Nous considérons l'espace de représentations Hom(Pi,G) d'un groupe de surface Pi dans un groupe de Lie G, et l'espace de modules X(Pi,G) des classes de conjugaison de ces représentations. Le groupe modulaire de la surface sous-jacente agit naturellement sur ces espaces, et cette action possède une dynamique très riche qui dépend du choix du groupe de Lie G, et de la composante connexe de l'espace sur laquelle on se place. Dans cette thèse, nous étudions le cas où S est une surface non-orientable. Dans la première partie, nous étudions les propriétés dynamiques de l'action du groupe modulaire sur l'espace de modules X(Pi, SU(2)) et prouvons que cette action est ergodique lorsque la caractéristique d'Euler de la surface est inférieure à -2. Dans la deuxième partie, nous montrons que l'espace des représentations Hom(Pi, PSL(2,R)) possède deux composantes connexes indexées par une classe de Stiefel-Whitney.

Les notions de fonctions parfaitement non linéaires et courbes sont particulièrement pertinentes en cryptographie puisqu'elles formalisent les résistances maximales face aux très efficaces attaques différentielle et linéaire. Cette thèse est ainsi consacrée à l'étude de ces objets cryptographiques. Nous interprétons ces notions de manière très naturelle essentiellement en substituant les translations figurant dans la définition de la non linéarité parfaite par une action de groupe quelconque. Les propriétés de ces actions telle que la fidélité ou la régularité permettent de décliner en plusieurs variantes ce nouveau concept. Nous développons de surcroît sa caractérisation duale à l'aide de la transformée de Fourier ce qui aboutit à la notion appropriée de fonction courbe. En particulier dans le cas d'une action de groupe non abélien, nous faisons usage de la théorie des représentations linéaires afin d'établir une version duale matricielle. Nous généralisons par ailleurs selon le même principe ces objets combinatoires appelés ensembles à différences qui caractérisent la non linéarité parfaite des fonctions à valeurs dans le corps fini à deux éléments. Cela nous permet d'exhiber des constructions de fonctions satisfaisant nos critères généralisés, en particulier dans ces cas où les fonctions courbes au sens classique n'existent pas.

Une T-variété est une variété algébrique munie d'une action effective d'un tore algébrique T. Cette thèse est consacrée à l'étude de deux aspects des T-variétés normales affines : les actions du groupe additif et la caractérisation des singularités. Soit X = Spec A une T-variété affine normale et soit D une dérivation homogène localement nilpotente de l'algèbre affine intègre Z^n-graduée A, alors D engendre une action du groupe additif dans X. On donne une classification complète des couples (X, D) dans trois cas : pour les variétés toriques, dans le cas de complexité un, et dans le cas où D est de type fibre. Comme application, on calcule l'invariant de Makar-Limanov (ML) homogène de ces variétés. On en déduit que toute variété d'invariant de ML trivial est birationnelle à Y × P^2 , pour une certaine variété Y . Inversement, pour toute variété Y , il existe une T-variété affine X d'invariant de ML trivial birationnelle a Y × P2. Dans la seconde partie concernant les singularités d'une T-variété X, on calcule les images directes supérieures du faisceau structural d'une désingularisation de X. Comme conséquence, on donne un critère pour qu'une T-variété ait des singularités rationnelles. On présente aussi une condition pour qu'une T-variété soit de Cohen-Macaulay. Comme application, on caractérise les singularités elliptiques des surfaces quasi-homogènes.

Soit G un groupe de Lie semisimple (de rang supérieur) et Γ un sous-groupe discret Zariski dense de G (de covolume infini). Dans cette thèse, on traite de deux questions reliées au cône limite de Benoist de Γ : l’une de marche aléatoire et l’autre de mélange topologique du flot directionnel des chambres de Weyl. Dans l’introduction, on énonce les résultats principaux de cette thèse dans leur contexte. Le second chapitre comporte des rappels sur les groupes de Lie et les éléments loxodromiques. Dans le troisième chapitre, on réalise tous les points de l’intérieur du cône limite par des vecteurs de Lyapunov. Dans le quatrième chapitre, on construit des coordonnées locales de G ainsi que des outils cruciaux pour la suite. Dans le cinquième chapitre, on introduit les ensembles invariants naturels de G. Dans le dernier chapitre de cette thèse, on prouve le critère de mélange topologique des flots directionnels réguliers des chambres de Weyl obtenu avec O. Glorieux et on généralise partiellement ce critère de mélange à Γ\G pour une classe de groupes de Lie incluant SL(n, R), SL(n, C), SO (p, p + 2). / Let G be a semisimple Lie group (of higher rank) and Γ a Zariski dense subgroup of G (of infinite covolume). In this thesis, we discuss two questions related to the Benoist limit cone of Γ : one concerns random walks, the other topological mixing of the directional Weyl chamber flow. In the introduction, we state the main results of this thesis in their context. In the second chapter, we recall some general facts about Lie groups and loxodromic elements. In the third chapter, we prove that every point of the interior of the limit cone is a Lyapunov vector. In the fourth chapter, we construct local coordinates of G and give key tools for the remaining parts. In the fifth chapter, we introduce the invariant subsets of G. In the last chapter of this thesis, we prove the topological mixing criterion of regular directional Weyl chamber flow obtained with O. Glorieux and we generalize this criterion to Γ\G for a class of Lie groups including SL(n, R), SL(n, C), SO(p, p + 2).

Le débat maintenant ancien que mènent les juristes français autour de l'action de groupe est marqué par une contradiction importante : alors que les class actions américaines, systématiquement évoquées, semblent exercer une influence déterminante sur leurs réflexions, elles restent largement méconnues. Suscitant l'espoir autant que la crainte, l'exemple des class actions peut expliquer à la fois l'arrivée de l'action de groupe dans l'ordre juridique français, les hésitations législatives et doctrinales qui l'ont précédée et les défauts qui affectent tant les textes entrés en vigueur que ceux encore en projet. D'un côté, l'intérêt porté en France aux class actions est l'expression d"une insatisfaction à l'égard du droit français, particulièrement du droit de la responsabilité civile. Les class actions sont alors envisagées comme une solution possible à un problème donné, à savoir l'absence en droit français d'un outil efficace pour appréhender les situations dans lesquelles un grand nombre de personnes subit des dommages individuels rattachables à un fait unique (ou une série de faits identiques). De l'autre, le mécanisme sur lequel les class actions s'appuient suscite fréquemment la perplexité, voire l'hostilité. Reposant sur une présomption de consentement de la part des membres du groupe représentés (« opt-out »), elles seraient contraires aux règles traditionnelles de la procédure civile française, réputée éminemment individualiste. Le rôle central confié aux avocats américains encouragerait en outre les actions illégitimes sans bénéfice réel pour les personnes représentées. Dans cette perspective, un examen approfondi des conditions historiques dans lesquelles les class actions sont apparues aux États-Unis et des règles qui les encadrent, confronté à l'étude de l'ensemble des actions pour autrui existant en droit français, est le moyen de vérifier la légitimité des espoirs et des craintes qui structurent le débat français. Ses enseignements, nombreux, permettent de proposer une vue d'ensemble des principes cardinaux d'organisation des actions de groupe dans l'optique de la construction d'un régime efficace, quelle que soit la tradition juridique concernée. La pertinence de cette approche reste entière au regard des limites sérieuses qui caractérisent l'action de groupe introduite en France en 2014. En premier lieu, la comparaison des droits français et américain révèle la très grande diversité des schémas procéduraux envisageables, en fonction des demandes formulées dans le cadre de ces actions et des buts assignés à la procédure envisagée, qui dérivent eux-mêmes souvent des fonctions réparatrices, compensatoires ou punitives attribuées au droit de la responsabilité civile. En second lieu, il relativise le caractère exceptionnel de la présomption de consentement tout en confirmant que l'efficacité des actions de groupe dépend pour une large part des conditions dans lesquelles est défini le groupe de personnes qui subit les effets de la décision de fond rendue à l'issue de la procédure. En troisième lieu, il fait apparaître l'importance de la dimension économique de ces actions. Dans la mesure où elles permettent la défense des intérêts individuels d'autrui, elles exigent une prise en compte de la réalité des incitations et des moyens propres à chaque acteur de la procédure, notamment celui qui l'initie. / The French debate on collective actions is characterised by a central contradiction: while US class actions almost systematically serve as the starting point of discussions among French lawyers, they remain widely unknown to them. Being a reason for hope, admiration as well as fear, the American model of class actions can explain why the introduction of collective actions in French law was decided, why it was delayed for so long, and the many flaws of the resulting legislation.

Cette thèse contient quatre articles qui étudient les phénomènes de rigidité des transforma- tions hamiltoniennes des variétés symplectiques. Le premier article, rédigé en collaboration avec Egor Shelukhin, examine les obstructions à l’existence de symétries hamiltoniennes d’ordre fini sur une variété symplectique fermée (M,ω); c’est-à-dire de torsion hamiltonienne. En d’autres termes, nous étudions les sous- groupes finis du groupe des difféomorphismes hamiltoniens Ham(M,ω). Nous identifions trois sources principales d’obstructions: Contraintes topologiques. Inspirés par un résultat de Polterovich montrant que les variétés symplectiques asphériques n’admettent pas de torsion hamiltonienne, nous établissons que la présence d’un sous-groupe fini non trivial de Ham(M, ω) implique l’existence d’une sphère A ∈ π2(M) avec ⟨[ω],A⟩ > 0 et ⟨c1(M),A⟩ > 0. En particulier, les variétés symplectiques négativement monotones et les variétés symplectiques Calabi-Yau n’admettent pas de torsion hamiltonienne. Présence de courbes J-holomorphes. De manière générale, il y a de nombreux exemples de torsion hamiltonienne, par exemple toute rotation de la sphère de dimension deux par une fraction irrationnelle de π. Lorsque (M,ω) est positivement monotone, nous montrons que l’existence de torsion hamiltonienne impose une condition géométrique qui implique que les sphères J-holomorphes non constantes sont présentes partout. Ce phénomène était prédit dans une liste de problèmes contenue dans la monographie d’introduction de McDuff et de Salamon. Rigidité métrique spectrale. Notre analyse révèle que, pour les variétés symplectiques posi- tivement monotones, il existe un voisinage de l’identité dans Ham(M,ω) dans la topologie induite par la métrique spectrale qui ne contient aucun sous-groupe fini non trivial. Le principal résultat du deuxième article établit que, pour une large classe de variétés sym- plectiques, le flux d’un lacet de difféomorphismes symplectiques est entièrement déterminé par la classe d’homotopie de ses orbites. Comme application, nous obtenons de nouveaux exemples où l’existence d’un point fixe d’une action symplectique du cercle implique qu’elle est hamiltonienne et de nouvelles conditions assurant que le groupe de flux est trivial. De plus, nous obtenons des obstructions à l’existence d’éléments non triviaux de Symp0(M,ω) ayant un ordre fini. Le troisième article, rédigé en collaboration avec Han Lou, démontre une version de la conjecture de Hofer-Zehnder pour les variétés symplectiques fermées semi-positives dont l’homologie quantique est semi-simple; ce résultat généralise le travail révolutionnaire de Shelukhin sur les variétés symplectiques monotones. Le résultat montre qu’un difféomor- phisme hamiltonien possédant plus de points fixes contractiles, comptés homologiquement, que le nombre total de Betti de la variété doit avoir une infinité de points périodiques. La composante clé de la preuve est une nouvelle étude de l’effet de la réduction modulo p, un nombre premier, sur les bornes de l’homologie de Floer filtrée qui proviennent de la semi- simplicité. Cette étude repose sur la théorie des extensions algébriques des corps équipés d’une norme non-archimédienne. Le quatrième article, écrit en collaboration avec Habib Alizadeh et Dylan Cant, examine la déplaçabilité d’une sous-variété lagrangienne fermée L d’une variété symplectique convexe á l’infini par un difféomorphisme hamiltonien à support compact. Nous concluons qu’un difféomorphisme hamiltonien φ dont la norme spectrale est plus petite qu’un ħ(L) > 0 ne dépendant que de L ⊆ W ne peut pas déplacer L. De plus, nous établissons une estimation du nombre de valeurs d’action en terme de la longueur du cup-produit pour le nombre de valeurs d’action; lorsque L est rationnelle, cela implique une estimation du nombre de points d’intersection L ∩ φ(L) en terme de la longueur du cup-produit. Ainsi, nous montrons que le nombre de points fixes d’un difféomorphisme hamiltonien d’une variété symplectique fermée rationnelle (M, ω) dont la norme spectrale est plus petite que la constante de rationalité est au moins de 1 plus la longueur du cup-produit de M. / This thesis comprises four articles that study rigidity phenomena of Hamiltonian transfor- mations of symplectic manifolds. The first article, co-authored with Egor Shelukhin, examines obstructions to the existence of Hamiltonian symmetries of finite order on a closed symplectic manifold (M,ω); Hamil- tonian torsion. In other words, we study the finite subgroups of the group of Hamiltonian diffeomorphisms Ham(M, ω). We identify three primary sources of obstructions: Topological constraints. Inspired by a result of Polterovich showing that symplectically aspherical symplectic manifolds do not admit Hamiltonian torsion, we establish that the presence of a non-trivial finite subgroup of Ham(M,ω) implies that there exists a sphere A ∈ π2(M) with ⟨[ω],A⟩ > 0 and ⟨c1(M),A⟩ > 0. In particular, symplectically Calabi-Yau, and spherically negative-monotone symplectic manifolds do not admit Hamiltonian torsion. The presence of J-holomorphic curves. For general closed symplectic manifolds, there are plenty of examples of Hamiltonian torsion, for instance, any rotation of the two-sphere by an irrational fraction of π. When (M, ω) is spherically positive-monotone, we show the existence of Hamiltonian torsion imposes geometrical uniruledness, which implies that non-constant J-holomorphic spheres are ubiquitous. This phenomenon was predicted in a list of problems contained in the introductory monograph of McDuff and Salamon. The spectral metric rigidity. Our study reveals that for spherically positive-monotone (M, ω), there exists a neighbourhood of the identity in Ham(M,ω), in the topology induced by the spectral metric, that does not contain any non-trivial finite subgroup. The main result of the second article establishes that for a broad class of symplectic manifolds the flux of a loop of symplectic diffeomorphisms is completely determined by the homotopy class of its orbits. As an application, we obtain a new vanishing result for the flux group and new instances where the existence of a fixed point of a symplectic circle action implies that it is Hamiltonian. Moreover, we obtain obstructions to the existence of non-trivial elements of Symp0(M,ω) that have finite order. The third article, co-authored with Han Lou, proves a version of the Hofer-Zehnder conjec- ture for closed semipositive symplectic manifolds whose quantum homology is semisimple; this result generalizes the groundbreaking work of Shelukhin in the spherically positive- monotone setting. The result shows that a Hamiltonian diffeomorphism possessing more contractible fixed points, counted homologically, than the total Betti number of the mani- fold, must have infinitely many periodic points. The key component of the proof is a new study of the effect of reduction modulo a prime on the bounds on filtered Floer homology that arise from semisimplicity. It relies on the theory of algebraic extensions of non-Archimedean normed fields. The fourth article, co-authored with Habib Alizadeh and Dylan Cant, investigates the dis- placeability of a closed Lagrangian submanifold L of a convex-at-infinity symplectic manifold by a compactly supported Hamiltonian diffeomorphism. We conclude that a Hamiltonian diffeomorphism φ whose spectral norm is smaller than some ħ(L) > 0, depending only on L ⊂ W , cannot displace L. Furthermore, we establish a cup-length estimate for the number of action values; when L is rational, this implies a cup-length estimate on the number of intersection points L ∩ φ(L). As a corollary, we demonstrate that the number of fixed points of a Hamiltonian diffeomorphism of a closed rational symplectic manifold (M,ω), whose spectral norm is smaller than the rationality constant, is bounded below by one plus the cup-length of M.

L’actualisation des données sur le contentieux privé des pratiques anticoncurrentielles fait naître laconviction que l’état de sous-développement souvent pointé est aujourd’hui dépassé. Les statistiquessont nettes : des dizaines d’affaires sont plaidées chaque année. Toutefois, ce contentieux s’esquissesous des traits qui ne sont pas exactement ceux du contentieux indemnitaire de masse faisant suite àla commission d’ententes internationales. C’est un fait majeur qui doit être noté car l’essentiel desprojets de réforme furent bâtis sur cet idéal type. Trois des caractères les plus saillants de la réalitéjudiciaire témoignent de cette fracture entre droit positif et droit prospectif. D’abord, le contentieuxprivé est majoritairement un contentieux contractuel entre professionnels aux forces déséquilibrées. Ensuite, c’estun contentieux national – voire local – plus qu’un contentieux international. Enfin, c’est plutôt uncontentieux autonome se déployant devant les juridictions judiciaires sans procédure préalable oupostérieure des autorités de concurrence (stand alone). Paradoxalement, les actions complémentaires(follow-on), pourtant réputées d’une mise en oeuvre aisée, sont plus rares. Ces observations invitentalors à réviser l’ordre des priorités de toute réflexion prospective. Ainsi, la lutte contre l’asymétried’informations et de moyens entre litigants, l’essor de sanctions contractuelles efficaces, larecomposition du rôle des autorités juridictionnelles et administratives dans le procès civil ou encorele développement des procédures de référé s’imposent avec urgence. Mais s’il paraît légitime desoutenir ce contentieux autonome déjà existant, il n’en reste pas moins utile de participer à laréflexion déjà amorcée pour développer le contentieux indemnitaire de masse tant attendu et dont onne peut négliger les atouts. De lege ferenda, le contentieux privé de demain présenterait donc uncaractère bicéphale ; il serait à la fois autonome et complémentaire. Il faut alors tenter de concevoir unrégime efficace pour ces deux moutures du contentieux privé en tenant compte de leurs exigencesrespectives. Or l’analyse positive et prospective de leurs fonctions révèlent que contentieuxautonome et contentieux complémentaire s’illustrent autant par les fonctions qu’ils partagent que parcelles qui les distinguent. Il serait donc excessif de vouloir en tous points leur faire application derègles particulières ou, à l’inverse, de règles identiques. C’est donc vers l’élaboration d’un régime commun complété par un régime particulier à chacun d’eux que s’orientera la présente recherche.PREMIÈRE PARTIE. Le régime commun aux contentieux privés autonome et complémentaireSECONDE PARTIE. Le régime particulier à chacun des contentieux privés autonome et complémentaire / Pas de résumé en anglais