TIMSS och Skolverket har rapporterat resultat som visar att elever verkar vara svaga inom räknesättet subtraktion. I en kartläggning genomfördes olika matematikdiagnoser i olika årskurser i Sverige där detta resultat också framgår. Bland annat visade det sig att 4/5 av deltagande elever i årskurs 2 inte klarade uppgifter som 19-4. Forskning hävdar att elever bland annat har svårt för huvudräkning och skriftliga räknemetoder. Syftet med denna litteraturstudie var att ta reda på vad forskningen säger om upplevda svårigheter hos lågstadieelever och dess möjliga orsaker. Specifikt att besvara frågeställningarna: Vad säger forskningen om vilka svårigheter lågstadieelever har inom räknesättet subtraktion? Vad säger forskningen om möjliga bakomliggande orsaker till nämnda svårigheter? För att besvara frågeställningarna och uppnå studiens syfte har vi systematiskt tagit fram, analyserat och sammanställt vetenskapliga studier som behandlar området. Vårt resultat visar att forskningen har kommit fram till att elever bland annat har svårt för bakåträkning, genomföra lån i uppställning på korrekt sätt och att de subtraherar det minsta tal från det största oavsett placering. Forskningen beskriver att de möjliga orsakerna kan bero på missförståelse och felinlärning. Studien grundar sig mestadels på utländska forskningspublikationer och därmed kan resultatet skilja sig från svenska skolor. I vidare forskning var tanken att undersöka elevers strategier vid subtraktionsuträkningar samt deras reflektioner kring dem. Didaktiska implikationer från studien är indikationer på att lärare bör skapa en medvetenhet om elevers svårigheter, generellt i matematik för att kunna förebygga svårigheter och missförstånd så att dessa inte följer elever till senare år.

Goda kunskaper i algebra är viktiga för framtiden. De används såväl i skolan som i vardagslivet. Att lägga grunden och påbörja utvecklingen av dessa kunskaper i tidig grundskola blir därav viktigt. Detta kan göras i form av tidigt algebraiskt tänkande utifrån en av algebrans grunder, generaliserad aritmetik. Syftet med studien är att undersöka tidigt algebraiskt tänkande och hur det kopplas samman med aritmetik och generaliserad aritmetik. Detta syfte besvaras genom frågorna: varför det enligt matematikdidaktisk forskning är viktigt att elever får utveckla ett tidigt algebraiskt tänkande, på vilka olika sätt beskrivs begreppet generaliserad aritmetik i matematikdidaktisk forskning och hur beskriver matematikdidaktisk forskning att aritmetik och generaliserad aritmetik är en del av ett tidigt algebraiskt tänkande? Litteraturen som studien baseras på samlades in genom sökningar i databaser. Materialet som undersökts är vetenskapliga publikationer, där såväl nationella som internationella studier förekommer. Det insamlade materialet analyserades genom en översiktsmall, dessutom användes inklusionskriterier för att bedöma publikationernas relevans för studien.  Resultatet visar att ett tidigt algebraiskt tänkande spelar en stor roll för utvecklingen av kunskaper i andra matematiska innehåll. Vidare framkommer det att begreppet generaliserad aritmetik inte har en entydig definition utan beskrivs på olika sätt av olika forskare. Slutligen visar studien att aritmetik och generaliserad aritmetik utgör en viktig del i utvecklingen av elevers tidiga algebraiska tänkande.

Forskning har visat att det finns missuppfattningar bland elever vad gäller prioriteringsregler och strukturer. Med det menas att elever missuppfattar, missbrukar, ignorerar eller är okunniga om de regler och konventioner som bygger upp det som brukar beskrivas som numeriska uttrycks strukturer. Aritmetik, det vill säga räknelära, utgör grunden för matematiken och att behärska aritmetik gör att eleverna klarar sig bättre i skolmatematiken. Men det finns också många forskare som knyter elevers förståelse och strukturer i aritmetiska uttryck till grundläggande aritmetik. Syftet med studien är att utvidga vår kunskap om hur elever i årskurs 5 strukturerar numeriska beräkningar och använder sig av prioriteringsregler i aritmetiska uttryck. Tidigare studier kring detta område har framförallt fokuserat på numeriska uttryck med två operationer, vanligtvis addition eller subtraktion och multiplikation. Man kan dock misstänka att uttryck med fler än två operationer ger möjlighet att få ytterligare insikt i hur elever strukturerar beräkningar. De uttryck vars elevlösningar analyseras i denna studie innehåller därför flera olika operationer (tre till sex operationer). Datamaterialet utgörs av elevers lösningar (från ett arbetsblad) på fyra olika uppgifter. Totalt omfattar studien 123 elever i sex olika klasser i årskurs 5, från fem olika skolor. I analysen framkom att elever strukturerar och använder sig av prioriteringsregler på kvalitativt skilda sätt. Främst strukturerar elevernade aritmetiska uppgifterna genom att göra olika former av grupperingar. I deras beräkningar visar det sig att flertalet verkar förstå att multiplikation ska räknas före addition och subtraktion, men när det gäller addition och subtraktion tycks de visa en osäkerhet vilket som ska räknas först.

Uppsatsens syfte är att bidra med kunskap om hur elever i årskurs tre uppfattar likhetstecknets innebörd. För att kunna uppfylla syftet med uppsatsen ställde vi tre forskningsfrågor: hur uppfattar eleverna likhetstecknets betydelse i olika kontexter?, Hur ser ett antal svenska elevers i prestationer i algebra ut jämfört med ett antal sydkoreanska elever?, samt vilka olika resonemangsvariationer ser vi i elevernas olika svar? I den första forskningsfrågan avser kontexter likhetstecknet i tre olika moment: i) Ekvationers strukturer (inkluderar även relationella resonemang uppgifter), t.ex. om 22+15=15+22 är sant eller falskt, ii) Definition av likhetstecknet, t.ex. beskriv innebörden av likhetstecknet, iii) Öppna ekvationer, t.ex. vilket är det okända talet i den givna ekvationen?   Vi valde att genomföra en kvantitativ studie med hjälp av ett matematiktest. 72 elever i årskurs tre genomförde testet i vår studie. Med hjälp av en så kallad konstruktionskarta kategoriserade vi var eleverna befann sig kunskapsmässigt i sin förståelse för likhetstecknets innebörd.Blanton, Stephens, Knuth, Murphy Gardiner, Isler och Kim (2015)  har kategoriserat algebran i fem olika kategorier så kallade ”big ideas". Med hjälp av ”big ideas” kunde vi få en översiktlig bild över hur eleverna i undersökningen uppfattar likhetstecknet i olika algebraiska kontexter det vill säga i de fem olika kategorierna. För att kunna jämföra hur eleverna i vår undersökning presterade på matematiktestet med en internationell forskningsstudie valde vi en forskningsstudie som genomförts i Sydkorea, där man har använt sig av samma matematiktest som eleverna i vår undersökning har genomfört. Således jämförde vi elevernas prestationer i vår undersökning med de sydkoreanska eleverna i årskurs tre prestationer på samma matematiktest.   Resultatet visade att eleverna uppfattar likhetstecknet olika beroende på vilken kontext symbolen presenteras i. Majoriteten av eleverna missuppfattar likhetstecknet och ser det som signal till svaret på frågan. Eleverna presterar lägst i det område inom algebran som representerar generaliserad aritmetik som innefattar strukturer, relationer och mönster inom aritmetiken. Eleverna i studien har en lägre relationell förmåga det vill säga har lägre förmåga att se strukturer och relationer än de sydkoreanska eleverna men ligger i övrigt på samma kunskapsnivå inom detta test.

<p>Syftet med vår studie är att upptäcka vilka lösningsstrategier som elever i år två använder sig av vid tiotalsövergångar i addition och subtraktion och hur effektiva dessa är. Vi har valt att använda oss av kvalitativa intervjuer som datainsamlingsmetod. Vi har intervjuat 15 elever från tre olika skolor. Eleverna fick lösa 20 uppgifter, tio inom addition och tio inom subtraktion, av ökande svårighetsgrad. Av dessa 20 är tolv uppgifter beräkningar över tiotalsgränser. Det är dessa tolv vi fokuserat på i vår studie. Utifrån vårt syfte och våra frågeställningar har vi analyserat elevernas svar. Vid vår kategorisering av elevernas svar har vi använd oss av Ahlbergs (1992) och Ostads (1999) kategoriseringar av vanliga lösningsstrategier.Vid vår analys har vi funnit att, av de lösningsstrategier som eleverna använt sig av i vår studie, är omgestaltning av talen den mest effektiva. Vid denna strategi behöver få elever använda sig av hjälpmedel såsom fingrar, papper och penna eller konkret material. Däremot behöver många av eleverna som använder sig av lösningsstrategierna uppräkning på talsekvensen vid addition och minskningsstrategin vid subtraktion ta hjälp av konkret material vid de mer avancerade uppgifterna. Dessa strategier är därför mindre effektiva.</p>

Syftet med vår studie är att upptäcka vilka lösningsstrategier som elever i år två använder sig av vid tiotalsövergångar i addition och subtraktion och hur effektiva dessa är. Vi har valt att använda oss av kvalitativa intervjuer som datainsamlingsmetod. Vi har intervjuat 15 elever från tre olika skolor. Eleverna fick lösa 20 uppgifter, tio inom addition och tio inom subtraktion, av ökande svårighetsgrad. Av dessa 20 är tolv uppgifter beräkningar över tiotalsgränser. Det är dessa tolv vi fokuserat på i vår studie. Utifrån vårt syfte och våra frågeställningar har vi analyserat elevernas svar. Vid vår kategorisering av elevernas svar har vi använd oss av Ahlbergs (1992) och Ostads (1999) kategoriseringar av vanliga lösningsstrategier.Vid vår analys har vi funnit att, av de lösningsstrategier som eleverna använt sig av i vår studie, är omgestaltning av talen den mest effektiva. Vid denna strategi behöver få elever använda sig av hjälpmedel såsom fingrar, papper och penna eller konkret material. Däremot behöver många av eleverna som använder sig av lösningsstrategierna uppräkning på talsekvensen vid addition och minskningsstrategin vid subtraktion ta hjälp av konkret material vid de mer avancerade uppgifterna. Dessa strategier är därför mindre effektiva.

Matematiken handlar i mångt och mycket om att lösa problem och se mönster. Talmönster är en viktig del inom algebran och aritmetiken och är det fenomen som jag i denna studie vill undersöka elevers uppfattningar av. Syftet med föreliggande kvalitativa studie är att skapa kunskap om elevers skilda sätt att erfara talmönster, såväl talföljder som visuella talmönster. Därutöver syftar studien till att identifiera kritiska aspekter utifrån de skilda sätt som talmönstren erfars av eleverna. Nio elever i årskurs 3 och 4 har intervjuats utifrån ett antal talmönster. Fenomenografin och variationsteorin utgör studiens teoretiska utgångspunkter och har använts för att analysera materialet. I analysen har förutom likheter och skillnader mellan sätten att erfara, innehållet i elevutsagorna analyserats utifrån erfarandets referentiella och strukturella aspekt. Resultatet av den fenomenografiska analysen har utmynnat i följande sex beskrivningskategorier: Jämn förflyttning, Konstant eller icke-konstant skillnad, Kombination av delar, Relation mellan vissa delar, Olika del- och helhetsstrukturer och Utöver angiven helhet. I analysen har de aspekter som eleverna fokuserat på varit vägledande för att skilja kategorierna åt och identifiera sex kritiska aspekter. En av dessa kritiska aspekter handlar om att urskilja att förhållandet mellan delarna i mönstret kan se olika ut. En annan kritisk aspekt är fråga om att kunna urskilja delarnas inbördes relation, relationernas förhållande till helheten och den icke angivna helheten. En tredje innebär att delarna behöver urskiljas samtidigt som helheten. Inte nödvändigtvis samtliga delar, men tillräckligt många för att se en regelbundenhet. Studiens resultat har gett didaktiska implikationer om vad eleverna i en undervisningssituation behöver ges möjlighet att urskilja för att utveckla ett mer innehållsrikt och differentierat sätt att erfara talmönster. Resultatet diskuteras utifrån tidigare internationella undersökningar. Det förs även en diskussion om vad studiens resultat kan tillföra och de didaktiska implikationer resultatet ger.

Vid sifferseriell aritmetik används ett antal parallella bitar för varje siffra. För att jämföra prestanda och effektförbrukning i förhållande till antalet bitar behövde Institutionen för systemteknik (ISY) en layout-generator för att enkelt kunna generera layout för en sifferseriell tvåportsadaptor. Layouten skulle göras i 0.18 mikrometer process. Antalet inkommande databitar och antalet koefficientbitar skulle vara variabelt. Stor vikt lades vid planeringen av layouten för att genereringen av adaptorn skulle fungera smidigt oberoende av de variabla parametrarna. Kod skrevs för att koppla samman layout-instanserna och för att förenkla adaptorn. / Digit serial arithmetics uses a number of parallel bits in each digit. To compare performance and power consumption relative the number of bits, the Department of Electric Engineering (ISY) needed a layout generator to generate layout for a digit serial two-port adaptor. The layout should be done in 0.18 micrometer process. The number of bits of the incoming data and the number of bits of the coefficient should be variable. Great concern was put in the planning of the layout to make the generation of the adaptor work well independent of the parameters. Code was written to connect the layout instances and to simplify the adaptor.

<p>Vid sifferseriell aritmetik används ett antal parallella bitar för varje siffra. För att jämföra prestanda och effektförbrukning i förhållande till antalet bitar behövde Institutionen för systemteknik (ISY) en layout-generator för att enkelt kunna generera layout för en sifferseriell tvåportsadaptor. Layouten skulle göras i 0.18 mikrometer process. Antalet inkommande databitar och antalet koefficientbitar skulle vara variabelt. Stor vikt lades vid planeringen av layouten för att genereringen av adaptorn skulle fungera smidigt oberoende av de variabla parametrarna. Kod skrevs för att koppla samman layout-instanserna och för att förenkla adaptorn. </p> / <p>Digit serial arithmetics uses a number of parallel bits in each digit. To compare performance and power consumption relative the number of bits, the Department of Electric Engineering (ISY) needed a layout generator to generate layout for a digit serial two-port adaptor. The layout should be done in 0.18 micrometer process. The number of bits of the incoming data and the number of bits of the coefficient should be variable. Great concern was put in the planning of the layout to make the generation of the adaptor work well independent of the parameters. Code was written to connect the layout instances and to simplify the adaptor.</p>

Ämnesområdet som detta examensarbete utgår ifrån är aritmetikundervisning. Syftet är att undersöka hur förståelse för tals del-helhetsrelationer inverkar på elevers lärande av sambandet mellan addition och subtraktion. Syftet är även att undersöka hur förståelse för tals del-helhetsrelationer påverkar lärandet av talkamrater. Vidare undersöks vilka andra effekter förståelse för tals del-helhetsrelationer har på elevers matematiklärande. Examensarbetets metod är en litteraturstudie där forskning om del-helhetsrelationer i undervisningssammanhang undersöks. Det insamlade materialet innefattar enbart internationell litteratur mellan åren 1925 och 2013. Materialet består av 13 forskningsartiklar och en forskningsrapport samt två böcker. Resultatet visar att förståelse för tals del-helhetsrelationer är en viktig faktor i förståelsen för sambandet mellan addition och subtraktion. Genom förståelsen för tals helhet och delar får elever kunskaper som är användbara vid lärandet av talkamrater. Förståelse för tals del-helhetsrelationer har även positiv effekt på lösningar av additions- och subtraktionsproblem samt på förståelse för positionssystemet och tiotalsövergångar i både addition och subtraktion.