Syftet med studien är att bilda kunskap om vilka möjligheter elever ges att förstå positionssystemet i årskurs 1. Studien vilar på en variationsteoretisk ansats där variationsmönster och kritiska aspekter är centrala begrepp. Innebörden med variationsmönster är att eleverna ska få syn på kritiska aspekter inom ett lärandeobjekt (positionssystemet) genom en variation.  De två metoder som användes i studien var observation där variationsmönster synliggjordes, samt intervjuer med fyra elever där kritiska aspekter gick att urskilja. I resultatet framgår det att eleverna möter ett varierat antal variationsmönster till tre kritiska aspekter under den observerade lektionen. Utifrån elevernas beskrivningar av positionssystemet gick det att urskilja samma tre kritiska aspekter som behandlades under lektionen, dock med varierad förståelse hos de intervjuade eleverna.

The purpose of the study is to gain knowledge about how teaching materials in the subject mathematics present the concept of subtraction linked to forms of representation and patterns of variation. The chosen method for the study is a qualitative study method and is based on a content analysis of selected teaching materials. The teaching material analysis has been carried out by examining which forms of representation appear in the teaching aids and how the teaching aids provide support for understanding subtraction. The teaching materials that have been investigated are Math directly bail 4b and Favorite mathematics 4a. The results showed that the representation forms image, language, symbol and reality, appear to a large extent in the teaching materials, however, not much of the representation form is concrete objects. The conclusion is that the students get the opportunity to work in a varied way based on the teaching materials and thereby the opportunity to learn in different ways.

I dagens matematikundervisning är läromedel styrande. Resultat från TIMSS visar att geometriområdet är det område som svenska elever har lägst resultat i. Studier visar även att lärare inte hinner kvalitetsgranska läromedel. Syftet med studien är att undersöka vilket geometriinnehåll som läromedel behandlar och på vilket sätt uppgifterna möjliggör att lära sig innehållet. Detta görs genom en komparativ läromedelsanalys på två olika läromedel för årskurs 1. De valda läromedlen är Mattekojan och Favorit matematik. I studien används variationsteorin som teoretiskt ramverk. Frågeställningarna fokuserar på vilket innehåll som tas upp inom geometri och mätning, samt hur olika variationsmönster används. Resultatet visar att fusion är det mest förekommande variationsmönstret i området geometriska objekt och separation inom området mätning, i bägge läromedlen som analyserats. Innehållet som tas upp är liknande begrepp kring geometriska objekt och mätning men skiljer sig åt på vissa punkter. Vidare förs en diskussion kring hur dessa likheter och skillnader samt variationsmönster påverkar läromedlet i sig och hur det i sin tur påverkar undervisningen. / Mathematics teaching in Swedish schools is ruled by textbooks. TIMMS results show that Swedish students have the lowest results in geometry. Studies show that teachers don't have time to review textbooks. The purpose of this study is to investigate what parts of geometry that textbooks contain and in which way the books make it possible to learn. The study is made through a textbook analysis for textbooks made for first grade. The chosen textbooks for this study are Mattekojan and Favorit matematik. The study uses variation theory and is focused on what content the books contain in geometrical objects and measurement. Also, how different patterns of variation are used. The results show that the most used pattern of variation in geometrical objects is fusion, and the most used pattern in measurements is separation. The results also indicate that both books contain similar content but show some differences between them. The result is followed by a discussion that mainly contains similarities and differences between the books, and how the patterns of variation affect teaching.

Students are often introduced to multiplication in grade 2. Multiplication has proven difficult for students to master. Textbooks are used in large parts of mathematics teaching, and the choice of books have significance for students' understanding of multiplication. The purpose of this study was to do a textbook analysis to investigate how multiplication is presented in textbooks for grade 2, and what opportunities students have to develop an understanding of multiplication. This was done by examining variation patterns and representations in three textbooks. The result shows that all variation patterns exist in the textbooks, but to varying degrees. All representations occur in two of the three textbooks, but also to varying degrees. The variation of variation patterns and representations can have an impact on students' understanding of multiplication. / Elever introduceras ofta för multiplikation i årskurs 2. Multiplikation har visat sig vara svårt för elever att bemästra. Läroböcker används i stora delar av matematikundervisningen, och valet av böcker har betydelse för elevers förståelse för multiplikation. Syftet med studien var att göra en läroboksanalys för att undersöka hur multiplikation framställs i läroböcker för årskurs 2, och vilka möjligheter elever har att utveckla förståelse för multiplikation. Detta gjordes genom att undersöka variationsmönster och uttrycksformer i tre läroböcker. Resultatet visar att alla variationsmönster förekommer i läroböckerna, men i olika utsträckning. Alla uttrycksformer förekommer i två av de tre läroböckerna, men även här i olika utsträckning. Variationen av variationsmönster och uttrycksformer kan ha inverkan på elevers förståelse för multiplikation.

Läroboken utgör en viktig grund för undervisning i ämnet matematik. Idag finns det ingen nämnd som aktivt granskar de läromedel som används i skolans verksamhet, vilket ställer krav på att lärare har kunskap att undersöka och välja lämpliga läromedel. Studien syftar till att undersöka hur två olika läromedel erbjuder elever att urskilja kritiska aspekter för tal i bråkform genom olika variationsmönster. Området för tal i bråkform är en viktig del inom matematiken för årkurs 1–3, då detta område ligger till grund för att i de vidare årskurserna utveckla kunskaper inom algebra och division. De läromedel som undersökts i studien är aktuella i dagens skolverksamhet och uppges vara utformade i enighet med de svenska styrdokumenten. Analysen av de valda läromedlen är baserad på en kvantitativ och kvalitativ innehållsanalys med utgångspunkt i variationsteorin.Resultatet av innehållsanalysen visade på stora likheter i läromedlens utformning, där ett stort fokus riktades mot att synliggöra täljarens och nämnarens roll i ett bråkuttryck. Detta kan ses som positivt, då dessa två aspekter anses vara grunden för att förstå och kunna laborera med tal i bråkform. Uppgifterna i läromedlen visades vara repetitivt utformade, vilket kan minimera elevers möjlighet att få uppleva en variation av uppgifter. Läromedel kan användas som en grund i matematikundervisningen, men lärare måste aktivt granska sin undervisning för att tillgodose de delar som inte berörs i läromedlen.

Tidigare forskning, elevresultat och rapporter visar att elever i både äldre och yngre åldrar uppvisar svårigheter inom räknesättet subtraktion samtidigt som undervisningen är läromedelsstyrd. Studiens syfte är att genom en läromedelsanalys granska tre olika matematikläromedel från tre olika förlag för årskurs 3. Detta med hjälp av variationsteorin som teoretisk utgångspunkt och tidigare forskning. Genom variationsteorin granskas hur dessa läromedel framställer räknesättet subtraktion genom att undersöka förutbestämda kritiska aspekter och drag samt hur variationsmönster framträder. Studiens frågeställningar är: Vilka möjliga kritiska aspekter och drag samt variationsmönster kan urskiljas i utvalda matematikläromedlen inom subtraktion? Hur kan dessa påverka lärandet i subtraktion? Resultatet visar att de kritiska aspekterna kan urskiljas i alla läromedel men i olika utsträckning samt att ett av de kritiska dragen inte förekommer i samtliga läromedel. Även variationsmönstrens urskiljning varierar mellan de olika läromedelsböckerna. Två variationsmönster förekommer i alla läroböcker medan två inte gör detta. Eftersom variationsmönstren skapar olika sorters medvetenhet kring lärandeobjektet och gör subtraktions kritiska aspekter och drag synliga för eleven, behöver brist på variationsmönster kompletteras i övrig matematikundervisning. Detta för att gynna elevernas lärande och förståelse för subtraktion och subtraktionsstrategier och på så vis undvika felberäkningar.

Syftet med denna studie är att undersöka om läromedel i matematik, för förskoleklass, ger eleverna möjlighet att utveckla kunskaper inom taluppfattning. Detta genom att titta på de kritiska aspekterna genom representationsformer och variationsmönster. Två läromedel används i analysen som riktar sig till förskoleklass. Läroböckerna analyserades utifrån variationsteorin genom att analysera hur de kritiska aspekter visas genom representationsformer och variationsmönster.  Resultatet visar att representationsformen bild är den representationsform som används mest i framställandet av taluppfattning i den tidiga åldern. Representationsformerna används separat och samspelar inte med varandra, vilket missgynnas utifrån teorierna variationsteorin och Heddens teori. De kritiska aspekterna synliggörs inte i läromedlerna utan de är främst begreppsinlärning som arbetas med. Läroböckerna skiljer sig mycket åt i upplägget av uppgifter och struktur. Båda läroböckerna väcker frågetecken om taluppfattningen verkligen utvecklas men visar på att de kan med hjälp av vissa kompletteringar ge rätt förutsättningar.  Slutsatsen till studien är att lärarna kommer behöva komplettera undervisningen för att eleverna ska utveckla sin taluppfattning och bör använda lärarhandledningen till läromedlet. Studien bidrar därmed till insikt om betydelsen av att verksamma lärare bör göra läromedelsgranskning.

Swedish students are showing a continuous deterioration of knowledge about the concept of mathematical place-value and by looking at a closer analysis, made by the TIMSS, it was made even more visible that the concept of place-value, which is associated with our positional system, is very central to students' understanding of the number concept. The PISA - report further demonstrates that it is possible to discern the deteriorating knowledge of students' perceptions of digits’ place-values in calculations of standard algorithms. The study is carried out because I want to explore as well as contribute to the research on the opportunities students are given to understand the positional system. The study aims to create knowledge on students' opportunity to understand the positional system in the sixth grade. The questions the study seeks to answer are the following:  What are the different patterns of variation the students meet during the lesson about the positional system?  Which are the critical aspects that can be discerned when listening to the students' descriptions of the positional system? To get answers to these questions, and thus fulfill the purpose of the study, different teachings have been observed and students have been interviewed. The theory of this work is variation theory. This theory was chosen because it makes it possible to understand many different ways to treat a selected subject of matter as well as to relate it to students' opportunities to learn. Results of the study show that students encounter several different parts of the pattern of variation in the teaching about the positional system, including contrast, generalization and separation. By taking in the students' descriptions of the positional system, three critical aspects could be discerned. These were the place-value together with the significance of zero in multi-digit numbers, numbers properties and lastly number sence. The conclusion is that students have different opportunities to develop an understanding of the positional system in the sixth grade. The possibilities are different depending on which critical aspects that are distinguished by the students in the education of the positional system. / Svenska elever visar kontinuerligt försämrade kunskaper kring begreppet platsvärde och vid en noggrannare granskning av TIMSS (Skolverket, 2012) synliggjordes att begreppet platsvärde, som är förknippat med vårt positionssystem, är ett centralt begrepp för elevers förståelse av talbegrepp. PISA rapporten (Skolverket, 2013) påvisar ytterligare att det går att urskilja försämrade kunskaper om elevers uppfattningar om siffrors platsvärden vid beräkningar av standardalgoritmer. Studien genomfördes för att undersöka och bidra till forskningen om vilka möjligheter elever ges till att förstå positionssystemet. Studien syftar till att bilda kunskap om elevers möjligheter att förstå positionssystemet i årskurs 6. De frågeställningar studien syftar till att besvara är:  Vilka variationsmönster möter elever i undervisning om positionssystemet?  Vilka kritiska aspekter kan urskiljas vid elevers beskrivningar av positionssystemet? För att få svar på frågeställningarna och därmed uppfylla syftet med studien har undervisning observerats och elever intervjuats. I studien finns inslag av variationsteorin. Teorin valdes för att göra det möjligt att förstå hur olika sätt att behandla ett valt ämnesinnehåll relaterar till elevers möjligheter att lära. Studiens resultat visar att elever möter olika variationsmönster i undervisning om positionssystemet, däribland kontrast, generalisering och separation. Vid elevers beskrivningar av positionssystemet kunde det urskiljas tre kritiska aspekter, positionens värde och nollans betydelse i ett flersiffrigt tal, talens egenskaper och talsortsuppfattning. Slutsatsen är att elever har olika möjligheter att utveckla förståelse för positionssystemet i årskurs 6. Möjligheterna ser olika ut beroende på vilka kritiska aspekter eleverna urskilt i undervisning om positionssystemet.

Studiens syfte är att bilda kunskap om elevers förståelse av likhetstecknet och hur undervisning om likhetstecknet i årskurs 3 kan varieras för att bli så effektiv som möjligt. Syftet ska besvaras genom frågeställningarna: vilka variationsmönster som de studerade eleverna kan möta och vilka kritiska aspekter som elever kan identifiera. Kritiska aspekter är det som elever behöver identifiera för att förstå det som ska läras. Variationsmönster innebär att det som är kritiskt i undervisningen ska varieras för att synliggöras. Studien har sin ansats i variationsteorin, där variationsmönster och kritiska aspekter är centrala begrepp. En lektion observerades i årskurs 3 och sex elever valdes ut och intervjuades om likhetstecknet. Resultatet av studien visar att eleverna mötte sex kritiska aspekter i undervisningen. I varje kritisk aspekt mötte eleverna ett eller flera variationsmönster. Studien visar också att alla de intervjuade eleverna har en relationell och instrumentell förståelse av likhetstecknet. Eleverna har förståelse av en kritisk aspekt, som den observerade lektionen inte hade berört, nämligen att alla tal måste ingå i en uppgift för att lösningen ska vara korrekt. Fyra av sex elever har förståelse av den kritiska aspekten att det ska vara ekvivalens i en kedja av likheter. Resultatet visar också att elevernas förståelse av likhetstecknet inte är beroende av att de möter variationsmönster i undervisningen, men att de möter de kritiska aspekterna på något sätt. / The aim of the study is to explore the understanding of the equal sign and how the teaching about the equal sign among third grade students can be varied to be as effective as possible.  The aim will be answered trough the questions: what patterns of variation can the studied students meet and what critical aspects have the students identified. Patterns of variation means that what is critical in the teaching should be varied to become visible. Critical aspects is what students need to identify to understand what should be learned. The foundation of the study is the Variation Theory, where patterns of variation and critical aspects are central concepts. The observations were accomplished during a third grade lesson and six students were selected for interviews about the equal sign. The result of the study shows that the students met six critical aspects during the lesson. For every critical aspect there were one or several patterns of variation that was exposed to the students. The result also states that the students who were interviewed have a relational and instrumental understanding of the equal sign. The students also have understanding of a critical aspect that they did not meet in the observed lesson, namely that all numbers have to enter in a task. Four out of six students have understanding of the critical aspect that there should be equivalence in a chain of similarities. The result also show that the students understanding of the equal sign is not dependent of that they meet patterns of variation in the teaching, but that they meet the critical aspects somehow.

The research for this thesis was done to examine, describe and understand the ways in which mathematical content (algebra) is communicated in classrooms. It also sought to identify the opportunities that allow successful classroom communication. The educational design research approach in this study was used to understand the connection between teaching, communication and students' learning. The empirical material consisted of video-recorded lessons, observations, students’ tests and teachers’ written reports of the instructions for lessons. The empirical material was analysed using concepts relating to variation theory, strong compositionality and research results found in mathematics education. Some important findings have been found in this thesis. Communicative success is linked to a hierarchic structure of communicative events with a strong compositionality. It is also linked to the discernment of the structure of algebraic objects. This structure is a relation between para- and proto-mathematical concepts and a form of composition with a semantic character. Teachers support successful classroom communication by using research results found in mathematics education to open up patterns of variation in the critical aspects of an object of learning. Similarity is a pattern identified in this study, and it is defined as the property of two or more expressions to adapt the same meaning. Teachers also support successful classroom communication through a systematic analysis of the parts of an object of learning, relations between parts, how to relate the parts to each other in different ways, the relation between the parts, the relation between the parts and the whole as well as the relation between different wholes. Through and around tasks, teachers and students are communicating successfully or not according to the opportunities provided in the classroom to work out the meaning of the whole by understanding the meaning of the simple parts, the semantic significance of a finite number of syntactic modes of composition, and by recognizing how the whole is made up out of simple parts. If the choice/construction of tasks is focused on what may vary and what stays invariant, students' opportunities to distinguish aspects that could lead to algebraic generalizations are improved. One of the values of this study is in the design of the project that contributes to integration of research results found in mathematics education, in teachers' practice. In addition, a value of the study lies in its operational definition of the concept of communication, which can be used to study successful communication. Communication is a collectively performed patterned activity in which an aspect that is critical for one or more students (A) is focused on by the action of the teacher or other students (B) so that A discerns the aspects focused on by B.