Sedan 2011 tar kursplanen i matematik upp fem förmågor som undervisningenska utveckla hos eleverna. Kompetenstänket har dock inte anammats fullt ut ipraktiken och då läromedel har en central roll i matematikundervisningen skullede kunna stödja lärares undervisning i detta hänseende. Studien ifrågaundersöker därför vilka förutsättningar utvalda lärarhandledningar ger lärare attbedriva undervisning som inkluderar de fem matematiska förmågorna.Forskningsfrågorna besvaras med hjälp av läromedelsanalys,lektionsobservationer och lärarintervjuer, och de matematiska förmågornadefinieras utifrån det teoretiska ramverket Mathematical Competency ResearchFramework (MCRF). Resultatet visar att både lärarhandledningar och läraresundervisning omfattar kursplanens förmågor på ett obalanserat sätt, då stor viktläggs på räkneförmågan. Lärare reflekterar dessutom inte över förmågorna närde utformar sin matematikundervisning, vilket bland annat pekar på attförmågorna skulle kunna lyftas fram mer explicit i de undersöktalärarhandledningarna.

Detta är en intervjustudie med lärare i årskurs F-3, som undervisar i matematik. Materialet har samlats in genom intervjuer med lärare som är verksamma på lågstadiet samt en matematikhandledare. Syftet med denna studie är att belysa lärares upplevelser av deras egen undervisning för att leda elevers kunskapsutveckling i matematisk förståelse och matematiskt tänkande. Studien tittar också på hur elevernas utveckling ter sig enligt lärares uppfattning. Vidare undersöker studien vad som kan tänkas påverka lärares arbete och elevers kunskapsutveckling. Begrepp som lyfts i studien i tidigare forskning är: matematikspråk, matematisk diskussion (Eriksson, 2021; Riesbeck, 2000; 2008), undervisningsmetodik (Björklund, 2007; Karlsson, 2019), översättningsled, ämnesdidaktik (Eriksson, 2021; Høines, 2000), matematikängslan och kognitiv förmåga (Karlsson, 2019; Taflin, 2008). Ytterligare begrepp som lyfts i studien i teoretiska utgångspunkter är: utvecklingsstadier (Hwang & Nilsson, 2019), abstrakt matematik (Björklund, 2007; Hwang & Nilsson, 2019; Riesbeck, 2008), proximala utvecklingszonen, scaffolding (Hwang & Nilsson, 2019; Høines, 2000; Eriksson, 2021; Taflin, 2007; Karlsson, 2019; Riesbeck, 2000) och ramfaktorer (Lindström & Pennlert, 2019). Samtliga begrepp har skapat studiens syfte och frågeställningar: Hur lägger lärare upp undervisningen i förhållande till läroplaner, läromedel, övriga inslag och vilka undervisningsmetoder används? I vilken ålder eller årskurs upplever lärare att elever generellt utvecklar matematiskt tänkande och sker utvecklingen vanligen gradvis eller mer oregelbundet? Vilka omständigheter upplever lärare kan främja respektive hindra enskilda elevers kunskapsutveckling inom matematikämnet samt påverka deras attityder till ämnet? Vilka ramfaktorer utgör enligt lärare möjligheter eller begränsningar i deras arbete i matematikämnet? Resultaten har analyserats i en tematisk analys utifrån frågeställningarna. För att få en förståelse om hur elevers kognitiva matematiska förmågor utvecklas utgår studien ifrån Vygotskijs och Piagets teorier om kognitiv utveckling, samt de ramfaktorer som kan påverka lärares arbete.    Studiens resultat visar att det finns samband mellan antalet år som lärare varit verksamma och deras val av undervisningsmetoder, samt förhållningssätt till läromedlen. Bland annat framkom det i resultaten att lärare påverkas, i sitt arbete, av läromedlens utformning, kraven i Lgr 11 och kursplanen i matematik. Elevers utveckling i matematikämnet sker oregelbundet, anser lärarna. Det som främjar eller hindrar elevers kunskapsutveckling i matematik är bland annat lärarens attityd till ämnet. De ramfaktorer som främst påverkar lärares arbete i matematik är timplan och resurser, eftersom det är faktorer som läraren själv inte kan styra över. Överlag visar studien att matematik är ett abstrakt ämne där elever behöver lärare med goda ämnesdidaktiska kunskaper och pedagogisk förmåga. Detta för att elever ska kunna utveckla matematisk förståelse och matematiskt tänkande, samt deras matematiska förmågor. Den didaktiska slutsatsen som kan dras av studien är att lärare behöver utrymme i sitt arbete, för att kunna styra den egna undervisningen utifrån vad elever behöver.

In calculus the concept of an infinite derivative – i.e. DF(x) = ±∞ – is seldom studied due to a plethora of complications that arise from this definition. For instance, in this extended sense, algebraic expressions involving derivatives are generally undefined; and two continuous functions possessing identical derivatives at every point of an interval generally differ by a non-constant function. These problems are fundamentally irremediable insofar as calculus is concerned and must therefore be addressed in a more general setting. This is quite difficult since the literature on infinite derivatives is rather sparse and seldom accessible to non-specialists. Therefore we supply a self-contained thesis on continuous functions with infinite derivatives aimed at graduate students with a background in real analysis and measure theory.  Predominately we study continuous primitives which satisfy the Luzin condition (N) by establishing a deep connection with the strong Luzin condition – a weak form of absolute continuity which has its origins in the Henstock–Kurzweil theory of integration. The main result states that a function satisfies the strong Luzin condition if and only if it can be expressed as a sum of two such primitives. Furthermore, we establish some pathological properties of continuous primitives which fail to satisfy the Luzin condition (N).

The purpose of this thesis is to formulate and proof some theorems about convergences of Fourier series. In essence, we shall formulate and proof Wiener's lemma and Wiener-Lévy theorem which give us weaker conditions for absolute convergence of Fourier series. This thesis follows the classical Fourier analysis approach in a straightforward and detailed way suitable for undergraduate science students.

Studien syftar till att utforska den läsförmåga som krävs för att elever i årskurs 3 ska kunna förstå informationstexter och uppgiftstexter i fyra olika läromedel i matematik. Forskningsfrågorna fokuserar på vilka typer av informationstexter och uppgiftstexter som finns i de analyserade kapitlen, hur omfattande textmängden är totalt sett samt språklig svårighetsgrad. Vidare undersöks vilka specifika ord och uttryck som förekommer, samt vilka stödstrukturer som erbjuds eleverna för att underlätta deras förståelse av texterna. Teoretiska ramverk som Jerome Bruners scaffolding-teori och Libergs modell för centrala läs-och skrivpraktiker har använts i analysen för att förstå sambanden mellan matematisk förmåga och läsförmåga enligt simple view of reading. Tidigare forskning indikerar att elevers svårigheter i matematik ofta kan kopplas till missförstånd i textförståelsen. Läsförmågan påverkar förmågan att lösa matematiska problem. Forskning har även pekat på specifika språkliga drag i matematiska texter som ökar kraven på elevers läsförmåga och kan orsaka svårigheter med att självständigt lösa uppgifter i matematikböckerna. Bristen på statlig kontroll över läromedel ökar vikten av läromedelsanalyser för att säkerställa elevernas lärande och utveckling i enlighet med den svenska läroplanen. Studien har genomfört med både en kvalitativ och kvantitativ analys av fyra läromedel i matematik: Mattedirekt Triumf3A (2021), Prima Matematik 3B (2020), Singma matematik 3A (2018) och Favorit matematik 3A (2018). Språkverktyget LIX (läsbarhetsindex), som mäter texters läsbarhet, har använts för att bedöma texternas svårighetsgrad och språkliga komplexitet. För analysen har studien även utvecklat en egendesignad analysmodell baserad på kategorierna från forskningsfrågorna. Sammanfattningsvis visar analysen att de fyra matematikböckerna varierar avsevärt i textmängd, språkanvändning och stödstrukturer. Denna variation kan påverka hur väl böckerna stödjer elever med olika behov och förmågor i deras lärande i matematik. En slutsats av resultatet är att medvetenheten kring innehållet i matematikböcker är viktigt för att läraren ska kunna välja rätt läromedel för sin undervisning. För att alla elever ska få lika möjlighet till att utveckla sin matematiska förmåga enligt kursplanen i matematik, krävs även ett medvetet arbete kring det matematiska språket och läsning av detta

The Riemann Mapping Theorem is presented and proven in this essay. The theorem, first published 1851, is essential for the study of holomorphic functions on simply connected, proper subsets of C. / Uppsatsen presenterar och formulerar Riemanns avbildningssats. Satsen från 1851 är ett essentiellt resultat för studiet av holomorfa funktioner på enkelt sammanhängande, äkta delmängder av C.

Individer med särskilda begåvningar utgör en heterogen grupp. Särskilda begåvningar finnsinom olika områden, däribland matematik. Trots att särskilt begåvade individer utgör enspretig grupp med många olikheter återfinns även många likheter. En gemensam nämnare äratt dessa individer behöver mer kunskapsmässig och social stimulans än normalpopulationenför att må bra. Att tillgodose de särskilt begåvade barnens sociala och kunskapsmässiga behov i grundskolan är inte alltid en enkel uppgift. Särskilt begåvade barn har ofta en högre mentalålder än kronologisk ålder vilket medför att de har andra kognitiva behov än jämngamla barn. Granskningar har visat att många skolor brister i att ge särskilt begåvade elever den ledningoch stimulans de behöver för att utvecklas. Syftet med examensarbetet är därför att kartläggapå vilka sätt som lärare vill undervisa mellanstadieelever med särskild begåvning för att deska utveckla sin matematiska kreativitet samt vilka ramfaktorer som begränsar och möjliggördetta. Studien bygger på kvalitativa intervjuer med tre mellanstadielärare som kvalificerat istudiens målinriktade urval. Den insamlade datan analyserades tematiskt. Resultatetsammanställdes och tolkades mot ramfaktorer för att teoretiskt förklara vilka faktorer sombegränsar och möjliggör den matematikundervisning som lärare föredrar av elever medsärskilda begåvningar. Studiens resultat visade att informanterna föredrar att användaproblemlösningsuppgifter för att eleverna med särskilda begåvningar ska utveckla sinmatematiska kreativitet. Två av tre informanter vill även använda sig av digitala verktyg i undervisningen. Samtligainformanter ansåg att gruppuppgifter utgör en viktig del i matematikundervisningen avsärskilt begåvade elever. De anser att det är fördelaktigt att variera gruppindelningar.Informanterna menade på att eleverna ibland kan ingå i grupper med elever på liknandenivåer och ibland ingå i grupper där det är en större kunskapsmässig variation mellaneleverna. Informanterna menade även på att de vill ha mer tid till att arbeta enskilt med desärskilt begåvade eleverna. De ramfaktorer som begränsar och möjliggör den undervisningsom lärare helst vill bedriva av elever med särskild begåvning för att de ska utveckla sinmatematiska kreativitet är skolans ledning och organisation, ekonomi, tid, gruppstorlek,personal och närsamhället. Studiens bidrag till forskningen är en fördjupad bild av vilkaundervisningsmetoder som lärare föredrar att använda sig av för att elever med särskildbegåvning ska få förutsättningar att utveckla sin matematiska kreativitet samt vilkaramfaktorer som begränsar och möjliggör detta.

Mathematical equivalence is crucial throughout the entire course of education. Understanding the concept is a prerequisite for comprehending mathematics, especially in algebra. Despite this, research indicates that many students lack a relational understanding of the concept, both early in their educational journey and as they progress through the grades. However, certain studies suggest that students can demonstrate relational understanding, even at younger ages, as long as you don’t use linguistic assessment methods. This study focuses on primary school students and their understanding of mathematical equivalence. The aim of the study is to investigate whether third-grade students possess a relational understanding of equivalence and, if so, to explore its characteristics. To examine this, a survey was used with math tasks to assess students at a school in southern Sweden’s understanding of equivalence. The surveys have been analyzed through radical constructivism and the Mathematical Equivalence Assesment model. The results indicate that a significant portion of students exhibit partial or complete relational understanding of equality. Furthermore, the findings reveal that students lacking an understanding of the definition of mathematical equivalence attain considerably lower results compared to those with such an understanding. An overarching conclusion that can be drawn in relation to the study's results is that a relational understanding of mathematical equivalence is crucial for long-term learning in mathematics.

Non-maturity deposits (NMD) are saving accounts without a predefined maturity, whichmeans that depositors can withdraw or deposit any amount freely. On the other hand,banks have an option to freely alter deposit rates. This embedded option makes NMDshard to predict and NMDs are important for banks to model since they often rely onthese instruments for medium-long term funding. This thesis seeks to provide a Swedish bank with a flexible framework to forecast theoutflow of deposit volume under the stressed condition that no future deposits will bemade. The deposit volume will be modelled using a seasonal autoregressive model andthe forecast generated by a stressed Monte Carlo simulation that only allows the forecastof withdrawals. Under the Swedish Financial Services Authority’s regulations models for NMDs are onlyapplicable on a certain segment of the total volume known as Core Deposit. This is theamount of the total deposit volume unlikely to be withdrawn even under adverse changesin interest rates. Several approaches on how to estimate this volume are evaluated in thethesis. The best approach is found to be an Account Based approach where each depositis flagged as Core or Non-Core dependent on the account’s sensitivity to interest ratechanges. / Icke tidsbunden inlåning är sparkonton utan kontrakterad förfallodag, vilket innebär attinsättare har rätten att fritt sätta in eller ta ut ett godtyckligt belopp. Samtidigt harbanker möjligheten att fritt ändra kontots sparränta. Dessa inbäddade valmöjlighetergör kontona svåra att prediktera över tid samtidigt som kontona är viktiga för banker dådom ofta utgör en majoritet av den medium-långa finansieringen.Uppsatsen mål är tillgodose en Svensk bank med ett flexibelt ramverk för att predikterautflödet av inlåningsvolymer från dessa konton under den stressade ansatsen att ingaframtida insättningar kommer ske. Inlåningsvolymen kommer modelleras genom en säsongbetonadautoregressiv modell och prognosen kommer genereras genom en stressadMonte Carlo simulering där inga insättningar tillåts.Under Finansinspektionens regulationer får endast modeller som ska tillämpas på icketidsbunden inlåning användas på en delmängd av den total inlåningsvolymen där dennadelmängd benämns som Core Deposit, Stabil Inlåning på Svenska. Detta är den mängdav inlåningsvolymen som med stor sannolikhet inte kommer att plockas ut, även understora förändringar i räntelandskapet. Uppsatsen berör flera olika metoder för att uppskattaCore volymen där den bästa är en kontobaserad metod där varje individuellt kontoflaggas som Core eller Non-Core beroende på kontots känslighet för ränteförändringar.

Syftet med detta arbete är att undersöka vilka hinder lärare uppfattar som relevanta vid undervisning inom matematisk problemlösning i årskurs F-3, samt att se över hur lärare arbetar och undervisar i förhållande till de hinder som de anser att elever kan möta vid arbete med matematisk problemlösning. Med utgångspunkt i Vygotskijs sociokulturella perspektiv har semistrukturerade intervjuer med 10 lärare och observationer med 2 lärare gjorts. Resultaten visar att problem inom de organisatoriska delarna i skolverksamheten försämrar lärares möjligheter att planera givande och lärorika lektioner. Vidare visar resultaten att språkliga hinder, bristande begreppsförståelse och matematiska kunskaper samt brist på motivation hos elever är faktorer som alla påverkar elevernas förmåga att lösa matematiska problem. Genom studien tydliggörs även behovet av att lärare behöver differentiera undervisningen för att möta alla elever med olika behov av stöttning, vilket är en nyckelfaktor för att elever ska kunna utveckla sin matematiska problemlösningsförmåga.