Mnoho inženýrských úloh vede na optimalizační modely s~omezeními ve tvaru obyčejných (ODR) nebo parciálních (PDR) diferenciálních rovnic, přičemž jsou v praxi často některé parametry neurčité. V práci jsou uvažovány tři inženýrské problémy týkající se optimalizace vibrací a optimálního návrhu rozměrů nosníku. Neurčitost je v nich zahrnuta ve formě náhodného zatížení nebo náhodného Youngova modulu. Je zde ukázáno, že dvoustupňové stochastické programování nabízí slibný přístup k řešení úloh daného typu. Odpovídající matematické modely, zahrnující ODR nebo PDR omezení, neurčité parametry a více kritérií, vedou na (vícekriteriální) stochastické nelineární optimalizační modely. Dále je dokázáno, pro jaký typ úloh je nutné použít stochastické programování (EO reformulace), a kdy naopak stačí řešit jednodušší deterministickou úlohu (EV reformulace), což má v praxi význam z hlediska výpočetní náročnosti. Jsou navržena výpočetní schémata zahrnující diskretizační metody pro náhodné proměnné a ODR nebo PDR omezení. Matematické modely odvozené pomocí těchto aproximací jsou implementovány a řešeny v softwaru GAMS. Kvalita řešení je určena na základě intervalových odhadů "optimality gapu" spočtených pomocí metody Monte Carlo. Parametrická analýza vícekriteriálního modelu vede na výpočet "efficient frontier". Jsou studovány možnosti aproximace modelu zahrnujícího pravděpodobnostní členy související se spolehlivostí pomocí smíšeného celočíselného nelineárního programování a reformulace pomocí penalizační funkce. Dále je vzhledem k budoucím možnostem paralelních výpočtů rozsáhlých inženýrských úloh implementován a testován PHA algoritmus. Výsledky ukazují, že lze tento algoritmus použít, i když nejsou splněny matematické podmínky zaručující konvergenci. Na závěr je pro deterministickou verzi jedné z úloh porovnána metoda konečných diferencí s metodou konečných prvků za použití softwarů GAMS a ANSYS se zcela srovnatelnými výsledky.

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In this work, the influence of the second messenger cAMP on the functional plasticity of M-DC8+ dendritic cells (DC) was examined. The marker M-DC8 defines a population of native DC first described in blood. After their isolation, M-DC8+ DC acquire a mature CD83+ phenotype during a short culture ex vivo. After a challenge with LPS and IFN-g, M-DC8+ DC secrete large amounts of the proinflammatory cytokines IL-12(p70) and TNF-a surpassing by far other DC populations and monocytes. Due to their preferential induction of TH1-dominated T cell responses, M-DC8+ DC might play a role in the pathogenesis of inflammatory diseases. Different cAMP-elevating agents suppressed the proinflammatory cytokine production and enhanced the secretion of anti-inflammatory IL-10. Activity of phosphodiesterase (PDE) 4, the most important cAMP-hydrolysing enzyme in immune cells, was detected and RT-PCR revealed the expression of PDE4 subtypes 4A, 4B and 4D in M-DC8+ DC, whereas 4C was not detectable. The PDE4-specific inhibitors AWD12-281 and Roflumilast were then used to elevate cAMP concentrations. These substances have been proven to be efficient in anti-inflammatory therapies. In the presence of PDE4 inhibitors, the LPS/IFN-g-induced production of IL-12 and TNF-a was decreased by 90 % and 60 %, respectively, whereas the IL-10-release was doubled. These effects were only observed, if the PDE4 inhibitors where present from the beginning of the culture. The inhibition of the IL-12 secretion was reverted using an a-IL-10-receptor antibody. PDE4 inhibitor-treated M-DC8+ DC showed a reduced capacity to polarize TH1-cells, which was demonstrated analysing culture supernatants by ELISA and by single-cell analysis detecting intracellular IFN-g und IL-4. These results suggest that PDE4 inhibitors may not only be useful in the therapy of TH2-mediated diseases but also in TH1-dominated indications such as multiple sclerosis and Crohn´s disease. Despite the shift of the cytokine profile, the in vitro maturation of M-DC8+ DC was not affected by PDE4 inhibitors. The expression of CD83, CD80, CD86, MHC-molecules as well as CD54 and CD58, was assessed by FACS analysis. Correspondingly, in the presence of AWD12-281, M-DC8+ DC efficiently stimulated the proliferation of allogeneic CD4+CD45RA+ T-cells. In the second part of this study, the effects of an inhibition of cAMP-synthesis in M-DC8+ DC were analyzed. Two adenylyl cyclase (AC) inhibitors, 2,5-Dideoxyadenosine and SQ22536, clearly hampered the in vitro maturation of M-DC8+ DC. The expression of the DC maturation marker CD83 could be reconstituted using the stable cAMP-analogon 8-Br-cAMP. Measuring the intracellular cAMP concentration in M-DC8+ DC, initially low cAMP-levels were observed, but within 30 min the concentration raised and returned to original levels within 2 hrs. Blocking the cAMP synthesis by AC inhibitors, the LPS/IFN-g-induced production of IL-12, TNF-a and IL-10 was strongly reduced. Furthermore, it was demonstrated that M-DC8+ DC can only release IL-12 after a transient elevation of cAMP, i.e. they acquire a "license". Such a regulation of the IL-12 production has not been described before. Protein kinase A is an important effector molecule of cAMP. Inhibiting its activity resulted in a reduced expression of the DC maturation marker CD83 and a lower cytokine production underlining the importance of cAMP-signalling for the activation of M-DC8+ DC. In conclusion, this study provides evidence for a new concept of the immune-regulatory function of cAMP. Here, cAMP is essentially involved in the initial activation and maturation of DC and enables them to secrete large amounts of IL-12 and TNF-a upon stimulation with a TLR ligand. Conversely, a long-term elevation of cAMP-concentrations inhibits the proinflammatory effector functions of M-DC8+ DC and can induce anti-inflammatory responses by enhancing the secretion of IL-10. / In dieser Arbeit wurde der Einfluss des second messengers cAMP auf die funktionelle Plastizität von M-DC8+ dendritischen Zellen (DC) untersucht. Der Oberflächenmarker M-DC8 definiert eine zunächst im Blut beschriebene Population nativer DC. Nach ihrer Isolation erlangen M-DC8+ DC während einer kurzen Kultur einen maturen CD83+ Phänotyp. Nach Stimulation mit LPS und IFN-g produzieren native M-DC8+ DC deutlich höhere Mengen der proinflammatorischen Zytokine IL-12(p70) und TNF-a als andere DC-Populationen oder Monozyten. Dies resultiert in einer Programmierung TH1-dominierter T-Zellantworten. M-DC8+ DC könnten daher an der Pathogenese entzündlicher Krankheiten beteiligt sein. Unterschiedliche cAMP-erhöhende Substanzen supprimierten die proinflammatorische Zytokinproduktion und verstärkten gleichzeitig die Sekretion des anti-inflammatorischen IL-10. In M-DC8+ DC konnte die Aktivität von Phosphodiesterase (PDE) 4, dem wichtigsten cAMP-hydrolysierenden Enzym in Immunzellen, nachgewiesen werden. Durch RT-PCR wurde die Expression der PDE4-Subtypen 4A, 4B und 4D gezeigt, nicht aber 4C. Zur Erhöhung der cAMP-Konzentration wurden dann die PDE4-spezifischen Inhibitoren AWD12-281 und Roflumilast eingesetzt, deren klinische Effizienz bei anti-inflammatorischen Therapien belegt ist. Auch diese Substanzen verringerten die LPS/IFN-g-induzierte Produktion von IL-12 und TNF-a durch M-DC8+ DC um 90 % bzw. 60 %, während die IL-10-Freisetzung etwa verdoppelt wurde. Diese starken Effekte konnten nur erzielt werden, wenn die PDE4-Inhibitoren von Beginn der Kultur an eingesetzt wurden. Die Hemmung der IL-12-Sekretion wurde in Gegenwart eines a-IL-10-Rezeptor-Antikörpers aufgehoben. Unter dem Einfluss von PDE4-Inhibitoren war die TH1-Programmierung durch M-DC8+ DC deutlich reduziert, was sowohl durch die Analyse der Zellüberstände mittels ELISA als auch auf Einzelzell-Ebene durch intrazelluläre Detektion von IFN-g und IL-4 nachgewiesen wurde. Diese Ergebnisse legen nahe, dass PDE4-Inhibitoren nicht nur für TH2-vermittelte Erkrankungen sondern auch für TH1-dominierte Indikationen wie Multiple Sklerose oder Morbus Crohn von Nutzen sein könnten. Trotz der starken Modulation des Zytokinprofils blieb die in vitro-Ausreifung M-DC8+ DC unbeeinflusst von PDE4-Inhibitoren. Untersucht wurde die Expression von CD83, CD80, CD86, MHC-Molekülen, CD54 und CD58 mittels FACS-Analyse. Entsprechend induzierten M-DC8+ DC auch in Anwesenheit von AWD12-281 die Proliferation allogener CD4+CD45RA+ T-Zellen. Im zweiten Teil der Arbeit wurde untersucht, wie sich die Blockade der cAMP-Synthese auf M-DC8+ DC auswirkt. Zwei Adenylatcyclase-Inhibitoren, 2,5-Dideoxyadenosine und SQ22536, hemmten die in vitro-Maturation von M-DC8+ DC deutlich. Die CD83-Expression wurde mit 8-Br-cAMP rekonstituiert. Messungen der intrazellulären cAMP-Konzentration in unbehandelten M-DC8+ DC zeigten initial niedrige cAMP-Spiegel, die innerhalb von 30 min anstiegen und nach 2 h wieder auf das Ausgangsniveau abfielen. Die LPS/IFN-g-induzierte Produktion von IL-12, TNF-a und IL-10 wurde durch AC-Inhibitoren deutlich vermindert. M-DC8+ DC erhalten nur nach einer transienten cAMP-Erhöhung die "Lizenz" IL-12 freizusetzen. Eine derartige Regulation der IL-12-Sekretion ist bisher nicht beschrieben. Eine Hemmung des cAMP-Effektormoleküls Proteinkinase A resultierte in der reduzierten Expression des DC-Maturationsmarkers CD83 und einer verringerten Zytokinproduktion. Dies unterstreicht die Bedeutung von cAMP für die Aktivierung M-DC8+ DC. Zusammenfassend gibt diese Arbeit am Beispiel nativer humaner DC Anhalt für ein neues Konzept der immunregulatorischen Funktion von cAMP. Hierbei ist cAMP wesentlich an der Ausreifung von M-DC8+ DC beteiligt, woraufhin diese große Mengen IL-12 und TNF-a sekretieren können. Dagegen wirkt eine langfristige cAMP-Erhöhung durch die Induktion von IL-10 anti-inflammatorisch.

Cette thèse est consacrée à l'étude des applications de la théorie des erreurs par formes de Dirichlet. Notre travail se divise en trois parties. La première analyse les modèles gouvernés par une équation différentielle stochastique. Après un court chapitre technique, un modèle innovant pour les carnets d’ordres est proposé. Nous considérons que le spread bid-ask n'est pas un défaut, mais plutôt une propriété intrinsèque du marché. L'incertitude est portée par le mouvement Brownien qui conduit l'actif. Nous montrons que l'évolution des spread peut être évaluée grâce à des formules fermées et nous étudions l'impact de l'incertitude du sous-jacent sur les produits dérivés. En suite, nous introduisons le modèle PBS pour le pricing des options européennes. L'idée novatrice est de distinguer la volatilité du marché par rapport au paramètre utilisé par les traders pour se couvrir. Nous assumons la première constante, alors que le deuxième devient une estimation subjective et erronée de la première. Nous prouvons que ce modèle prévoit un spread bid-ask et un smile de volatilité. Les propriétés plus intéressantes de ce modèle sont l’existence de formules fermés pour le pricing, l'impact de la dérive du sous-jacent et une efficace stratégie de calibration. La seconde partie s'intéresse aux modèles décrit par une équation aux dérivées partielles. Les cas linéaire et non-linéaire sont analysés séparément. Dans le premier nous montrons des relations intéressantes entre la théorie des erreurs et celui des ondelettes. Dans le cas non-linéaire nous étudions la sensibilité des solutions à l’aide de la théorie des erreurs. Sauf dans le cas d’une solution exacte, il y a deux approches possibles : on peut d’abord discrétiser l’EDP et étudier la sensibilité du problème discrétisé, soit démontrer que les sensibilités théoriques vérifient des EDP. Les deux cas sont étudiés, et nous prouvons que les sharp et le biais sont solutions d’EDP linéaires dépendantes de la solution de l’EDP originaire et nous proposons des algorithmes pour évaluer numériquement les sensibilités. Enfin, la troisième partie est dédiée aux équations stochastiques aux dérivées partielles. Notre analyse se divise en deux chapitres. D’abord nous étudions la transmission de l’incertitude, présente dans la condition initiale, à la solution de l’EDPS. En suite, nous analysons l'impact d'une perturbation dans les termes fonctionnelles de l’EDPS et dans le coefficient de la fonction de Green associée. Dans le deux cas, nous prouvons que le sharp et le biais sont solutions de deux EDPS linéaires dépendantes de la solution de l’EDPS originaire / This thesis is devoted to the study of the applications of the error theory using Dirichlet forms. Our work is split into three parts. The first one deals with the models described by stochastic differential equations. After a short technical chapter, an innovative model for order books is proposed. We assume that the bid-ask spread is not an imperfection, but an intrinsic property of exchange markets instead. The uncertainty is carried by the Brownian motion guiding the asset. We find that spread evolutions can be evaluated using closed formulae and we estimate the impact of the underlying uncertainty on the related contingent claims. Afterwards, we deal with the PBS model, a new model to price European options. The seminal idea is to distinguish the market volatility with respect to the parameter used by traders for hedging. We assume the former constant, while the latter volatility being an erroneous subjective estimation of the former. We prove that this model anticipates a bid-ask spread and a smiled implied volatility curve. Major properties of this model are the existence of closed formulae for prices, the impact of the underlying drift and an efficient calibration strategy. The second part deals with the models described by partial differential equations. Linear and non-linear PDEs are examined separately. In the first case, we show some interesting relations between the error and wavelets theories. When non-linear PDEs are concerned, we study the sensitivity of the solution using error theory. Except when exact solution exists, two possible approaches are detailed: first, we analyze the sensitivity obtained by taking “derivatives” of the discrete governing equations. Then, we study the PDEs solved by the sensitivity of the theoretical solutions. In both cases, we show that sharp and bias solve linear PDE depending on the solution of the former PDE itself and we suggest algorithms to evaluate numerically the sensitivities. Finally, the third part is devoted to stochastic partial differential equations. Our analysis is split into two chapters. First, we study the transmission of an uncertainty, present on starting conditions, on the solution of SPDE. Then, we analyze the impact of a perturbation of the functional terms of SPDE and the coefficient of the related Green function. In both cases, we show that the sharp and bias verify linear SPDE depending on the solution of the former SPDE itself / Questa tesi é dedicata allo studio delle applicazioni della teoria degli errori tramite forme di Dirichlet, il nostro lavoro si divide in tre parti. Nella prima vengono studiati i modelli descritti da un’equazione differenziale stocastica: dopo un breve capitolo con risultati tecnici viene descritto un modello innovativo per i libri d’ordini. La presenza dei differenziali denarolettera viene considerata non come un’imperfezione, bensi una proprietà intrinseca dei mercati. L’incertezza viene descritta come un rumore sul moto Browniano sottostante all’azione; dimostriamo che l’evoluzione di questi differenziali puó essere valutata attraverso formule chiuse e stimiamo l’impatto dell’incertezza del sottostante sui prodotti derivati. In seguito proponiamo un nuovo modello, chiamato PBS, per il prezzaggio delle opzioni di tipo europeo: l’idea innovativa consiste nel distinguere la volatilità di mercato dal parametro usato dai trader per la copertura. Noi supponiamo la prima constante, mentre il secondo diventa una stima soggettiva ed erronea della prima. Dimostriamo che questo modello prevede dei differenziali lettera-denaro e uno smile di volatilità implicita. Le maggiori proprietà di questo modello sono l’esistenza di formule chiuse per il princing, l’impatto del drift del sottostante e un’efficace strategia per la calibrazione. La seconda parte è dedicata allo studio dei modelli descritti da delle equazioni alle derivate perziali. I casi lineare e non-lineare sono trattati separatamente. Nel primo caso mostriamo interessanti relazioni tra la teoria degli errori e quella delle wavelets. Nel caso delle EDP non-lineari studiamo la sensibilità della soluzione usando la teoria degli errori. Due possibili approcci esistono, salvo quando la soluzione è esplicita. Possiamo prima discretizzare il problema e studiare la sensibilità delle equazioni discretizzate, oppure possiamo dimostrare che le sensibilità teoriche verificano, a loro volta, delle EDP dipendenti dalla soluzione della EDP iniziale. Entrambi gli approcci sono descritti e vengono proposti degli algoritmi per valutare le sensibilità numericamente. Infine, la terza parte è dedicata ai modelli descritti da un’equazione stocastica alle derivate parziali. La nostra analisi é divisa in due capitoli. Nel primo viene studiato l’impatto di un’incertezza, presente nella condizione iniziale, sulla soluzione dell’EDPS, nella seconda si analizzano gli impatti di una perturbazione dei termini funzionali dell’EDPS del coefficiente della funzione di Green associata. In entrambi i casi dimostriamo che lo sharp e la discrepanza sono soluzioni di due EDPS lineari dipendenti dalla soluzione dell’EDPS iniziale

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir schwache Lösungen, die zu einem geeigneten Sobolevraum gehören, q-elliptischer und parabolischer Systeme partieller Differentialgleichungen auf deren Regularität für den Fall 1 / In the present work we study the regularity of weak solution to q-elliptic and parabolic systems partial differential equations in appropriate Sobolev spaces in case 1

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Theorie der sogenannten stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDE), welche als ein stochastisches Anologon und in gewisser Weise als eine Verallgemeinerung von parabolischen quasi-linearen partiellen Differentialgleichungen betrachtet werden können. Die Dissertation besteht aus zwei Teilen: In dem ersten entwicklen wir die Theorie der sogenannten Entkopplungsfelder für allgemeine mehrdimensionale stark gekoppelte FBSDE. Diese Theorie besteht aus Existenz- sowie Eindeutigkeitsresultaten basierend auf dem Konzept des maximalen Intervalls. Es beinhaltet darüberhinaus Werkzeuge um Regularität von konkreten Problemen zu untersuchen. Insgesamt wird die Theorie für drei Klassen von Problemen entwickelt: In dem ersten Fall werden Lipschitz-Bedingungen an die Parameter des Problems vorausgesetzt, welche zugleich vom Zufall abhängen dürfen. Die Untersuchung der beiden anderen Klassen basiert auf dem ersten. In diesen werden die Parameter als deterministisch vorausgesetzt. Gleichwohl wird die Lipschitz-Stetigkeit durch zwei verschiedene Formen der lokalen Lipschitz-Stetigkeit abgeschwächt. In dem zweiten Teil werden diese abstrakten Resultate auf drei konkrete Probleme angewendet: In der ersten Anwendung wird gezeigt wie globale Lösbarkeit von FBSDE in dem sogenannten nicht-degenerierten Fall untersucht werden kann. In der zweiten Anwendung wird die Lösbarkeit eines gekoppelten Systems gezeigt, welches eine Lösung zu dem Skorokhod''schen Einbettungproblem liefert. Die Lösung wird für den Fall einer allgemeinen nicht-linearen Drift konstruiert. Die dritte Anwendung führt auf Lösbarkeit eines komplexen gekoppelten Vorwärt-Rückwärts-Systems, aus welchem optimale Strategien für das Problem der Nutzenmaximierung in unvollständingen Märkten konstruiert werden. Das System wird in einem verhältnismäßig allgmeinen Rahmen gelöst, d.h. für eine verhältnismäßig allgemeine Klasse von Nutzenfunktion auf den reellen Zahlen. / This thesis deals with the theory of so called forward-backward stochastic differential equations (FBSDE) which can be seen as a stochastic formulation and in some sense generalization of parabolic quasi-linear partial differential equations. The thesis consist of two parts: In the first we develop the theory of so called decoupling fields for general multidimensional fully coupled FBSDE in a Brownian setting. The theory consists of uniqueness and existence results for decoupling fields on the so called the maximal interval. It also provides tools to investigate well-posedness and regularity for particular problems. In total the theory is developed for three different classes of FBSDE: In the first Lipschitz continuity of the parameter functions is required, which at the same time are allowed to be random. The other two classes we investigate are based on the theory developed for the first one. In both of them all parameter functions have to be deterministic. However, two different types of local Lipschitz continuity replace the more restrictive Lipschitz continuity of the first class. In the second part we apply these techniques to three different problems: In the first application we demonstrate how well-posedness of FBSDE in the so called non-degenerate case can be investigated. As a second application we demonstrate the solvability of a system, which provides a solution to the so called Skorokhod embedding problem (SEP) via FBSDE. The solution to the SEP is provided for the case of general non-linear drift. The third application provides solutions to a complex FBSDE from which optimal trading strategies for a problem of utility maximization in incomplete markets are constructed. The FBSDE is solved in a relatively general setting, i.e. for a relatively general class of utility functions on the real line.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de détection à l’aide du calcul de forme et de l’analyse asymptotique. L’objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes :– peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d’une mesure effectuée à la surface ?– peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ?– peut-on connaître le nombre d’objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ?Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse :– le premier met en place un cadre mathématique pour démontrer l’existence des dérivées de forme d’ordre un et deux pour les problèmes de détection d’inclusions ;– le deuxième analyse le problème de détection à l’aide de l’optimisation géométrique de forme : un résultat d’identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l’instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée ;– le chapitre 3 utilise nos résultats théoriques pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l’aide d’un algorithme de gradient de forme ;– le chapitre 4 analyse la localisation de petites inclusions dans un fluide à l’aide de l’optimisation topologique de forme : le gradient topologique d’une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius est caractérisé ;– le dernier chapitre utilise cette dernière expression théorique pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l’aide d’un algorithme de gradient topologique. / This dissertation takes place in the mathematic field called shape optimization. More precisely, we focus on a detecting inverse problem using shape calculus and asymptotic analysis. The aim is to localize an object immersed in a viscous, incompressible and stationary fluid. This work was motivated by the following main questions:– can we localize an obstacle immersed in a fluid from a boundary measurement?– can we reconstruct numerically this object, i.e. be close to its localization and its shape, from this measure?– can we know how many objects are included in the fluid using this measure?The results are described in the five chapters of the thesis:– the first one gives a mathematical framework in order to prove the existence of the shape derivatives oforder one and two in the frame of the detection of inclusions;– the second one analyzes the detection problem using geometric shape optimization: an identifiabilityresult is proved, the shape gradient of several shape functionals is characterized and the instability of thisinverse problem is proved;– the chapter 3 uses our theoretical results in order to reconstruct numerically some objets immersed in a fluid using a shape gradient algorithm;– the fourth chapter analyzes the detection of small inclusions in a fluid using the topological shape optimization : the topological gradient of a Kohn-Vogelius shape functional is characterized;– the last chapter uses this theoretical expression in order to determine numerically the number and the location of some small obstacles immersed in a fluid using a topological gradient algorithm.

Nous étudions les champs de Maxwell à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordstrom-de Sitter. Nous commençons par étudier la géométrie de ces espaces-temps : nous donnons une condition sous laquelle la métrique admet trois horizons puis dans ce cadre nous construisons l'extension analytique maximale d'un trou noir de Reissner-Nordstrom-de Sitter. Nous donnons ensuite une description générale des champs de Maxwell en espace-temps courbe, de leur décomposition en composantes spinorielle ainsi que de leur énergie. La première étude analytique établit la décroissance ponctuelle de champs de Maxwell à l'extérieur d'un trou noir de Reissner-Nordstrom-de Sitter ainsi que la décroissance uniforme de l'énergie sur un hyperboloïde qui s'éloigne dans le futur. Ce chapitre utilise des méthodes de champs de vecteurs (estimations d'énergie géométriques) dans l'esprit des travaux de Pieter Blue. Enfin nous construisons une théorie du scattering conforme pour les champs de Maxwell à l'extérieur du trou noir. Ceci consiste en la résolution du problème de Goursat pour les champs de Maxwell à la frontière isotrope de l'extérieur du trou noir, constituée des horizons du trou noir et horizons cosmologiques futurs et passés. Les estimations de décroissance uniforme de l'énergie sont cruciales dans cette partie. / We study Maxwell fields on the exterior of Reissner-Nordstrom-de Sitter black holes. We start by studying the geometry of these spacetimes: we give the condition under which the metric admits three horizons and in this case we construct the maximal analytic extension of the Reissner-Nordstrom-de Sitter black hole. We then give a general description of Maxwell fields on curves spacetimes, their decomposition into spin components, and their energies. The first result establishes the pointwise decay of the Maxwell field in the exterior of a Reissner-Nordstrom-de Sitter black hole, as well as the uniform decay of the energy flux across a hyperboloid that recedes in the future. This chapter uses the vector fields methods (geometric energy estimates) in the spirit of the work of Pieter Blue. Finally, we construct a conformal scattering theory for Maxwell fields in the exterior of the black hole. This amounts to solving the Goursat problem for Maxwell fields on the null boundary of the exterior region, consisting of the future and past black hole and cosmological horizons. The uniform decay estimates of the energy are crucial to the construction of the conformal scattering theory.

L'objet de cette thèse est l'étude, sur les variétés riemanniennes compactes $(V_n,g)$ de dimension $n>4$, de l'équation aux dérivées partielles elliptique de quatrième ordre $$(E)\; \Delta^2u+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x)u= f(x)|u|^(N-2)u$$ où $a$, $h$, $f$ sont fonction $C^\infty $, avec $f(x)$ fonction constante ou partout positive et $N=(2n\over((n-4)))$ est l'exposant critique. En utilisant la méthode variationnelle on prouve dans le théorème principal que l'équation $(E)$ admet une solution $C^((5,\alpha))(V)$ $0<\alpha<1$ non nulle si une certaine condition qui dépend de la meilleure constante dans les inclusion de Sobolev ($H_2\subset L_(2n\over(n-4))$) est satisfaite. De plus on montre que si $a$ et $h$ sont des fonctions constantes bien précisées la solution de l'équation est positive et $C^\infty(V)$. Lorsque $n\geq 6$, on donne aussi des applications du théorème principal. Dans la dernière partie de cette thèse sur une variété riemannienne compacte à bord de dimension $n$, $(\overline(W)_n,g )$ nous nous intéressons au problème : $$ (P_N) \; \left\lbrace \begin(array)(c) \Delta^2 v+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x) v= f(x)|v |^(N-2)v \; \hbox(sur)\; W \\ \Delta v =\delta \, , \, v = \eta \;\hbox(sur) \;\partial W \end(array)\right.$$ avec $\delta$,$\eta$,$f$ fonctions $C^\infty (\overline (W))$ avec $f(x)$ fonction partout positive et on démontre l'existence d'une solution non triviale pour le problème $(P_N)$.