Lärare som undervisar i matematik förväntas kunna mer avancerad matematik än vad de undervisar om. Men formell matematikkunskap anses inte vara tillräckligt för att lärare ska kunna undervisa så att ämnesinnehållet blir begripligt för eleverna, de behöver även pedagogical content knowledge (PCK). Begreppet belyser en speciell form av ämneskunskap för undervisning och skiljer sig från den matematikkunskap som används av andra välutbildade vuxna. Det har föreslagits att olika arrangemang av kollegialt och praktikbaserat lärande kan utveckla lärares PCK. Ett exempel på ett sådant arrangemang är learning study. Den här avhandlingen handlar om den kunskap om lärande och undervisning i matematik som studiens lärare utvecklar då de deltar i learning studies och utforskar sin praktik utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv. Det yttersta syftet med en learning study är att utveckla elevernas lärande om specifika lärandeobjekt, genom att undersöka vad som kan vara kritiskt för elevernas lärande. I ett samarbetsprojekt med fyra högstadielärare genomfördes två learning studies i matematik, under ett år. Lärargruppen undersökte vad eleverna behöver lära för att de ska förstå i) varför en kvot kan vara större än talet i täljaren och ii) olika representationer av konstanterna k och m i räta linjens ekvation. Under learning study-arrangemangets olika steg samlades studiens empiri in och denna består av filmade lektioner, inspelade möten där lärargruppen planerade och analyserade undervisning och elevers lärande, skriftliga elevtest samt elevintervjuer. Studien har en variationsteoretisk utgångspunkt, vilket innebär att lärande förklaras ske när en person ser något på ett nytt och mer kvalitativt sätt, genom att personen urskiljer aspekter som han/hon inte tidigare har urskilt. Studien visar de två lärandeobjektens kritiska aspekter samt hur de kritiska aspekterna gradvis förändrades och specificerades. Förändringen var ett resultat av att lärargruppen fick syn på avgörande detaljer om på vilket sätt eleverna förstod ämnesinnehållet samt hur skilda sätt att förstå kunde användas i undervisningen för att utveckla elevernas lärande. Där av titeln att få syn på avgörande skillnader. Denna form av utvecklad kunskap om lärandeobjektet kan ses som ett bidrag om PCK och vad det kan vara. / It is a common view that teachers need more than formal content knowledge to teach and to make the content comprehensible to others. They also need pedagogical content knowledge, or PCK (Shulman, 1986). It has been suggested that different teacher collaboration approaches may support teachers’ development of PCK (Chapman, 2013, Davis & Renert, 2014; Steele & Rogers, 2012). This thesis aims to provide insights into the kind of knowledge about teaching and learning mathematics that teachers develop through their participation in a specific collaboration approach called learning study. Four teachers of mathematics and their 74 students (aged 15−16 years) participated in two learning studies over the course of one year. The foremost aim of a learning study is to enhance student learning about specific objects of learning and to identify what is critical for the students’ learning (Marton & Tsui, 2004). The objects of learningin the two learning studies were to understand that dividing with a denominator between 0 and 1 gives a quotient larger than the numerator and to understand different representations of the constants b and m in the equation of the straight line. During the two learning studies data were collected from 8 video-recorded lessons, 2 written student tests, student interviews, and 14 audio-recorded sessions in which the teachers and I (PhD student) planned, analysed and revised teaching and student learning. The analysis was based on variation theory (Marton & Tsui, 2004) and focused on what participants considered to be critical aspects of the objects of learning and on the components embedded in that knowledge. The result shows the identified critical aspects of the two objects of learning and, furthermore, how the teachers’ knowledge about those critical aspects gradually changed and became more refined and specified in relation to their students’ understanding. The thesis provides an insight into the value of the teachers’ enhanced knowledge of the object of learning, in relation to how PCK can be understood.

The aim of this study was to generate knowledge about how teachers embark on new subject content and how their understandings of ecosystem services evolve and change in teaching practice, and also what it means to be able to discuss the relationship between the ecological and social in terms of ecosystem services in a teaching practice in middle school. The teachers used the learning study model and variation theory to explore the object of learning, by trying to design an instruction that offers fifth grade students the possibility to develop their knowledge of ecosystem services. The learning study model is an interventionist approach, where the focus is on an object of learning. A group of teachers worked together and tested students, planned lessons and implemented, evaluated and refined the lessons in an iterative process. The theoretical framework, variation theory, is a theory of learning that focuses on how discernment of aspects affects the way we perceive our world and how variation can be used to promote learning. However, since the study aims at contributing to enhancing our knowledge of how teachers can develop their skills and their meanings of a new content in practice, the empirical data from learning study was then analyzed with the help of activity theory, and the cycle of expansive learning. The result of the study shows that it can be complicated to introduce a new educational content. However, the learning study model proved to be aneffective tool for developing teachers' knowledge of ecosystem services and how to teach this. Ecosystem services were developed as teachers worked systematically with the content in their practice. For example, when the students did not respond to the exercises and to the reasoning of the ecosystem services that the teachers had planned, contradictions were created and changed the learning object's meaning for the teachers. The recordings from the lessons made the contradictions that arose during the lesson visible. Ecosystem services were developed from being primarily a tool to describe the human needs of the non-human nature to a tool to be able to discuss sustainability issues and the relationship between ecological, economic and social dimensions.

The purpose of my study was to find out what strategies educators use in preschool to promote narrative, both regarding the educators themselves and the children's narrative. This I wanted to find out by interviewing preschool teachers regarding how they feel that the preschool's activities and their actions promote the narrative, as well as the materials and environments used for this purpose. The method I used in the study was semistructured interviews. Participation was five respondents, all preschool teachers. The interviews were recorded with the respondents' consent. The result shows that the pre-school teachers in the study build different environments, create cozy spaces and specific reading lanes to promote the story. Even the light can be used to amplify the story. The results show that strategies used by the preschoolers to listen to children's stories are to ask questions about what the children are saying, follow-up questions based on the story, and to relate children's stories to what's happening in the day's activities. This is stated by all respondents as important in promoting children's own stories. Preschool teachers state that they use the voice, body and eye contact with the children, to show that they actively listen and that what the child is telling is important and priority. / Syftet med min studie var att ta reda på vilka strategier pedagoger använder sig av i förskolan för att främja berättande, både gällande pedagogerna egna samt barnens berättande. Detta ville jag ta reda på genom att intervjua förskollärare gällande hur de anser att förskolans verksamhet och deras agerande främjar berättandet, samt vilka material och miljöer som används för detta ändamål. Metoden jag i studien använde var semistrukturerade intervjuer. Deltagande var fem respondenter, alla förskollärare. Intervjuerna spelades med respondenternas samtycke in. Resultatet visar att förskollärarna i studien bygger upp olika miljöer, skapar mysiga rum och specifika läshörnor för att främja berättandet. Även att ljuset kan användas för att förstärka berättandet. Resultatet visar att strategier som förskollärarna använder vid lyssnande till barnens berättelser är att ställa frågor om det barnen berättar, följdfrågor utifrån berättandet samt att relatera barnens berättelser till det som händer inom verksamheten under dagen. Detta förs fram av alla respondenter som viktigt i främjandet av barnens egna berättande. Förskollärarna uppger att de använder rösten, kroppen samt har ögonkontakt med barnen, för att visa att de aktivt lyssnar och att det barnen berättar är viktigt och prioriterat.

Nature of Science (NOS) har varit i utbildares och forskares blickfång länge. Elevers kunskaper är av intresse att analysera eftersom det kan bidra till en utveckling av lärares undervisning och förståelse av lärandeprocesser i no-ämnena. Syftet med studien var att analysera hur elever i årskurs 4 ser på vad som är en vetenskaplig undersökning och ett experiment. Den data som används i studien består av redan insamlade frågeformulär från 2019. Studiens data analyseras genom en innehållsanalys. Resultatet visar att elevers kunskaper om undersökningar och experiment är varierande. Eleverna ger exempel på att undersökningar kan innefatta att antingen titta först och sedan ställa en fråga eller tvärtom och att ett experiment kan innebära att blanda eller att prova sig fram. Lärare kan utveckla sin undervisning genom att exempelvis använda elevnära innehåll som eleven känner igen och kan relatera till eller använda modeller och metoder för att visa på systematik och underbyggda slutsatser för att bidra till en högre förståelse om naturvetenskaplig kunskap hos eleverna.

I årskurserna 4–6 ska eleverna genomgå en progression att lära sig hur rationella tal och tal i decimalform är uppbyggda. Forskning har visat att det kan uppstå flera svårigheter och missuppfattningar kring området, bland annat veta siffrors olika platsvärde. Denna studie har inspirerats av en tidigare studie, genomförd av Jarl och Johansson (2014). Syftet med denna studie är att jämföra om samma kritiska aspekter som identifierats i Jarl och Johansson (2014) studie även visar sig i andra elevgrupper. Frågeställningen som studien ska besvara är: Vilka kritiska aspekter kan identifieras i en årskurs 4 och en årskurs 5 kring tal i decimalform? För att kunna besvara frågeställningen har eleverna i denna studie fått genomföra ett arbetsblad med uppgifter kopplade till tal i decimalform. Därefter har kvalitativa intervjuer genomförts för att få en breddad insikt kring vilka kritiska aspekter eleverna har eller inte har urskilt. Metodvalet i studien har inslag av variationsteorin där eleverna behöver få syn på nödvändiga detaljer (i studien benämnd som kritiska aspekter). Studiens resultat visar att samtliga kritiska aspekter som identifierades i Jarl och Johanssons (2014) studie, även var kritiska i denna studie. Däremot identifierades en ny kritisk aspekt: Elever behöver förstå att siffror på varsin sida om decimaltecknet tillsammans utgör ett tal. Kunskaper om kritiska aspekter kan ses som specialkunskaper för lärare att veta vad som kan missuppfattas kring det matematiska området. Dessa kunskaper kan inte generaliseras, men de kan vara överförbara att en kritisk aspekt kan identifieras i andra elevgrupper. / In grades 4–6, students must undergo a progression to learn how rational numbers and numbers in decimal form are structured. Research has shown that there can be several difficulties and misconceptions about the area, including knowing the different place value of numbers. This study has been inspired by a previous study, conducted by Jarl and Johansson (2014). The aim of this study is to compare whether the same critical aspects identified in Jarl and Johansson (2014) studies also show up in other student groups. The subject of interest in this study was: What critical aspects can be identified in a grade 4 and a grade 5 around numbers in decimal form? In order to be able to answer the question, the students in this study have had to complete a worksheet with tasks linked to numbers in decimal form. Thereafter, qualitative interviews were conducted to gain a broader insight into what critical aspects the students have or have not distinguished. The choice of method in the study has elements of the theory of variation where the students need to see the necessary details (in the study called critical aspects). The results of the study show that all critical aspects that were identified in Jarl and Johansson's (2014) study were also critical in this study. However, a new critical aspect was identified: Students need to understand that numbers on each side of the decimal point together must become a number. Knowledge of critical aspects can be seen as special knowledge for teachers to know what can be misunderstood about the mathematical field. This knowledge cannot generalize, but it can be transferable so that a critical aspect can be identified in other student groups.

Den biologiska mångfalden är en förutsättning för allt liv på jorden men dess överlevnad hotas. Det finns därav ett samhälleligt och vetenskapligt intresse av att undersöka vad som kan göras för att skapa en förändring. Ett första steg är att skapa en medvetenhet hos framtidens generationer. Syftet med studien är att synliggöra ett antal elevers medvetenhet kring biologisk mångfald och hur en lektionsaktivitet kan bidra till att främja den medvetenheten, samt vilken medvetenhet som synliggörs utifrån kritiska aspekter. Med hänvisning till de forskningsfrågor som studien avser att besvara har learning study som modell applicerats. Modellens funktion har möjliggjort praktiskt genomförande och insamling av empiri inom ramen för variationsteorin. Variationsteori har använts som teoretiskt ramverk, där de kritiska aspekter som framkommer i studien avser de teoretiska analysbegreppen. Studiens resultat visar att eleverna har en ökad medvetenhet kring biologisk mångfald och kunskaper om vilka arter som är beroende av varandra i elevernas närmiljö efter genomförd lektionsaktivitet. Den medvetenhet om biologisk mångfald som synliggörs hos ett antal elever är att de diskuterar kring artkännedom och samtalar på ett djupare plan. Studiens resultat visar emellertid att eleverna har svårt att urskilja sin egen betydelse i den biologiska mångfalden samt att elever har en bristande användning av ett naturvetenskapligt språk som stöd till sina förklaringar. Lärare som får vetskap om studiens forskningsresultat avseende biologisk mångfald samt vilken undervisningsmetod som främjar den medvetenheten hos elever kan utveckla sin undervisning och därmed elevernas lärande. / The biodiversity is essential for all life on Earth, but its survival is threatened. There is therefore a societal and scientific interest in investigating what changes can be done in order to affect its survival. Raising awareness is the first step, especially within future generations. The purpose of this study is to highlight a group of students' awareness of biodiversity as a subject and how a classroom activity can contribute to promote that awareness and also which awareness that is made visible based on critical aspects. With reference to the research questions that the study aims to answer, the learning study model has been applied. The function of the model has enabled practical implementation and collection of empirical data within the framework of variation theory. Variation theory has been applied as a theoretical framework, where the critical aspects that emerge in the studie becomes theoretical analysis concepts. The results of the study showcase that students have increased their awareness of biodiversity and gained knowledge about interdependence of species in their local environment after completing the lesson. The awareness of biodiversity demonstrated by a group of students is evident in their discussions that shows deeper insight about recognition of species. However, the study´s results also present that certain students struggle to discern their own part in biodiversity and utilize scientific terms to support their explanation. Teachers who take part of the research´s results regarding biodiversity and instructional methods that promote student awareness, can develop their teaching methods and therefore enhance student's learning abilities.

Majoriteten av elever saknar idag förståelsen för hur de ska addera bråktal med hjälp av varierande metoder trots flera års undervisning i bråkaritmetik. Studien syftar till att generera en fördjupad förståelse av de tidigare identifierade kritiska aspekter som årskurs 4 elever möter vid additionsberäkningar av tal i bråkform. Studien har två huvudsakliga frågeställningar: 1) Hur synliggörs tidigare identifierade kritiska aspekter inom additionsberäkningar med tal i bråkform i årskurs 4 elevers lösningar och resonemang? 2) Vilka kritiska aspekter framkommer i elevers lösningar med numeriska och bildliga representationsformer?  Studien omfattar en kombination av kvantitativa och kvalitativa metoder där inslag av variationsteorin integrerades. De tillämpade metoderna innefattar användning av arbetsblad samt genomförande av semi-strukturerade intervjuer. Totalt deltog 35 elever i undersökningen, varav 6 elever valdes ut för intervju. Resultaten av studien identifierade tre kritiska aspekter. Kritisk aspekt 1: Att urskilja hur additionsberäkning med tal i bråkform fungerar i jämförelse med hur heltal beräknas. Kritisk aspekt 2: Att urskilja hur additionsberäkning, med tal i bråkform, utförs med olika nämnare. Kritisk aspekt 3: Att urskilja hur additionsberäkning utförs med hjälp av representation av tal i bråkform som en del av en helhet. Dessa kritiska aspekter som framkommit i tidigare forskning bekräftar och stödjer resultaten från studien. / Most pupils today lack understanding of how to add fractions of how to add fractions using various methods, despite several years of instruction in fraction arithmetic. The study aims to generate a deeper understanding of the previously identified critical aspects encountered by fourth-grade pupils in addition calculations involving fractions. The study has two main research questions: 1) How are the preciously identified critical aspects manifested in fourth-grade pupils’ solutions and reasoning regarding addition calculations with fraction? 2) Which critical aspects emerge in pupils’ solutions using numerical and visual representations?  The study employs a combination of quantitative and qualitative methods, integrating elements of variation theory. The applied methods include the use of worksheet and conducting semi-structured interviews. A total of 35 pupils participated in the investigation, with 6 pupils selected for interviews. The results of the study identified three critical aspects. Critical aspect 1: Discerning how addition calculations with fractions differ from those involving whole numbers. Critical aspect 2:  Discerning how addition calculations with fractions are preformed when the denominators are different. Critical aspect 3: Discerning how addition calculations are carried out using representations of fractions as parts of a whole. These critical aspects, which have been highlighted in previous studies, confirm, and support the results of the study.

The purpose of the study was to contribute knowledge on how a teacher's instruction, supported by group discussions, can be planned, implemented, and evaluated to develop pupils' ability to identify messages in narrative texts. To fulfill the purpose of the study, the following research questions were answered: What are the critical aspects when educating a selected group of pupils to develop their ability to identify messages in narrative texts? What knowledge of identifying messages in narrative texts do the pupils demonstrate before and after the instruction? How can group discussions be used in instruction to develop pupils' ability to identify messages in narrative texts? The theoretical framework of the study was variation theory, and the method used was an intervention study inspired by a Learning study. A Learning study consists of cycles of implementation where instruction is planned, implemented, and evaluated. The development of instruction is analyzed with the support of pre-tests and post-tests to determine the knowledge that pupils demonstrate before and after the instruction. The critical aspects that emerged for the specific group of pupils were: The pupil should discern that the text is related to the individual. The pupil should identify the essential parts of a narrative text. The pupil should understand the concept of a message. The pupil should discern the difference between what is stated on the in the text and what is implied between the lines. The pupils showed improved results on the post-test compared to the pre-test. The use of group discussions was shown to be more beneficial for both the pupils and the teacher when there was a clear structure in the discussions.

This thesis comprises three original papers about learning rate of change in school mathematics. The overall aim of the thesis is to contribute with knowledge in this particular area of research. Within this aim, each of the original papers contribute with its own perspective. The theoretical framework used in the thesis is variation theory of learning (Marton & Booth, 1997; Marton, 2015), by which learning is seen as experiencing a phenomenon in a new way. This theoretical point of departure is reflected in the research question of the thesis: What is critical to discern to use and express rate as a measure of the relation of changes in two quantities? The empirical study was conducted as a learning study (Pang & Marton, 2003). A learning study is an iterative, interventional research arrangement in which teachers and researchers collaboratively explore a specific ability, the object of learning, worthwhile for the students to learn. The object of learning related to this thesis, ‘to express the quantitative rate of change of a linear relation’, was explored in a series of three research lessons at a secondary school. Data consists of students’ responses to written pre- and post-tests, and lesson videos. Some data have been analysed during the on-going empirical study and some data have been analysed after it was concluded. Principles from variation theory have been used as tools for analysis throughout the study. Main results of Paper I demonstrate how two critical aspects are identified and revised through the process of learning study. In Paper II the results indicate that qualitatively different questions in a task may affect students’ ways to relate changes in two quantities. The results of Paper III suggest how different perspectives of slope may promote homogeneity as an aspect of rate. Results also comprise six critical aspects of the object of learning, four of which was identified by revisiting the results of Paper II. In summary, the critical aspects also specify the meaning of a covariational perspective of rate. Results are discussed in relation to previous educational research about rate of change, covariation of quantities and students’ conceptions of rate and slope. Further research directions are suggested. / Den här sammanläggningsuppsatsen omfattar tre artiklar om förändringstakt i matematik. Uppsatsens övergripande syfte är att bidra med kunskap till detta specifika forskningsfält. Inom ramen för detta syfte bidrar var och en av de tre artiklarna med sitt eget perspektiv. Det teoretiska ramverket i uppsatsen är variationsteori (Marton & Booth, 1997; Marton, 2015). Ur detta teoretiska perspektiv ses lärande som ett erfarande av ett fenomen på ett nytt sätt. Denna teoretiska utgångspunkt har färgat uppsatsens övergripande forskningsfråga: Vad är kritiskt att urskilja för att använda och uttrycka förändringstakt somett mått på relationen mellan förändringar i två storheter? Den empiriska studien genomfördes som en learning study (Pang et al., 2003). Learning study är en iterativ, intervenerande forskningsansats där lärare och forskare i samarbete utforskar en specifik förmåga, lärandeobjektet, något som är värdefullt för elever att lära sig. Lärandeobjektet som behandlas i denna uppsats, ’att uttrycka förändringstakten i en linjär relation kvantitativt’, utforskades i en serie av tre lektioner på en högstadieskola. Data består av elevers svar till skriftliga uppgifter i för- och eftertest, samt videoinspelade lektioner. Data har analyserats både under den pågående empiriska studien, och efter att den avslutades. Principer från variationsteori har använts som analysverktyg genom studiens gång. Huvudresultaten av Artikel I visar hur två kritiska aspekter identifieras, revideras och förfinas genom learning study som process. I Artikel II tyder resultaten på att kvalitativt olika frågor i en uppgift påverkade elevernas sätt att relatera förändringar i två storheter. Resultaten i Artikel III visar hur olika perspektiv på lutningen hos en graf kan föra fram homogenitet som en aspekt av förändringstakt. Uppsatsens resultat omfattar framför allt sex aspekter som är kritiska att urskilja för att utveckla förmågan att använda och uttrycka förändringstakt som ett mått på relationen mellan förändringar i två storheter. Fyra av dem identifierades då resultaten av Artikel II tolkades utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv. Som helhet specificerar också de kritiska aspekterna innebörden av ett samvarierande perspektiv på förändringstakt. Resultaten diskuteras i förhållande till tidigare forskning om lärande om förändringstakt, samvariation mellan storheter och elevers uppfattningar av lutning. Några vidare forskningsriktningar pekas ut.

Based on our previous experiences of working in preschools, a lack of technical teaching has been made visible. Technology is everywhere in human everyday life and society in general and should therefore play a greater role in children´s pre-school education from an early age. The purpose of this study was to contribute knowledge about five-year-old preschool children's understanding of the map as a technical aid. This was investigated through qualitative interviews where the children in small groups got to discuss different types of maps, their structure and purpose, and the children got to share previous experiences in the use of maps. Activities were also carried out where the children were allowed to use a map that was either in paper or digital form where they were instructed to navigate to a predetermined goal. The results showed several qualitatively different ways in how the children had experienced the map before, how they interpret and understand the map's structure and purpose and in their discoveries about the map in relation to the outside world. The conclusion was that through our engaging and supportive approach, the children expressed their interpretations and their understanding of the different maps and participated in the study in an active and exploratory way. Through our starting point in the theory of variation, the children were able to distinguish similarities and differences in the exploration of the maps, and thereby create an understanding of the map as a technical aid. This study wishes to contribute to active people receiving an encouragement in daring to explore the technology didactic in everyday life and that this can be done with simple means to create a joyful learning. / Utifrån egna erfarenheter av att arbeta inom förskolans verksamhet har det synliggjorts en bristande teknikundervisning. Teknik finns överallt i människans vardag och samhället i stort och bör därför ha en större roll i barnens utbildning i förskolan redan från tidig ålder. Syftet med denna studie var att bidra med kunskap om femåriga förskolebarns förståelse kring kartan som tekniskt hjälpmedel. Detta undersöktes genom kvalitativa intervjuer där barnen i små grupper fick diskutera olika typer av kartor, dess uppbyggnad och syfte, samt att barnen fick dela med sig av tidigare erfarenheter i användandet av kartan. Vi genomförde även aktiviteter där barnen fick använda en karta som antingen var i pappers- eller digitalform där de fick i uppdrag att navigera sig till ett förutbestämt mål. Resultatet visade flera kvalitativt skilda sätt i hur barnen erfarit kartan tidigare, hur de tolkar och förstår kartans uppbyggnad och syfte samt i deras upptäckter kring kartan i relation till omvärlden. Slutsatsen blev att genom vårt engagerande och stöttande förhållningssätt uttryckte barnen sina tolkningar och sin förståelse kring de olika kartorna samt deltog i studien på ett aktivt och utforskande sätt. Genom vår utgångspunkt i variationsteorin kunde barnen, i utforskandet av kartorna, genom kontrastering urskilja likheter och skillnader och därmed skapa en förståelse kring kartan som tekniskt hjälpmedel. Vi önskar med denna studie bidra till att verksamma får en uppmuntran i att våga utforska det teknikdidaktiska i vardagen och att detta kan genomföras med enkla medel för att skapa ett lustfylld lärande.