Syftet med den här studien är att undersöka hur lärare introducerar och arbetar vidare med likhetstecknet, med fokus på statisk och dynamisk framställning. Många ser det som en funktionssymbol som betyder att något ska räknas ut. Genom att undersöka hur verksamma lärare på lågstadiet introducerar och arbetar med likhetstecknet kan denna studie ge kunskaper om varför undervisningen går från en statisk framställning till ett dynamiskt vidarearbete och därför inte ger det resultat som önskas och eleverna behöver i framtida matematikundervisning. Studien utgår från två forskningsfrågor och det används kvalitativ undersökning i form av semistrukturerade intervjuer. I resultatet visar det sig att likhetstecknet introduceras i samband med andra symboler såsom mindre än och större än. Det framkommer också att lärarna introducerar likhetstecknet med en statisk framställning, men att i det fortsatta arbetet övergår det till en mer dynamisk framställning när eleverna arbetar vidare själva i läromedel. Vår slutsats är att eleverna behöver återkommande undervisning i likhetstecknets betydelse under alla skolår och i de olika moment de stöter på i matematikundervisningen samt att eleverna redan i lågstadiet kontinuerligt behöver träna på att lösa uppgifter med öppna utsagor.

Denna studie syftar till att bidra med kunskap om avgörande faktorer vid planering och genomförande av utomhuspedagogik i matematikundervisningen i årskurs 1–3. Detta genom att undersöka vilka faktorer som avgör att lärare undervisar matematik utomhus samt hur de planerar och genomför detta. Utifrån en kvalitativ intervjustudie har två lärare med utomhuspedagogisk erfarenhet intervjuats. Resultaten visar att lärare undervisar matematik utomhus för att skapa en växelverkan mellan teoretiska och praktiska kunskaper där praktiska kunskaper utomhus kompletterar teoretiska kunskaper inomhus. En annan faktor som avgör är att lärare ser ett behov hos eleverna att få lära med hela kroppen samt med olika sinnen. Lärare vill därmed erbjuda en variation av lärmiljöer och arbetssätt för att ge alla elever chans att lära. Ytterligare en faktor som avgör att lärare väljer att flytta ut matematikundervisningen från klassrummet är att de ser att elevernas motivation samt engagemang ökar vid lärande utomhus. I resultatet framkom det även att lärare lägger mer tid på planering inför undervisning utomhus då främst skapande av vattentåligt lektionsmaterial skapas och lamineras. Undantag är de gånger som undervisningen enbart utförs med hjälp av material som hämtas i naturen. Avslutningsvis visade studien att lärare planerar och genomför matematikundervisning utomhus där eleverna får arbeta praktiskt, i elevnära och autentiska situationer samt genom samarbete. Slutligen menade lärarna i denna studie att det krävs mycket av deras tid och energi för att undervisa utomhuspedagogiskt men att de har igen det i form av elevernas glädje och engagemang till undervisningen. ”Det krävs mycket av mig som lärare, men jag har igen det. Det är värt varenda sekund när man ser elevernas glädje” (Anna).

Syftet med studien är att utveckla kunskap om hur förskollärare främjar barnens matematiska kunskapsutveckling i vuxenstyrda och informella undervisningssituationer. Forskningsfrågorna som används i studien är: Hur beskriver förskollärare undervisning i matematik i förskolan? Hur beskriver förskollärare att de främjar barnens kunskapsutveckling inom matematik? Vilka artefakter beskriver förskollärare att de använder som stöd för att främja matematik i förskolan? Studiens teoretiska utgångspunkt är det sociokulturella perspektivet. Datainsamlingsmetoden som används är semistrukturerade intervjuer och dessa utfördes på respektive förskola där intervjupersonerna arbetar. Respondenterna i den här studien är fem utbildade förskollärare. Att de skulle vara utbildade var en förutsättning då läroplanen för förskolan (Skolverket, 2018) framhåller att det är förskolläraren som ska ha ansvaret för undervisningen i förskolan. För att analysera det insamlade materialet användes Rennstam och Wästerfors (2015) beskrivning av tre grundläggande steg: sortera, reducera och argumentera. Datamaterialet sorterades upp efter intervjufrågorna för att sedan reduceras genom forskningsfrågorna. Resultatet i studien visar att det förekommer både informella och vuxenstyrda undervisningssituationer i förskolan. Vardagssituationer är det som syns mest i matematikundervisningen. Resultatet visar även att olika artefakter har stor betydelse för att främja barns matematiska kunskapsutveckling. Genom lek och olika artefakter skapas lustfyllda situationer för matematikinlärningen. Slutsatsen i den här studien är att när förskollärarna visar positivitet till matematik, kan det leda till att barnen visar mer intresse för matematik i framtiden.

För att skapa en förståelse för hur flerspråkigheten syns i klassrummet genomfördes denna studie med avsikt att lyfta fram fördelar med ett flerspråkigt klassrum i matematikundervisningen. I denna studie syftar flerspråkighet till elever som minst talar två språk flytande och har ett annat språk än det som nyttjas i undervisningen. 20 mellanstadieelever från Norr- och Västerbotten samt Tyskland skapade underlag till denna undersökning. Datainsamlingen har bestått av ett stresstest, en problemlösningsuppgift samt en semistrukturerad intervju. Detta för att se hur flerspråkighet påverkar elever i olika situationer de utsätts för i skolsammanhang. Det sociokulturella lärandet har genomsyrat studiens arbete med att inkludera flerspråkigheten i klassrummen bland eleverna. Resultatet visade på att flerspråkiga elever i stress ofta tänker på sitt modersmål, vid grupparbete syntes det en koppling även till deltagarens kulturella bakgrund. I de intervjuer som gjordes framkom information när eleverna använder sig av sina språkkunskaper både i skolan och vardagen. Det visade sig även att språket har en viss påverkan på elevernas självkänsla i det egna lärandet i skolan. Resultaten från gruppuppgifterna lyfte fram hur flerspråkigheten speglas i elevernas kunnande, likväl att den kulturella kunskapen från elevernas olika bakgrunder tog plats i problemlösningsuppgiften.

Motivation och inställning är två aspekter som präglar elevers upplevelse och resultat i skolan. För att utveckla elevers matematiska förmågor ska matematikundervisningen innehålla kreativa aktiviteter enligt grundskolans kursplan. Studiens syfte är att undersöka hur elevers upplevelse i form av inställning och motivation varierar av musikintegrerad matematikundervisning inom räknesättet multiplikation i årskurs 1 och 3. Tre lärare har genomfört en matematiklektion som inkluderar musik i form av sång. Data har samlats in genom observationer, frågeformulär och intervjuer från elever i de tre olika klasserna. Bearbetning av datan har analyserats med stöd av teorin fenomenografi. Resultatet visar att majoriteten av eleverna upplever den musikintegrerade matematikundervisningen positivt genom ökad glädje och motivation. Ytterligare resultat visar oförändrad inställning och motivation hos vissa elever samt en negativ upplevelse i form av överstimulans. Slutligen förs diskussioner kring huruvida motivation och inställning kan ha en positiv påverkan på elevers resultat i matematik samt lärarens inverkan.

Multiplikation är ett av de fyra grundläggande räknesätten. Det har dock visat sig vara svårt för elever i grundskolan att förstå sig på, samt operera med multiplikation. Forskning har visat att svårigheterna bland annat kan bero på vilken förklaringsmodell av de två följande förklaringsmodellerna, endimensionella- och tvådimensionella förklaringsmodellen, som lärare väljer att grunda sin multiplikationsundervisning i. Arbetet syftar därför till att undersöka vilken av följande förklaringsmodeller som lärare grundar sin multiplikationsundervisning i, samt vilken förklaringsmodell som lärarna ser att elever väljer när de opererar med multiplikation. Inför denna studie har en kvalitativ metod använts i form av intervjuer, där fem lärare från fem olika skolor har intervjuats. Resultatet visar på att det är den endimensionella förklaringsmodellen som dominerar undervisningen och som många elever dessutom väljer att använda sig av när de opererar med multiplikation. Lärarna och forskning är däremot eniga om att den tvådimensionella förklaringsmodellen ger en mer rättvis bild av multiplikation. Diskussionen visar på att lärarens val av undervisning i multiplikation påverkar elevernas egna val av förklaringsmodell vid operationer med multiplikation. Slutligen visar det sig att undervisningen troligtvis grundar sig i den endimensionella förklaringsmodellen när undervisningen behandlar multiplikation med mindre tal, vilket undervisningen i multiplikation i årskurs 3 gör.

Det är många faktorer som ingår i matematikundervisning för elever, och det är en utmaning att förbereda blivande lärare att lära sig om och använda lämpliga strategier och tillvägagångssätt för att undervisa i matematik. Lärarutbildningarna har som mål att förse blivande lärare med den kompetens som krävs för att alla barn, inte bara de elever som presterar på den förväntade nivån för sin ålder och klass, ska få den bästa möjliga undervisningen. 1994 kom Europarådet med en rekommendation som indikerar att även särskilt begåvade barn behöver stöd vilket kräver olika pedagogiska lösningar. De skriver att utbildning är en viktig mänsklig rättighet och den ska främja alla elevers lärande på bästa sätt så att de utvecklar sina förmågor. Denna studie syftar till att vägleda nyexaminerade lärare i hur matematikundervisningen kan differentieras för särskilt begåvade elever i årskurs F-3, genom att undersöka vilka metoder erfarna lärare använder för att differentiera matematikundervisningen för att stimulera dessa elever, samt hur de identifierar dem. Metoden som används i denna studie är kvalitativa intervjuer, där fem lärare från olika skolor i en mindre kommun har deltagit. Resultaten visar att de främsta metoderna erfarna lärare använder sig av är arbete i mindre grupper och mer avancerade uppgifter. Hur lärare identifierar särskilt begåvade elever i matematikundervisningen sker genom utvärdering av elevernas prestationer, bedömningar och observationer, hur eleverna resonerar och kommunicerar samt elevernas arbetstempo. Slutsatsen är att differentiering i matematikundervisning för särskilt begåvade elever främst handlar om att lära känna sina elever och vilka behov de har.

Motivated by the recent development of noise systems, we try to describe, for fixed persistence modules \(X\) and \(Y\), the set of all persistence modules that are extensions of \(X\) by \(Y\), as well as their sizes. We restrict ourselves to tame persistence modules indexed by nonnegative numbers, and our notion of size is \((p,C)\)-norms, which is a generalization of \(p\)-norms. We prove that when \(X\) is a single bar, there is a monotone bijection between a set of antichains in the barcode of \(Y\) and the mentioned set of all extensions. A corollary is that the antichain consisting of maximal elements corresponds to the extension with maximal norm. Without this assumption on \(X\), we can reuse the previous result to construct a surjection from a set of tuples of antichains to the set of all extensions. We also conjecture that, with regards to this surjection, the tuple consisting of maximal antichains is mapped to the extension with maximal norm. We also provide some experimental justification for this conjecture. / Med anledning av det nyligen utvecklade begreppet noise system, försöker vi, för givna \(X\) och \(Y\), beskriva mängden av alla persistensmoduler som är utvidgningar av \(X\) med \(Y\), liksom deras storlekar. Vi begränsar oss till fallet med tama persistensmoduler, och där vi med storlek avser \((p,C)\)-normen, vilket är en generalisering av \(p\)-normen. I fallet när \(X\) består av en enda bar, konstruerar vi en monoton bijektion mellan en mängd av antikedjor och den nämnda mängden av alla utvidgningar. Ett korollarium är att antikedjan som består av maximala element motsvarar utvidgningen med störst norm. Vi använder sedan den nämnda bijektionen för att i det generella fallet konstruera en surjektion från en mängd av tuplar av antikedjor till mängden av alla utvidgningar. Vi formulerar även ett experimentellt bestyrkt påstående, nämligen att tupeln bestående av maximala antikedjor avbildas på utvidgningen med störst norm, av den nämnda surjektionen.

Gromov's theorem on finitely generated groups of polynomial growth is one of the cornerstones of geometric group theory. It has seen many applications and has immense importance within its realm. However, the early proofs of Gromov's theorem were based on deep results and were practically unsuitable for teaching. Recently, a new family of proofs have been published, potentially providing new ways to learn and teach Gromov's theorem. In this Master's thesis, we aim to provide an expository introduction to Gromov's theorem and its proofs.  We will first explore a brief theoretical overview of geometric group theory, which will include a proof of a theorem of Bass-Guivarc'h. We will then give a detailed account of an elementary proof of Gromov's theorem for groups of sub-polynomial growth, which was originally outlined by Tao in a blog post. The main contribution we make in this thesis is providing a significant amount of additional detail, bridging the gaps, and providing theoretical clarifications to all the steps in this proof. Finally, we will present some applications of Gromov's theorem. / Gromovs sats om ändligt genererade grupper med polynomiell tillväxt är en av grundpelarna inom geometrisk gruppteori. Satsen har sett många tillämpningar och har enorm betydelse inom sitt område. Dock baserades de tidiga bevisen för Gromovs sats på djupa resultat och var praktiskt taget olämpliga för undervisning. Nyligen har en ny familj av bevis publicerats, vilket potentiellt ger nya sätt att lära sig och undervisa Gromovs sats. I denna uppsats syftar vi till att ge en förklarande introduktion till Gromovs sats och dess bevis. Först ges en kort teoretisk översikt över geometrisk gruppteori, vilket kommer att inkludera ett bevis av en sats av Bass-Guivarc'h. Sedan ger vi en detaljerad redogörelse för ett elementärt bevis av Gromovs sats om grupper med sub-polynomiell tillväxt, vilket ursprungligen beskrevs av Tao i en bloggpost. Det huvudsakliga bidraget vi gör i denna uppsats är att tillhandahålla en betydande mängd ytterliga detaljer, och att ge teoretiska förtydliganden i alla steg i detta bevis. Slutligen presenterar vi några tillämpningar av Gromovs sats.

Flerspråkighet inom matematikundervisning har under ett antal år varit ett aktuellt ämne. Elever med utländsk bakgrund har fallande resultat i matematik enligt PISA. Det läggs därmed ett stort ansvar på lärarna att organisera sin undervisning så att alla elever oavsett bakgrund kan tillägna sig kunskaper. Både Skolverket och forskning har belyst ett antal arbetssätt för hur undervisningen kan organiseras. Det som synliggjorts är att på grund av ett antal bristande faktorer ges inte eleverna denna undervisning. Denna studie prövar därför en hypotes om att lärare har kännedom om depositiva effekter ett flerspråkigt förhållningssätt har i undervisningen av flerspråkiga elever, men att olika faktorer utgör hinder för att genomföra detta i undervisningen om matematiska begrepp. Studien ger en överblick av användandet av språk- och kunskapsutvecklande arbetssätt i matematikundervisningen, samt faktorer som hindrar detta. Genom en kvantitativ enkätundersökning har data samlats in, analyserats och redovisat lärarnas användning av dessa arbetssätt. Resultatet visar att lärare i stor utsträckning nyttjar flera språk- och kunskapsutvecklande arbetssätt, men även mer traditionella som exempelvis gemensam genomgång. Det synliggjordes även att lärarna ansåg att faktorer som tid och resurser utgjorde hinder i deras matematikundervisning. Slutsatsen för hypotesen är att lärare har kännedom om de positiva förhållningssätten, men trots att de upplever hinder i sin undervisning så upprätthåller de ändå dessa förhållningssätt i stor utsträckning.