Les méthodes hybrides Moments/PDF sont bien adaptées pour la description des écoulements diphasiques turbulents, polydispersés, hors équilibre thermodynamique. Ces méthodes permettent d'avoir une description assez fine de la polydispersion, de la convection et des termes sources non-linéaires. Cependant, les approximations issues de telles simulations sont bruitées ce qui, dans certaines situations, occasionne un biais. L'approche alternative étudiée dans ce travail consiste à coupler une description Eulerienne des moments avec une description stochastique Lagrangienne à l'intérieur de la phase dispersée, permettant de réduire l'erreur statistique et d'éliminer le biais. La mise en oeuvre de cette méthode nécessite le développement de schémas numériques robustes. Les approches proposées sont basées sur l'utilisation simultanée des techniques de relaxation et de décentrement, et permettent d'obtenir des approximations stables des solutions instationnaires du système d'équations aux dérivées partielles, avec des données peu régulières provenant du couplage avec le modèle stochastique. Une comparaison des résultats de la méthode hybride Moments-Moments/PDF avec ceux issus de la méthode hybride "classique'' est présentée en termes d'analyse des erreurs numériques sur un cas de jet co-courant gaz-particules. / Hybrid Moments/PDF methods have shown to be well suitable for the description of polydispersed turbulent two-phase flows in non-equilibrium which are encountered in some industrial situations involving chemical reactions, combustion or sprays. hey allow to obtain a fine enough physical description of the polydispersity, non-linear source terms and convection phenomena. However, their approximations are noised with the statistical error, which in several situations may be a source of a bias. An alternative hybrid Moments-Moments/PDF approach examined in this work consists in coupling the Moments and the PDF descriptions, within the description of the dispersed phase itself. This hybrid method could reduce the statistical error and remove the bias. However, such a coupling is not straightforward in practice and requires the development of accurate and stable numerical schemes. The approaches introduced in this work rely on the combined use of the upwinding and relaxation-type techniques. They allow to obtain stable unsteady approximations for a system of partial differential equations containing non-smooth external data which are provided by the PDF part of the model. A comparison of the results obtained using the present method with those of the ``classical'' hybrid approach is presented in terms of the numerical errors for a case of a co-current gas-particle wall jet.

On étudie dans ce travail des systèmes de lois de conservation hyperboliques. La première partie étudie le temps d'existence des solutions régulières et régulières par morceaux de la dynamique des fluides compressibles. Après avoir présenté l'état de l'art en matière de solutions régulières, on montre une extension d'un théorème de Grassin à des gaz de Van der Waals. On étudie ensuite les solutions ondes de chocs : on poursuit l'approche de T. T. Li pour estimer leur temps d'existence dans le cas isentropique à symétrie sphérique, et l'approche de Whitham afin d'obtenir une équation approchée vérifiée par la surface de discontinuité. Dans une deuxième partie, motivée par la modélisation d'un rond-point en trafic routier, on étudie une extension multi-classe du modèle macroscopique de Lighthill-Whitham-Richards sur une route infinie avec des jonctions. On différencie les véhicules selon leur origine et leur destination et on introduit des conditions aux bords adaptées au niveau des jonctions. On obtient existence et unicité d'une solution au problème de Riemann pour ce modèle. Des simulations numériques attestent que les solutions obtenues existent en temps long. On aborde enfin le problème de Cauchy par la méthode de front tracking. La dernière partie concerne les lois de conservation scalaires. La première question abordée est le contrôle de la variation totale de la solution et la stabilité des solutions faibles entropiques par rapport au flux et à la source. Ce résultat nous permet d'étudier des équations avec flux non-local. Une fois établi leur caractère bien posé, on montre la Gâteaux-différentiabilité du semi-groupe obtenu par rapport aux conditions initiales. / In this work, we study hyperbolic systems of balance laws. The first part is devoted to compressible fluid dynamics, and particularly to the lifespan of smooth or piecewise smooth solutions. After presenting the state of art, we show an extension to more general gases of a theorem by Grassin.We also study shock waves solutions: first, we extend T. T. Li's approach to estimate the time of existence in the isentropic spherical case; second, we develop Whitham's ideas to obtain an approximated equation satisfied by the discontinuity surface. In the second part, we set up a new model for a roundabout. This leads us to study a multi-class extension of the macroscopic Lighthill-Whitham-Richards' model. We study the traffic on an infinite road, with some points of junction. We distinguish vehicles according to their origin and destination and add some boundary conditions at the junctions. We obtain existence and uniqueness of a weak entropy solution for the Riemann problem. As a complement, we provide numerical simulations that exhibit solutions with a long time of existence. Finally, the Cauchy problem is tackled by the front tracking method. In the last part, we are interested in scalar hyperbolic balance laws. The first question addressed is the control of the total variation and the stability of entropy solutions with respect to flow and source. With this result, we can study equations with non-local flow, which do not fit into the framework of classical theorems. We show here that these kinds of equations are well posed and we show the Gâteaux-differentiability with respect to initial conditions, which is important to characterize maxima or minima of a given cost functional.

Nous étudions plusieurs aspects d'équations aux dérivées partielles multi-échelles. Pour trois exemples, la présence de multiples échelles, spatiales ou temporelles, motive un travail de modélisation mathématique ou constitue un enjeu de discrétisation. La première partie est consacrée à la construction et l'étude d'un système multicouche de type Saint-Venant pour décrire un fluide à surface libre (océan). Son obtention s'appuie sur l'analyse des échelles spatiales, précisément l'hypothèse « eau peu profonde ». Nous justifions nos équations à partir du modèle primitif et montrons un résultat d'existence locale de solution. Puis nous proposons un schéma volumes finis et des simulations numériques. Nous étudions ensuite un problème hyperbolique de relaxation, inspiré de la théorie cinétique des gaz. Nous construisons un schéma numérique via une stratégie préservant l'asymptotique : nous montrons sa convergence pour toute valeur du paramètre de relaxation, ainsi que sa consistance avec le problème à l'équilibre local. Des estimations d'erreurs sont établies et des simulations numériques sont présentées. Enfin, nous étudions un problème d'écoulement sanguin dans une artère avec stent, modélisé par un système de Stokes dans un domaine contenant une petite rugosité périodique (géométrie double échelle). Pour éviter une discrétisation coûteuse du domaine rugueux (l'artère stentée), nous formulons un ansatz de développement de la solution type Chapman-Enskog, et obtenons une loi de paroi implicite sur le bord du domaine lisse (artère seule). Nous montrons des estimations d'erreurs et des simulations numériques / This work is concerned with different aspects of multiscale partial differential equations. For three problems, we address questions of modelling and discretization thanks to the observation of the multiplicity of scales, time or space. We propose in the first part a model of approximation of a fluid with a free surface (ocean). The derivation of our multilayer shallow water type model is based on the analysis of the different space scales generally observed in geophysical flows, precisely the 'shallow water' assumption. We obtain an existence and uniqueness result of local in time solution and propose a finite volume scheme and numerical simulations. Next we study a hyperbolic relaxation problem, motivated by the kinetic theory of gaz. Adopting an Asymptotic Preserving strategy of discretization, we build and analyze a numerical scheme. The convergence is proved for any value of the relaxation parameter, as well as the consistency with the equilibrium problem, thanks to error estimates. We present some numerical simulations. The last part deals with a blood flow model in a stented artery. We consider a Stokes problem in a multiscale space domain, that is a macroscopic box (the artery) containing a microscopic roughness (the stent). To avoid expensive simulations when discretizing the whole rough domain, we perform a Chapman-Enskog type expansion of the solution and derive an implicit wall law on the boundary of the smooth domain. Error estimates are shown and numerical simulations are presented

Dans cette thèse, nous considérons le problème d'Euler surface libre sur un domaine à fond non plat, dans le cadre du régime d'ondes longues de faible amplitude. L'objectif est de construire, justifier et comparer de nouveaux modèles asymptotiques pour ce problème, permettant de prendre en compte les effets liés aux variations bathymétriques. En premier lieu, nous construisons rigoureusement deux classes de modèles de Boussinesq symétriques dans le cadre de deux régimes topographiques distincts, celui de faible variations bathymétriques et celui de fortes variations. Dans un second temps, nous retrouvons et discutons dans le cas de faibles variations topographiques l'approximation classique de Korteweg-de Vries, et proposons une nouvelle approximation via l'ajout de termes bathymétriques. Dans une troisième partie, ces deux modèles, ainsi que les modèles de Boussinesq construits dans la première partie, sont simulés numériquement et comparés sur des cas tests de topographie. Enfin, il est présenté une étude numérique des équations de Green-Naghdi, dont le domaine de validité physique est plus étendu, ainsi qu'une comparaison numérique de ce modèle avec les modèles précédents sur des bathymétries spécifiques.

Ce manuscrit est dédié à l'approximation numérique de plusieurs modèles du transfert radiatif. Dans un premier temps, l'attention est portée sur le modèle cinétique d'ordonnées discrètes. Dans le but de coupler ce modèle avec d'autres phénomènes plus lents, il est nécessaire d'avoir des méthodes numériques performantes et précises sur des temps longs. À partir d'une double approximation polynomiale de la solution en temps et en espace, on développe un schéma de type GRP d'ordre élevé sans restriction sur le pas de temps pour un système hyperbolique linéaire sur des maillages non structurés. Ce schéma est ensuite étendu pour le modèle d'ordonnées discrètes. Dans un second temps, on s'intéresse à des modèles aux moments issus du transfert radiatif. En effet, dans certaines applications, les modèles aux moments de type M1 conservent de nombreuses propriétés de l'ETR et fournissent une approximation suffisante de la solution. Après avoir résolu le problème de Riemann associé au modèle M1 gris, on considère l'approximation numérique du modèle M1 multigroupe. Une attention particulière est portée sur le calcul des moyennes d'opacités et des lois de fermeture. Un algorithme de précalculs est alors mis en place. La dernière application traitée dans ce mémoire porte sur une extension du transfert radiatif pour estimer des doses de radiothérapie. À la différence du M1 gris usuel, les flux dépendent ici de fonctions peu régulières en espace. Grâce à des changements de variables, un schéma HLL rétrograde est développé. De nombreux exemples numériques illustrent l'intérêt des schémas obtenus dans cette étude.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude d'un modèle de transport de sédiments en nous plaçant sous deux angles d'approche différents. L'un concerne la modélisation numérique du problème et propose une méthode de résolution numérique basée sur un solveur de Riemann approché pour le système de Saint-Venant-Exner qui reste un des systèmes les plus répandus pour traiter le transport sédimentaire par charriage. Ce dernier repose sur un couplage du modèle hydraulique de Saint-Venant et du modèle morphodynamique d'Exner. Le point essentiel de la méthode proposée se situe au niveau du traitement du couplage de ce système. En effet, il existe deux stratégies; la première consiste à découpler la résolution de la partie fluide de la partie solide et les faire interagir à des instants donnés alors que la seconde considère une résolution couplée du système en mettant à jour conjointement les grandeurs hydrauliques et solides aux mêmes instants. Se posera alors la question du choix de la stratégie de résolution pour laquelle nous apporterons des éléments de réponses en comparant les deux approches. L'autre se concentre sur la mise en place d'une méthodologie pour l'étude des incertitudes liées au même modèle. Pour ce faire, nous proposons une formulation stochastique du système de Saint-Venant-Exner et nous cherchons à caractériser la variabilité des sorties par rapport aux paramètres d'entrée naturellement aléatoires. Cette première étude révélera la nécessité de revenir à un système de Saint-Venant avec un fond bruité pour étudier la sensibilité des grandeurs hydrauliques par rapport aux perturbations topographiques. / In this thesis, we are interested on the study of a sediment transport model through two different approaches. One of them concerns the numerical modelling of the problem and proposes a numerical problem-solving method based on an approximate Riemann solver for the Saint-Venant-Exner system which is one of the most common model to deal with sedimentary bed-load transport. This last one is based on a coupling between the hydraulic model of Saint-Venant and the morphodynamic model of Exner. The key point of the proposed method is the treatment of the coupling issue. Indeed, there exists two strategies; the first one consists on decoupling the resolution of the fluid part from the solid part and making them interact at fixed times whereas the second one considers a coupled approach to solve the system by jointly updating the hydraulic and solid quantities at same times. We then raise the issue of the choice of the strategy for which we suggest answers by comparing both approaches. The other one focuses on the development of a methodology to study the uncertainties related to the model previously mentioned. To this end, we propose a stochastic formulation of the Saint-Venant-Exner system and we look for characterizing the variabilities of the outputs in relation to the naturally random input parameters. This first study reveals the need for a return to the Saint-Venant system with a perturbed bed to understand the sensitivity of the hydraulic quantities on the topographical perturbations.

Ce travail porte sur la simulation numérique des écoulements multiphasiques compressibles en déséquilibre de vitesses. Un solveur de Riemann diphasique de type HLLC, à la fois robuste, simple et précis est développé et validé à partir de solutions exactes et de données expérimentales. Cette méthode numérique est étendue au cas 3D non-structuré. Par ailleurs, la construction d’une technique numérique pour la répartition de l’énergie d’une onde de choc dans les différentes phases constituant le milieu est établie et permet le respect des conditions de choc multiphasiques. L’extension multiphasique du solveur de Riemann de type HLLC est réalisée, permettant ainsi la simulation d’une plus large gamme d’applications. Enfin, un modèle de transfert de chaleur et de masse dans un brouillard de gouttes ou nuage de bulles, en présence d’effets couplés de diffusion thermique et massiques, est proposé et dévoile des résultats intéressants. / This work deals with the numerical simulation of compressible multiphase flows in velocity disequilibrium. A HLLC-type two-phase Riemann solver is developed and validated against exact solutions and experimental data. This solver is robust, simple, accurate and entropy preserving. The numerical method is then implemented in 3D unstructured meshes. Furthermore, a numerical technique consisting in enforcing the correct energy partition at a discrete level in agreement with the multiphase shock relations is built. The multiphase extension of the HLLC-type Riemann solver is realized and allows the simulation of a wide range of applications. Finally, a droplet heat and mass transfer model with large range of validity is derived. It is valid in any situation: evaporation, flashing and condensation. It accounts for coupled heat and mass diffusion in the gas phase, thermodynamics of the multi-component gas mixture and heat diffusion inside the liquid droplet, enabling in this way consideration of both droplets heating and cooling phenomena.

Les travaux de cette thèse s’inscrivent dans le contexte des systèmes de particules. Nous considérons différents systèmes physiques, décrits de manière continue, et dont la dynamique est modélisée par des équations aux dérivées partielles décrivant l’évolution temporelle de certaines quantités macroscopiques ou microscopiques, selon l’échelle de description envisagée. Dans une première partie, nous nous intéressons à une équation de type coagulation-fragmentation cinétique. Nous obtenons un résultat d’existence globale en temps, dans le cadre des solutions renormalisées de DiPerna-Lions, pour toute donnée initiale vérifiant les estimations naturelles et possédant une norme L1 et une norme Lp (p > 1) finies. La deuxième partie traite de méthodes de moments. L’objectif de ces méthodes est d’approcher un modèle cinétique par un nombre fini d’équations portant sur des quantités dépendant uniquement de la variable d’espace, et la question est de savoir comment fermer le système obtenu pour obtenir une bonne approximation de la solution du modèle cinétique. Dans un cadre linéaire, nous obtenons une méthode de fermeture explicite conduisant à un résultat de convergence rapide. Enfin, dans une troisième partie, nous travaillons sur la modélisation du trafic routier avec prise en compte de la congestion à l’aide d’un système hyperbolique avec contraintes, issu de la dynamique des gaz sans pression. En modifiant convenablement ce système, nous parvenons à modéliser des phénomènes de trafic routier "multi-voies", comme l’accélération, et la création de zones de vide. Un résultat d’existence et de stabilité des solutions de ce modèle modifié est démontré. / The context of this thesis is particle systems. We deal with different physical systems, described continuously, whose dynamics are modeled by partial differential equations. These equations follow the evolution in time of macroscopic or microscopic quantities, according to scale description. In the first part, we consider a kinetic model for coagulation-fragmentation. We obtain a global existence result, using the notion of DiPerna-Lions renormalized solutions, for initial data satisfying the natural physical bounds, and assumptions of finite L1 and Lp norm (for some p > 1). The second part deals with methods of moments. The aim of these methods is to approximate a kinetic model by a finite number of equations whose unknowns depend only on the space variable. The question is : how to close this system to get a good approximation of the solution of the kinetic model ? In a linear setting, we obtain an explicit method with linear closure relations, which leads to a fast convergence result. In the last part, we work on modeling of traffic jam taking into account the congestion, using a hyperbolic system with constraints, which occurs in the dynamics of a pressureless gas. By suitably modifying this system, we can model "multi-lane" phenomena, like acceleration, and creation of vacuum. An existence and stability result is proved on this new model.

Ce manuscrit porte sur la modélisation et la simulation numérique d’écoulements diphasiques compressibles. Dans ce contexte, les méthodes d’interfaces diffuses sont aujourd’hui bien acceptées. Cependant, un progrès est encore attendu en ce qui concerne la précision de la capture numérique de ces interfaces. Une nouvelle méthode est développée et permet de réduire significativement cette zone de capture. Cette méthode se place dans le contexte des méthodes numériques de type “MUSCL”, très employées dans les codes de production, et sur maillages non-structurés. Ces interfaces pouvant être le lieu où une transition de phase s’opère, celle-ci est considérée au travers d’un processus de relaxation des énergies libres de Gibbs. Un nouveau solveur de relaxation à thermodynamique rapide est développé et s’avère précis, rapide et robuste y compris lors du passage vers les limites monophasiques. En outre, par rapport aux applications industrielles envisagées, une extension de la thermodynamique des phases et du mélange est nécessaire. Une nouvelle équation d’état est développée en conséquence. La formulation est convexe et est basée sur l’équation d’état “Noble-Abel-Stiffened-Gas”. Enfin, sur un autre plan la dispersion de fluides non-miscibles sous l’effet de la gravité est également abordée. Cette problématique fait apparaître de larges échelles de temps et d’espace et motive le développement d’un nouveau modèle multi-fluide de type “shallow water bi-couche”. Sa résolution numérique est également traitée / This manuscript addresses the theoretical modeling and numerical simulation of compressible two-phase flows. In this context, diffuse interface methods are now well-accepted but progress is still needed at the level of numerical accuracy regarding their capture. A new method is developed in this research work, that allows significant sharpening. This method can be placed in the framework of MUSCL-type schemes, widely used in production codes and on unstructured grids. Phase transition is addressed as well through a relaxation process relying on Gibbs free energies. A new instantaneous relaxation solver is developed and happens to be accurate, fast and robust. Moreover, in view of the intended industrial applications, an extension of the thermodynamics of the phases and of the mixture is necessary. A new equation of state is consequently developed. The formulation is convex and based on the “Noble-Abel-Stiffened-Gas” equation of state. In another context, the dispersion of non-miscible fluids under gravity effects is considered as well. This problematic involves large time and space scales and has motivated the development of a new multi-fluid model for “two-layer shallow water” flows. Its numerical resolution is treated as well

Ce texte de synthèse a pour but de présenter l'´évolution de mes recherches postèrieures à ma thèse. Ce travail s'articule autour de plusieurs axes de recherche dans le cadre des équations aux dérivées partielles non linéaires et en particulier des lois de conservation.<br />Il s'inscrit dans l'étude des problèmes hyperboliques, des problème mixtes et des équations cinétiques. Les domaines d'application sont la mécanique des fluides ou du solide, la propagation de composants chimiques, l'électromagnétisme, l'optique.<br />Mon activité concerne d'abord la modélisation de phénomènes physiques ou chimiques sous forme d'équations aux dérivées partielles non linéaires telles que les équations de Bloch, Korteweg, Navier-Stokes, Saint-Venant, puis vient l'étude mathématique de ces équations à travers les<br />problèmes d'existence, d'unicité, de régularité avec éventuellement la mise au point de méthodes numériques de résolution.<br /> Ce document est divisé en une introduction générale et trois chapitres qui concernent respectivement les systèmes hyperboliques avec conditions aux limites et la chromatographie, les problèmes d'analyse asymptotique et enfin les méthodes cinétiques.<br />Dans chaque partie, un historique et une présentation des différents résultats mathématiques sont faits et quelques problèmes ouverts sont donnés.