Wir untersuchen die analytische Struktur von Feynman Integralen als mengenwertige holomorphe Funktionen mit topologischen Methoden, spezifisch mit Techniken für singuläre Integrale. Der Hauptfokus liegt auf dem Ein-Schleifen-Fall. Zunächst geben wir einen gründlichen Überblick über die Theorie der singulären Integrale und füllen einige Lücken in der Literatur. Anschließend untersuchen wir die Topologie von endlichen Vereinigungen und Schnitten von bestimmten nicht-degenerierten affinen komplexes Quadriken, welche die relevante Geometrie von Ein-Schleifen Feynman Integralen darstellen. Wir etablieren einige grundsätzliche topologische Eigenschaften und führen eine Kompaktifizierung von Bündeln solcher Räume und eine Whitney Stratifizierung dieser ein. Des Weiteren berechnen wir die Homologiegruppen der Fasern durch eine Dekomposition in die auftretenden Schnitte komplexer Sphären. Das Einführen einer CW-Dekomposition einer spezifischen Faser führt zu einer kombinatorischen Studie, welche es uns erlaubt explizite Generatoren in Sinne dieser CW-Strukture zu berechnen. Unter Verwendung dieser Generatoren berechnen wir die relevanten Schnittindizes, welche im Ramifizierungsproblem auftreten. Durch Anwendung dieser Resultate auf Ein-Schleifen Feynman Integrale finden wir die klassischen Landau Gleichungen wieder und erhalten einen vollständigen Beweis von Cutkoskys Theorem. Des Weiteren untersuchen wir, wie viel dieses Mechanismus sich auf den Mehr-Schleifen Fall überträgt. Insbesondere betrachten wir zwei Beispiele von Mehr-Schleifen Integralen und erhalten Resultate die über den aktuellen Stand der Literatur hinaus gehen. / We investigate the analytic structure of Feynman integrals as multivalued holomorphic functions with topological methods, specifically with techniques for singular integrals. The main focus lies on the one-loop case. First, we conduct a thorough review of the theory of singular integrals, filling some gaps in the literature. Then, we investigate the topology of finite unions and intersections of certain non-degenerate affine complex quadrics which constitute the relevant geometry of one-loop Feynman integrals. We establish some basic topological properties and introduce a compactification of bundles of such spaces and a Whitney stratification thereof. Furthermore, we compute the homology groups of the fibers via a decomposition into the direct sum of all occurring intersections of complex spheres. Introducing a CW-decomposition of a specific fiber leads to a combinatorial study, allowing us to obtain explicit generators in terms of this CW-structure. Using these generators, we compute the relative intersection indices that occur in the ramification problem. Applying these results to one-loop Feynman integrals, we retrieve the classical Landau equations and obtain a full proof of Cutkosky's Theorem. Furthermore, we investigate how much of this machinery applies to the multi-loop case. In particular, we consider two examples of multi-loop integrals and obtain results beyond the current state of the literature.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen mathematischen Fragestellungen hinsichtlich der Modellierung, Analysis und numerischen Simulation von Gasnetzen. Hierbei liegt der Fokus auf der mathematischen Handhabung von partiellen differential-algebraischen Gleichungen, die mit algebraischen Gleichungen gekoppelt sind. Diese bieten einen einfachen Zugang hinsichtlich der Modellierung von dynamischen Strukturen auf Netzen Somit sind sie insbesondere für Gasnetze geeignet, denen im Zuge der steigenden Bedeutung von erneuerbaren Energien ein gestiegenes Interesse seitens der Öffentlichkeit, Politik und Wissenschaft entgegen gebracht wird. Wir führen zunächst die gängigsten Elemente, die in Gasnetzen benötigt werden ein und formulieren zwei PDAE-Klassen für solche Netze: Eine für reine Rohrnetze, und eine, die zusätzliche Elemente wie Verdichter und Widerstände beinhaltet. Des Weiteren untersuchen wir die Sensitivität der Lösung der Rohrnetz-PDAE hinsichtlich Störungen. Dabei berücksichtigen wir Störungen, die nicht nur den dynamischen Teil der PDAE beeinflussen, sondern auch Störungen in den algebraischen Gleichungen und weisen Stabilitätseigenschaften für die Lösung der PDAE nach. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit einer neu entwickelten, an die Netztopologie angepassten Ortsdiskretisierung, welche die Stabilitätseigenschaften der PDAE auf DAE Systeme überträgt. Des Weiteren zeigen wir, wie sich die Gasnetz-DAE zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung, welche die inhärente Dynamik der DAE widerspiegelt entkoppeln lässt. Dieses entkoppelte System kann darüber hinaus direkt aus den Topologie- und Elementinformationen des Netzes aufgestellt werden. Abschließend demonstrieren wir die Ergebnisse an Benchmark-Gasnetzen. Dabei vergleichen wir sowohl die entkoppelte Differentialgleichung mit dem ursprünglichen DAE System, zeigen aber auch, welche Vorteile die an die Netztopologie angepasste Ortsdiskretisierung gegenüber existierenden Verfahren besitzt. / This thesis addresses several aspects regarding modelling, analysis and numerical simulation of gas networks. Hereby, our focus lies on (partial) differential-algebraic equations, thus systems of partial and ordinary differential equations which are coupled by algebraic equations. These coupled systems allow an easy approach towards the modelling of dynamic structures on networks. Therefore, they are well suited for gas networks, which have gained a rise of attention in society, politics and science due to the focus towards renewable energies. We give an introduction towards gas network modelling that includes the most common elements that also appear in real gas networks and present two PDAE systems: One for pipe networks and one that includes additional elements like resistors and compressors. Furthermore, we investigate the impact of perturbations onto the pipe network PDAE, where we explicitly allow perturbations to affect the system in the differential as well as in the algebraic components. We conclude that the solution of the PDAE possesses stability properties. In addition, this thesis introduces a new spatial discretisation that is adapted to the net- work topology. This topology-adapted semi-discretisation results in a DAE which possesses the same perturbation behaviour as the space continuous PDAE. Furthermore, we present a topology based decoupling procedure that allows to reformulate the DAE as an ordinary differential equation (ODE), which represents the inherent dynamics of the DAE system. This ODE, together with a decoupled set of algebraic equations, can be derived from the topology and element information directly. We conclude by demonstrating the established results for several benchmark networks. This includes a comparison of numerical solutions for the decoupled ODE and the DAE system. In addition we present the advantages of the topology-adapted spatial discretisation over existing well established methods.

In this work the extension of the criterion for local thermal equilibrium by Buchholz, Ojima and Roos to curved spacetime as introduced by Schlemmer is investigated. Several problems are identified and especially the instability under time evolution which was already observed by Schlemmer is inspected. An alternative approach to local thermal equilibrium in quantum field theories on curved spacetimes is presented and discussed. In the following the dynamic system of the linear field and matter perturbations in the generic model of inflation is studied in the view of ambiguity of quantisation. In the last part the compatibility of the temperature fluctuations of the cosmic microwave background radiation with local thermal equilibrium is investigated.:1. Introduction 5 2. Technical Background 10 2.1. The Free Scalar Field on a Globally Hyperbolic Spacetime . . . . . . 10 2.1.1. Construction of the Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2. Algebra of Wick Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3. Local Covariance Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Local Thermal Equilibirum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Global Thermodynamic Equilibrium - KMS States . . . . . . 21 2.2.2. Local Thermal Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. LTE on Flat Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4. LTE in Cosmological Spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Linear Scalar Cosmological Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1. Robertson-Walker Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2. Mathematical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.3. Technical Framework and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.4. The Boltzmann Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.5. The Sachs-Wolfe Effect for Adiabatic Perturbations . . . . . . 49 3. Towards a Refinement of the LTE Condition on Curved Spacetimes 54 3.1. Non-Minimal Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.1. Commutator Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.2. KMS Two-Point Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.3. Balanced Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. Conformally Static Spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.1. Conformal KMS States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2. Extrinsic LTE in de Sitter Spacetime . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3. Massive Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.1. Properties of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.2. Bogoliubov Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.3. Thermal Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4. Towards an Alternative Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.1. Problems and Open Questions Concerning LTE . . . . . . . . 92 3.4.2. Dynamic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.3. Positivity Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4.4. Macroobservable Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.5. An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Cosmological Perturbation Theory 105 4.1. Dynamics of Perturbations in Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.1.1. CCR Quantisation is Ambiguous . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.1.2. Canonical Symplectic Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.3. The Algebraic Point of View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2. LTE States in Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.2.1. The Link to Fluid Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.2.2. Incompatibility of LTE with Sachs-Wolfe Effect . . . . . . . . 125 5. Conclusion and Outlook 131 A. Technical proofs 136 A.1. Proof of Lemma 3.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.2. Proof of Lemma 3.2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 A.3. Proof of Lemma 3.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 A.4. Idea of Proof for Conjecture 3.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 B. Introduction to Probability Theory 146 Bibliography 150 Correction of Lemma 3.1.2 155 / In dieser Arbeit wird die von Schlemmer eingeführte Erweiterung des Kriteriums für lokales thermisches Gleichgewicht in Quantenfeldtheorien von Buchholz, Ojima und Roos auf gekrümmte Raumzeiten untersucht. Dabei werden verschiedene Probleme identifiziert und insbesondere die bereits von Schlemmer gezeigte Instabilität unter Zeitentwicklung untersucht. Es wird eine alternative Herangehensweise an lokales thermisches Gleichgewicht in Quantenfeldtheorien auf gekrümmten Raumzeiten vorgestellt und deren Probleme diskutiert. Es wird dann eine Untersuchung des dynamischen Systems der linearen Feld- und Metrikstörungen im üblichen Inflationsmodell mit Blick auf Uneindeutigkeit der Quantisierung durchgeführt. Zuletzt werden die Temperaturfluktuationen der kosmischen Hintergrundstrahlung auf Kompatibilität mit lokalem thermalem Gleichgewicht überprüft.:1. Introduction 5 2. Technical Background 10 2.1. The Free Scalar Field on a Globally Hyperbolic Spacetime . . . . . . 10 2.1.1. Construction of the Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2. Algebra of Wick Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3. Local Covariance Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Local Thermal Equilibirum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Global Thermodynamic Equilibrium - KMS States . . . . . . 21 2.2.2. Local Thermal Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. LTE on Flat Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4. LTE in Cosmological Spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Linear Scalar Cosmological Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1. Robertson-Walker Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2. Mathematical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.3. Technical Framework and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.4. The Boltzmann Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.5. The Sachs-Wolfe Effect for Adiabatic Perturbations . . . . . . 49 3. Towards a Refinement of the LTE Condition on Curved Spacetimes 54 3.1. Non-Minimal Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.1. Commutator Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.2. KMS Two-Point Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.3. Balanced Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. Conformally Static Spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.1. Conformal KMS States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2. Extrinsic LTE in de Sitter Spacetime . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3. Massive Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.1. Properties of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.2. Bogoliubov Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.3. Thermal Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4. Towards an Alternative Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.1. Problems and Open Questions Concerning LTE . . . . . . . . 92 3.4.2. Dynamic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.3. Positivity Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4.4. Macroobservable Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.5. An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Cosmological Perturbation Theory 105 4.1. Dynamics of Perturbations in Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.1.1. CCR Quantisation is Ambiguous . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.1.2. Canonical Symplectic Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.3. The Algebraic Point of View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2. LTE States in Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.2.1. The Link to Fluid Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.2.2. Incompatibility of LTE with Sachs-Wolfe Effect . . . . . . . . 125 5. Conclusion and Outlook 131 A. Technical proofs 136 A.1. Proof of Lemma 3.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.2. Proof of Lemma 3.2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 A.3. Proof of Lemma 3.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 A.4. Idea of Proof for Conjecture 3.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 B. Introduction to Probability Theory 146 Bibliography 150 Correction of Lemma 3.1.2 155

Diese Dissertation befasst sich mit der Analyse von semi-expliziten Systemen aus stochastischen Differentialgleichungen (SDEs) gekoppelt mit stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDEs) und algebraischen Gleichungen (AEs) mit möglicherweise stochastischen Anteilen in den Operatoren. Diese Systeme spielen eine entscheidende Rolle bei der Modellierung von realen Anwendungen, wie zum Beispiel elektrischen Schaltkreisen und Gasnetzwerken. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit besteht darin, einen Rahmen bereitzustellen, in dem diese semiexpliziten Systeme auch bei stochastischen Einflüssen in den algebraischen Randbedingungen eine eindeutige Lösung haben. Wir führen einen numerischen Ansatz für solche Systeme ein und schlagen eine neue Möglichkeit vor, um Konvergenzergebnisse von driftimpliziten Methoden für SDEs auf stochastische Differential-Algebraische Gleichungen (SDAEs) zu erweitern. Dies ist wichtig, da viele Methoden für SDEs gut entwickelt sind, aber im Allgemeinen nicht für SDAEs in Betracht gezogen werden. Darüber hinaus untersuchen wir praktische Anwendungen in der Schaltkreis- und Gasnetzwerksimulation und diskutieren die dabei auftretenden Herausforderungen und Einschränkungen. Insbesondere stellen wir dabei auch einen Modellierungsansatz für Gasnetzwerke bestehend aus Rohren und algebraischen Komponenten vor. Abschließend testen wir in beiden Anwendungsfeldern die numerische Konvergenz anhand konkreter Beispiele mit verschiedenen Arten von stochastischer Modellierung. / This dissertation delves into the analysis of semi-explicit systems of stochastic differential equations (SDEs) coupled with stochastic partial differential equations (SPDEs) and algebraic equations (AEs) with possibly noise-driven operators. These systems play a crucial role in modeling real-world applications, such as electrical circuits and gas networks. The main contribution of this work is to provide a setting in which these semi-explicit systems have a unique solution even with stochastic influences in the algebraic constraints. We introduce a numerical approach for such systems and propose a new approach for extending convergence results of drift-implicit methods for SDEs to stochastic differential-algebraic equations (SDAEs). This is important, as many methods are well-developed for SDEs but generally not considered for SDAEs. Furthermore, we examine practical applications in circuit and gas network simulation, discussing the challenges and limitations encountered. In particular, we provide a modeling approach for gas networks consisting of pipes and algebraic components. To conclude, we test numerical convergence in both application settings on concrete examples with different types of stochastic modeling.

Fedosov has described a geometro-algebraic method to construct in a canonical way a deformation of the Poisson algebra associated with a finite-dimensional symplectic manifold (\\\"phase space\\\"). His algorithm gives a non-commutative, but associative, product (a so-called \\\"star-product\\\") between smooth phase space functions parameterized by Planck\\\'s constant ℏ, which is treated as a deformation parameter. In the limit as ℏ goes to zero, the star product commutator goes to ℏ times the Poisson bracket, so in this sense his method provides a quantization of the algebra of classical observables. In this work, we develop a generalization of Fedosov\\\'s method which applies to the infinite-dimensional symplectic \\\"manifolds\\\" that occur in Lagrangian field theories. We show that the procedure remains mathematically well-defined, and we explain the relationship of this method to more standard perturbative quantization schemes in quantum field theory.

Das Enzym Tryptophan Synthase ist ein ausgezeichnetes Beispiel einer molekularen Fabrik auf der Nanoskala mit zwei katalytischen Zentren. Der katalytische Zyklus des Moleküls beruht zudem auf zahlreichen allosterischen Wechselwirkungen sowie der Übertragung des Intermediats Indol durch einen intramolekularen Tunnel. In dieser Arbeit wird das erste kinetische Modell eines einzelnen Tryptophan Synthase Moleküls konstruiert und analysiert. Simulationen zeigen starke Korrelationen zwischen den Zuständen der Katalysezentren sowie die Ausbildung von Synchronisation. Mit stochastischer Thermodynamik wird die experimentell unzugängliche Reaktionskonstante für die Rückübertragung des Indols aus Messdaten rekonstuiert. Methoden, die den Informationsaustausch in bipartiten Markovnetzwerken charakterisieren, werden auf beliebige Markovnetzwerke verallgemeinert und auf das Modell angewendet. Der abschließende Teil befasst sich mit chemischen Reaktionsnetzwerken von Metaboliten und Enzymen. Es werden algebraische Modelle (Halbgruppen) konstruiert, welche aufeinanderfolgende und simultane katalytische Funktionen von Enzymen und von Unternetzwerken erfassen. Diese Funktionen werden genutzt, um eine natürliche Dynamikum sowie hinreichende und notwendige Bedingungen für seine Selbsterhaltung zu formulieren. Anschließend werden die algebraischen Modelle dazu genutzt, um eine Korrespondenz zwischen Halbgruppenkongruenzen und Skalenübergängen auf den Reaktionsnetzwerken herzustellen. Insbesondere wird eine Art von Kongruenzen erörtert, welche dem Ausspuren der globalen Struktur des Netzwerkes unter vollständiger Beibehaltung seiner lokalen Komponenten entspicht. Während klassische Techniken eine bestimmte lokale Komponente fixieren und sämtliche Informationen über ihre Umgebung ausspuren, sind bei dem algebraischen Verfahren alle lokalen Komponenten zugleich sichtbar und eine Verknüpfung von Funktionen aus verschiedenen Komponenten ist problemlos möglich. / The channeling enzyme tryptophan synthase provides a paradigmatic example of a chemical nanomachine with two distinct catalytic subunits. It catalyzes the biosynthesis of tryptophan, whereby the catalytic activity in a subunit is enhanced or inhibited depending on the state of the other subunit, gates control the accessibility of the reactive sites and the intermediate product indole is directly channeled within the protein. The first single-molecule kinetic model of the enzyme is constructed. Simulations reveal strong correlations in the states of the active centers and the emergent synchronization. Thermodynamic data is used to calculate the rate constant for the reverse indole channeling. Using the fully reversible single-molecule model, the stochastic thermodynamics of the enzyme is closely examined. The current methods describing information exchange in bipartite systems are extended to arbitrary Markov networks and applied to the kinetic model. They allow the characterization of the information exchange between the subunits resulting from allosteric cross-regulations and channeling. The final part of this work is focused on chemical reaction networks of metabolites and enzymes. Algebraic semigroup models are constructed based on a formalism that emphasizes the catalytic function of reactants within the network. A correspondence between coarse-graining procedures and semigroup congruences respecting the functional structure is established. A family of congruences that leads to a rather unusual coarse-graining is analyzed: The network is covered with local patches in a way that the local information on the network is fully retained, but the environment of each patch is not resolved. Whereas classical coarse-graining procedures would fix a particular patch and delete information about the environment, the algebraic approach keeps the structure of all local patches and allows the interaction of functions within distinct patches.

Informationssysteme verarbeiten Daten, die logisch und physisch über Knoten verteilt sind. Datenobjekte verschiedener Knoten können dabei Bezüge zueinander haben. Beispielsweise kann ein Datenobjekt eine Referenz auf ein Datenobjekt eines anderen Knotens oder eine kritische Information enthalten. Die Semantik der Daten induziert Datenintegrität in Form von Anforderungen: Zum Beispiel sollte keine Referenz verwaist und kritische Informationen nur an einem Knoten verfügbar sein. Datenintegrität unterscheidet gültige von ungültigen Verteilungen der Daten. Ein verteiltes System verändert sich in Schritten, die nebenläufig auftreten können. Jeder Schritt manipuliert Daten. Ein verteiltes System erhält Datenintegrität, wenn alle Schritte in einer Datenverteilung resultieren, die die Anforderungen von Datenintegrität erfüllen. Die Erhaltung von Datenintegrität ist daher ein notwendiges Korrektheitskriterium eines Systems. Der Entwurf und die Analyse von Datenintegrität in verteilten Systemen sind schwierig, weil ein verteiltes System nicht global kontrolliert werden kann. In dieser Arbeit untersuchen wir formale Methoden für die Modellierung und Analyse verteilter Systeme, die mit Daten arbeiten. Wir entwickeln die Grundlagen für die Verifikation von Systemmodellen. Dazu verwenden wir algebraische Petrinetze. Wir zeigen, dass die Schritte verteilter Systeme mit endlichen vielen Transitionen eines algebraischen Petrinetzes beschrieben werden können, genau dann, wenn eine Schranke für die Bedingungen aller Schritte existiert. Wir verwenden algebraische Gleichungen und Ungleichungen, um Datenintegrität zu spezifizieren. Wir zeigen, dass die Erhaltung von Datenintegrität unentscheidbar ist, wenn alle erreichbaren Schritte betrachtet werden. Und wir zeigen, dass die Erhaltung von Datenintegrität entscheidbar ist, wenn auch unerreichbare Schritte berücksichtigt werden. Dies zeigen wir, indem wir die Berechenbarkeit eines nicht-erhaltenden Schrittes als Zeugen zeigen. / Information systems process data that is logically and physically distributed over many locations. Data entities at different locations may be in a specific relationship. For example, a data entity at one location may contain a reference to a data entity at a different location, or a data entity may contain critical information such as a password. The semantics of data entities induce data integrity in the form of requirements. For example, no references should be dangling, and critical information should be available at only one location. Data integrity discriminates between correct and incorrect data distributions. A distributed system progresses in steps, which may occur concurrently. In each step, data is manipulated. Each data manipulation is performed locally and affects a bounded number of data entities. A distributed system preserves data integrity if each step of the system yields a data distribution that satisfies the requirements of data integrity. Preservation of data integrity is a necessary condition for the correctness of a system. Analysis and design are challenging, as distributed systems lack global control, employ different technologies, and data may accumulate unboundedly. In this thesis, we study formal methods to model and analyze distributed data-aware systems. As a result, we provide a technology-independent framework for design-time analysis. To this end, we use algebraic Petri nets. We show that there exists a bound for the conditions of each step of a distributed system if and only if the steps can be described by a finite set of transitions of an algebraic Petri net. We use algebraic equations and inequalities to specify data integrity. We show that preservation of data integrity is undecidable in case we consider all reachable steps. We show that preservation of data integrity is decidable in case we also include unreachable steps. We show the latter by showing computability of a non-preserving step as a witness.

Die steigende Nachfrage an immer komplexeren Systemen in verschiedensten wirtschaftlichen Bereichen, erfordert Strategien, die Wartbarkeit und Wiederverwendbarkeit unterstützen. An diesem Punkt setzen service-orientierte Architekturen (SOAn) an. Dieses Paradigma fordert die Aufspaltung von Funktionalität in Services, die komponiert werden können, um eine gewünschte, komplexe Funktionalität zu erreichen. Besonders in sicherheitskritischen Bereichen, kann eine fehlerbehaftete Komposition jedoch zu hohen finanziellen Einbußen oder sogar zu lebensbedrohlichen Situationen führen. Um die Korrektheit sicherzustellen, müssen Kompositionsmethoden im Vorfeld definierte Eigenschaften garantieren und die, durch die unabhängige Entwicklung auftretenden, Interface-Inkompatibilitäten behandeln. Existierende Ansätze zur automatisierten Service-Komposition durch Controller-Synthese beinhalten jedoch keine formale Datenbehandlung und können daher nicht mit datenabhängigem Verhalten umgehen. In der vorliegenden Arbeit, löse ich dieses Problem durch die Bereitstellung eines Ansatzes zur automatisierten Synthese datenabhängiger, korrekter Service-Controller. Dabei wird ein Controller direkt aus den spezifizierten Anforderungen und dem Verhalten der Services erzeugt. Basierend auf den Annahmen, dass die Anforderungen in RCTL, einer Untermenge der Computational Tree Logic (CTL), spezifiziert und die Services als Algebraische Petrinetze (APNe) gegeben sind, vereinigt mein neuartiger Ansatz die beiden Formalismen und unterstützt eine zuverlässige Extraktion des Controller-Verhaltens. Durch die Nutzung der APNe, erlaubt der Ansatz eine formale Datenbehandlung und somit eine Betrachtung datenabhängigen Verhaltens. Die Anwendbarkeit meines Ansatzes habe ich an drei Fallstudien aus dem medizinischen Bereich gezeigt, wo Geräte sicher miteinander kommunizieren müssen. / The continuously increasing demand for more complex systems in various economical domains requires a strategy that supports maintainability and reusability. This is addressed by the service-oriented architecture (SOA)}-paradigm that encourages the encapsulation of functionality into services. To achieve a specific functionality, services can be composed. Especially in safety-critical systems, an incorrect composition of various components can lead to high financial losses or even life threatening situations. To ensure the correctness, composition methods must particularly be able to guarantee pre-specified requirements and to overcome interface incompatibilities, which result from the independent development of the single services. However, current approaches for automated service composition via controller synthesis do not support a formal data-treatment and do not cope with data-dependent behavior. In this thesis, we overcome this problem by providing an approach for the automated synthesis of data-dependent service controllers that are correct-by-construction. The core idea is to synthesize such a controller directly from given requirements and the behavior of the services. Based on the assumptions that the requirements are specified using a subset of Computational Tree Logic (CTL), called RCTL, and that the services are given as algebraic Petri Nets (APNs), our novel synthesis process unifies the two formalisms and enables a reliable extraction of the controller behavior. Especially due to the use of APNs, our approach supports a formal data-treatment and enables a consideration of data-dependent behavior. With our synthesis process, which is based on a successive combination of requirements and services, we provide a practical applicable approach that works fully automatically. We show the applicability of our approach using three case studies in which medical devices interact with each other.

Diese Dissertation befasst sich mit Fragen über den Modulraum M_{0,n} der stabilen punktierten rationalen Kurven, die durch das Mori-Programm motiviert sind. Insbesondere studieren wir den nef-Kegel (Chapter 2), den Cox-Ring (Chapter 3), und den Kegel der beweglichen Kurven (Chapter 4). In Kapitel 2 beweisen wir Fultons Vermutung für M_{0,n}, n / We investigate questions motivated by Mori''s program for the moduli space of stable pointed rational curves, M_{0,n}. In particular, we study its nef cone (Chapter 2), its Cox ring (Chapter 3), and its cone of movable curves (Chapter 4). In Chapter 2, we prove Fulton''s conjecture for M_{0,n} for n less than or equal to 7, which states that any divisor on these moduli spaces non-negatively intersecting all so-called F-curves is linearly equivalent to an effective sum of boundary divisors. As a corollary, it follows that a divisor is nef if and only if the divisor intersects all F-curves non-negatively. By duality, we thus recover Keel and McKernan''s result that the F-curves generate the closed cone of curves when n is less than or equal to seven, but with methods that do not rely on negativity properties of the canonical bundle that fail for higher n. Chapter 3 initiates a study of relations among generators of the Cox ring of M_{0,n}. We first prove a `relation-free'' result that exhibits polynomial subrings of the Cox ring in boundary section variables. In the opposite direction, we exhibit multidegrees such that the corresponding graded parts meet the ideal of relations non-trivially. In Chapter 4, we study the so-called complete intersection cone for the three-fold M_{0,6}. For a smooth projective variety X, this cone is defined as the closure of curve classes obtained as intersections of the dimension of X minus one very ample divisors. The complete intersection cone is contained in the cone of movable curves, which is dual to the cone of pseudoeffective divisors. We show that, for a series of toric birational models for M_{0,6}, the complete intersection and movable cones coincide, while for M_{0,6}, there is strict containment.

Diese Arbeit untersucht verschiedene Fragen hinsichtlich der birationalen Geometrie der Modulräume $\Mbar_g$ und $\Mbar_{g,n}$, mit besonderem Augenmerk auf der Berechnung effektiver Divisorklassen. In Kapitel 2 definieren wir für jedes $n$-Tupel ganzer Zahlen $\d$, die sich zu $g-1$ summieren, einen geometrisch bedeutsamen Divisor auf $\Mbar_{g,n}$, der durch Zurückziehen des Thetadivisors einer universellen Jacobi-Varietät mittels einer Abel-Jacobi-Abbildung erhalten wird. Er ist eine Verallgemeinerung verschiedener in der Literatur verwendeten Arten von Divisoren. Wir berechnen die Klasse dieses Divisors und zeigen, dass er für bestimmte $\d$ irreduzibel und extremal im effektiven Kegel von $\Mbar_{g,n}$ ist. Kapitel 3 beschäftigt sich mit einem birationalen Modell $X_6$ von $\Mbar_6$, das durch quadrische Hyperebenenschnitte auf der del-Pezzo-Fläche vom Grad $5$ erhalten wird. Wir berechnen die Klasse des großen Divisors, der die birationale Abbildung $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ induziert, und erhalten so eine obere Schranke an die bewegliche Steigung von $\Mbar_6$. Wir zeigen, dass $X_6$ der letzte nicht-triviale Raum im log-minimalen Modellprogramm für $\Mbar_6$ ist. Weiterhin geben wir einige Resultate bezüglich der Unirationalität der Weierstraßorte auf $\Mbar_{g,1}$. Für $g = 6$ hängen diese mit der del-Pezzo-Konstruktion zusammen, die benutzt wurde, um das Modell $X_6$ zu konstruieren. Kapitel 4 konzentriert sich auf den Fall $g = 0$. Castravet and Tevelev führten auf $\Mbar_{0,n}$ kombinatorisch definierte Hyperbaumdivisoren ein, die für $n = 6$ zusammen mit den Randdivisoren den effektiven Kegel erzeugen. Wir berechnen die Klasse des Hyperbaumdivisors auf $\Mbar_{0,7}$, der bis auf Permutation der markierten Punkte eindeutig ist. Wir geben eine geometrische Charakterisierung für ihn an, die zu der von Keel und Vermeire für den Fall $n = 6$ gegebenen analog ist. / This thesis investigates various questions concerning the birational geometry of the moduli spaces $\Mbar_g$ and $\Mbar_{g,n}$, with a focus on the computation of effective divisor classes. In Chapter 2 we define, for any $n$-tuple $\d$ of integers summing up to $g-1$, a geometrically meaningful divisor on $\Mbar_{g,n}$ that is essentially the pullback of the theta divisor on a universal Jacobian variety under an Abel-Jacobi map. It is a generalization of various kinds of divisors used in the literature, for example by Logan to show that $\Mbar_{g,n}$ is of general type for all $g \geq 4$ as soon as $n$ is big enough. We compute the class of this divisor and show that for certain choices of $\d$ it is irreducible and extremal in the effective cone of $\Mbar_{g,n}$. Chapter 3 deals with a birational model $X_6$ of $\Mbar_6$ that is obtained by taking quadric hyperplane sections of the degree $5$ del Pezzo surface. We compute the class of the big divisor inducing the birational map $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ and use it to derive an upper bound on the moving slope of $\Mbar_6$. Furthermore we show that $X_6$ is the final non-trivial space in the log minimal model program for $\Mbar_6$. We also give a few results on the unirationality of Weierstraß loci on $\Mbar_{g,1}$, which for $g = 6$ are related to the del Pezzo construction used to construct the model $X_6$. Finally, Chapter 4 focuses on the case $g = 0$. Castravet and Tevelev introduced combinatorially defined hypertree divisors on $\Mbar_{0,n}$ that for $n = 6$ generate the effective cone together with boundary divisors. We compute the class of the hypertree divisor on $\Mbar_{0,7}$, which is unique up to permutation of the marked points. We also give a geometric characterization of it that is analogous to the one given by Keel and Vermeire in the $n = 6$ case.