont la particularité de dépendre des données initiales du problème

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