Ämnesområdet som detta examensarbete utgår ifrån är aritmetikundervisning. Syftet är att undersöka hur förståelse för tals del-helhetsrelationer inverkar på elevers lärande av sambandet mellan addition och subtraktion. Syftet är även att undersöka hur förståelse för tals del-helhetsrelationer påverkar lärandet av talkamrater. Vidare undersöks vilka andra effekter förståelse för tals del-helhetsrelationer har på elevers matematiklärande. Examensarbetets metod är en litteraturstudie där forskning om del-helhetsrelationer i undervisningssammanhang undersöks. Det insamlade materialet innefattar enbart internationell litteratur mellan åren 1925 och 2013. Materialet består av 13 forskningsartiklar och en forskningsrapport samt två böcker. Resultatet visar att förståelse för tals del-helhetsrelationer är en viktig faktor i förståelsen för sambandet mellan addition och subtraktion. Genom förståelsen för tals helhet och delar får elever kunskaper som är användbara vid lärandet av talkamrater. Förståelse för tals del-helhetsrelationer har även positiv effekt på lösningar av additions- och subtraktionsproblem samt på förståelse för positionssystemet och tiotalsövergångar i både addition och subtraktion.

Under vår verksamhetsförlagda utbildning väcktes ett intresse för vilka strategier elever använder sig av när de ska lösa additioner med tiotalsövergång. Flertalet av eleverna vi mötte hade problem att genomföra additionsuppgifter inom ett större talområde. Syftet med denna studie är att undersöka hur matematikdidaktisk forskning beskriver hur elever löser additionsuppgifter med tiotalsövergång. Syftet besvaras genom frågeställningarna: Vilka strategier använder elever för att lösa uppgifter med tiotalsövergång samt hur kan tals del-helhetsrelationer underlätta för elever när de löser additioner med tiotalsövergång?Arbetet är en litteraturstudie där svensk och internationell matematikdidaktisk forskning analyserats. För att finna relevant forskning gjordes främst sökningar i databasen ERIC. I resultatet framkom det strategier som var mer framgångsrika att använda i additioner med tiotalsövergång. Strategier som bygger på uppräkning, exempelvis räkna alla och räkna vidare fungerar främst på uppgifter inom talområdet 0-10. Strategier som bygger på del-helhetrelationer, exempelvis talfakta och uppdelning av tal underlättar där tiotalsövergång krävs. Materialet pekar på att elevers förståelse för tals del-helhetsrelationer har ett samband med deras förmåga att tillämpa effektivare strategier i additioner med tiotalsövergång.

Aritmetik är den del inom matematiken som behandlar räknande och innefattar tals egenskaper och hur räknesätten fungerar och kan sättas i relation till varandra, däribland räknesätten addition och subtraktion. Förståelsen av tals egenskaper benämns vanligtvis som taluppfattning vilket innefattar olika aspekter av tal såsom bland annat tals del-helhetsrelationer. Tals additiva del-helhetsrelationer syftar till relationen där kvantiteten, helheten kan delas upp i två eller flera delar. Till exempel kan talet 7 delas upp i följande sammansättningar 6│1│7, 5│2│7 och 4│3│7 där 7 ses som helheten och där sammansättningarna visar de olika delarna. Syftet med denna litteraturstudie är att lyfta fram hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer. Arbetet är en litteraturstudie där vetenskapliga publikationer inom matematikdidaktisk forskning har lästs och analyserats. Litteraturstudien visar på hur elevers förståelse av de första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att lösa addition- och subtraktionsproblem. Det har framkommit att förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att se samband mellan addition och subtraktion, att se additionens kommutativa egenskap samt att använda de tio första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer även för additions- och subtraktionsproblem med tiotalsövergång genom att använda tio som referenspunkt. Det har även framkommit faktorer i undervisningen som främjar elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer däribland aktiviteter där eleverna ges möjlighet att utforska och kommunicera om deras förståelse. Litteraturstudien visar även att läraren har en viktig roll för att skapa en undervisning som främjar elevers förståelse. Med hjälp av strukturella representationer kan läraren synliggöra relationen mellan delarna samt mellan delarna och helheten. Vidare belyser litteraturstudien vikten av att läraren använder gester och tal för att rikta elevernas uppmärksamhet på det som undervisningen avser att lära.

En viktig grund för elever att lösa addition- och subtraktionsuppgifter är att tillägna sig tals additiva del-helhets relationer. Genom att se delar och helheten och förstå relationen dem emellan underlättar det för elever att lösa additions- och subtraktionsuppgifter på ett framgångsrikts sätt. För att detta ska ske behöver de få en undervisning som är utformad på ett sätt som gör det möjligt. Syftet med studie är att utifrån ett sociokulturellt perspektiv få en bild av hur undervisning av tals del-helhetsrelationer kan se ut i förskoleklass och årskurs 1. Analysen har gjorts med hjälp av Mediating Primary Mathematics (MPM) utifrån vilka artefakter och notationer lärarna använder och hur de medierar det matematiska innehållet. Resultatet visar bland annat skillnader i om artefakter och notationer var strukturella eller inte. Det visar också skillnader i hur lärare visar på generalisering i matematiska metoder; i vissa undervisningsepisoder gjordes det inte alls medan i vissa kunde man se det i större utsträckning. Resultatet indikerar att det finns skillnader i hur lärare skapar matematiska samband, bland annat sambanden mellan artefakter och notationer samt i vilken utsträckning lärare tar tillvara på och bygger vidare på elevinspel. / An important basis for students to solve problems of addition and subtraction, is having learned part-whole relations of numbers. Seeing parts and the whole, and understanding their relation, makes solving addition and subtraction successfully easier for students. To achieve this, they need instructions which are structured in a way that enables this. The aim of this study is to observe through a sociocultural perspective how part-whole relations of numbers is taught in primary school. The analysis has been done with the help of Mediating Primary Mathematics (MPM), taking into consideration which artefacts and inscriptions teachers use and how they mediate the mathematical content. The result shows, among other things, whether artefacts and inscriptions were or weren’t structural. It also shows differences regarding how teachers demonstrate generalizations within mathematical methods; in some lesson episodes it never occurred but in others it was more frequent. The result indicates that there are differences regarding how teachers build mathematical connections, including the connections between artefacts and inscriptions, and to which extent teachers make use of, and build on, students’ contributions.

Fingrarna har länge använts som en konkret representationsform för att lösa aritmetikuppgifter. Det finns flera olika sätt att använda sig av fingrarna och dessa beror på vilka aspekter som individen har urskilt. Med utgångspunkt i fenomenografin har kvalitativa intervjuer observerats för att undersöka variationen av hur elever i förskoleklass använder sina fingrar för att lösa additions- och subtraktionsuppgifter. Utifrån den valda metoden syftar studien till att undersöka elevers olika uppfattningar och sätt att använda fingrarna vid aritmetikuppgifter. Resultatet visar på att eleverna använde sig av tre kvalitativt olika sätt för att lösa aritmetikuppgifter. Utifrån analysen visade det sig att eleverna använder olika sätt utefter sina erfarenheter, vilka aspekter som urskilts och hur fenomenet uppfattas. Detta resulterade i tre kvalitativt skilda sätt, enskilda enheter, strukturerade delar och enskilda delar samt strukturerade fingermönster. Sätten går att skriva i en hierarkisk ordning då de innehåller olika framgångsrika kvaliteter. För att eleven ska kunna använda sig av det sätt som har högst framgångsrika kvaliteter krävs det att kunskaper om del-helhetsrelationer och fingermönster har urskilts. Alla elever har olika förutsättningar och förkunskaper. Vetskap om elevernas individuella förmåga gör att läraren kan anpassa och utmana eleven. För att eleven ska urskilja mer framgångsrika kvaliteter krävs det att läraren synliggör betydelsefulla aspekter i undervisningen, som exempelvis fingermönster. / The fingers have long been used as a concrete representation form for solving arithmetic tasks. There are several different ways to use your fingers and it all depends on which aspects the individual has distinguished. Based on phenomenography, qualitative interviews have been observed to investigate the variation in how pupils in preschool use their fingers to solve addition and subtraction tasks. Based on this chosen method, the study aims to investigate pupils’ different views and ways of using their fingers in arithmetic tasks. The result shows that the pupils used three qualitatively different ways to solve arithmetic tasks. Based on the analysis, it showed that the pupils use different ways along with their experiences, what aspects are distinguished and how the phenomenon is perceived. This resulted in three qualitatively different ways, individual pieces, structured parts and individual pieces, and structured finger patterns. These ways can be written in a hierarchical order as they contain different successful qualities. In order for the pupil to use the method that has the most successful qualities, it is necessary to have knowledge of partial-whole relationships and finger patterns. All pupils have different prerequisites and prior knowledge. Knowledge of the pupils' individual ability that enables the teacher to adapt and challenge the pupil. In order for the pupil to distinguish more successful grades, it is necessary for the teacher to make visible important aspects of the teaching such as finger patterns.

Additiva del-helhetsrelationer innebär en förståelse för hur de tio bastalen kan kombineras och vilken relation de har till varandra. Syftet med denna studie är att undersöka vad forskning säger om hur undervisning kan skapa en förståelse för elever om tals del-helhetsrelationer. För att kunna besvara syftet har två forskningsfrågor skapats som behandlar gynnsamma metoder samt kritiska aspekter i undervisningen. Metoden för arbetet är en litteraturstudie där internationell och nationell forskning inom området har analyserats. Materialet som ligger till grund för studien har genom närläsning granskats där teman har skapats. Resultatet visar på olika metoder samt variation och samtidighet av metoder. Det framkom även att strukturerade fingermönster kan fungera som ett hjälpmedel samt att ett-till-ett-räkning i vissa fall kan skapa svårigheter för eleverna i deras beräkningsprocess. Resultatet synliggjorde att kardinalitet, ordinalitet och subitisering är betydelsefulla aspekter som påverkar förståelsen för del-helhetsrelationer. Slutligen tydliggjordes sambandet mellan addition och subtraktion där matematikens lagar och regler tydligt framkommer.

Taluppfattning innefattar bland annat förståelsen för tal, tals struktur och tals inbördes relationer, exempelvis tals del-helhetsrelationer. Tals del-helhetsrelationer handlar om att ha en helhet och kunna dela upp helheten i två eller fler delar. En god taluppfattning har en betydande roll för matematisk framgång och därför är det viktigt att undervisningen på ett varierat och lekfullt sätt synliggör tals relationer och egenskaper. Studiens syfte handlar om olika karaktärsdrag i strukturerade modeller som synliggör tals additiva del-helhetsrelationer samt olika faktorer i undervisningen som påverkar elevers förståelse för tals del-helhetsrelationer med fokus på tals additiva strukturer och strukturerade modeller. Syftet uppnås genom att dessa forskningsfrågor besvaras: Vad karaktäriserar strukturerade modeller som främjar barns/elevers förståelse för tals additiva del-helhetsrelationer? Vilka faktorer i undervisningen om strukturerade modeller menar forskningen påverkar barns/elevers förståelse för tals additiva del-helhetsrelationer? Litteraturen som samlats in är elva vetenskapliga texter från nationella och internationella databaser och en tryckt avhandling alla skrivna på engelska som har analyserats utifrån studiens frågeställningar och sammanfattats i en översiktsmatris. Resultatet i litteraturstudien visar på flera återkommande karaktärsdrag i olika strukturerade modeller för tals del-helhetsrelationer som alla ses främjande för elevers utveckling av en god taluppfattning men på olika sätt. Resultatet visar även på att det finns flera faktorer i undervisningen om strukturerade modeller som påverkar hur eleverna tar till sig det matematiska innehållet. Studien visar på att strukturerade modeller i undervisningen kräver ett strukturerat arbetssätt av läraren, samt att olika modeller kan användas för att synliggöra olika matematiska idéer.

Följande examensarbete är en interventions-studie med utgångspunkt i aritmetik-undervis-ning och tals del-helhetsrelationer. Vissa fors-kare menar att del-helhetsrelationer är en grund för vidare aritmetikkunskaper, medan andra forskare menar att det är viktigare att elever utvecklar räkneförmågor. Syftet med denna studie är att undersöka hur undervis-ning om tals del-helhetsrelationer i addition och subtraktion kan utformas ur ett variat-ionsteoretiskt perspektiv. Lärandeobjektet för undervisningssekvensen är att identifiera ett okänt tal i en del-helhetsrelation inom talom-rådet 0-10. Undersökningen gjordes med 13 elever i för-skoleklass genom ett förtest, en undervis-ningssekvens om tre lektioner samt ett efter-test. Undervisningssekvensen och testerna vi-deoinspelades för att utgöra underlag för ana-lys. Lektionerna gjordes för att visa olika vari-ationsmönster som kontrast, separation, gene-ralisering och fusion för att eleverna skulle kunna urskilja kritiska aspekter. Exempelvis användes ”part-whole bars” och kommutati-vitet i undervisningen för att synliggöra de kri-tiska aspekterna. De kritiska aspekterna som kom fram i resultatet var att urskilja att de två delarna ryms i och tillsammans är lika mycket som helheten, kunna ta hjälp av två tal i en relation mellan helhet och delar för att finna det tredje talet, kunna ta hjälp av helheten och en del för att hitta den andra delen och att kunna ta hjälp av kunskaper om tidi-gare del-helhetsrelationer för att hitta okända tal i nya del-helhetsrelationer. / The following thesis is an intervention study based on arithmetic teaching and part-whole relationships of numbers. Some researchers argue that part-whole relationships are a basis for further arithmetic skills, while other re-searchers believe that it is more important that students develop counting abilities. The pur-pose of this study is to investigate how teach-ing of part-whole relationships in addition and subtraction can be designed from a variation theory perspective. The object of learning for the teaching sequence is to identify an un-known number of a part-whole relationship, in the number range 0-10. The study was conducted with 13 students in preschool class through a pre-test, a teaching sequence of three lessons and a post-test. The teaching sequence and the tests were vide-otaped to provide a basis for analysis. The les-sons were designed to show different patterns of variation such as contrast, separation, gen-eralization and fusion so that the students would be able to discern critical aspects. For example, "Part-whole bars" and commuta-tivity were used in the lessons, in order to highlight the critical aspects. The critical as-pects that emerged in the result were to discern that the two parts fit in and together is as much as the whole, be able to use two numbers in a relation between the whole and the parts to find the third number, be able to use the whole and one part to find the second part and to be able to use knowledge about previous part-whole relationships to find the unknown number in new part-whole relationships.

På vilket sätt kan vi hjälpa alla elever att bli förtrogna med matematikens uttrycksformer? Ett sätt är att bygga en stadig aritmetisk grund för eleverna där de befäster talens innehåll. Det är vad den här uppsatsen handlar om. Uppsatsen beskriver vad som skiljer användandet av del-helhetsrelationer från andra sätt att lösa öppna utsagor på. Uppsatsen beskriver även vilka kritiska aspekter om öppna utsagor som kan förekomma hos elever i årskurs 1 och 2. Uppsat-sen är skriven ur en fenomenografisk ansats med variationsteoretiska inslag eftersom de två teorierna är nära besläktade. Studien genomfördes genom filmade intervjuer med 11 elever som valdes ut genom en munt-lig och en skriftlig diagnos samt ett skriftligt arbetsblad. Resultatet visar att elever som använ-der automatiserade del-helhetsrelationer har en fördel när de löser öppna utsagor jämfört med elever som använder andra lösningsmetoder. Skillnaderna syns tydligt när det gäller lösandet av öppna subtraktionsutsagor där helheten saknas. En väg till den abstrakta förståelsen för tals del-helhetsrelationer går via fingertalen. Min slutsats är att eleverna redan tidigt i skolan måste få undervisning om fingertalen samt talens del-helhetsrelationer för att undvika att de utvecklar matematiksvårigheter. / How can we help all students to become confident with the concepts of mathematics? One way is to build a firm arithmetic foundation for students where they consolidate the content of the numbers. That is what this thesis is about. The thesis describes what differentiates the use of part-whole relationships from other ways to solve missing number bonds. The thesis also describes the critical aspects of missing number bonds that may be found in students in grades 1 and 2. The thesis is written from a phenomenographic approach with elements of variation theory, since the two theories are closely related. The study was conducted by videotaped interviews with 11 students selected through an oral test, a written test and a written worksheet. The result shows that the students who use auto-mated part-whole relationships when solving missing number bonds have an advantage com-pared to students who use other solving methods. The differences are clearly visible when it comes to solving missing number bonds in subtraction where the whole is missing. One path to the abstract understanding of the part-whole relationships goes through the finger num-bers. My conclusion is that the students must be taught the finger numbers and the part-whole relationships early in the education, to prevent them from getting into mathematical difficulties.

Läromedel har en styrande roll i många matematikklassrum vilket innebär att läromedel påverkar vilka uppgifter som elever erbjuds i undervisningen. Men vad är det som erbjuds i läromedel? Syftet med studien var att undersöka hur uppgifter i svenska läromedel för årskurs 1 behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Teorin om handlingserbjudanden och begrepp från variationsteorin har använts i syfte att utifrån ett funktionellt perspektiv undersöka vad som erbjuds i läromedel. Studien genomfördes genom en kvantitativ innehållsanalys och en kvalitativ dataanalys av fem läromedelsserier. Den kvantitativa analysen visar förekomsten av uppgifter som behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Den visar också att elever erbjuds olika representationsformer samt att växla mellan dessa. Språk, symbol och bild är de som erbjuds i störst utsträckning medan konkret modell endast erbjuds i ett fåtal uppgifter. Vidare visar den kvalitativa analysen skillnader i hur uppgifter är utformade för att synliggöra tals additiva del-helhetsrelationer. Uppgifternas form erbjuder elever skillnader i struktur, systematik samt i vilket utsträckning de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp synliggörs. För att undervisningen ska främja elevers förståelse för tal och relationen mellan tal behöver läraren vara medveten om de möjligheter som läromedel erbjuder samt eventuella begränsningar. Detta för att kunna rikta elevers uppmärksamhet mot det som avses att läras. / Mathematics textbooks have a governing role in many mathematics classrooms which means that textbooks affect the tasks that learners are afforded in teaching. But what is afforded in these textbooks? The aim of the study was to investigate how Swedish textbooks for first grade treats additive part-whole relations of numbers. The theory of affordances and concepts from the variation theory has been used for the purpose, that based on a functional perspective to investigate what is afforded in textbooks. The study was conducted through a quantitative content analysis and a qualitative data analysis of five series of textbooks. The quantitative analysis shows the existence of tasks that treat additive part-whole relations of numbers. It also shows that learners are afforded different forms of representations and to switch between them. Language, symbol and image are afforded to the greatest extent while concrete model is only afforded in a few tasks. Furthermore, the qualitative analysis shows differences in how tasks are designed to make the additive part-whole relations of numbers visible. In the design of tasks, learners are afforded differences in structure, systematics and the extent to which the different ways in which a number can be divided are made visible. To promote learners´ understanding of additive part-whole relations of numbers, the teacher needs to be aware of the opportunities that textbooks can afford, as well as limitations. This is to be able to draw the learners´ attention to what is intended to be learned.