Ein wichtiges Gebiet der Finanzmathematik ist die Bestimmung von Auszahlungsprofilen, die den erwarteten Nutzen eines Agenten unter einer Budgetrestriktion maximieren. Wir charakterisieren optimale Auszahlungsprofile für einen Agenten, der unsicher ist in Bezug auf das genaue Marktmodell. Der hier benutzte Dualitätsansatz führt zu einem Minimierungsproblem für bestimmte konvexe Funktionale über zwei Mengen von Wahrscheinlichkeitsmaßen, das wir zunächst lösen müssen. Schließlich führen wir noch eine zweite Restriktion ein, die das Risiko beschränkt, das der Agent eingehen darf. Wir gehen dabei wie folgt vor: Kapitel 1. Wir betrachten das Problem, die f-Divergenz f(P|Q) über zwei Mengen von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu minimieren, wobei f eine konvexe Funktion ist. Wir zeigen, dass unter der Bedingung "f( undendlich ) / undendlich = undendlich" Minimierer existieren, falls die erste Menge abgeschlossen und die zweite schwach kompakt ist. Außerdem zeigen wir, dass unter der Bedingung "f( undendlich ) / undendlich = 0" ein Minimierer in einer erweiterten Klasse von Martingalmaßen existiert, falls die zweite Menge schwach kompakt ist. Kapitel 2. Die Existenzresultate aus dem ersten Kapitel implizieren die Existenz eines Auszahlungsprofils, das das robuste Nutzenfunktional inf E_Q[u(X)] über eine Menge von finanzierbaren Auszahlungen maximiert, wobei das Infimum über eine Menge von Modellmaßen betrachtet wird. Die entscheidende Idee besteht darin, die minimierenden Maße aus dem ersten Kapitel als gewisse "worst-case"-Maße zu identifizieren. Kapitel 3. Schließlich fordern wir, dass das Risiko der Auszahlungsprofile beschränkt ist. Wir lösen das robuste Problem in einem unvollständigen Marktmodell für Nutzenfunktionen, die nur auf der positiven Halbachse definiert sind. In einem Beispiel vergleichen wir das optimale Auszahlungsprofil unter der Risikorestriktion mit den optimalen Auszahlungen ohne eine solche Restriktion und unter einer Value-at-Risk-Nebenbedingung. / Finding payoff profiles that maximize the expected utility of an agent under some budget constraint is a key issue in financial mathematics. We characterize optimal contingent claims for an agent who is uncertain about the market model. The dual approach that we use leads to a minimization problem for a certain convex functional over two sets of measures, which we first have to solve. Finally, we incorporate a second constraint that limits the risk that the agent is allowed to take. We proceed as follows: Chapter 1. Given a convex function f, we consider the problem of minimizing the f-divergence f(P|Q) over these two sets of measures. We show that, if the first set is closed and the second set is weakly compact, a minimizer exists if f( infinity ) / infinity = infinity. Furthermore, we show that if the second set of measures is weakly compact and f( infinifty ) / infinity = 0, then there is a minimizer in a class of extended martingale measures. Chapter 2. The existence results in Chapter 1 lead to the existence of a contingent claim which maximizes the robust utility functional inf E_Q[u(X)] over some set of affordable contingent claims, where the infimum is taken over a set of subjective or modell measures. The key idea is to identify the minimizing measures from the first chapter as certain worst case measures. Chapter 3. Finally, we require the risk of the contingent claims to be bounded. We solve the robust problem in an incomplete market for a utility function that is only defined on the positive halfline. In an example we compare the optimal claim under this risk constraint with the optimal claims without a risk constraint and under a value-at-risk constraint.

Wir studieren das Verhalten des Maximums, des Minimums und des Endwerts zeithomogener eindimensionaler Diffusionen auf endlichen Zeitintervallen. Zuerst beweisen wir mit Hilfe des Malliavin-Kalküls ein Existenzresultat für die gemeinsamen Dichten. Außerdem leiten wir Entwicklungen der gemeinsamen Momente des Tripels (H,L,X) zur Zeit Delta bzgl. Delta her. Dabei steht X für die zugrundeliegende Diffusion, und H und L bezeichnen ihr fortlaufendes Maximum bzw. Minimum. Ein erster Ansatz, der vollständig auf den elementaren Abschätzungen der Doob’schen und der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung beruht, liefert eine Entwicklung bis zur Ordnung 2 bzgl. der Wurzel der Zeitvariablen Delta. Ein komplexerer Ansatz benutzt Partielle-Differentialgleichungstechniken, um eine Entwicklung der einseitigen Austrittswahrscheinlichkeit für gepinnte Diffusionen zu bestimmen. Da eine Entwicklung der Übergangsdichten von Diffusionen bekannt ist, erhält man eine vollständige Entwicklung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit von (H,X) bzgl. Delta. Die entwickelten Verteilungseigenschaften erlauben es uns, eine Theorie für Martingalschätzfunktionen, die aus wertebereich-basierten Daten konstruiert werden, in einem parameterisierten Diffusionsmodell, herzuleiten. Ein Small-Delta-Optimalitätsansatz, der die approximierten Momente benutzt, liefert eine Vereinfachung der vergleichsweise komplizierten Schätzprozedur und wir erhalten asymptotische Optimalitätsresultate für gegen 0 gehende Sampling-Frequenz. Beim Schätzen des Drift-Koeffizienten ist der wertebereich-basierte Ansatz der Methode, die auf equidistanten Beobachtungen der Diffusion beruht, nicht überlegen. Der Effizienzgewinn im Fall des Schätzens des Diffusionskoeffizienten ist hingegen enorm. Die Maxima und Minima in die Analyse miteinzubeziehen senkt die Varianz des Schätzers für den Parameter in diesem Szenario erheblich. / We study the behavior of the maximum, the minimum and the terminal value of time-homogeneous one-dimensional diffusions on finite time intervals. To begin with, we prove an existence result for the joint density by means of Malliavin calculus. Moreover, we derive expansions for the joint moments of the triplet (H,L,X) at time Delta w.r.t. Delta. Here, X stands for the underlying diffusion whereas H and L denote its running maximum and its running minimum, respectively. In a first approach that entirely relies on elementary estimates, such as Doob’s inequality and Cauchy-Schwarz’ inequality, we derive an expansion w.r.t. the square root of the time parameter Delta including powers of 2. A more sophisticated ansatz uses partial differential equation techniques to determine an expansion of the one-barrier hitting time probability for pinned diffusions. For an expansion of the transition density of diffusions is known, one obtains an overall expansion of the joint probability of (H,X) w.r.t. Delta. The developed distributional properties enable us to establish a theory for martingale estimating functions constructed from range-based data in a parameterized diffusion model. A small-Delta-optimality approach, that uses the approximated moments, yields a simplification of the relatively complicated estimating procedure and we obtain asymptotic optimality results when the sampling frequency Delta tends to 0. When it comes to estimating the drift coefficient the range-based method is not superior to the method relying on equidistant observations of the underlying diffusion alone. However, there is an enormous gain in efficiency at the estimation for the diffusion coefficient. Incorporating the maximum and the minimum into the analysis significantly lowers the asymptotic variance of the estimators for the parameter in this scenario.

In dieser Dissertation untersuchen wir das Verhalten von Schrödinger-Operatoren unter Riemannschen Überlagerungen. Wir betrachten folgende Situation: Sei eine Riemannsche Überlagerung und ein Schrödinger-Operator S mit glattem, von unten beschränktem Potential auf der Basismannigfaltigkeit gegeben. Sei S‘ der Lift von S auf die Überlagerungsmannigfaltigkeit. Man sieht leicht, dass das Minimum des Spektrums von S nicht größer als das Minimum des Spektrums von S‘ ist. R. Brooks hat als erster untersucht, wann die Gleichheit gilt. Er bewies insbesondere, dass eine normale Riemannsche Überlagerung einer geschlossenen Mannigfaltigkeit genau dann amenabel ist, wenn sie das Minimum des Spektrums des Laplace-Operators unverändert lässt. Zusammen mit W. Ballmann und H. Matthiesen bewiesen wir, dass amenable Riemannsche Überlagerungen immer das Minimum des Spektrums von Schrödinger-Operatoren erhalten; dies verallgemeinert Resultate von R. Brooks sowie von P. Bérard und Ph. Castillon. In dieser Dissertation beweisen wir, dass im Fall vollständiger Mannigfaltigkeiten das Spektrum von S im Spektrum von S‘ enthalten ist. Tatsächlich beweisen wir diese Beziehung sogar für eine deutlich größere Klasse von Differentialoperatoren. Obwohl Amenabilität eine natürliche Bedingung für die Gleichheit der Minima der Spektren ist, ist es unklar, inwieweit diese Bedingung optimal ist. In dieser Dissertation beweisen wir: Wenn eine Riemannsche Überlagerung das Minimum des Spektrums eines Schrödinger-Operators erhält, und wenn dieses zum diskreten Spektrum des Operators auf der Basismannigfaltigkeit gehört, dann ist die Überlagerung amenabel. Man beachte, dass wir keinerlei geometrische oder topologische Bedingungen an die Mannigfaltigkeiten stellen. Dies verallgemeinert sowohl frühere Resultate von R. Brooks, T. Roblin und S. Tapie als auch ein kürzliches Resultat aus einer gemeinsamen Arbeit mit W. Ballmann und H. Matthiesen. / In this thesis, we investigate the behavior of the spectrum of Schrödinger operators under Riemannian coverings. To set the stage, consider a Riemannian covering and a Schrödinger operator S on the base manifold, with smooth potential bounded from below potential. Let S’ be the lift of S on the covering space. It is easy to see that the bottom (that is, the minimum) of the spectrum of S is no greater than the bottom of the spectrum of S’. R. Brooks was the first one to examine when the equality holds. In particular, he proved that a normal Riemannian covering of a closed manifold is amenable if and only if it preserves the bottom of the spectrum of the Laplacian. Generalizing former results of R. Brooks, and P. Berard and Ph. Castillon, in a joint work with W. Ballmann and H. Matthiesen, we proved that amenable Riemannian coverings preserve the bottom of the spectrum of Schrödinger operators. In this thesis, we prove that if, in addition, the manifolds are complete, then the spectrum of S is contained in the spectrum of S’. As a matter of fact, we establish this result for a quite wide class of differential operators. Although amenability is a natural assumption for the preservation of the bottom of the spectrum, it is not clear to what extent it is optimal. In this thesis, we prove that if a Riemannian covering preserves the bottom of the spectrum of a Schrödinger operator, which belongs to the discrete spectrum of the operator on the base manifold, then the covering is amenable. It is worth to point out that we do not impose any geometric or topological assumptions on the manifolds. This generalizes former results by R. Brooks, T. Roblin and S. Tapie, and a recent result of a joint work with W. Ballmann and H. Matthiesen.

Es sei X eine Zufallsvariable mit unbekannter Verteilung P. Zu den Hauptaufgaben der Mathematischen Statistik zählt die Konstruktion von Schätzungen für einen abgeleiteten Parameter theta(P) mit Hilfe einer Beobachtung X=x. Im Fall einer dominierten Verteilungsfamilie ist es möglich, das Maximum-Likelihood-Prinzip (MLP) anzuwenden. Eine Alternative dazu liefert der Bayessche Zugang. Insbesondere erweist sich unter Regularitätsbedingungen, dass die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLS) dem Grenzwert einer Folge von Bayesschen Schätzungen (BSen) entspricht. Eine BS kann aber auch im Fall einer nicht dominierten Verteilungsfamilie betrachtet werden, was als Ansatzpunkt zur Erweiterung des MLPs genutzt werden kann. Weiterhin werden zwei Ansätze einer verallgemeinerten MLS (vMLS) von Kiefer und Wolfowitz sowie von Gill vorgestellt. Basierend auf diesen bekannten Ergebnissen definieren wir einen selbstinformativen Grenzwert und einen selbstinformativen a posteriori Träger. Im Spezialfall einer dominierten Verteilungsfamilie geben wir hinreichende Bedingungen an, unter denen die Menge der MLSen einem selbstinformativen a posteriori Träger oder, falls die MLS eindeutig ist, einem selbstinformativen Grenzwert entspricht. Das Ergebnis für den selbstinformativen a posteriori Träger wird dann auf ein allgemeineres Modell ohne dominierte Verteilungsfamilie erweitert. Insbesondere wird gezeigt, dass die Menge der vMLSen nach Kiefer und Wolfowitz ein selbstinformativer a posteriori Träger ist. Weiterhin wird der selbstinformative Grenzwert bzw. a posteriori Träger in einem Modell mit nicht identifizierbarem Parameter bestimmt. Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht ein multivariates semiparametrisches lineares Modell. Zunächst weisen wir jedoch nach, dass in einem rein nichtparametrischen Modell unter der a priori Annahme eines Dirichlet Prozesses der selbstinformative Grenzwert existiert und mit der vMLS nach Kiefer und Wolfowitz sowie der nach Gill übereinstimmt. Anschließend untersuchen wir das multivariate semiparametrische lineare Modell und bestimmen die vMLSen nach Kiefer und Wolfowitz bzw. nach Gill sowie den selbstinformativen Grenzwert unter der a priori Annahme eines Dirichlet Prozesses und einer Normal-Wishart-Verteilung. Im Allgemeinen sind die so erhaltenen Schätzungen verschieden. Abschließend gehen wir dann auf den Spezialfall eines semiparametrischen Lokationsmodells ein, in dem die vMLSen nach Kiefer und Wolfowitz bzw. nach Gill und der selbstinformative Grenzwert wieder identisch sind. / We assume to observe a random variable X with unknown probability distribution. One major goal of mathematical statistics is the estimation of a parameter theta(P) based on an observation X=x. Under the assumption that P belongs to a dominated family of probability distributions, we can apply the maximum likelihood principle (MLP). Alternatively, the Bayes approach can be used to estimate the parameter. Under some regularity conditions it turns out that the maximum likelihood estimate (MLE) is the limit of a sequence of Bayes estimates (BE's). Note that BE's can even be defined in situations where no dominating measure exists. This allows us to derive an extension of the MLP using the Bayes approach. Moreover, two versions of a generalised MLE (gMLE) are presented, which have been introduced by Kiefer and Wolfowitz and Gill, respectively. Based on the known results, we define a selfinformative limit and a posterior carrier. In the special case of a model with dominated distribution family, we state sufficient conditions under which the set of MLE's is a selfinformative posterior carrier or, in the case of a unique MLE, a selfinformative limit. The result for the posterior carrier is extended to a more general model without dominated distributions. In particular we show that the set of gMLE's of Kiefer and Wolfowitz is a posterior carrier. Furthermore we calculate the selfinformative limit and posterior carrier, respectively, in the case of a model with possibly nonidentifiable parameters. In this thesis we focus on a multivariate semiparametric linear model. At first we show that, in the case of a nonparametric model, the selfinformative limit coincides with the gMLE of Kiefer and Wolfowitz as well as that of Gill, if a Dirichlet process serves as prior. Then we investigate both versions of gMLE's and the selfinformative limit in the multivariate semiparametric linear model, where the prior for the latter estimator is given by a Dirichlet process and a normal-Wishart distribution. In general the estimators are not identical. However, in the special case of a location model we find again that the three considered estimates coincide.

In dieser Dissertation entwickeln wir eine Schnittheorie von torischen bzw. toroidalen b-Divisoren auf torischen bzw. toroidalen Einbettungen. Motiviert wird dies durch das Ziel, eine arithmetische Schnittheorie auf gemischten Shimura- Varietäten von nicht-kompaktem Typ zu begründen. Die bisher zur Verfügung stehenden Werkzeuge definieren keine numerischen Invarianten, die birational invariant sind. Zuerst definieren wir torische b-Divisoren auf torischen Varietäten und einen Integrabilitätsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass torische b-Divisoren unter geeigneten Annahmen an die Positivität integrierbar sind und dass ihr Grad als das Volumen einer konvexen Menge gegeben ist. Außerdem zeigen wir, dass die Dimension des Vektorraums der globalen Schnitte eines torischen b-Divisors, der nef ist, gleich der Anzahl der Gitterpunkte in besagter konvexer Menge ist und wir geben eine Hilbert–Samuel-Formel für das asymptotische Wachstum dieser Dimension. Dies verallgemeinert klassische Resultate für klassische torische Divisoren auf torischen Varietäten. Als ein zusätzliches Resultat setzen wir konvexe Mengen, die von torischen b-Divisoren kommen, mit Newton–Okounkov- Körpern in Beziehung. Anschließend definieren wir toroidale b-Divisoren auf toroidalen Varietäten und einen Integrierbarkeitsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass unter geeigneten Positivitätsannahmen toroidale b-Divisoren integrierbar sind und ihr Grad als ein Integral bezüglich eines Grenzmaßes aufgefasst werden kann. Dieses Grenzmaß ist ein schwacher Grenzwert von diskreten Maßen, deren Gewichte über tropische Schnittheorie auf rationalen konischen polyedrischen Komplexen definiert sind, welche zu der toroidalen Varietät gehören. Wir setzen dieses Grenzmaß ebenfalls in Beziehung zum zu einem konvexen Körper assoziierten Flächeninhaltsmaß. Diese Beziehung erlaubt es uns, Integrale bezüglich des Grenzmaßes explizit auszurechnen. Zusätzlich erhalten wir eine kanonische Zerlegung der Differenz zweier konvexer Mengen und eine Beziehung zwischen das Volumen von den Teilen und tropische Schnittheoretische Mengen. Schließlich berechnen wir als Anwendung den Grad des b-Divisors von Jacobiformen vom Gewicht k und Index m bezüglich der Hauptkongruenzuntergruppe zum Level N >= 3 auf der verallgemeinerten universellen elliptischen Kurve und wir zeigen, dass der b-divisoriale Ansatz gegenüber lediglich einer kanonischen Kompaktifizierung Vorteile bietet. / In this thesis we develop an intersection theory of toric and toroidal b-divisors on toric and toroidal embeddings, respectively. Our motivation comes from wanting to establish an arithmetic intersection theory on mixed Shimura varieties of non- compact type. The tools available until now do not define numerical invariants which are birationally invariant. First, we define toric b-divisors on toric varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toric b- divisors are integrable and that their degree is given as the volume of a convex set. Moreover, we show that the dimension of the space of global sections of a nef toric b-divisor is equal to the number of lattice points in this convex set and we give a Hilbert-Samuel type formula for its asymptotic growth. This generalizes classical results for classical toric divisors on toric varieties. As a by-product, we relate convex sets arising from toric b-divisors with Newton-Okounkov bodies. Then, we define toroidal b-divisors on toroidal varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toroidal b-divisors are integrable and that their degree is given as an integral with respect to a limit measure, which is a weak limit of discrete measures whose weights are defined via tropical intersection theory on the rational con- ical polyhedral complex attached to the toroidal variety. We also relate this limit measure with the surface area measure associated to a convex body. This relation enables us to compute integrals with respect to these limit measures ex- plicitly. Additionally, we give a canonical decomposition of the difference of two convex sets and we relate the volume of the pieces to tropical top intersection numbers. Finally, as an application, we compute the degree of the b-divisor of Jacobi forms of weight k and index m with respect to the principal congruence subgroup of level N >= 3 on the generalized universal elliptic curve and we show that it is meaningful to consider the b-divisorial approach instead of just fixing one canonical compactification.

Diese Arbeit befasst sich mit Differential-algebraischen Gleichungen (DAEs). DAEs spielen eine wichtige Rolle in der Modellierung, der Simulation und der Optimierung von Netzwerken und gekoppelten Problemen in vielen Anwendungsgebieten. Es werden in Bezug auf die Modellierung und die numerische Simulation von DAEs bereits bestehende Ergebnisse diskutiert und erweitert. Des Weiteren wird die globale eindeutige Lösbarkeit und die Sensitivität der Lösungen mit Hinsicht auf Störungen der DAEs untersucht. Häufig wird die Modellierung von multiphysikalischen Anwendungen durch die Kopplung mehrerer einzelner DAE Systeme realisiert. Diese Herangehensweise kann hochdimensionale DAEs erzeugen, welche aufgrund von Instabilitäten nicht von klassischen numerischen Methoden, simuliert werden können. Angesichts dieser Herausforderungen werden drei Ziele formuliert: Erstens wird ein globales Lösungstheorem formuliert und bewiesen, welches auf gekoppelte Systeme angewandt werden kann, um deren Kopplungsansatz mathematisch zu rechtfertigen. Zweitens werden numerische Methoden vorgestellt, welche unter wesentlich schwächeren Strukturannahmen stabil sind und sich daher für die Simulation von gekoppelten Systemen eignen. Drittens wird eine Strategie präsentiert, die es ermöglicht, explizite Methoden auf gekoppelte Systeme anzuwenden. Um diese Ziele zu erreichen, braucht man ein Entkopplungsverfahren für DAEs, welches die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: Die Komplexität des Entkopplungsverfahrens sollte nicht die Komplexität der DAE überschreiten. Das Entkopplungsverfahren sollte Eigenschaften wie Symmetrie, Monotonie und positive Definitheit erhalten. Das Entkopplungsverfahren sollte durch einen Schritt-für-Schritt Ansatz mit unabhängigen Schritten realisiert werden. Sowohl das Konzept des Tractability Index als auch das des Strangeness Index liefert kein solches Entkopplungsverfahren. Daher wird hier ein neues Index Konzept eingeführt, das diesen Anforderungen entspricht. / This thesis addresses differential-algebraic equations (DAEs). They play an important role in the modeling, simulation and optimization of networks and coupled problems in various applications. The main application in this thesis are coupled problems in electric circuit simulation. We discuss and extend existing results regarding the modeling and numerical simulation of DAEs. Furthermore, we investigate the global unique solvability and the sensitivity of solutions with respect to perturbations of DAEs. Nowadays the modeling of multi-physical applications is often realized by coupling systems of DAEs together with the help of additional coupling terms. This approach may yield high dimensional DAEs which cannot be simulated, due to instabilities, by standard numerical methods. Regarding these challenges we formulate three objectives: First we provide a global solvability theorem which can be applied to coupled systems to mathematically justify their coupling approach. Second we introduce numerical methods which are stable without needing any structural assumptions. Third we provide a way to apply explicit methods to coupled systems to be able to handle the size of the coupled systems by parallelizing the algorithms. To achieve these objectives, we need a decoupling procedure which fulfills the following three properties: The complexity of the decoupling procedure has to reflect the complexity of the DAE, i.e. the decoupling procedure should be state-independent if possible. The decoupling procedure should preserve properties like symmetry, monotonicity and positive definiteness. The decoupling procedure should be realized by a step-by-step approach with independent stages. Both the Tractability Index concept and the Strangeness Index concept do not provide such a decoupling procedure. For this reason we introduce a new index concept which provides such a decoupling procedure.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Aspekten der Finanzmathematik. Ein erweitertes Libor Markt Modell wird betrachtet, welches genug Flexibilität bietet, um akkurat an Caplets und Swaptions zu kalibrieren. Weiterhin wird die Bewertung komplexerer Finanzderivate, zum Beispiel durch Simulation, behandelt. In hohen Dimensionen können solche Simulationen sehr zeitaufwendig sein. Es werden mögliche Verbesserungen bezüglich der Komplexität aufgezeigt, z.B. durch Faktorreduktion. Zusätzlich wird das sogenannte Andersen-Simulationsschema von einer auf mehrere Dimensionen erweitert, wobei das Konzept des „Momentmatchings“ zur Approximation des Volaprozesses in einem Heston Modell genutzt wird. Die daraus resultierende verbesserten Konvergenz des Gesamtprozesses führt zu einer verringerten Komplexität. Des Weiteren wird die Bewertung Amerikanischer Optionen als optimales Stoppproblem betrachtet. In höheren Dimensionen ist die simulationsbasierte Bewertung meist die einzig praktikable Lösung, da diese eine dimensionsunabhängige Konvergenz gewährleistet. Eine neue Methode der Varianzreduktion, die Multilevel-Idee, wird hier angewandt. Es wird eine untere Preisschranke unter zu Hilfenahme der Methode der „policy iteration“ hergeleitet. Dafür werden Konvergenzraten für die Simulation des Optionspreises erarbeitet und eine detaillierte Komplexitätsanalyse dargestellt. Abschließend wird das Preisen von Amerikanischen Optionen unter Modellunsicherheit behandelt, wodurch die Restriktion, nur ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmodell zu betrachten, entfällt. Verschiedene Modelle können plausibel sein und zu verschiedenen Optionswerten führen. Dieser Ansatz führt zu einem nichtlinearen, verallgemeinerten Erwartungsfunktional. Mit Hilfe einer verallgemeinerte Snell''sche Einhüllende wird das Bellman Prinzip hergeleitet. Dadurch kann eine Lösung durch Rückwärtsrekursion erhalten werden. Ein numerischer Algorithmus liefert untere und obere Preisschranken. / The work presented here deals with several aspects of financial mathematics. An extended Libor market model is considered offering enough flexibility to accurately calibrate to various market data for caplets and swaptions. Moreover the evaluation of more complex financial derivatives is considered, for instance by simulation. In high dimension such simulations can be very time consuming. Possible improvements regarding the complexity of the simulation are shown, e.g. factor reduction. In addition the well known Andersen simulation scheme is extended from one to multiple dimensions using the concept of moment matching for the approximation of the vola process in a Heston model. This results in an improved convergence of the whole process thus yielding a reduced complexity. Further the problem of evaluating so called American options as optimal stopping problem is considered. For an efficient evaluation of these options, particularly in high dimensions, a simulation based approach offering dimension independent convergence often happens to be the only practicable solution. A new method of variance reduction given by the multilevel idea is applied to this approach. A lower bound for the option price is obtained using “multilevel policy iteration” method. Convergence rates for the simulation of the option price are obtained and a detailed complexity analysis is presented. Finally the valuation of American options under model uncertainty is examined. This lifts the restriction of considering one particular probabilistic model only. Different models might be plausible and may lead to different option values. This approach leads to a non-linear expectation functional, calling for a generalization of the standard expectation case. A generalized Snell envelope is obtained, enabling a backward recursion via Bellman principle. A numerical algorithm to valuate American options under ambiguity provides lower and upper price bounds.

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