In dieser Dissertation werden Kontaktstrukturen auf beliebigen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension untersucht. Dies geschiet vermöge der Rabinowitz-Floer-Homologie (RFH), welche 2009 von Cieliebak und Frauenfelder eingeführt wurde. Ein großer Teil der Arbeit widmet sich den technischen Problemen bei der Definition von RFH. Insbesondere wird die Transversalität für die benötigten Modulräume gezeigt. In einem weiteren Abschnitt wird bewiesen, dass RFH im wesentlichen invariant unter subkrittischer Henkelanklebung ist. Schließlich enthält die Arbeit die Berechnung von RFH für einige Brieskorn-Mannigfaltigkeiten. Die dabei gewonnenen Resultate werden dazu verwendet zu zeigen, dass es auf jeder Mannigfaltigkeit, welche füllbare Kontaktstukturen zulässt, entweder unendlich viele verschiedene füllbare Kontaktstrukturen gibt, oder eine Kontaktstruktur mit unendlich vielen verschiedenen Füllungen oder das für alle füllbaren Kontaktstrukturen die RFH von unendlicher Dimension ist für alle Grade. / This thesis considers fillable contact structures on odd-dimensional manifolds. For that purpose, Rabinowitz-Floer homology (RFH) is used which was introduced by Cieliebak and Frauenfelder in 2009. A major part of the thesis is devoted to technical problems in the definition of RFH. In particular, it is shown that the moduli spaces involved are cut out transversally. Moreover, it is proved that RFH is essentially invariant under subcritical handle attachment. Finally, RFH is calculated for some Brieskorn manifolds. The obtained results are then used to show for every manifold, which supports fillable contact structures, that there exist either infinitely many different fillable contact structures, or one contact structure with infinitely many different fillings or for every fillable contact structure holds that RFH is infinite dimensional in every degree.

Orientadora: Profa. Dra. Mariana Rodrigues da Silveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , Santo André, 2018.

Orientador: Elizabeth Terezinha Gasparim / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-23T08:45:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Callander_Brian_M.pdf: 1926930 bytes, checksum: 341dd0f9759ced382e138cd14fc4ae2c (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: O propósito desta tese é estudar fibrações de Lefschetz simpléticas, nas quais os ciclos evanescentes são subvariedades Lagrangianas das fibras. Para a descrição da teoria de interseção dos ciclos evanescentes utilizamos cohomologia de Floer Lagrangiana, cujo conceito revemos nesta tese. Apresentamos três exemplos principais e de caráteres distintos: (1) twists de Dehn generalizados, (2) o "espelho" da reta projetiva, e (3) uma fibração numa órbita adjunta de sl(3,C). O terceiro destes exemplos é original e utiliza um teorema recente de Gasparim- Grama-San Martin / Abstract: The objective of this thesis is to study symplectic Lefschetz fibrations, in which the vanishing cycles are Lagrangian submanifolds of the fibres. In order to describe the intersection theory of vanishing cycles we use Lagrangian intersection Floer cohomology, which we review. We present three main examples of distinct characters: (1) generalized Dehn twists, (2) the "mirror" of the projective line, and (3) a fibration on an adjoint orbit of sl(3,C). The third of these examples is original and uses a recent theorem of Gasparim- Grama-San Martin / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

L'objectif de cette thèse est d'investiguer la relation entre l'homologie de contact Legendrienne d'une variété de contact de dimension 3, et l'entropie topologique des flots de Reeb associés à cette variété de contact. Une variété de contact est une variété differentielle M de dimension impaire munie d'un champ d'hyperplan Y maximalement non-intégrable. Les champs de Reeb sont une classe speciale de champs de vecteurs sur M qui sont définis en utilisant la structure de contact; ils préservent la structure de contact et ils préservent aussi une forme de volume sur M.<p><p>L'entropie topologique h est un nombre non-négatif qu'on associe à un système dynamique et qui mesure la complexité de ce système. Si un système dynamique est d'entropie topologique positive, on dit que ce système est chaotique.<p><p>Comme les champs de Reeb sont construits en utilisant la structure de contact Y, il est naturel d'attendre que la topologie de (M,Y) influence la dynamique des champs de Reeb auxquels elle est associée. En particulier, il est naturel de se demander s'il existe des variétés de contact dont tous les champs de Reeb associés ont une entropie topologique positive. Si une varieté de contact a cette propriété, on dira qu'elle est d'entropie positive. <p><p>Macarini et Schlenk ont été les premiers à étudier cette question. Ils ont montré qu'il existe un grand ensemble de variétés différentielles Q, telles que le fibré unitaire T_1 Q muni de sa structure de contact canonique Y_{can} est d'entropie topologique positive. Plus précisement, ils ont utilisé l'homologie de Floer Lagrangienne, qui est un invariant symplectique, pour montrer que si Q est rationnellement hyperbolique alors (T_1 Q,Y_{can}) est d'entropie positive. <p><p>Pour étudier l'entropie topologique dans le cas où M n'est pas un fibré unitaire on substitue à l'homologie de Floer Lagrangienne un invariant plus naturel des variétés de contact: l'homologie de contact Legendrienne à bandes. On demontre dans cette thèse que l'homologie de contact Legendrienne à bandes est bien adaptée pour étudier l'entropie topologique. Plus précisement, on montre que quand l'homologie de contact Legendrienne à bandes est bien définie pour un champ de Reeb associé à (M,Y) et sa croissance est exponentielle, alors (M,Y) est d'entropie positive. <p><p>On utilise ce résultat pour trouver des nouveaux exemples de variétés de contact de dimension 3 qui sont d'entropie positive. On montre même qu'il y a des variétés de dimension 3 qui possèdent une infinité de structures de contact différentes qui sont toutes d'entropie positive. Ces résultats et bien d'autres nous permettent de conjecturer que la ``plupart' des variétés de contact de dimension 3 sont d'entropie positive. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse établit l'existence d'une variante de l'homologie de Floer de type Morse-Bott. Étant donnés une variété torique (W²ⁿ, ω, µ) et un hamiltonien H : W × S ¹ → ℝ invariant par l’action du tore de dimension n Tⁿ, , les orbites de H sont stables par l’action torique. Cette dernière admettant des points fixes dans W, elle n’est pas libre, pareillement pour celle induit sur les lacets de W et il est, a priori, impossible de construire une théorie de Morse-Bott équivariante au niveau de C∞(S¹, W)/Tⁿ. Nous remédions à ce problème en adoptant la construction de Borel : nous choisissons un espace E contractile muni d’une action libre du tore regardons l’homologie de Morse-Bott en dimension infinie de l’espace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ où Tⁿ agit cette fois de manière diagonale sur le produit.L’homologie obtenue est un invariant pour les variétés symplectiques toriques et nous le calculons dans le cas d’une variété fermée. / This thesis establishes the existence of a version of Floer homology in a Morse-Bottcontext. Given a toric manifold (Wⁿ, ω, µ) and a hamiltonian H : W × S¹ → ℝ invariant bythe action of the torus Tⁿ, the periodical orbits of H are stable by the toric action.The latter admits fix points in W and hence it not free, neither one induced on the spaceof the loops of W and it is, a priori, impossible to establish a equivariant infinite-dimensionalMorse-Bott theory on C∞(S¹, W)/Tⁿ. We deal with this problem using Borel’s construction : we choose a space contractible E witha free action from the torus and look at the infinite-dimensional Morse-Bott homology of thespace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ where Tⁿ act in a diagonal way on the product.We obtain an invariant for symplectic toric manifold and computes it for a closed manifold.

The Leray-Serre spectral sequence is a fundamental tool for studying singular homology of a fibration E->B with typical fiber F. It expresses H (E) in terms of H (B) and H (F). One of the classic examples of a fibration is given by the free loop space fibration, where the typical fiber is given by the based loop space . The first part of this thesis constructs the Leray-Serre spectral sequence in Morse homology on Hilbert manifolds under certain natural conditions, valid for instance for the free loop space fibration if the base is a closed manifold. We extend the approach of Hutchings which is restricted to closed manifolds. The spectral sequence might provide answers to questions involving closed geodesics, in particular to spectral invariants for the geodesic energy functional. Furthermore we discuss another example, the free loop space of a compact G-principal bundle, where G is a connected compact Lie group. Here we encounter an additional difficulty, namely the base manifold of the fiber bundle is infinite-dimensional. Furthermore, as H ( P) = HF (T P) and H ( Q) =HF (T Q), where HF denotes Floer homology for periodic orbits, the spectral sequence for P -> Q might provide a stepping stone towards a similar spectral sequence defined in purely Floer-theoretic terms, possibly even for more general symplectic quotients. Hutchings’ approach to the Leray-Serre spectral sequence in Morse homology couples a fiberwise negative gradient flow with a lifted negative gradient flow on the base. We study the Morse homology of a vector field that is not of gradient type. The central issue in the Hilbert manifold setting to be resolved is compactness of the involved moduli spaces. We overcome this difficulty by utilizing the special structure of the vector field. Compactness up to breaking of the corresponding moduli spaces is proved with the help of Gronwall-type estimates. Furthermore we point out and close gaps in the standard literature, see Section 1.4 for an overview. In the second part of this thesis we introduce a Lagrangian Floer homology on cotangent bundles with varying Lagrangian boundary condition. The corresponding complex allows us to obtain the Leray-Serre spectral sequence in Floer homology on the cotangent bundle of a closed manifold Q for Hamiltonians quadratic in the fiber directions. This corresponds to the free loop space fibration of a closed manifold of the first part. We expect applications to spectral invariants for the Hamiltonian action functional. The main idea is to study pairs of Morse trajectories on Q and Floer strips on T Q which are non-trivially coupled by moving Lagrangian boundary conditions. Again, compactness of the moduli spaces involved forms the central issue. A modification of the compactness proof of Abbondandolo-Schwarz along the lines of the Morse theory argument from the first part of the thesis can be utilized.

Cette thèse porte sur deux aspects de la théorie de Morse: théorie de Morse discrète de Forman (cas de la dimension finie) et homologie de Heegaard-Floer (cas de la dimension infinie).<br />Dans une première partie, on s'intéresse au problème de relèvement de signe pour l'homologie de Heegaard-Floer combinatoire. On montre que la construction originale faite par Manolescu, Ozsváth, Szabó et D. Thurston peut être refaite de manière plus conceptuelle. On donne ensuite le lien entre ces deux constructions puis finalement on décrit un algorithme qui permet de calculer les signes.<br />La seconde partie porte sur la théorie de Morse discrète définie par Forman. Après avoir fait le lien entre l'algèbre sur les complexes de chaînes et la théorie de Morse discrète, on montre que le complexe de Thom-Smale donné par une fonction de Morse lisse sur variété lisse close peut être réalisé par une triangulation et une fonction de Morse discrète sur celle-ci. On utilise cela pour obtenir une représentation particulière sous forme de couplage complet de toute structure d'Euler sur une variété de dimension 3 close orientée.

In [GH09] M. Goresky and N. Hingston described and investigated various properties of a product on the cohomology of the free loop space of a closed, oriented manifold M relative to the constant loops. In this thesis we will give Morse and Floer theoretic descriptions of the product. There is a theorem due to J. Jones in [JJ87] which describes an isomorphism between cohomology of the free loop space and Hochschild homology of the singular cochain algebra of M with rational coefficients. We will use the theorem of J. Jones to find an algebraic model for the Goresky-Hingston product. We then use the algebraic model to explore further properties and applications of the Goresky Hingston product. In particular we use it to compute the ring structure for the n-spheres.

Thesis advisor: Julia E. Grigsby / "Ozsváth, Stipsicz and Szabó define a one-parameter family {ϒᴋ(t)}t∈[₀,₂] of Heegaard Floer knot invariants for knots K ⊂ S³ . We generalize ϒᴋ (t) to knots in any" "rational homology sphere. We study the ϒ−invariant of a fibered knot. We prove that the ϒ−invariant can never reach its minimum slope if the monodromy of the fibration is not right-veering. / Thesis (PhD) — Boston College, 2018. / Submitted to: Boston College. Graduate School of Arts and Sciences. / Discipline: Mathematics.

Embedded contact homology is an invariant of closed oriented contact 3-manifolds first defined by Hutchings, and is isomorphic to both Heegard Floer homology (by the work of Colin, Ghiggini and Honda) and Seiberg-Witten Floer cohomology (by the work of Taubes). The embedded contact chain complex is defined by counting closed orbits of the Reeb vector field and certain pseudoholomorphic curves in the symplectization of the manifold. As part of their proof that ECH=HF, Colin, Ghiggini and Honda showed that if the contact form is suitably adapted to an open book decomposition of the manifold, then embedded contact homology can be computed by considering only orbits and differentials in the complement of the binding of the open book; this fact was then in turn used to define a knot version of embedded contact homology, denoted ECK, where the (null-homologous) knot in question is given by the binding. In this thesis we start by generalizing these results to the case of rational open book decompositions, allowing us to define ECK for rationally null-homologous knots. In its most general form this is a bi-filtered chain complex whose homology yields ECH of the closed manifold. There is also a hat version of ECK in this situation which is equipped with an Alexander grading equivalent to that in the Heegaard Floer setting, categorifies the Alexander polynomial, and is conjecturally isomorphic to the hat version of knot Floer homology. The main result of this thesis is a large negative $n$-surgery formula for ECK. Namely, we start with an (integral) open book decomposition of a manifold with binding $K$ and compute, for all $n$ greater than or equal to twice the genus of $K$, ECK of the knot $K(-n)$ obtained by performing ($-n$)-surgery on $K$. This formula agrees with Hedden's large $n$-surgery formula for HFK, providing supporting evidence towards the conjectured equivalence between the two theories. Along we the way, we also prove that ECK is, in many cases, independent of the choices made to define it, namely the almost complex structure on the symplectization and the homotopy type of the contact form. We also prove that, in the case of integral open book decompositions, the hat version of ECK is supported in Alexander gradings less than or equal to twice the genus of the knot.