Syftet med föreliggande studie var att undersöka förekomsten av stöd för lärare i läromedel att orkestrera produktiva matematiska diskussioner i undervisningen. En läromedelsanalys genomfördes baserad på ett analysverktyg med utgångspunkt i Steins m. fl. (2008) modell för produktiva matematiska helklassdiskussioner. Analysfrågor för att undersöka förekomsten av stöd för de fem praktikerna i modellen, förutse, övervaka, välja, ordningsföljd och sammankoppla, togs fram. Analysfrågorna applicerades på fyra läromedel för gymnasiekursen matematik 2b. Resultatet av analysen visade att det i alla undersökta läromedel förekom någon form av lärarstöd för produktiva matematiska diskussioner enligt Steins m. fl. (2008) modell, men inget av de undersökta läromedlen hade fullt stöd för alla fem praktikerna i modellen. I och med att de undersökta läromedlen varierade stort i vilket stöd de ger för läraren att orkestrera produktiva matematiska diskussioner, är en slutsats att alla har potential att stötta lärare, men läraren behöver kunna utläsa detta stöd för att antingen välja läromedel eller produktivt använda det läromedel som finns tillhands.

This thesis consists of three distinct parts. Part I introduces the basic concepts and the notion of general quadratic term structures (GQTS) essential in some of the following chapters. Part II focuses on credit risk models and Part III studies forward price term structure models using both the classical and the geometrical approach.  Part I is organized as follows. Chapter 1 is divided in two main sections. The first section presents some of the fundamental concepts which are a pre-requisite to the papers that follow. All of the concepts and results are well known and hence the section can be regarded as an introduction to notation and the basic principles of arbitrage theory. The second part of the chapter is of a more technical nature and its purpose is to summarize some key results on point processes or differential geometry that will be used later in the thesis. For finite dimensional factor models, Chapter 2 studies GQTS. These term structures include, as special cases, the affine term structures and Gaussian quadratic term structures previously studied in the literature. We show, however, that there are other, non-Gaussian, quadratic term structures and derive sufficient conditions for the existence of these GQTS for zero-coupon bond prices. On Part II we focus on credit risk models.   In Chapter 3 we propose a reduced form model for default that allows us to derive closed-form solutions for all the key ingredients in credit risk modeling: risk-free bond prices, defaultable bond prices (with and without stochastic recovery) and survival probabilities. We show that all these quantities can be represented in general exponential quadratic forms, despite the fact that the intensity of default is allowed to jump producing shot-noise effects. In addition, we show how to price defaultable digital puts, CDSs and options on defaultable bonds. Further on, we study a model for portfolio credit risk that considers both firm-specific and systematic risk. The model generalizes the attempt of Duffie and Garleanu (2001). We find that the model produces realistic default correlation and clustering effects. Next, we show how to price CDOs, options on CDOs and how to incorporate the link to currently proposed credit indices. In Chapter 4 we start by presenting a reduced-form multiple default type of model and derive abstract results on the influence of a state variable $X$ on credit spreads when both the intensity and the loss quota distribution are driven by $X$. The aim is to apply the results to a real life situation, namely, to the influence of macroeconomic risks on the term structure of credit spreads. There is increasing support in the empirical literature for the proposition that both the probability of default (PD) and the loss given default (LGD) are correlated and driven by macroeconomic variables. Paradoxically, there has been very little effort, from the theoretical literature, to develop credit risk models that would take this into account. One explanation might be the additional complexity this leads to, even for the ``treatable'' default intensity models. The goal of this paper is to develop the theoretical framework necessary to deal with this situation and, through numerical simulation, understand the impact of macroeconomic factors on the term structure of credit spreads. In the proposed setup, periods of economic depression are both periods of higher default intensity and lower recovery, producing a business cycle effect. Furthermore, we allow for the possibility of an index volatility that depends negatively on the index level and show that, when we include this realistic feature, the impacts on the credit spread term structure are emphasized. Part III studies forward price term structure models. Forward prices differ from futures prices in stochastic interest rate settings and become an interesting object of study in their own right. Forward prices with different maturities are martingales under different forward measures. This mathematical property implies that the term structure of forward prices is always linked to the term structure of bond prices, and this dependence makes forward price term structure models relatively harder to handle. For finite dimensional factor models, Chapter 5 applies the concept of GQTS to the term structure of forward prices. We show how the forward price term structure equation depends on the term structure of bond prices. We then exploit this connection and show that even in quadratic short rate settings we can have affine term structures for forward prices. Finally, we show how the study of futures prices is naturally embedded in the study of forward prices, that the difference between the two term structures may be deterministic in some (non-trivial) stochastic interest rate settings. In Chapter 6 we study a fairly general Wiener driven model for the term structure of forward prices. The model, under a fixed martingale measure, $\Q$, is described by using two infinite dimensional stochastic differential equations (SDEs). The first system is a standard HJM model for (forward) interest rates, driven by a multidimensional Wiener process $W$. The second system is an infinite SDE for the term structure of forward prices on some specified underlying asset driven by the same $W$. Since the zero coupon bond volatilities will enter into the drift part of the SDE for these forward prices, the interest rate system is needed as input to the forward price system. Given this setup, we use the Lie algebra methodology of Bj\o rk et al. to investigate under what conditions, on the volatility structure of the forward prices and/or interest rates, the inherently (doubly) infinite dimensional SDE for forward prices can be realized by a finite dimensional Markovian state space model. / Diss. Stockholm : Handelshögskolan, 2006

Detta examensarbete genomfördes i samarbete med K-ULF. De teoretiska ramverk som detta examensarbete vilar på är designbaserad forskning, framplockningsstrategin och aktivitetsbaserad inlärning. Det ena syftet i examensarbetet var att utforma flashcards inom matematikområdet procent. Detta för att undersöka hur matematiklärare i årskurs 9 använder dem i undervisningen för att stärka elevers begreppsförståelse och förmåga att lösa textuppgifter. Det andra syftet i detta examensarbete är att undersöka effekten av att använda flashcards på elevernas lärande. Målet med examensarbetet är att utforma en lärarhandledning utifrån lärarnas lärande av att tillämpa aktiviteterna i matematikundervisningen. Flashcards har utformats utifrån två matematiklärares behov och gäller endast inom matematikområdet procent. Utformningen av flashcards genomfördes genom en förstudie och matematiklärarna utvecklade aktiviteter med flashcards under en workshop. Effekten av att använda flashcards på elevernas lärande mättes genom att studiegruppen, som bestod av fyra klasser, delades in i två grupper. Två klasser användes som en experimentgrupp och de resterande två klasserna blev kontrollgruppen. Innan interventionen skrev både experimentgruppen och kontrollgruppen ett pre-test. Därefter genomfördes interventionen i experimentgruppen. Efter cirka 4 veckor av att använda flashcards i undervisningen skrev både experimentgruppen och kontrollgruppen ett post-test. Resultatet från pre-test och post-test sammanställdes manuellt i ett Exceldokument som senare analyserades med SPSS. I detta examensarbete genomfördes ett independent sample t-test. Eftersom p-värdet i studien var större än 0.05 så visade resultatet att det inte finns en statistisk signifikant skillnad mellan experimentgruppens och kontrollgruppens prestationer i pre-testet och post-testet. Resultatet visade även att det inte finns en signifikant skillnad mellan flickors och pojkars prestationer inom experimentgruppen i pre-testet och post-testet. Vidare visar resultatet att flashcards bör utformas sådant att sidan där begreppet är skriven bör skiljas från sidan där definitionen är skriven för att göra korten tydligare för eleverna. Båda matematiklärarna tror även på att det skulle vara mer gynnsamt för eleverna att själva skriva definitionerna än att få korten klara. Utifrån lärarnas lärande av att implementera flashcardaktiviteter så visar resultatet att antalet begrepp som eleverna arbetar med under aktiviteterna bör begränsas. Det är även viktigt att förklaringarna på korten är elevnära. / This thesis was conducted in collaboration with K-ULF. The theoretical frameworks that underpin this thesis are the design-based research, retrieval practice strategy and activity-based learning. One aim of this thesis was to design flashcards within the mathematics domain of percentages. The purpose was to investigate how mathematics teachers in grade 9 use them in their teaching to enhance students' conceptual understanding and ability to solve text problems. The second aim of this thesis is to examine the effect of using flashcards on students' learning. The objective of the thesis is to create a teacher's guide based on the teachers' learning from implementing the activities in mathematics instruction. The flashcards have been designed based on the needs of two mathematics teachers and are only valid in the area of mathematics percentages. The design of flashcards was carried out through a pre-study and the mathematics teachers developed activities with flashcards during a workshop. The effect of using flashcards on student learning was measured by dividing the study group, which consisted of four classes, into two groups. Two classes were used as an experimental group and the remaining two classes became the control group. Before the intervention, both the experimental group and the control group wrote a pre-test. The intervention was then carried out in the experimental group. After approximately 4 weeks of using flashcards in teaching, both the experimental group and the control group wrote a post-test. The results from the pre-test and post-test were compiled manually in an Excel document which was later analyzed with SPSS. In this thesis, an independent sample t-test was carried out. Since the p-value in the study was greater than 0.05, the result showed that there is no statistically significant difference between the experimental group and the control group's performance in the pre-test and post-test. The result also showed that there is no statistically significant difference between the performance of girls and boys within the experimental group in the pre-test and post-test. Furthermore, the result shows that flashcards should be designed in such a way that the side where the concept is written should be different from the side where the definition is written to make the cards clearer for the students. Both mathematics teachers also believe that it would be more beneficial for the students to write the definitions themselves than to provide ready-made cards. Based on the teachers' learning from implementing flashcard activities, the result shows that the number of concepts that the students work with during the activities should be limited. It is also important that the explanations on the cards are student-friendly.

Den här litteraturstudien handlar om matematisk modellering med fokus på åldersgruppen 9–13 år. Vårt syfte är att undersöka om matematisk modellering är ett fördelaktigt arbetssätt i matematikundervisningen samt hur lärare kan använda sig av matematisk modellering i undervisningen undersöks. Vetenskapligt granskad litteratur analyseras och sammanställs för att jämföra vad olika forskare lyfter fram om matematisk modellering. Olika tidskriftsartiklar, ett konferensbidrag och en doktorsavhandling har analyserats. Resultatet visar både för- och motargument till matematisk modellering i åldrarna 9–13 år. Jämförelserna av forskningen i vårt resultat visar att argumenten för matematisk modellering väger tyngre och stödjs av flera forskare än vad motargumenten gör. Ett viktigt argument som många forskare lyfter fram är att modellering hjälper eleverna att överföra matematiken till verkligheten, för att lösa vardagliga problem och på så vis få förbättrade kunskaper om matematikens tillämpningar.

This study identifies and describes students’ mathematical reasoning, when students work with probability tasks. The study also, to some extent, examines the role of oral communication in mathematical classrooms. The students who participated in the study were all in grade 9, the last year of the compulsory school in Sweden. The students were videotaped during their work with the probability tasks and their conversations were transcribed. The tasks are chosen with the purpose to engender oral communication and discussions concerning probability. A practical epistemology analysis was conducted on the data. The observed students’ reasoning concerning probability was analyzed and compared with reasoning competencies and framework for mathematical reasoning. Students’ reasoning was also examined in relation to sociomathematical norms and students’ aesthetic judgments were analyzed.

Matematiska prestationer har visat sig relatera till språklig förmåga och läsförståelse.Syftet med denna studie är därför att få mer kunskap om läsbarheten och graden avspråklig svårighet i läroböcker som används för matematikundervisning i grundskolan,för årskurserna 4–6. Dessutom är syftet att undersöka vilka språkliga faktorer som lärareupplever påverkar matematiska texters läsbarhet, samt hur väl dessa faktoreröverensstämmer med de läsbarhetsvariabler som användes för att analyseraläroböckerna. För att undersöka språklig svårighet i matematiska texter har tre, i svenskmatematikundervisning, vanligt förekommande läroböcker analyserats med hänsyn påläsbarhet. Två lärare har dessutom intervjuats för att få deras bild av vad de uppleverpåverkar elevers förståelse av matematiska texter. Läroböckerna visade sig vara relativtlika när det kommer till deras läsbarhetvärden. Det som skiljer lärobokstexterna är hurlånga de genomsnittliga meningarna är och hur stor andel långa ord som förekommer itexterna. Lärarna menade att längre texter, med längre meningar och ord är svårare attförstå. De ansåg dock att begreppsförståelse, svåra och ovanliga ord, samt graden avstruktur i texterna var språkliga faktorer som de upplevde att elever ofta har svårt med.Slutsatsen i studien är därför att även om läroböckerna håller en jämn och lämpligsvårighetsgrad, med hänsyn på läsbarhet, anser lärare att det finns flera andra variablersom påverkar hur svåra matematiska texter upplevs av elever. Om man som pedagoganvänder sig av läsbarhetsformler för att bestämma lämpligheten av en text bör mandärför vara medveten om vad formlerna analyserar och vad de tänkta läsarna har förindividuella förutsättningar.

Studien behandlar matematiklärarnas syn på de sju matematiska förmågorna och hur förmågorna kommer till uttryck i lärarnas undervisning. Syftet studeras med hjälp av intervjuer av matematiklärare i gymnasieskolan samt observationer av lärarnas lektioner. Resultatet av studien visar på att lärarna är medvetna om hur deras undervisning behandlar de matematiska förmågorna. Vidar visar studien att lösning av rutinuppgifter dominerar undervisningen, vid dessa tillfällen berörs till största del procedur- och begreppsförmågan. I studien framkom att lärarna anser att det finns oklarheter i de matematiska förmågornas definition och att arbetet med förmågorna är tidskrävand. Baserat på undersökningen kan det tänkas att förmågorna anses vara tidskrävande på grund av att det inte finns material som är anpassat för arbete med förmågorna samt att nya områden inom matematiken måste introduceras i ett högt tempo. Lärarna lyfter att en positiv aspekt med de matematiska förmågorna är att de bidrar till en varierad undervisning. / This study´s purpose is to show mathematics teachers view on the seven mathematical competencies and how the competencies reflect the teacher’s teaching. The study is based on interviews of mathematics teachers in secondary schools and observations of the teacher’s lessons. The result of the study shows that teachers are aware of how their teaching covers the mathematical competencies. The study also shows that solving routine tasks dominates teaching. In these occasions mainly the procedural and conceptual competency are involved. It appeared that the teachers are unhappy with uncertainties in the definitions of the mathematical competencies. The teachers highlight that the competencies are a time consuming process. This study reveals that it can depend on that there is no material that is adapted to the work with the competencies and that new areas within mathematics must be introduced frequently. The teachers believe the positive aspects of the mathematical competencies are that the competencies contribute to a variation in the teaching.

Sammanfattning Studiens fokus var dels vilka kategorier av innehåll som framkom i lärarnas kommunikation dels vilka förändringar i innehållet som uttolkades i matematiklärares kommunikation i början och i slutet av ett kompetensutvecklingsprojekt. Kontexten i kompetensutvecklingsprojektet var i form av modellen learning study, där sju lärarlag, sammanlagt 20 lärare deltagit. Ramverket i studien var tematisk analys, analys av matematiska kompetenser samt funktionell textanalys. Studiens resultat visar på flera förändringar, till exempel att de fem uttolkade huvudkategorierna innefattade fler underkategorier i slutet av kompetensutvecklingsprojektet. När det gäller matematiskt innehåll så visar analysen att lärarna kommunicerade matematika kompetenser på ett mer mångfacetterat sätt i slutet av kompetensutvecklingsprojektet. Då lärarna kommunicerade matematikundervisning använde de sig till viss del av ett annat sätt att uttrycka sig i slutet än i början av kompetensutvecklingsprojektet. I början talade de till exempel om att höra vad eleverna uttrycker till att i slutet använda sig av ordet lyssna. Resultatet visade även förändringar avseende hur lärarna samtalade om laborativt material. Fokus har flyttats från det laborativa materialet till att lärarna funderade över vilken matematik som eleverna uttryckte med hjälp av det laborativa materialet. / The focus of this study was to find out which categories of content emerged from the teachers' communication as well as which content changes could be seen in the communication of mathematics teachers in the early and final stages of a skills development project. The context of the project was in the form of a learning study in which a total of 20 teachers, divided into seven teams, participated. The theoretical framework of this study was thematic analysis, mathematical competencies as well as mathematical content, and functional text analysis. The results of the study identified five main categories and found several communication changes. Near the end of the project several subcategories emerged. In terms of mathematical content, the analysis shows that the teachers communicated more aspects of mathematical competencies emerged later in the project rather than in the beginning. While communicating their mathematics teaching, the teachers changed their way of expressing themselves over the course of the project. In the beginning, for example, they talked about hearing what their students said while, by the end, they talked about listening. This study also identified changes regarding how the teachers conversed about common tools and educational materials. Focus shifted from the common tools and educational materials to a consideration of the mathematics the students expressed with the help of said common tools and educational materials

Syftet med studien är att undersöka hur lärare arbetar med textuppgifter inom matematikundervisning, när det gäller flerspråkiga elever med språksvårigheter. I och med detta vill vi även undersöka lärarnas användning av olika strategier för att kunna stötta flerspråkiga elever inom området matematiska textuppgifter. Studien är uppbyggd kring kvalitativa, semistrukturerade intervjuer med fyra legitimerade lärare i olika skolor i en och samma kommun. Resultatet av vår studie visar att flerspråkiga elever har svårigheter med matematiska textuppgifter på grund av deras språksvårigheter, och att språket har en stor betydelse för flerspråkiga elever, när det gäller textuppgifter inom ämnet matematik. Vidare visar resultatet att det är väsentligt att lärare belyser matematiska begrepp som uppkommer i textuppgifter i undervisningen. Resultatet visar även att det är viktigt att flerspråkiga elever får tillgång till sitt modersmål för att utveckla matematiska färdigheter. Dessutom visar resultatet att elevers grupparbete och klassrumsdiskussion kan främja flerspråkiga elevers förståelse för matematiska textuppgifter, och elevernas språkutveckling kan berikas.

<p>Matematik finns omkring oss i vardagen hela tiden och det är ett av skolans viktigaste ämnen. I och med införandet av förskoleklass 1998, har vi i princip fått en tioårig grundskola. Med bakgrund av detta har syftet med denna uppsats varit att undersöka verksamheten i matematik i förskoleklass. Vi har även tagit reda på om och hur förskollärarna hjälper barn som riskerar att få svårigheter i ämnet samt om det finns något samarbete mellan förskollärarna i förskoleklass.</p><p>I bakgrunden börjar vi med att presentera en historisk tillbakablick över matematiken, förskolan och förskoleklassen. Vi redogör för de styrdokument som påverkar verksamheten och vi beskriver även vad olika forskare anser om barns lärande i matematik, svårigheter i ämnet samt vilken roll pedagogen har.</p><p>Vår empiriska undersökning grundar sig på intervjuer med nio förskollärare verksamma i förskoleklass. I resultatdelen redogör vi för hur de arbetar med matematik, vilka mål de har med sin verksamhet samt om och hur de hjälper barn som riskerar att få svårigheter i matematik.</p><p>I vår undersökning har vi funnit att förskollärarnas arbete i matematik är relativt likartat. De arbetar mycket konkret och utgår från vardagssituationer, ett arbetssätt som överensstämmer med förskolans uppdrag. Skolans prägels syns då förskollärarna har avsatta stunder, lektioner, där barnen arbetar specifikt med matematik. De olikheter vi har funnit är att förskollärarna har olika önskemål om vilka kunskaper barnen ska ha uppnått när de lämnar förskoleklass. Förskollärarnas insatser varierar också när det gäller att hjälpa barn som riskerar att få svårigheter i matematik.</p>