L'associaèdre se situe à l'interface de plusieurs domaines mathématiques. Combinatoirement, il s'agit du complexe simplicial des dissections d'un polygone convexe (ensembles de diagonales ne se croisant pas deux à deux). Géométriquement, il s'agit d'un polytope dont les sommets et les arêtes encodent le graphe dual du complexe des dissections. Enfin l'associaèdre décrit la structure combinatoire qui définit la présentation par générateurs et relations de certaines algèbres, dites << amassées >>. Du fait de son omniprésence, de nouvelles familles généralisant cet objet sont régulièrement découvertes. Cependant elles n'ont souvent que de faibles interactions. Leurs études respectives présentent de notre point de vue deux enjeux majeurs : chercher à les relier en se basant sur les propriétés connues de l'associaèdre ; et chercher pour chacune des cadres combinatoire, géométrique et algébrique dans le même esprit.Dans cette thèse, nous traitons le lien entre combinatoire et géométrie pour certaines de ces généralisations : les associaèdres de graphes, les complexes de sous-mots et les complexes d'accordéons. Nous suivons un fil rouge consistant à adapter, à ces trois familles, une méthode de construction des associaèdres comme éventails (ensembles de cônes polyédraux), dite méthode des d-vecteurs et issue de la théorie des algèbres amassées. De manière plus large, notre problématique principale consiste à réaliser, c'est-à-dire plonger géométriquement dans un espace vectoriel, des complexes abstraits. Nous obtenons trois familles de nouvelles réalisations, ainsi qu'une quatrième encore conjecturale dont les premières instances constituent déjà des avancées significatives.Enfin, en sus des résultats géométriques, nous démontrons des propriétés combinatoires spécifiques à chaque complexe simplicial abordé. / The associahedron is at the interface between several mathematical fields. Combinatorially, it is the simplicial complex of dissections of a convex polygon (sets of mutually noncrossing diagonals). Geometrically, it is a polytope whose vertices and edges encode the dual graph of the complex of dissections. Finally the associahedron describes the combinatorial structure defining a presentation by generators and relations of certain algebras, called ``cluster algebras''. Because of its ubiquity, we regularly come up with new families generalizing this object. However there often are only few interactions between them. From our perspective, there are two main issues when studying them: looking for relations on the basis of known properties of the associahedron; and, for each, looking for combinatorial, geometric and algebraic frameworks in the same spirit.In this thesis, we deal with the link between combinatorics and geometry for some of these generalizations: graph associahedra, subword complexes and accordion complexes. We follow a guidelight consisting in adapting, to these three families, a method for constructing associahedra as fans (sets of polyhedral cones), called the d-vector method and coming from cluster algebra theory. More generally, our main concern is to realize, that is geometrically embed in a vector space, abstract complexes. We obtain three new families of generalizations, and a fourth conjectural one whose first instances already constitute significant advances.Finally in addition to the geometric results, we prove combinatorial properties specific to each encountered simplicial complex.

Ce mémoire fait état des résultats obtenus concernant les vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme dans le secteur de Ramond. Une formule explicite exprimant ces vecteurs singuliers a été obtenue en termes de superpolynômes de Jack via la représentation de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes symétriques. On présente d’abord les partitions d’entiers et les fonctions symétriques standards. Ceci permet d’introduire les fonctions propres du modèle Calogero-Sutherland (CS) en termes de polynômes de Jack qui se révèlent être une représentation efficace des vecteurs singuliers de l’algèbre conforme. Suivant cette piste, on procède à la supersymétrisation du modèle CS ce qui permet de générer les superpolynômes de Jack, polynômes symétriques dans le superespace. On présente finalement la formule explicite des vecteurs singuliers de l’algèbre superconforme en termes de superpolynômes de Jack. / This mémoire presents results concerning the Ramond singular vectors of the superconformal algebra. An explicit formula has been obtained for the Ramond singular vectors of the superconformal algebra via its superpolynomial representation and the formula is given here in terms of Jack superpolynomials. We first present some basic elements of the integer partition and symmetric functions theories. This leads us to consider the eigenfunctions of the Calogero-Sutherland (CS) model, the Jack polynomials. These happen to be the singular vectors of the conformal algebra when represented in terms of symmetric polynomials. Given those results, we extend the CS model to the supersymmetric case and interpret its eigenfunctions as the Jack superpolynomials which are symmetric functions in superspace. We then display the explicit formula of the Ramond singular vectors of the superconformal algebra which has been obtained in terms of Jack superpolynomials.

Ce mémoire porte sur la structure des centralisateurs de l'action de l'extension de Lusztig LUqsl2 du groupe quantique Uqsl2 sur les produits tensoriels de la forme \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) en q une racine de l'unité. Ici, n est un entier positif, Lq(1) est la représentation fondamentale de dimension 2 de LUqsl2 et M est un LUqsl2-module simple ou projectif. Dans le cas des modules simples, on analyse l'action du groupe de tresses de type B sur les modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via les matrices R et on identifie sa structure comme quotient de l'algèbre de Temperley-Lieb à une frontière TLbn. Dans le cas des modules projectifs, on utilise les idempotents de (l,p)-Jones--Wenzl [BLS19, MS22, STWZ23] pour exprimer \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) comme une algèbre de Temperley-Lieb valencée [Spe21]. Le chapitre 1 introduit les algèbres de Temperley-Lieb et de Temperley-Lieb à une frontière, par générateurs et relations et de façon diagrammatique, en faisant le lien avec le langage des algèbres cellulaires. Le chapitre 2 présente, après une courte introduction au langage des algèbres de Hopf, le groupe quantique Uqsl2 et l'extension de Lusztig LUqsl2 en q une racine de l'unité. Une partie de sa théorie de la représentation est présentée, ainsi que les matrices R et la dualité de Schur-Weyl quantique. Le chapitre 3 se penche sur l'étude de l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). En particulier, il montre que l'action du groupe de tresses de type B sur cet espace se factorise par l'algèbre TLbn, puis montre que le noyau de cette représentation est un idéal engendré par un préidempotent de Jones-Wenzl. Le chapitre 4 présente la construction des idempotents de (l,p)-Jones-Wenzl et la preuve de leurs propriétés clés. Il fait ensuite le lien avec l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) et montre qu'elle est isomorphe à un sandwich de l'algèbre de Temperley-Lieb par ces idempotents. / This thesis studies the structure of the centralizers of the action of Lusztig's extension LUqsl2 of the quantum group Uqsl2 on tensor products of the form \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) when q is a root of unity. Here, n is a positive integer, Lq(1) is the 2-dimensional fundamental representation of LUqsl2 and M is a simple or projective module over LUqsl2. In the case of simple modules, we analyze the action of the type B braid group on the modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via the R-matrices and we identify its structure as a quotient of the one-boundary Temperley-Lieb algebra TLbn. In the case of projective modules, we use the (l,p)-Jones-Wenzl idempotents [BLS19, MS22, STWZ23] to write \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) as a valenced Temperley-Lieb algebra [Spe21]. Chapter 1 introduces the Temperley-Lieb algebras and the one-boundary Temperley-Lieb algebras, both by generators and relations and diagrammatically, also exhibiting their cellular structure. Chapter 2 gives an introduction to the language of Hopf algebras, then presents the quantum group Uqsl2 and Lusztig's extension LUqsl2 at q a root of unity. Part of its representation theory is given, as well as its R-matrices and quantum Schur-Weyl duality. Chapter 3 focuses on the study of the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). In particular, it shows that the type B braid group action factorizes through the algebra TLbn, then shows that the kernel of this representation is an ideal generated by a Jones-Wenzl preidempotent. Chapter 4 gives the construction of (l,p)-Jones-Wenzl idempotents and proves their key properties. It then makes explicitly the link with the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) and shows that it is isomorphic to a sandwich of the Temperley-Lieb algebra by those idempotents.

Si G est . un groupe localement compact, est-ce que chaque dérivation de LI (G) à M( G) est interne? Victor Losert dans [10] a démontré que la réponse est positive. Le but d'écrire ce mémoire est raconter son preuve en détail.

Pour l'algèbre de Banach complexe A ayant l'élément unité, on dénote par G(A) l'ensemble des éléments inversibles de A, et par G1(A) on dénote la composante qui contient l'unité. Le spectre de a ∈ A est l'ensemble de tous les nombres complexes λ tels que λ1 - a ∉ G(A), et le spectre exponentiel de a est l'ensemble de tous les nombres complexes tels que λ1 - a ∉ G1(A). Évidemment, pour chaque élément de l'algèbre, son spectre exponentiel contient le spectre habituel. Il est bien connu que le spectre habituel a une propriété que l'on nommera "propriété de commutativité". Cela signifie que, pour chaque choix des deux éléments a; b ∈ A, nous avons Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, où Sp est le spectre. Avons-nous la même propriété pour les spectres exponentiels? Cette question n'est toujours pas résolue. L'objectif de ce mémoire est d'étudier le spectre exponentiel, et plus particulièrement sa propriété de commutativité. Dans le premier chapitre, nous donnerons les définitions d'algèbre de Banach complexe, spectre et spectre exponentiel de ses éléments, et leurs propriétés de base. Aussi nous établirons des relations topologiques entre les spectres exponentiel et habituel. Dans le deuxième chapitre, nous définirons les fonctions holomorphes sur une algèbre de Banach, et discuterons du problème de la propriété de commutativité de spectre exponentiel, en établissant des résultats positifs connus. Dans le troisième et dernier chapitre, nous examinerons quelques exemples d'algèbres de Banach, décrivant les ensembles G(A) et G1(A), et discuterons de la propriété de commutativité pour ces algèbres. / For a complex Banach algebra A with unit element, we denote by G(A) the set of invertible elements of A, and by G1(A) we denote the component of G(A) which contains the unit. The spectrum of a ∈ A is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G(A), and the exponential spectrum of a is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G1(A). Of course for each element of the algebra its exponential spectrum contains the usual spectrum. It is well known that the usual spectrum has the so-called commutativity property. This means that, for any two elements a and b of A, we have Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, where Sp denotes the spectrum. Does this property hold for exponential spectra? This is still an open question. The purpose of this memoir is to study the exponential spectrum, and particularly its commutativity property. In chapter one, we will give definitions of a complex Banach algebra, the spectrum and exponential spectrum of its elements, and their basic properties. Also we will establish topological relations between exponential and usual spectra. In chapter two, we will define holomorphic functions on a Banach algebra, and also discuss the commutativity property problem for the exponential spectrum, establishing some known positive results. In the last chapter, we will consider some examples of Banach algebras, describing the sets G(A) and G1(A), and discuss the commutativity property for these algebras.

Invariants topologiques quantiques non semi-simples. La théorie des nœuds (courbes simples plongées dans R³, à déformation continue près) se développe au début du XXième siècle avec notamment les travaux d'Alexander et de Reidemeister. Elle a connu un tournant avec la topologie quantique née en 1984 par la découverte par Vaughan Jones d'une manière d'associer à chaque nœuds un polynôme. Vladimir Turaev et Nicolai Reshetikhin interprètent et généralisent ce procédé en terme de représentations des groupes quantiques. Aujourd'hui encore, la compréhension géométrique de ces invariants est ténue. Toujours dans les années 80, Edward Witten donne une interprètation physique du polynôme de Jones et suggère une généralisation aux variétés de dimension trois. Vladimir Turaev avec Nicolai Reshetikhin puis avec Oleg Viro réalise rigoureusement ces invariants nouveaux pour les variétés de dimension trois. Dans de nombreux cas, ces constructions s'avèrent triviales. Ceci est lié à la présence de représentations des groupes quantiques qui ne sont pas semi-simples. Mes travaux, en collaboration avec Nathan Geer, Vladimir Turaev, Francesco Costantino et Alexis Virelizier ont consisté, pour une grande part, à modifier les constructions précédentes pour définir des invariants non triviaux dans ce cadre non semi-simple. Ces travaux m'ont amené a développer, avec Nathan Geer et Jonathan Kujawa, des techniques algébriques qui présentent un intérêt propre en théorie des représentations. Relier les constructions de la topologie quantique et les invariants d'origine plus géométriques constitue un vrai challenge des mathématiques modernes pour lequel les invariants non semi-simples que j'ai définis offrent un point de vue prometteur.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.

Ce mémoire étudie la polynomialité de l'algèbre des invariants de l'algèbre des fonctions polynomiales sur le dual d'une certaine algèbre de Lie, lorsque cette dernière est la troncation canonique d'une sous-algèbre biparabolique d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.

Le problème de la resommation réelle consiste à associer à une série divergente réelle unefonction analytique qui lui est asymptotique sur un secteur du plan complexe bissecté par unedes deux demi-directions réelles. Jean Ecalle a esquissé, pour le résoudre, les grandes lignesd’une théorie dite des bonnes moyennes uniformisantes. Celle-ci est basée sur plusieurs de sesdécouvertes : le calcul moulien simple et arborifié, les opérateurs étrangers et les fonctionsrésurgentes.Nous nous proposons dans cette thèse de détailler complètement la théorie des moyennesd’Ecalle. Il s’agit de l’appliquer à la resommation de la conjuguante formelle des champsanalytiques réels de type noeud-col et des difféomorphismes analytiques tangents à l’identitédans leur classe formelle la plus simple. Une partie conséquente de la thèse est consacrée àla théorie de l’arborification. C’est l’un des ingrédients majeurs de la théorie des moyennesmais pour laquelle Ecalle n’avait délivré que peu de détails.Un chapitre de la thèse traite de géométrie o-minimale. Il s’agit de démontrer l’existenced’un « isomorphisme formel »entre les familles de germes d’ensembles semi-analytiques issusde deux classes quasi-analytiques isomorphes. Bien que ce chapitre soit disjoint de la théoriedes moyennes, il est probable que cette dernière permette à l’avenir d’obtenir de nouvellesclasses quasi-analytiques.Enfin, nous proposons de faire le lien entre un procédé de resommation réelle de la conjuguanteformelle du noeud-col réel élaboré par R. Schäfke et les moyennes d’Ecalle. / Pas de résumé en anglais.