Då matematikämnet tycks vara ett skolämne vars undervisning präglas avenformighet är det viktigt att visa exempel på hur matematikundervisningen kan varieras. Ettsätt att variera undervisningen är att integrera estetiska lärprocesser. Ett estetiskt perspektiv iundervisningen inkluderar aspekter som reflektion, kreativitet och gestaltande av personligaerfarenheter. Både lärare och elever lyfter vikten av dessa estetiska aspekter för att lära sigoch minnas det man lär sig.Syftet med detta examensarbete var att undersöka hur kommunikations-, resonemangs- ochproblemlösningkompetens påverkas när den estetiska uttrycksformen bild integreras imatematikundervisningen inom områdena mönster och geometriska former. Dessamatematiska kompetenser har tagits fram som tre, av totalt åtta, delkompetenser somtillsammans utgör matematisk kompetens. Tio elever intervjuades före och efter enintervention där estetiska lärprocesser integrerades i matematikundervisningen. Intervjuernatranskriberades och tematiserades för analysen. Resultatet visar attkommunikationskompetens påverkas genom att kommunikationen blir tydligare, säkrare samtatt eleverna i högre grad behärskar olika matematiska begrepp. Resonemangskompetensenpåverkas genom att resonemangen blir mer självständiga, tydliga och innehåller argument förolika matematiska lösningar och dess giltighet. Problemlösningskompetensen påverkasgenom att förmågan att föra matematiska resonemang med en analys förstärks vilket ökarmöjligheten att komma fram till en korrekt matematisk lösning.

Syftet med denna studie var att undersöka lärares synsätt på problemlösning och hur de självasäger att de jobbar med problemlösning. Studien har genomförts genom semistruktureradeintervjuer av sex verksamma lärare i lågstadiet. Huvudresultatet visar att deltagarna generelltverkar anse att problemlösning är viktigt. Men att det råder delade meningar om varförproblemlösning är viktigt och på vilket som är det bästa sättet att tillämpa problemlösning iundervisningen. Sammanfattningsvis pekar resultatet mot att det är viktigt att vara medvetenom att uppfattningarna kring problemlösning kan se olika ut. I samtal med andrayrkesverksamma lärare kan det vara klokt att reda ut vad man menar när det kommer tillproblemlösning.

Renormalization is a powerful tool showing up in different contexts of mathematics and physics. In the context of circle diffeomorphisms, the renormalization operator acts like a microscope and allows to study the dynamics of a circle diffeomorphism on a small scale. The convergence of renormalization leads to a proof of the so-called rigidity theorem, which classifies the dynamics of circle diffeomorphisms geometrically: the conjugacy between $C^3$ circle diffeomorphism with Diophantine rotation number and the corresponding rotation is $C^1$. In this thesis, we define the renormalization of circle diffeomorphisms and study its dynamics. In particular, we prove that the renormalization of orientation preserving $C^3$ circle diffeomorphisms with irrational rotation number of bounded type converges to rotations at exponential speed. We also introduce the necessary relevant concepts such as rotation number, distortion and non-linearity and discuss some of their properties. This thesis is a summary and supplement to the book One-Dimensional Dynamics: from Poincaré to Renormalization. / Omnormalisering är en kraftfull teknik som dyker upp i olika sammanhang inom matematik och fysik. I samband med cirkeldiffeomorfier är omnormaliseringsoperatorn ett dynamiskt system, som fungerar som ett mikroskop och gör att vi kan studera dynamiken hos en cirkeldiffeomorfi på en liten skala. Omnormaliseringens konvergens leder till ett bevis för det så kallade rigiditetssatsen, som klassificerar dynamiken hos cirkeldiffeomorfier geometriskt: konjugatet mellan $C^3$ cirkeldiffeomorfi med diofantiska rotationstal och den motsvarande rotationen är $C^1$. I denna avhandling definierar vi omnormaliseringen av cirkeldiffeomorfier och studerar dess dynamik. I synnerhet bevisar vi att omnormaliseringen av orienteringsbevarande $C^3$ cirkeldiffeomorfier med irrationellt rotationstal av begränsad typ konvergerar till rotationer med exponentiell hastighet. Vi introducerar också nödvändiga och relevanta begrepp så som rotationstal, distorsion och icke-linjäritet och diskuterar några av deras egenskaper. Denna avhandling är en sammanfattning och ett komplement till boken One- Dimensional Dynamics: from Poincaré to Renormalization.

The Möbius energy and the Loewner energy are two Möbius invariant quantaties defined for Jordan curves. We start by introducing some of the basic properties of these two energies. Both are finite if and only if the curves belong to a class called Weil-Petersson. The Weil-Petersson class does not contain curves with corners. In part motivated by recent work of Johansson and Viklund we introduce regularized versions of both the Mövius and Loewner energy which allow for certain curves with isolated corners. We also look at the derivative of the Loewner energy. / Möbiusenergin och Loewnerenergin är två Möbius-invarianta kvantiteter definerade  för Jordan-kurvor. Vi börjar med att presentera några av de grundläggande egenskaperna hos dessa två energier. Båda är ändliga om och endast om kurvorna tillhör en klass som heter Weil-Petersson. Weil-Petersson-klassen innehåller inte kurvor med hörn. Delvis motiverad av nytt arbete av Johansson och Viklund introducerar vi regulariserade versioner av både Möbius- och Loewnerenergin som tillåter vissa kurvor med isolerade hörn. Vi tittar också på derivatan av Loewnerenergin.

The purpose of this activity is to investigate how the PageRank algorithm behaves in relation to the damping factor when applied to small graphs and certain special graph types. The PageRank algorithm involves the calculation of eigenvalues and eigenvectors of the Google matrix for both directed and undirected graphs. This discussion will focus on all directed graphs with up to four vertices and select special graphs. Our primary objective is to observe how the damping factor influences the dominant eigenvector for each graph and, consequently, how it impacts PageRank. We have calculated PageRank for all the graphs and conducted an analysis, particularly focusing on the effect of the damping factor, denoted as "c," in our discussions. To compute the PageRank algorithm, we constructed a probability matrix for all the graphs and performed the calculations using MATLAB. This process yielded eigenvalues and eigenvectors associated with the Google matrix. The theoretical section of this thesis encompasses the PageRank theory, including essential proofs, theorems, and definitions that serve as foundational elements throughout the thesis. Additionally, we delve into the historical context and practical applications of PageRank. In our study, we present a comparative analysis of the results, specifically examining the impact of a damping factor on the dominant PageRank eigenvector.

Elever kan uppfatta likhetstecknet på två olika sätt, operationellt eller relationellt. Elevens uppfattning har en stor betydelse för deras förståelse för algebra. Tidigare forskning visar att läroboken används frekvent av lärare i undervisningen. Det bidrar till att innehållet och hur likhetstecknet framställs i läroboken påverkar vilken uppfattning eleverna utvecklar. Syftet med denna studie är att belysa på vilka sätt likhetstecknet framställs i läroböcker i matematikämnet för årskurs 1. En frågeställning behandlar likhetstecknets introduktion i lärarhandledningar och den andra hur likhetstecknet framställs i elevböcker. Studien utgick från ett begreppsramverk som inkluderade relationell och operationell uppfattning, standardekvationer och icke standardekvationer. För att besvara frågeställningarna kategoriserades uppgifterna enligt ramverket med kvalitativ metod och en innehållsanalys av två läroböcker genomfördes. Resultatet visar att likhetstecknet introduceras tillsammans med olikheter vilket främjar förståelsen för likhet/ likhetstecknet och på ett sätt som främjar en relationell uppfattning. I likhet med tidigare forskning har studien visat att det är standardekvationer som förekommer flest gånger i båda de undersökta läroböckerna. Dock är det stor skillnad mellan de två läromedlen i antalet ekvationer som bidrar till den relationella uppfattningen. En slutsats i studien är därför att valet av lärobok blir viktig eftersom den kan bidra till vilken uppfattning eleverna utvecklar.

Studien syftar till att undersöka lärarnas uppfattningar och användning av digitala verktyg imatematikundervisningen samt identifiera motiven bakom deras integrering av IKT. Den insamlade empirin utgår från en kvalitativ intervjustudie med tio lärare. Intervjustudienbaseras på en deduktiv ansats, där de teoretiska ramverken utgår från konstruktivism ochTechnology Acceptance Model. Resultaten av studien påvisar en variation av motiv gällandeatt integrera IKT i matematikundervisningen, med en betoning på möjligheten att differentieraundervisningen och främja individuellt lärande. Samtidigt identifieras brister i digitalkompetens och utbildning som hinder för en mer omfattande användning av digitala verktyg.Skillnader i IKT-användning beroende på ämnesområde är tydliga, där vissa lärare serfördelar i att integrera digitala verktyg i olika delar av matematiken medan andra uttryckertvivel kring dess effektivitet. Sammanfattningsvis visar studien bland annat att det finns en variation i hur lärare tillämparkonstruktivistiska principer i förhållande till IKT i sin undervisning, vilket kan bero på olikafaktorer såsom pedagogisk erfarenhet, utbildning och skolans policy.

Syftet med detta examensarbete är att få reda på hur speciallärare i en mellansvensk kommun stöttar och utmanar särskilt begåvade elever i ämnet matematik.  Genom kvalitativa interjuver och en kvantitativ enkätundersökning fick speciallärare svara på hur de arbetar för att upptäcka och stötta särskilt begåvade elever i ämnet matematik. En kvalitativ intervju genomfördes även med en vårdnadshavare till en särskilt begåvad elev. Med dessa undersökningar framgår att kunskap om särskilt begåvade elever finns men att det saknas fastställda rutiner kring hur arbetet med dessa elever ska genomföras.  Enligt skollagen ska alla elever ges möjlighet att utvecklas vilket i praktiken är svårt att genomföra då det saknas rutiner för hur särskilt begåvade elever ska upptäckas och hur arbetet för att utmana och fortsätta utveckla dessa elever saknas idag.

Att lära ut tal i bråkform kräver stor utmaning för en matematiklärare. Det är känt att mångaelever har svårt med att förstå begrepp och lärarna måste ha fasta metoder för att säkerställaelevernas förståelse. Syftet med studien är att undersöka hur matematiklärares arbetsmetoderavseende procedurövningar och problemlösningsövningar skiljer sig mellan Sverige ochDanmark, avseende undervisning av tal i bråkform i årskurs 4–6. Deltagande observationer följsav semistrukturerade intervjuer med fyra matematiklärare från varje deltagande land. Tvåmatematikutvecklare från varje land intervjuades också, vilket totalt utgjorde tio intervjuer. Deninsamlade data analyserades med tematisk och hermeneutisk analysmetod. Resultaten visar attdet finns signifikanta skillnader mellan de svenska och danska lärarnas val avundervisningsmetoder i deras lektionsupplägg, i undervisningens tillvägagångssätt samt i derasstrategier som används för att stimulera eleverna individuellt när de lär ut tal i bråkform.Analysen visar skillnader mellan svenska och danska lärares val av undervisningsmetoder, delspå sättet den danska läroplan omfattar lärarens roll i undervisningen, dels på vilket sätt lärarnaundervisar bråk.

Inom matematikundervisning för de lägre skolåldrarna finns det mängder av olika material och modeller som syftar till att göra det abstrakta konkret och hjälpa eleverna utveckla en god taluppfattning. Syftet med studien är att bidra med kunskap om förskoleklasselevers skilda uppfattningar av modeller som på ett strukturerat sätt visar tals del-helhetsrelationer. Syftet med studien uppnås genom att följande forskningsfråga besvaras: På vilka skilda sätt beskriver elever i förskoleklass olika strukturerade modeller som visar tals del-helhetsrelation? Studien bygger på den fenomenografiska forskningsansatsen och datamaterialet samlades in genom kvalitativa intervjuer med 17 elever från tre olika skolor. Materialet analyserades genom skapandet av beskrivningskategorier utifrån elevernas utsagor. I resultatet framkommer fem beskrivningskategorier av elevernas uppfattningar i relation till modellerna tioram, pärlband, talblock, talhus, fingrar och triad. Beskrivningskategorierna som lyfts fram i resultatet är: referenspunkter, ordinalitet, kardinalitet, uppdelning av tal och operera med tal. Då resultatet visar att elever uppfattar samma modell på olika sätt behöver läraren synliggöra modellernas struktur och användning för att eleverna ska få syn på det som avses.