Im Rahmen der Qualitätsentwicklung und -sicherung von Unterricht wurden in den letzten zwei Jahrzehnten auf Bundes- und Länderebene auch Maßnahmen zur Professionalisierung von Lehr-personen festgelegt. Vor diesem Hintergrund begannen 2012 am Deutschen Zentrum für Lehrerbildung Mathematik (DZLM) auch Arbeiten, um bestehende Fortbildungsangebote für Grundschullehrkräfte zu erweitern. In dieser Arbeit wird das Konzept einer Stochastik-Fortbildung für Lehrpersonen, die Mathematik in der Grundschule unterrichten, vorgestellt. Die Entwicklung greift Forschungserkenntnisse zum Verständnis von professioneller Kompetenz von Lehrpersonen und zur Gestaltung von Professionalisierungsprozessen auf und bindet konzeptionell Impulse für Unterrichtsentwicklungsprozesse ein. In fünf Kursdurchführungen wurde das Konzept realisiert und hinsichtlich seiner Umsetzbarkeit untersucht. Die in diesem Rahmen gewonnenen Daten von 120 Lehrpersonen geben detailliertere Einsichten in Entwicklungsprozesse unterschiedlich qualifizierter Lehrpersonen. Die Ergebnisse zeigen insbesondere, dass in der fachinhaltlich orientierten Fortbildung ein fachlicher und fachdidaktischer Wissenszuwachs erreicht werden kann. Die Defizite bezüglich einer mathematischen Grundausbildung eines Lehramts können bei Lehrpersonen, die Mathematik fachfremd unterrichten, auf diesem Weg aber nicht überwunden werden. Die Untersuchungen zeigen zudem, dass die qualifikationsheterogene Zusammensetzung der Kursgruppen die Durchführung und das Lernen der Lehrpersonen bereichern. Mit der Einbindung des Konzepts der Professionellen Lerngemeinschaft (PLG) in den Kurs und Erprobungen in den Praxisphasen gelingt es, Impulse für Unterrichtsentwick-lungsprozesse zu geben. Diese Fortbildung kann ein berufsbegleitender Baustein in der Ausprägung von Lehrkräfteprofessionalität sein und den lang andauernden Prozess der Konstruktion und Selbstkonstruktion des Berufs unterstützen. / In the past two decades, increasing the quality of mathematics teaching and learning, particularly fostering the professional knowledge and skills of teachers has been researched in depth. Before this background, the German Center for Mathematics Education (Deutsches Zentrum für Lehrerbildung Mathematik, DZLM) started from 2012 onwards to offer professional development (PD) courses for teachers and facilitators. This thesis presents a concept for a PD course on stochastics for primary teachers, which draws on recently gained empirical evidences on appropriate professional competencies and on design elements relevant for effective professionalization. The concept of the PD course also includes building professional learning communities (PLCs) to initiate teachers´ ongoing professional growth through working collaboratively on improving their classroom practices. The long-lasting PD course has been conducted five times and data was gained to evaluate the feasibility of the concept. That is, the data acquired from 120 teachers provided detailed insight into the personal development of teachers with different qualifications, including those teaching out-of-field. The results show that a PD course focusing on a certain subject leads to an increase of both content knowledge professional content knowledge. However, deficits due to a missing basic education in mathematics - as for teachers not specialized on mathematics - cannot be totally overcome by this PD course. However, the results indicate that the heterogeneous teacher groups possessing different qualifications enrich the learning processes of all participants. Including the PLC concept into the PD course and conducting practical phases to probe issues in the classroom were both decisive impulses helping teachers to further develop their practices. Thus, the PD course proved to be effective with respect to fostering teachers´ professional knowledge and skills sustainably and contributed to teachers´ life-long and ongoing learning.

In der gegebenen Arbeit werden hoeherdimensionale lokale Schiefkoerper, die natuerliche Verallgemeinerung von n-dimensionalen lokalen Koerpern, untersucht. Wir untersuchen nur Schiefkoerper mit kommutativem Restschiefkoerper. Wir geben eine hinreichende Bedingung fuer die Spaltbarkeit von Schiefkoerpern. Naemlich, ein lokaler Schiefkoerper ist spaltbar, falls er einen kanonischen Automorphismus unendlicher Ordnung hat. Wir klassifizieren alle Schiefkoerper, die diese Bedingung bis auf Isomorphie erfuellen. Die Ergebnisse sind unabhaengig von der Charakteristik des Schiefkoerpers. Wir klassifizieren auch alle lokalen spaltbaren Schiefkoerper von Charakteristik 0 mit kommutativem Restschiefkoerper und mit kanonischem Automorphismus von endlicher Ordnung. Unter anderem geben wir ein Kriterium, wann zwei Elemente aus einem solchen Schiefkoerper konjugiert sind. Als Folgerung beweisen wir, dass fast alle solche Schiefkoerper unendlichdimensional ueber ihrem Zentrum sind. Ausserdem beweisen wir, dass das Skolem-Noether Theorem nur in dem Fall des klassischen Ringes der Pseudodifferentialoperatoren richtig ist. Dann erhalten wir Anwendungen dieser Theorie auf die Krichever Korrespondenz. Naemlich, wir bekommen Verallgemeinerungen von klassischen KP-Gleichungen (Hierarchie). Die Untersuchung von lokalen Schiefkoerpern fuehrte zu einigen neuen unerwarteten Ergebnissen in der Bewertungstheorie auf endlichdimensionalen Algebren. Wir bekommen den Zerlegungssatz fuer wilde Divisionalgebren ueber Laurentreihen-Koerpern mit beliebigem Restkoerper der Charakteristik groesser als zwei. Dieses Theorem ist die Verallgemeinerung des Zerlegungssatzes fuer zahme Divisionalgebren von Jacob und Wadsworth. Als Folgerung bekommen wir die positive Antwort auf die folgende Vermutung: Fuer jede Divisionalgebra A ueber den Koerper F((t)), wo F ein quasialgebraisch abgeschlossener Koerper ist, muss der Exponent von A gleich dem Index von A sein. Dann erhalten wir Anwendungen dieser Theorie auf die Krichever Korrespondenz. Naemlich, wir bekommen Verallgemeinerungen von klassischen KP-Gleichungen (Hierarchie). Anderseits, fuehrt das Problem der Klassifizierung lokaler Schiefkoerper zu dem Problem der Klassifizierung der Konjugationsklassen in der Automorphismengruppe von n-dimensionalen lokalen (kommutativen) Koerpern. Wir loesen diese Aufgabe fuer die Gruppe der stetigen Automorphismen von 1- und 2-dimensionalen lokalen Koerpern. / In this work we study local skew fields, which are natural generalization of n-dimensional local fields, and their applications to the theory of central division algebras over henselian fields. We study mostly two-dimensional local skew fields with commutative residue skew field. The sufficient condition for a skew field to be split is given. Namely, a local skew field splits if the canonical automorphism has infinite order. We classify all the skew fields which posess this condition up to isomorphism. These results don't depend on the characteristic of a skew field. We classify all local splittable skew fields of characteristic 0 with commutative residue skew field and with the canonical automorphism of finite order as well. Some other properties of local skew fields are studied. In particular, we give a criterium when two elements from such a skew field conjugate. As a corollary we prove that almost all such skew fields are infinite dimensional over their center. Also we prove that the Scolem-Noether theorem holds only in the case of the classical ring of pseudo-differential operators. Studying of local skew fields leads to some new unexpected results in the valuation theory on finite dimensional division algebras. We get a decomposition theorem for some class of wild division algebras over a Laurent series field with arbitrary residue field of characteristic greater than two. This theorem is a generalization of the decomposition theorem for tame division algebras given by B.Jacob and A.Wadsworth. As a corollary we get the positive answer on the following conjecture: the exponent of a division algebra is equal to its index if the centre of this algebra is a Laurent series field with arbitrary quasialgebraically closed residue field. Using some ideas of A.N. Parshin, who raised a problem of classifying local skew fields, we get some applications of developed theory to the Krichever correspondence. Namely, we get some generalizations of the classical KP-equations (hierarchy). The problem of classification of local skew fields leads to the problem of classification of conjugacy classes in the automorphism group of an n-dimensional local (commutative) field. We solve this problem for the group of continuous automorphisms of one- and two- dimensional local fields.

Der Fokus dieser Dissertation liegt darauf, effiziente numerische Methode für ungekoppelte lokal Lipschitz-stetige und quadratische stochastische Vorwärts-Rückwärtsdifferenzialgleichungen (BSDE) mit Endbedingungen von schwacher Regularität zu entwickeln. Obwohl BSDE viele Anwendungen in der Theorie der Finanzmathematik, der stochastischen Kontrolle und der partiellen Differenzialgleichungen haben, gibt es bisher nur wenige numerische Methoden. Drei neue auf Monte-Carlo- Simulationen basierende Algorithmen werden entwickelt. Die in der zeitdiskreten Approximation zu lösenden bedingten Erwartungen werden mittels der Methode der kleinsten Quadrate näherungsweise berechnet. Ein Vorteil dieser Algorithmen ist, dass sie als Eingabe nur Simulationen eines Vorwärtsprozesses X und der Brownschen Bewegung benötigen. Da sie auf modellfreien Abschätzungen aufbauen, benötigen die hier vorgestellten Verfahren nur sehr schwache Bedingungen an den Prozess X. Daher können sie auf sehr allgemeinen Wahrscheinlichkeitsräumen angewendet werden. Für die drei numerischen Algorithmen werden explizite maximale Fehlerabschätzungen berechnet. Die Algorithmen werden dann auf Basis dieser maximalen Fehler kalibriert und die Komplexität der Algorithmen wird berechnet. Mithilfe einer zeitlich lokalen Abschneidung des Treibers der BSDE werden quadratische BSDE auf lokal Lipschitz-stetige BSDE zurückgeführt. Es wird gezeigt, dass die Komplexität der Algorithmen im lokal Lipschitz-stetigen Fall vergleichbar zu ihrer Komplexität im global Lipschitz-stetigen Fall ist. Es wird auch gezeigt, dass der Vergleich mit bereits für Lipschitz-stetige BSDE existierenden Methoden für die hier vorgestellten Algorithmen positiv ausfällt. / The focus of the thesis is to develop efficient numerical schemes for quadratic and locally Lipschitz decoupled forward-backward stochastic differential equations (BSDEs). The terminal conditions satisfy weak regularity conditions. Although BSDEs have valuable applications in the theory of financial mathematics, stochastic control and partial differential equations, few efficient numerical schemes are available. Three algorithms based on Monte Carlo simulation are developed. Starting from a discrete time scheme, least-square regression is used to approximate conditional expectation. One benefit of these schemes is that they require as an input only the simulations of an explanatory process X and a Brownian motion W. Due to the use of distribution-free tools, one requires only very weak conditions on the explanatory process X, meaning that these methods can be applied to very general probability spaces. Explicit upper bounds for the error are obtained. The algorithms are then calibrated systematically based on the upper bounds of the error and the complexity is computed. Using a time-local truncation of the BSDE driver, the quadratic BSDE is reduced to a locally Lipschitz BSDE, and it is shown that the complexity of the algorithms for the locally Lipschitz BSDE is the same as that of the algorithm of a uniformly Lipschitz BSDE. It is also shown that these algorithms are competitive compared to other available algorithms for uniformly Lipschitz BSDEs.

In dieser Arbeit untersuchen wir Superlösungen stochastischer Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSDEs) und ein Gleichgewichtsmodell angewandt auf zwei spezifische verallgemeinerte Capital Asset Pricing Models (CAPMs). Unter der Annahme, dass Generatoren der BSDEs unterhalbstetig und von unten durch eine affine Funktion der Kontrollvariablen beschränkt sind sowie eine spezifische Normalisierungseigenschaft erfüllen, beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit der minimalen Superlösung, wobei wir Semimartingalkonvergenz und eine geeignet definierte Präorder in Verbindung mit dem Zornschen Lemma nutzen. Anschließend betrachten wir konvexe Generatoren und restringieren admissible Kontrollen auf stetige Semimartingale, wobei wir eine Abhängigkeit des Generators von den Zerlegungsteilen zulassen. Wir beweisen Existenz von Superlösungen, die an endlich vielen Zeitpunkten minimal sind. Neben Stabilitätsresultaten für den nichtlinearen Operator, der einer Endbedingung den Wert der minimalen Superlösung zum Zeitpunk null zuordnet, leiten wir dessen duale Darstellung her und geben eine explizite Form dieser im Falle eines quadratischen Generators an. Ferner geben wir mittels der Dualität Bedingungen für die Existenz von Lösungen unter Nebenbedingungen. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir ein Gleichgewichtsmodell in stetiger Zeit für verallgemeinerte CAPMs, das endlich viele Agenten und Finanzprodukte umfasst. Die Agenten maximieren exponentielle Nutzenfunktionen und ihre Anfangsausstattung wird von den gehandelten Produkten aufgespannt. Wir zeigen Existenz eines Gleichgewichts, in welchem die optimalen Handelsstrategien konstant sind und von jeweiliger Risikoaversion und Anfangsausstattung abhängen. Hiernach werden affine Prozesse sowie die Theorie des sogenannten Information-based Asset Pricing zur Modellierung herangezogen. Wir leiten semi-explizite Preisformeln her, die sich für effiziente numerische Berechnungen eignen, da keine Monte-Carlo-Methoden gebraucht werden. / In this thesis we study supersolutions of backward stochastic differential equations (BSDEs) and equilibrium pricing within two specific generalized capital asset pricing models (CAPMs). In the first part of the thesis we begin by assuming that the generators of the BSDEs under consideration are jointly lower semicontinuous, bounded from below by an affine function of the control variable, and satisfy a specific normalization property. We prove the existence and uniqueness of the minimal supersolution making use of a particular kind of semimartingale convergence and a suitably defined preorder in combination with Zorn''s lemma. Next, we assume generators to be convex and introduce constraints by restricting admissible controls to continuous semimartingales, where we allow for a dependence of the generator on the respective decomposition parts. We prove existence of supersolutions that are minimal at finitely many fixed times. Besides providing stability results for the non-linear operator that maps a terminal condition to the value of the minimal supersolution at time zero, we give a dual representation of it, including an explicit computation of the conjugate in the case of a quadratic generator, and derive conditions for the existence of solutions under constraints by means of the duality results. In the second part of the thesis we study equilibrium pricing in continuous time within generalized CAPMs. Our model comprises finitely many economic agents and tradable securities. The agents seek to maximize exponential utilities and their endowments are spanned by the securities. We show that an equilibrium exists and the agents'' optimal trading strategies are constant and dependent on their risk aversion and endowment. Affine processes, and the theory of information-based asset pricing are then used for modeling purposes. We derive semi-explicit pricing formulae which lend themselves to efficient numerical computations, as no Monte Carlo methods are needed.

Wir untersuchen und berechnen Welleninvarianten von Schrödinger-Operatoren, die auf Schnitte von Hermiteschen Geradenbündeln über flachen Tori gerader Dimension wirken. Die Schrödinger-Operatoren werden aus einem translationsinvarianten Zusammenhang des Bündels sowie einem Potential, d.h. einer glatten Funktion auf dem Torus, konstruiert. Wir beschränken uns auf Bündel mit nichtentarteter Chern-Klasse und untersuchen, in welchem Umfang das Spektrum eines Schrödinger-Operators mit gegebenem Potential den Zusammenhang bestimmt. Wir berechnen die ersten fünf Welleninvarianten explizit mittels des Computeralgebrasystems Mathematica. Für einfache Potentiale erhalten wir eine vollständige Charakterisierung der Isospektralität der translationsinvarianten Zusammenhänge. Weiterhin werden allgemeine Eigenschaften der Welleninvarianten bewiesen, welche allgemeinere Aussagen über die Existenz nichtisospektraler Zusammenhänge implizieren. Andererseits ergeben sich Erkenntnisse über die Grenzen der spektralen Information, die in endlich vielen Welleninvarianten enthalten ist. Negative spektrale Ergebnisse, d.h. Unterschiede in den Zusammenhängen, die nicht durch das Spektrum bestimmt werden, werden durch die Konstruktion von Transplantationen zwischen den Schrödinger-Operatoren zweier Zusammenhänge bei gleichem Potential bewiesen. / We study and compute wave invariants of Schrödinger operators acting on sections of Hermitian line bundles over even-dimensional flat tori. The Schrödinger operators are constructed from translation-invariant connections on the bundle and a potential, a smooth function on the torus. Restricting to bundles with nondegenerate Chern class we study the extent to which the spectrum of the Schrödinger operator of a given potential determines the connection. The first five wave invariants are computed explicitly using the computer algebra software Mathematica. For simple potentials we find a full characterization of the isospectrality of the translation-invariant connections. We also prove general properties of the wave invariants, which imply a more general existence of nonisospectral connections but which also show limitations of the spectral information contained within finitely many wave invariants. Negative spectral results, i.e. differences in connections not determined by spectra, are obtained by constructing transplantations between the Schrödinger operators of two connections with a fixed potential.

Im Mittelpunkt unserer Untersuchungen steht das mehrkriterielle Optimierungsproblem, in einer beliebigen nichtleeren Menge eines halbgeordneten endlich dimensionalen Raumes. Zu dessen Lösung betrachten wir ein Dialogverfahren, in dem der Entscheidungsträger in jedem Schritt seine Wünsche äußert. Bei der Bestimmung einer Lösung, die den Entscheidungsträger zufriedenstellt, müssen wir ein im Allgemeinen nichtkonvexes und nicht triviales skalares Optimierungsproblem lösen. Zur Lösung dieses Problems haben wir zwei Klassen einparametrischer Optimierungsprobleme (Einbettungen) konstruiert. Mit Hilfe der Projektion auf den konvexen Ordungskegel haben wir gezeigt, dass diese Einbettungen wohldefiniert sind. Im Gegensatz zu der in der Literatur untersuchten Standardeinbettung, sind die in dieser Arbeit betrachteten Einbettungen durch die Skalarisierungen der Vektoroptimierungsprobleme mittels streng monotoner skalarisierender Funktionen motiviert. Diese Untersuchung wird unter dem Gesichtspunkt der Theorie der einparametrischen Optimierungsprobleme für den Fall eines beliebigen spitzen polyedrischen Ordnungskegels durchgeführt. Sie umfasst z.B. Fragestellungen nach der Art der Singularitäten, die für die verschiedenen Einbettungen auftreten können, nach den Bedingungen, unter denen eine Zusammenhangskomponente in der Menge stationärer oder verallgemeinerter kritischer Punkte mit Hilfe von Kurvenverfolgungsmethoden numerisch beschrieben werden kann und nach den hinreichenden Bedingungen für die Existenz einer Lösungskurve. Anschließend haben wir das von Guddat und Jongen eingeführte Konzept der strukturellen Stabilität eines skalaren Optimierungsproblems in der Vektoroptimierung verallgemeinert und einen Zusammenhang zur strukturellen Stabilität eines Minimaxproblems erstellt. Dieses Minimaxproblem steht in starker Beziehung zur Skalarisierungsmethode der Vektoroptimierungsprobleme. / In this work we consider the multiobjective optimization in a subset of a partially orded finite dimensional space. In order to solve this problem we use a dialogue procedure in which the decision maker has to determine in each step the aspiration and reservation level expressing his wishes (goals). This leads to an optimization problem which is not easy to solve in the nonconvex case. We solve it proposing two classes of one-parametric optimization problems (embeddings). Using the projection in the ordering cone, we show that these embeddings are well defined, i.e. the corresponding constraint sets depending on real-valued parameters are not empty. Contrary to the very known standard embedding the proposed embeddings are motivated by the use of strongly monotonically increasing functions, which play an important role by the scalarization of multiobjective optimization problems. The two classes of embeddings are investigated from the point of view of parametric optimization considering a pointed polyhedral cone. This investigation includes the determination of the kind of singularities which can appear, the conditions under which a connected component in the set of stationary or generalized critical point can be numerically described using pathfollowing methods and a solution curve may exist. Finally, we extend the concept of structural stability by Guddat and Jongen to the multiobjective optimization problems and establish a connection to the problem of Minimax type, which is related to the scalarization of multiobjective optimization problems.

Die abgeschlossenen Erweiterungen der sogenannten geometrischen Operatoren (Spin-Dirac, Gauß-Bonnet und Signatur-Operator) auf Mannigfaltigkeiten mit metrischen Hörnern sind Fredholm-Operatoren und ihr Index wurde von Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff und Jochen Brüning berechnet. Es wurde gezeigt, dass die Einschränkungen dieser drei Operatoren auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu irregulär singulären Operator-wertigen Differentialoperatoren erster Ordnung sind. Die Lösungsoperatoren der dazugehörigen Differentialgleichungen definierten eine Parametrix, mit deren Hilfe die Fredholmeigenschaft bewiesen wurde. In der vorliegenden Doktorarbeit wird eine Klasse von irregulären singulären Differentialoperatoren erster Ordnung, genannt Horn-Operatoren, eingeführt, die die obigen Beispiele verallgemeinern. Es wird bewiesen, dass ein elliptischer Differentialoperator erster Ordnung, dessen Einschränkung auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu einem Horn-Operator ist, Fredholm ist, und sein Index wird berechnet. Schließlich wird dieser abstrakte Index-Satz auf geometrische Operatoren auf Mannigfaltigkeiten mit "multiply warped product"-Singularitäten angewendet, welche eine wesentliche Verallgemeinerung der metrischen Hörner darstellen. / The closed extensions of geometric operators (Spin-Dirac, Gauss-Bonnet and Signature operator) on a manifold with metric horns are Fredholm operators, and their indices were computed by Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff and Jochen Brüning. It was shown that the restrictions of all three operators to a punctured neighbourhood of the singular point are unitary equivalent to a class of irregular singular operator-valued differential operators of first order. The solution operators of the corresponding differential equations defined a parametrix which was applied to prove the Fredholm property. In this thesis a class of irregular singular differential operators of first order - called horn operators - is introduced that extends the examples mentioned above. It is proved that an elliptic differential operator of first order whose restriction to the neighbourhood of the singular point is unitary equivalent to a horn operator is Fredholm and its index is computed. Finally, this abstract index theorem is applied to compute the indices of geometric operators on manifolds with multiply warped product singularities that extend the notion of metric horns considerably.

Die Schätzung von Quantilen und verwandten Funktionalen wird in zwei inversen Problemen behandelt: dem klassischen Dekonvolutionsmodell sowie dem Lévy-Modell in dem ein Lévy-Prozess beobachtet wird und Funktionale des Sprungmaßes geschätzt werden. Im einem abstrakteren Rahmen wird semiparametrische Effizienz im Sinne von Hájek-Le Cam für Funktionalschätzung in regulären, inversen Modellen untersucht. Ein allgemeiner Faltungssatz wird bewiesen, der auf eine große Klasse von statistischen inversen Problem anwendbar ist. Im Dekonvolutionsmodell beweisen wir, dass die Plugin-Schätzer der Verteilungsfunktion und der Quantile effizient sind. Auf der Grundlage von niederfrequenten diskreten Beobachtungen des Lévy-Prozesses wird im nichtlinearen Lévy-Modell eine Informationsschranke für die Schätzung von Funktionalen des Sprungmaßes hergeleitet. Die enge Verbindung zwischen dem Dekonvolutionsmodell und dem Lévy-Modell wird präzise beschrieben. Quantilschätzung für Dekonvolutionsprobleme wird umfassend untersucht. Insbesondere wird der realistischere Fall von unbekannten Fehlerverteilungen behandelt. Wir zeigen unter minimalen und natürlichen Bedingungen, dass die Plugin-Methode minimax optimal ist. Eine datengetriebene Bandweitenwahl erlaubt eine optimale adaptive Schätzung. Quantile werden auf den Fall von Lévy-Maßen, die nicht notwendiger Weise endlich sind, verallgemeinert. Mittels äquidistanten, diskreten Beobachtungen des Prozesses werden nichtparametrische Schätzer der verallgemeinerten Quantile konstruiert und minimax optimale Konvergenzraten hergeleitet. Als motivierendes Beispiel von inversen Problemen untersuchen wir ein Finanzmodell empirisch, in dem ein Anlagengegenstand durch einen exponentiellen Lévy-Prozess dargestellt wird. Die Quantilschätzer werden auf dieses Modell übertragen und eine optimale adaptive Bandweitenwahl wird konstruiert. Die Schätzmethode wird schließlich auf reale Daten von DAX-Optionen angewendet. / The estimation of quantiles and realated functionals is studied in two inverse problems: the classical deconvolution model and the Lévy model, where a Lévy process is observed and where we aim for the estimation of functionals of the jump measure. From a more abstract perspective we study semiparametric efficiency in the sense of Hájek-Le Cam for functional estimation in regular indirect models. A general convolution theorem is proved which applies to a large class of statistical inverse problems. In particular, we consider the deconvolution model, where we prove that our plug-in estimators of the distribution function and of the quantiles are efficient. In the nonlinear Lévy model based on low-frequent discrete observations of the Lévy process, we deduce an information bound for the estimation of functionals of the jump measure. The strong relationship between the Lévy model and the deconvolution model is given a precise meaning. Quantile estimation in deconvolution problems is studied comprehensively. In particular, the more realistic setup of unknown error distributions is covered. Under minimal and natural conditions we show that the plug-in method is minimax optimal. A data-driven bandwidth choice yields optimal adaptive estimation. The concept of quantiles is generalized to the possibly infinite Lévy measures by considering left and right tail integrals. Based on equidistant discrete observations of the process, we construct a nonparametric estimator of the generalized quantiles and derive minimax convergence rates. As a motivating financial example for inverse problems, we empirically study the calibration of an exponential Lévy model for asset prices. The estimators of the generalized quantiles are adapted to this model. We construct an optimal adaptive quantile estimator and apply the procedure to real data of DAX-options.

Die sogenannten wunderbaren Modelle für Teilraumanordnungen, eingeführt von DeConcini und Procesi, basierend auf den Techniken der Fulton und MacPherson''schen Kompaktifzierung von Konfigurationsräumen, ermöglichen es, eine Fortsetzung von Feynmandistributionen auf die ihnen zugeordneten divergenten Teilräume in kanonischer Weise zu definieren. Dies wurde in der Dissertation von Christoph Bergbauer ausgearbeitet und diese Arbeit führt die dort präsentierten Ideen weiter aus. Im Unterschied formulieren wir die zentralen Begriffe nicht in geometrischer Sprache, sondern mit Hilfe der partiell geordneten Menge der divergenten Subgraphen eines Feynmangraphen. Dieser Ansatz ist inspiriert durch Feichtners Formulierung der wunderbaren Modellkonstruktion aus kombinatorischer Sicht. Diese Betrachtungsweise vereinfacht die Darstellung deutlich und führt zu einem besseren Verständnis der Fortsetzungs- bzw. Renormierungsoperatoren. Darüber hinaus erlaubt sie das Studium der Renormierungsgruppe, d.h. zu untersuchen, wie sich die renormierten Distributionen unter einem Wechsel des Renormierungspunktes verhalten. Wir zeigen, dass eine sogenannte endliche Renormierung sich darstellen läßt als eine Summe von durch die divergenten Subgraphen bestimmten Distributionen. Dies alles unterstreicht den wohlbekannten Fakt, dass perturbative Renormierung zum größten Teil durch die Kombinatorik von Feynmangraphen bestimmt ist und die analytischen Aspekte nur eine untergeordnete Rolle spielen. / The so-called wonderful models of subspace arrangements, developed in by DeConcini and Procesi, based on Fulton and MacPherson''s seminal paper on a compactification of configuration space, serve as a systematic way to resolve the singularities of Feynman distributions and define in this way canonical renormalization operators. In this thesis we continue the work of Bergbauer where wonderful models were introduced to solve the renormalization problem in position space. In contrast to the exposition there, instead of the subspaces in the arrangement of divergent loci we use the poset of divergent subgraphs of a given Feynman graph as the main tool to describe the wonderful construction and the renormalization operators. This is based on a review article by Feichtner where wonderful models were studied from a purely combinatorial viewpoint. The main motivation for this approach is the fact that both, the renormalization process and the model construction, are governed by the combinatorics of this poset. Not only simplifies this the exposition considerably, but it also allows to study the renormalization operators in more detail. Moreover, we explore the renormalization group in this setting, i.e. we study how the renormalized distributions change if one varies the renormalization points. We show that a so-called finite renormalization is expressed as a sum of distributions determined by divergent subgraphs. The bottom line is that - as is well known, at the latest since the discovery of a Hopf algebra structure underlying renormalization - the whole process of perturbative renormalization is governed by the combinatorics of Feynman graphs while the calculus involved plays only a supporting role.

Diese Dissertation behandelt zwei Hauptthemen: Mean-Field-Kontrollprobleme (MFC)/-Spiele (MFG) mit mehrdimensionalen singulären Kontrollen sowie den Kontrollrandomisierungsansatz und dessen Anwendungen im Reinforcement Learning. Das erste Kapitel führt MFC-Probleme mit singulären Kontrollen ein, bei denen die Kosten von Zustand, Kontrolle und deren gemeinsamer Verteilung abhängen. Mittels Two-Layer-Parametrisierungen stellen wir die Zielfunktion über stetige Funktionen von Parametrisierung dar, leiten ein dynamisches Programmierungsprinzip (DPP) her und charakterisieren die Wertfunktion als minimale Supersolution einer quasi-variationellen Ungleichung im Wasserstein-Raum. Im zweiten Kapitel betrachten wir MFGs, bei denen Einfluss und Kosten der singulären Kontrolle vom Zustand und der Kontrolle abhängen. Wir führen MFGs von Parametrisierungen ein und zeigen, dass die Zielfunktion auf der Menge der Parametrisierungen stetig ist. Wir beweisen die Existenz von Nash-Gleichgewichten sowohl im MFG der Parametrisierungen als auch im MFG mit singulären Kontrollen. Das dritte Kapitel behandelt MFC-Probleme mit gemeinsamem Rauschen mittels des Kontrollrandomisierungsansatzes, bei dem wir den Kontrollprozess durch einen Poisson-Punktprozess ersetzen und stattdessen dessen Intensität kontrollieren. Nach Reformulierung zulässiger Kontrollen als L0-wertige Prozesse, nur angepasst an das gemeinsame Rauschen, konstruieren wir ein äquivalentes randomisiertes Kontrollproblem und stellen die Wertfunktion mittels einer Rückwärts-Stochastischen-Differentialgleichung (BSDE) dar und leiten ein DPP her. Das vierte Kapitel entwickelt ein Policy-Gradient-Framework für Continuous-Time Reinforcement Learning, basierend auf dem Zusammenhang zwischen stochastischen Kontrollproblemen und randomisierten Problemen. Wir leiten eine Policy-Gradient-Darstellung mit Intensität-Policies her und entwickeln Actor-Critic-Algorithmen, veranschaulicht anhand von Optimal-Switching-Problemen im Energiesektor. / This thesis explores two main areas: mean-field control (MFC)/games (MFG) with multi-dimensional singular controls and the control randomisation approach together with its applications to reinforcement learning. The first chapter introduces MFC problems with singular controls and costs depending on the state, control, and their joint law. Using novel two-layer parametrisations, we rewrite rewards in terms of continuous functions of parametrisation of the control process, derive a dynamic programming principle (DPP) and characterise the value function as the minimal supersolution to a quasi-variational inequality in the Wasserstein space. The second chapter extends this framework to MFGs where both the impact and costs of singular controls depend on the state and control. We introduce a novel class of MFGs with a broader set of admissible controls, called MFGs of parametrisations, prove that the reward functional is continuous on the set of parametrisations and establish the existence of Nash equilibria in both the MFG of parametrisations and the underlying MFG with singular controls. The third chapter addresses MFC problems with common noise using the control randomisation technique, replacing the control process with a Poisson point process, controlling its intensity instead. By reformulating admissible controls as L0-valued processes adapted only to the common noise, we construct an equivalent randomised control problem and represent the value function via a backward stochastic differential equation (BSDE) with constrained jumps and derive a randomised DPP. The fourth chapter develops a policy gradient framework for continuous-time reinforcement learning based on the connection between stochastic control and randomised problems. We derive a new policy gradient representation featuring parametrised intensity policies and develop tailored actor-critic algorithms, demonstrated via numerical case studies of optimal switching problems in the energy sector.