Studiens syfte är att öka kunskapen om hur svenska lärare förhåller sig till uppgifter som behandlar generaliserad aritmetik. Generaliserad aritmetik handlar om att upptäcka och generalisera underliggande matematiska strukturer i tal och räkneoperationer. Forskare på området menar att undervisning i generaliserad aritmetik i grundskolans tidiga år kan underlätta övergången till högstadiets formella algebra. Studien avser att undersöka vad lärare kan anse att uppgifter som behandlar generaliserad aritmetik kan bidra med till elevers lärande, hur lärare placerar uppgifterna i en tänkt progression i matematikundervisningen samt hur relevanta uppgifterna anses vara för främjandet av elevers algebraiska tänkande. Kvalitativa intervjuer har använts som metod.   Trots att generaliserad aritmetik i det närmaste saknas i läroplan och läromedel visar vårt resultat att området finns i lärares medvetenhet. Resultaten visar att bland de olika områden och förmågor som lärarna ansåg att uppgiften kunde syfta till påträffades även generaliserad aritmetik. Fortsatt visar resultatet att aritmetiska förkunskaper ansågs betydande för att ta sig an dessa uppgifter. Slutligen visar resultatet att vissa uppgifter ansågs mer relevanta för elevers algebraiska tänkande än andra beroende på vad uppgifterna ansågs syfta till för lärande, trots att alla uppgifter kan behandla generaliserad aritmetik. Både en mer traditionell syn på algebraämnet och en syn på att algebraämnet kan anpassas och påbörjas redan i de lägre årskurserna kunde urskiljas hos lärarna.

This thesis investigates how systolic architectures can be used in the implementation of an arithmetic unit for small finite fields of characteristic two with polynomial basis representation. Systolic architectures provide very high performance but also consume a lot of chip area. A number of design methods for tailoring the systolic arrays for a specified requirement are presented, making it possible to trade throughput, chip area and propagation delays for oneanother. A study is also made on how these systolic arrays can be combined to form an arithmetic logic unit, ALU, that canperform operations in many different fields. A number of design alternatives are presented, and an example ALU is presented to give an idea of the performance of such a circuit.

Fingrarna har länge använts som en konkret representationsform för att lösa aritmetikuppgifter. Det finns flera olika sätt att använda sig av fingrarna och dessa beror på vilka aspekter som individen har urskilt. Med utgångspunkt i fenomenografin har kvalitativa intervjuer observerats för att undersöka variationen av hur elever i förskoleklass använder sina fingrar för att lösa additions- och subtraktionsuppgifter. Utifrån den valda metoden syftar studien till att undersöka elevers olika uppfattningar och sätt att använda fingrarna vid aritmetikuppgifter. Resultatet visar på att eleverna använde sig av tre kvalitativt olika sätt för att lösa aritmetikuppgifter. Utifrån analysen visade det sig att eleverna använder olika sätt utefter sina erfarenheter, vilka aspekter som urskilts och hur fenomenet uppfattas. Detta resulterade i tre kvalitativt skilda sätt, enskilda enheter, strukturerade delar och enskilda delar samt strukturerade fingermönster. Sätten går att skriva i en hierarkisk ordning då de innehåller olika framgångsrika kvaliteter. För att eleven ska kunna använda sig av det sätt som har högst framgångsrika kvaliteter krävs det att kunskaper om del-helhetsrelationer och fingermönster har urskilts. Alla elever har olika förutsättningar och förkunskaper. Vetskap om elevernas individuella förmåga gör att läraren kan anpassa och utmana eleven. För att eleven ska urskilja mer framgångsrika kvaliteter krävs det att läraren synliggör betydelsefulla aspekter i undervisningen, som exempelvis fingermönster. / The fingers have long been used as a concrete representation form for solving arithmetic tasks. There are several different ways to use your fingers and it all depends on which aspects the individual has distinguished. Based on phenomenography, qualitative interviews have been observed to investigate the variation in how pupils in preschool use their fingers to solve addition and subtraction tasks. Based on this chosen method, the study aims to investigate pupils’ different views and ways of using their fingers in arithmetic tasks. The result shows that the pupils used three qualitatively different ways to solve arithmetic tasks. Based on the analysis, it showed that the pupils use different ways along with their experiences, what aspects are distinguished and how the phenomenon is perceived. This resulted in three qualitatively different ways, individual pieces, structured parts and individual pieces, and structured finger patterns. These ways can be written in a hierarchical order as they contain different successful qualities. In order for the pupil to use the method that has the most successful qualities, it is necessary to have knowledge of partial-whole relationships and finger patterns. All pupils have different prerequisites and prior knowledge. Knowledge of the pupils' individual ability that enables the teacher to adapt and challenge the pupil. In order for the pupil to distinguish more successful grades, it is necessary for the teacher to make visible important aspects of the teaching such as finger patterns.

För att elever ska utveckla kunskap om matematiska principer behöver de ha kunskap om tals additiva del-helhetsrelationer och relationen mellan addition och subtraktion. Addition och subtraktion är varandras invers och det är viktigt att eleverna lär sig att addition och subtraktion inte är åtskilda räknesätt. En välstuderad matematisk princip som beskriver den här relationen är inverse principle, vilket skrivs som 𝑎+ 𝑏− 𝑏= 𝑎 eller 𝑎− 𝑏+ 𝑏= 𝑎. Däremot har få studier riktat in sig på den matematiska principen complement principle, vilket innebär sambandet mellan 𝑎+ 𝑏= 𝑐 och 𝑐− 𝑏= 𝑎. Därför är syftet med litteraturstudien att utifrån matematikdidaktisk forskning belysa elevers förståelse för matematiska principer genom addition och subtraktion. Syftet besvaras genom frågorna: Hur kan förståelse för addition och subtraktion underlätta för elever när de utvecklar kunskap om inverse principle och complement principle samt vilken betydelse har konkret material för elevers förståelse för inverse principle och complement principle.  Genom en systematisk informationssökning som utgår från tidigare forskning har internationellt vetenskapligt material samlats in. Litteraturstudien har inriktats mot elever i skolans lägre årskurser. Resultatet visar att förståelse för de matematiska principerna grundas i elevers förståelse för del-helhetsrelationer och hur de förstår relationen mellan addition och subtraktion. Resultatet visar även att begreppet complement principle är komplext men med hjälp av konkret material kan elever lättare att ta till sig och använda principen. Elever verkar förstå de matematiska principerna lättare när de får det beskrivet med konkret material. Det finns en möjlighet att elever utvecklar förståelse för complement principle genom sin förståelse för inverse principle.

Mental arithmetic problems require cognitive skills such as decoding numbers, working memory and the use of mental computation strategies. Pupils obtain various computation strategies at school, but what kind of strategies do pupils who are high achievers in mathematics choose while solving mental arithmetic problems? This study aimed to investigate what kind of strategies pupils who are high achievers in mathematics used while solving mental arithmetic problems, and if there were any substantial findings in the correlation between those strategies and their audio and visual memory. This was done by using standardised tests for visual and audio memory. Twenty-four high achieving pupils in mathematics were recruited, and data was compiled with regards to age, gender and neurodevelopmental disorders. The following computation strategies were identified; full decomposition, partial decomposition, transformation strategy and arithmetic fact. The results showed that the participants achieved above mean results on visual memory and sequence memory tests. Gender differences were identified in terms of girls achieving higher results than boys on all memory tests, they also differed in their use of computation strategies. No differences between participants with and without neurodevelopmental disorders were identified. Participants using the transformation strategy exhibit the most amount of flexibility in terms of applying computation strategies. Arithmetic fact was required to be able to apply transformation strategy.  Huvudräkning ställer krav på kognitiva förmågor såsom avkodning av siffror, arbetsminne och användning av beräkningsstrategier. Elever tillägnar sig olika beräkningsstrategier i matematikundervisningen, men vilka beräkningsstrategier väljer högpresterande elever i matematik vid huvudräkning? Syftet med denna uppsats var att identifiera vilka beräkningsstrategier som högpresterande elever i matematik använder sig av vid aritmetisk huvudräkning och hur beräkningsstrategierna förhåller sig till arbetsminne. Arbetsminnet undersöktes med tester i visuellt minne, visuellt sekvensminne, och fram- och baklänges sifferrepetition. Till studien rekryterades 24 högpresterande elever i matematik. Resultaten sammanställdes med avseende på ålder, kön och eventuella neuropsykiatriska funktionsvariationer (NPF). Följande beräkningsstrategier identifierades; talsortsvis beräkning, stegvis beräkning, talfakta och transformationsberäkning. Resultaten visade att deltagarna i studien uppnådde ett högre resultat än normalvariationen i visuellt minne och sekvensminne. Det fanns könsskillnader i form av att flickorna fick ett högre resultat än pojkarna på samtliga arbetsminnestester och att de båda könen kombinerade beräkningsstrategierna på olika sätt. Deltagare med NPF skilde sig inte från övriga deltagare gällande testresultat och användning av beräkningsstrategier. De som använde sig av transformationsberäkning uppvisade störst flexibilitet i sin tillämpning av beräkningsstrategier. Slutligen krävdes det talfakta för att transformationsberäkning skulle användas.

Grundläggande kunskaper i aritmetik är centralt inom matematiken och effektiva strategier samt kontinuerlig övning gynnar alla elever. Arbetet syftade till att utforma och pröva om en helklassintervention, RtI nivå ett, inom grundläggande aritmetik gav effekt. Interventionen genomfördes under tre veckor i två årskurs sexklasser som fick undervisning i korta pass tre gånger per vecka. Undervisningen strukturerades utifrån explicit undervisning och CRA-metoden där undervisningen börjar på konkret nivå övergår i representativ och slutligen i abstrakt nivå. Eleverna fick undervisning i olika strategier för huvudräkning inom subtraktion samt möjlighet att öva huvudräkning inom subtraktion i talområdet 0 - 20. Studien var ett kvasiexperiment med förtest och eftertest i både interventionsgrupperna och kontrollgrupperna. En statistisk signifikant effekt kunde mätas då interventionsgruppens medelvärde förbättrades mer än kontrollgruppens inom huvudräkningstestet. Ingen transeffekt uppmättes för algoritmräkning inom subtraktion.

Studiens syfte är att beskriva hur elever i de lägre åldrarna använder handgester när de löser aritmetikuppgifter. Den teoretiska utgångspunkten i studien är embodied cognition, där det centrala i teorin är att vi lär oss genom kroppen. Tio elever i sjuårsåldern i Sydafrika har observerats med fokus på deras användning av handgester. Resultatet visade att flera av eleverna använder handgester när de löser additions- och subtraktionsuppgifter och att det finns ett antal olika handgester de använder sig av. De olika handgesterna delades in i taktila och icke-taktila gester, som i sin tur kopplades till konkreta och abstrakta gester. Slutsatsen av studien är att elever använder sig av olika handgester i olika kombinationer när de löser aritmetikuppgifter. Deras gester med händer och fingrar kan vara ett uttryckssätt för deras utvecklingsprocess och kan fungera som en bro mellan konkret och abstrakt tänkande. / The aim of the study is to describe how students of the lower ages use hand gestures when solving arithmetic tasks. The theoretical basis of the study is embodied cognition. The viewpoint of embodied cognition holds that the body is a tool for learning. Ten students in South Africa, aged seven, have been observed based on their use of hand gestures. The result showed that several students use hand gestures when solving addition and subtraction tasks and there were a number of different hand gestures being used. The various hand gestures were divided into tactile and non-tactile gestures. These could in turn be linked to concrete and abstract gestures. The conclusion of the study is that students use different types of hand gestures and also in various combinations when solving arithmetic tasks. Their hand gestures can be a way of expressing their development process and to function as a bridge between concrete and abstract thinking.

Ett område inom matematik som elever arbetar mycket med i skolan är aritmetik, vilket innebär hur de fyra räknesätten fungerar och kan användas. Dessa räknesätt har olika egenskaper, en av dessa egenskaper, som innehas av addition och mutliplikation, är kommutativitet. Denna egenskap innebär att termers rumsliga placering inte har betydelse för summan. För att eleverna ska utveckla goda kunskaper inom aritmetik och algebra är det därför av vikt att de lär sig om den kommutativa egenskapen. För att kunna skapa goda förutsättningar för elever behöver vi som lärare veta mer om hur elever förstår kommutativitet. Syftet med studien är därför att utforska hur elever i lågstadieåldern resonerar om och använder kommutativitet. I den här studien har elever i förskoleklassen upp till årskurs 3 intervjuats. Intervjuerna var semistrukturerade och individuella. Resultatet visar att när elever resonerar om kommutativitet, har några fokus på summan och några har fokus på termerna. I studien har det även framkommit att flertalet av eleverna övergeneraliserar kommutativitet och tillämpar egenskapen vid subtraktion, vilket överensstämmer väl med vad man sett i tidigare forskning. Elever använder olika beskrivningar när de resonerar om kommutativitet, där framförallt fyra var tydligt framträdande i studien: det spelar ingen roll vilken plats talen står på, de har bytt plats, de har vänt på siffrorna och de har bytt håll. Slutsatsen i studien är att förståelsen för kommutativitet är viktig för att tillförskaffa sig effektiva och användbara strategier i aritmetik. / One area of mathematics that students learn in school is arithmetic, where the four operations are found. These operations have different properties. One of those properties, valid for addition and multiplication, is commutativity. For addition, commutativity means that the terms’ spatial position does not change the sum. For example, 5+2 is equal to 2+5. For students to develop their knowledge of arithmetic, it is important that they also learn about commutativity.  Therefore, the aim of the study is to explore how student in primary school discuss and use commutativity in addition. Interviews have been made with student in the preschool class to grade 3. The interviews were semi-structured and individual. It was found that the students reason about commutativity in different ways, some focusing on the sum and some focusing on the terms. The study also shows that most students overgeneralize commutativity and apply it in subtraction which is in argument with findings from previous research. Students used different explanations when they described commutativity: the numbers spatial position doesn’t matter, they have changed place, the numbers are turned around and they have changed direction. The conclusion of the study is that understanding commutativity is important in providing effective and useful strategies in arithmetic.

Sammanfattning  Bakgrund Räkning är beroende av den grundläggande aritmetiken, de fyra räknesätten. Forskning har visat att det är viktigt att testa aritmetisk förmåga vid utredning av specifika räknesvårig-heter, dyskalkyli. Testen Fluency addition och Fluency subtraktion undersöker en del av vår räkneförmåga, aritmetiskt flöde. Enligt forskning utvecklas aritmetiskt flöde över tid. I nuläget saknas referensvärden i högre åldrar för testen vilket behövs för att kunna göra till­förlitliga bedömningar i klinisk verksamhet.  Syfte Syftet med studien var att ta fram referensvärden för hur svenska gymnasieelever i årskurs 1 presterar på räknetesten Fluency addition och Fluency subtraktion.  Metod Studien omfattade 144 gymnasieelever från skolor i Västerbottens län och Örnsköldsvik. Testning genomfördes klassvis på respektive skola. Deltagarna som uppgav att de var diagnos­tiserade med neuropsykiatrisk funktionsnedsättning exkluderades. Resultat Resultatet visade M=31,1 (SD=10,6) i Fluency addition och M=35,8 (SD=12) i Fluency subtraktion av max 81 poäng på vardera test. Det fanns inga signifikanta skillnader bero­ende på kön eller studieinriktning, men en signifikant skillnad fanns för testordning. Det fanns en signifikant interaktion mellan kön, studieinriktning och testordning i Fluency addition samt mellan studieinriktning och testordning i Fluency subtraktion. Samtliga signifi­kanta värden hade marginell påverkan. Studiens deltagare fick högre resultat än befintliga referens­värden för mellanstadiet.  Slutsatser Eftersom inga signifikanta skillnader framkom gällande kön eller studieinriktning drogs slutsatsen att studiens gymnasieelever kan ses som en gemensam grupp. Resultatet stödjer tidigare forskning som visat att den aritmetiska förmågan utvecklas med ökad ålder. Studiens resultat bedöms kunna användas som referensvärden i bedömning av aritmetisk förmåga.

Syftet med undersökningen var att undersöka kommunikationen samt elevers begreppsförståelse inom aritmetik, de fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation samt division). Fokus låg även på att se om korrelation fanns mellan dessa. Undersökningen utfördes i två klasser i årskurs 2 på en skola i södra Sverige. I båda klasserna utfördes kvalitativa observationer som sedan följdes upp av semistrukturerade intervjuer med de deltagande lärarna. Observationerna har gjorts utifrån fem observationspunkter och intervjuerna har gjorts med öppna frågor. Det insamlade materialet har analyserats, vilket det gjordes utifrån ett sociokulturellt perspektiv med fokus på språk och samspel. Materialet analyserades även med hjälp av låg, passiv och aktiv nivå av begreppsförståelse. Utifrån resultatet av undersökningen kan vi se att det finns en korrelation mellan kommunikation och elevers inlärning av begrepp. Genom att lärare konsekvent använder sig av rätt terminologi i sin undervisning lär sig eleverna mer effektivt hur de ska använda dessa i rätt sammanhang. Det är genom kommunikation begreppen introduceras och det är även genom kommunikation som de lärs in. Eleverna kan inte själva sätta begreppen i rätt sammanhang om inte stödet av läraren är tillgängligt. Slutsatsen är därmed att både kommunikation och begreppsförståelse i matematiken hör ihop, precis som multiplikation och division. Båda två behövs för att kunna skapa förståelse och bilda kunskap hos eleverna, allt det här, med stöd av en lärare som har fokus på att använda rätt terminologi och förtydliga med synonymer. Ett matematikklassrum är inte tyst - det är ett klassrum fyllt av diskussioner och lösningar som delges till varandra.