Dans cette thèse, nous proposons une approche progressive (forward) pour la représentation probabiliste d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) nonlinéaires et nonconservatives, permettant ainsi de développer un algorithme particulaire afin d'en estimer numériquement les solutions. Les Equations Différentielles Stochastiques Nonlinéaires de type McKean (NLSDE) étudiées dans la littérature constituent une formulation microscopique d'un phénomène modélisé macroscopiquement par une EDP conservative. Une solution d'une telle NLSDE est la donnée d'un couple $(Y,u)$ où $Y$ est une solution d' équation différentielle stochastique (EDS) dont les coefficients dépendent de $u$ et de $t$ telle que $u(t,cdot)$ est la densité de $Y_t$. La principale contribution de cette thèse est de considérer des EDP nonconservatives, c'est-à- dire des EDP conservatives perturbées par un terme nonlinéaire de la forme $Lambda(u,nabla u)u$. Ceci implique qu'un couple $(Y,u)$ sera solution de la représentation probabiliste associée si $Y$ est un encore un processus stochastique et la relation entre $Y$ et la fonction $u$ sera alors plus complexe. Etant donnée la loi de $Y$, l'existence et l'unicité de $u$ sont démontrées par un argument de type point fixe via une formulation originale de type Feynmann-Kac. / This thesis performs forward probabilistic representations of nonlinear and nonconservative Partial Differential Equations (PDEs), which allowto numerically estimate the corresponding solutions via an interacting particle system algorithm, mixing Monte-Carlo methods and non-parametric density estimates.In the literature, McKean typeNonlinear Stochastic Differential Equations (NLSDEs) constitute the microscopic modelof a class of PDEs which are conservative. The solution of a NLSDEis generally a couple $(Y,u)$ where $Y$ is a stochastic process solving a stochastic differential equation whose coefficients depend on $u$ and at each time $t$, $u(t,cdot)$ is the law density of the random variable $Y_t$.The main idea of this thesis is to consider this time a non-conservative PDE which is the result of a conservative PDE perturbed by a term of the type $Lambda(u, nabla u) u$. In this case, the solution of the corresponding NLSDE is again a couple $(Y,u)$, where again $Y$ is a stochastic processbut where the link between the function $u$ and $Y$ is more complicated and once fixed the law of $Y$, $u$ is determined by a fixed pointargument via an innovating Feynmann-Kac type formula.

In this thesis we examine methodologies for determining free energy differences (FEDs) of phases via Monte Carlo simulation. We identify and address three generic issues that arise in FED calculations; the choice of representation, the choice of estimator, and the choice of sampling strategy. In addition we discuss how the classical framework may be extended to take into account quantum effects. Key words: Phase Mapping, Phase Switch, Lattice Switch, Simulated Tempering, Multi-stage, Weighted Histogram Analysis Method, Fast Growth, Jarzynski method, Umbrella, Multicanonical, Path Integral Monte Carlo, Path Sampling, Multihamiltonian, fluctuation theorem.

Cette thèse présente une description nouvelle et les conséquences physiques de la seconde transition pour les gaz parfait de Bose dans des milieux fortement anisotropes. Nous développons ainsi dans le chapitre 1 une approche dite d'échelle qui permet de revisiter les différents concepts autour de la condensation de Bose-Einstein: la condensation généralisée (M.van den Berg, J.Lewis, J.Pulé, 1986), les cycles infinis (R.Feynman, 1953) et les corrélations à longue portée (O.Penrose, L.Onsager, 1956). Cette nouvelle approche nous permet, dans un premier temps, de montrer l'équivalence entre ces critères de condensation et entre les différentes classifications de condensats. Ensuite, dans les chapitres 2 et 3, nous caractérisons, les effets physiques (nouvelle température critique, modification des fractions condensées, la localisation énergétique et les longueurs de cohérence) pour les gaz de Bose dans des boîtes quasi-2D (Ch2) et des pièges harmoniques quasi-1D (Ch3) exponentiellement anisotropes. Dans le chapitre 4, nous discutons principalement l'analogie entre cycles et polymère à la P.-G de Gennes que fourni notre description des cycles via notre méthode d'échelle. Les modèles pièges et de boîtes tri-dimensionnelles exponentiellement anisotropes que nous présentons, sont, en limite thermodynamique, des cas intermédiaires entre les modèles tri-dimensionnels anisotropes conventionnels (anisotropie linéaire) et les modèles de basses dimensions, pour lesquels, pour le cas sans interactions entre particules, la notion de condensat sur le mode fondamental n'est pas évidente. Ceci donne une première approche pour le cas du gaz en faibles interactions qu'il conviendra de traiter par la suite.

Cette thèse se compose de trois parties indépendantes portant sur l'application du contrôle stochastique à la finance. Dans la première partie, nous étudions le problème de maximisation de la fonction d'utilité dans un marché incomplet avec défauts et information totale/partielle. Nous utilisons le principe de la programmation dynamique pour pouvoir caractériser la fonction valeur solution du problème. Ensuite, nous utilisons cette caractérisation pour en déduire une EDSR dont la fonction valeur est solution. Nous donnons également une approximation de cette fonction valeur. Dans la seconde partie, nous étudions les EDSR à sauts. En utilisant les résultats de décomposition des processus à sauts liée au grossissement progressif de filtration, nous faisons un lien entre les EDSR à sauts et les EDSR browniennes. Cela nous permet de donner un résultat d'existence, un théorème de comparaison ainsi qu'une décomposition de la formule de Feynman-Kac. Puis nous utilisons ces techniques pour la détermination du prix d'une option européenne dans un marché complet et le prix d'indifférence d'un actif contingent non duplicable dans un marché incomplet. Enfin, dans la troisième partie, nous utilisons la théorie des erreurs pour expliquer le risque de liquidité comme une propriété intrinsèque au marché. Cela nous permet de modéliser la fourchette Bid-Ask. Puis nous résolvons dans ce modèle le problème de liquidation optimale d'un portefeuille en temps discret et déterministe en utilisant la programmation dynamique.

The five essays in this dissertation are all concerned with how commodity price uncertainty affects the valuation of real and financial assets.  Focusing on the stochastic process approximating the price process of the commodity, a time-inhomogeneous mean reverting process is suggested and used in the valuation of a pulp mill.  Also an analytic approximation and a parameter estimation procedure to a stochastic volatility option-pricing model are developed.  Generally, the large valuation differences and hedging errors that occur for different assumptions about the price process indicate the importance of an appropriately specified price process.  The dissertation provides examples of this. The question of whether commodity prices are mean reverting or follow a random walk is also studied.  Using a large database with close to 300 different commodities, econometric tests favour a random walk.  There are very few exceptions.  However, when applied to an option pricing model, the time-inhomogeneous mean reverting process gives smaller hedging errors than the traditional Black-Scholes model based on a random walk.  The results are therefore inconclusive, although mean reversion seems more predominant than econometric tests reveal. / Diss. Stockholm : Handelshögskolan, 2003

In dieser Arbeit wird der Ansatz der Weltlinienquantenfeldtheorie (WQFT) zur Berechnung von Observablen des klassischen allgemeinen relativistischen Zweikörpersystems vorgestellt. Kompakte Körper wie Schwarze Löcher oder Neutronensterne werden im Rahmen einer effektiven Feldtheorie mit Weltlinienfeldern beschrieben. Die WQFT behandelt alle Weltlinienfelder gleichberechtigt mit dem Gravitationsfeld und ist definiert als die tree-level-Beiträge eines Pfadintegrals auf diesen Feldern. Zuerst wird die effektive feldtheoretische Beschreibung von kompakten Körpern mit Weltlinien und die post-Minkowski'schen Approximation der Streuung dieser Körpern vorgestellt. Die Einbeziehung des Spins wird mit besonderem Augenmerk auf ihre supersymmetrische Beschreibung in Form von antikommutierenden Grassmann-Variablen analysiert. Anschließend wird die WQFT mit einer Diskussion ihrer in-in Schwinger-Keldysh-Formulierung, ihrer Feynman-Regeln und Graphengenerierung sowie ihrer on-shell Einpunktfunktionen vorgestellt. Die Berechnung von Streuobservablen erfordert im Allgemeinen die Auswertung von Multi-Loop-Integralen, und wir analysieren die Zwei-Loop-Integrale, die in der dritten post-Minkowski'schen Ordnung der Weltlinienobservablen auftreten. Schließlich wenden wir uns den Ergebnissen der WQFT zu und beginnen mit der gravitativen Bremsstrahlung bei der Streuung zweier rotierender Körper. Diese Wellenform wird zusammen mit der Strahlungsinformation der Linear- und Drehimpulsflüsse diskutiert. Der gesamte abgestrahlte Drehimpuls führender post-Minkowski'schen Ordnung wird abgeleitet. Wir präsentieren dann die Ergebnisse des konservativen und strahlenden Impulses und des Spin-Kicks bei dritter post-Minkowski'scher Ordnung und quadratischer Ordnung in Spins zusammen mit der Abbildung der ungebundenen Ergebnisse auf einen konservativen (gebundenen) Hamiltonian bei der entsprechenden perturbativen Ordnung. / In this work the worldline quantum field theory (WQFT) approach to computing observables of the classical general relativistic two-body system is presented. Compact bodies such as black holes or neutron stars are described in an effective field theory by worldline fields with spin degrees of freedom efficiently described by anti-commuting Grassmann variables. Novel results of the WQFT include the gravitational bremsstrahlung at second post-Minkowskian order and the impulse and spin kick at third post-Minkowskian order all at quadratic order in spins. Next, the WQFT is presented with a comprehensive discussion of its in-in Schwinger-Keldysh formulation, its Feynman rules and graph generation and its on-shell one-point functions which are directly related to the scattering observables of unbound motion. Here, we present the second post-Minkowskian quadratic-in-spin contributions to its free energy from which the impulse and spin kick may be derived to the corresponding order. The computation of scattering observables requires the evaluation of multi-loop integrals and for the computation of observables at the third post-Minkowskian order we analyze the required two-loop integrals. Our discussion uses retarded propagators which impose causal boundary conditions of the observables. Finally we turn to results of the WQFT starting with the gravitational bremsstrahlung of the scattering of two spinning bodies. This waveform is discussed together with its radiative information of linear and angular momentum fluxes. Lastly we present the conservative and radiative impulse and spin kick at third post-Minkowskian order and quadratic order in spins together with the a conservative Hamiltonian at the corresponding perturbative order. The results obey a generalized Bini-Damour radiation-reaction relation and their conservative parts can be parametrized in terms of a single scalar.

<p dir="ltr">In this thesis, we develop an algebraic framework for colored, colored connected, semi-grouplike-flavored, and pathlike co-/bi-/Hopf algebras, which are essential in combinatorics, topology, number theory, and physics. Moreover, we introduce and explore simply colored comonoid, which generalises the notion of colored conilpotent coalgebra. The simply colored structure captures the essence of being connected and give unified treatment of all connected co-/bi-algebras. </p><p dir="ltr">As a consequence, we establish precise conditions for the invertibility of characters essential for renormalization in the Connes-Kreimer formulation, supported by examples from these fields. In order to construct antipodes, we discuss formal localization constructions and quantum deformations. These allow to define and explain the appearance of Brown style coactions. We also investigate the relation between pointed coalgebras and color conilpotent coalgebras. </p><p dir="ltr">Using these results, we interpret all relevant coalgebras through categorical constructions, linking the bialgebra structures to Feynman categories and applying our developed theory in this context. This comprehensive framework provides a robust foundation for future research in mathematical physics and algebra.</p>

Wir studieren die perturbative Quantisierung von Eichtheorien und Gravitation. Unsere Untersuchungen beginnen mit der Geometrie von Raumzeiten und Teilchenfeldern. Danach diskutieren wir die verschiedenen Lagrangedichten in der Kopplung der (effektiven) Quanten-Allgemeinen-Relativitätstheorie zum Standardmodell. Desweiteren studieren wir den zugehörigen BRST-Doppelkomplex von Diffeomorphismen und Eichtransformationen. Danach wenden wir Connes--Kreimer-Renormierungstheorie auf die perturbative Feynmangraph-Entwicklung an: In dieser Formulierung werden Subdivergenzen mittels des Koprodukts einer Hopfalgebra strukturiert und die Renormierungsoperation mittels einer algebraischen Birkhoff-Zerlegung beschrieben. Dafür verallgemeinern und verbessern wir bekannte Koprodukt-Identitäten und ein Theorem von van Suijlekom (2007), das (verallgemeinerte) Eichsymmetrien mit Hopfidealen verbindet. Insbesondere lässt sich unsere Verallgemeinerung auf Gravitation anwenden, wie von Kreimer (2008) vorgeschlagen. Darüberhinaus sind unsere Resultate anwendbar auf Theorien mit mehreren Vertexresuiden, Kopplungskonstanten und ebensolchen mit einer transversalen Struktur. Zusätzlich zeigen wir Kriterien für die Kompatibilität dieser Hopfideale mit Feynmanregeln und dem gewählten Renormierungsschema. Als nächsten Schritt berechnen wir die entsprechenden Gravitations-Materie Feynmanregeln für alle Vertexvalenzen und mit einem allgemeinen Eichparameter. Danach listen wir alle Propagator- und dreivalenten Vertex-Feynmanregeln auf und berechnen die entsprechenden Kürzungsidentitäten. Abschließend stellen wir geplante Folgeprojekte vor: Diese schließen eine Verallgemeinerung von Wigners Klassifikation von Elementarteilchen für linearisierte Gravitation ein, ebenso wie die Darstellung von Kürzungsidentitäten mittels Feynmangraph-Kohomologie und eine Untersuchung der Äquivalenz verschiedener Definitionen des Gravitonfeldes. Insbesondere argumentieren wir, dass das richtige Setup um perturbative BRST-Kohomologie zu studieren eine differentialgraduierte Hopfalgebra ist. / We study the perturbative quantization of gauge theories and gravity. Our investigations start with the geometry of spacetimes and particle fields. Then we discuss the various Lagrange densities of (effective) Quantum General Relativity coupled to the Standard Model. In addition, we study the corresponding BRST double complex of diffeomorphisms and gauge transformations. Next we apply Connes--Kreimer renormalization theory to the perturbative Feynman graph expansion: In this framework subdivergences are organized via the coproduct of a Hopf algebra and the renormalization operation is described as an algebraic Birkhoff decomposition. To this end, we generalize and improve known coproduct identities and a theorem of van Suijlekom (2007) that relates (generalized) gauge symmetries to Hopf ideals. In particular, our generalization applies to gravity, as was suggested by Kreimer (2008). In addition, our results are applicable to theories with multiple vertex residues, coupling constants and such with a transversal structure. Additionally, we also provide criteria for the compatibility of these Hopf ideals with Feynman rules and the chosen renormalization scheme. We proceed by calculating the corresponding gravity-matter Feynman rules for any valence and with a general gauge parameter. Then we display all propagator and three-valent vertex Feynman rules and calculate the respective cancellation identities. Finally, we propose planned follow-up projects: This includes a generalization of Wigner's classification of elementary particles to linearized gravity, the representation of cancellation identities via Feynman graph cohomology and an investigation on the equivalence of different definitions for the graviton field. In particular, we argue that the appropriate setup to study perturbative BRST cohomology is a differential-graded Hopf algebra.

Nous présentons des évaluations théoriques et<br />numériques de contributions de l'électrodynamique quantique (QED) aux<br />niveaux d'énergie des ions à un et deux électrons. <br /><br />Nous donnons tout d'abord un aperçu des mesures de niveaux d'énergie<br />dans les systèmes simples formés d'un noyau et de quelques électrons<br />(en nous concentrant sur l'hydrogène, les ions hydrogénoïdes, l'hélium<br />et les ions héliumoïdes, y compris très chargés). De tels niveaux<br />permettent entre autres des mesures très précises de constantes<br />fondamentales (comme par exemple la constante de structure<br />fine alpha ou le Rydberg).<br /><br />Nous faisons le point sur une méthode d'évaluation formelle des<br />niveaux d'énergie prédits par QED : la méthode "de la fonction de<br />Green à deux temps", et nous en donnons une présentation très<br />détaillée. Cette méthode permet d'obtenir de QED les énergies de<br />niveaux atomiques, y compris lorsque ceux-ci sont dégénérés ou<br />quasi-dégénérés (dans l'approximation d'électrons ne subissant que<br />l'attraction du noyau) --- ce qu'il n'est possible de faire qu'avec<br />une seule autre méthode, très récente. Nous montrons qu'il est<br />possible de résoudre les difficultés de principe que pose la méthode<br />de la fonction de Green à deux temps, grâce à une étude (restreinte au<br />problème considéré) du lien entre les propriétés analytiques d'une<br />fonction méromorphe et de son développement perturbatif. Afin de<br />pouvoir utiliser de façon pratique la méthode de la fonction de Green<br />à deux temps pour l'obtention des niveaux d'énergie prédits par QED,<br />nous introduisons de plus la méthode graphique "de la particule<br />fantôme", qui permet de calculer systématiquement un hamiltonien<br />effectif pour les niveaux considérés. Enfin, nous présentons un calcul<br />détaillé d'une contribution (la "self énergie écrantée") au<br />hamiltonien effectif, qui montre que la méthode de la particule<br />fantôme peut être appliquée de façon générale à l'évaluation des<br />déplacements en énergie dûs à n'importe quel diagramme de Feynman.<br /><br />Enfin, nous étendons par des formules analytiques la méthode<br />actuellement la plus précise de calcul du déplacement le plus<br />important de QED (la self énergie), dans l'hydrogène et les ions<br />hydrogénoïdes. Cette méthode numérique permet d'obtenir le déplacement<br />de self énergie de niveaux de moment cinétique quelconque (elle était<br />auparavant restreinte à j <= 3/2). Nous montrons qu'il est ainsi<br />possible de calculer numériquement le déplacement de self énergie de<br />nombreux niveaux excités, avec une très bonne précision.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous la forme de deux problèmes distincts. Dans toute la première partie de la thèse, nous nous intéressons à la notion d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (dans la suite 2EDSR), introduite tout d'abord par Cheredito, Soner, Touzi et Victoir puis reformulée récemment par Soner, Touzi et Zhang. Nous prouvons dans un premier temps une extension de leurs résultats d'existence et d'unicité lorsque le générateur considéré est seulement continu et à croissance linéaire. Puis, nous poursuivons notre étude par une nouvelle extension au cas d'un générateur quadratique. Ces résultats théoriques nous permettent alors de résoudre un problème de maximisation d'utilité pour un investisseur dans un marché incomplet, à la fois car des contraintes sont imposées sur ses stratégies d'investissement, et parce que la volatilité du marché est supposée être inconnue. Nous prouvons dans notre cadre l'existence de stratégies optimales, caractérisons la fonction valeur du problème grâce à une EDSR du second ordre et résolvons explicitement certains exemples qui nous permettent de mettre en exergue les modifications induites par l'ajout de l'incertitude de volatilité par rapport au cadre habituel. Nous terminons cette première partie en introduisant la notion d'EDSR du second ordre avec réflexion sur un obstacle. Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de telles équations, et fournissons une application possible au problème de courverture d'options Américaines dans un marché à volatilité incertaine. Le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse traite d'un problème de pricing d'options dans un modèle où la liquidité du marché est prise en compte. Nous fournissons des développements asymptotiques de ces prix au voisinage de liquidité infinie et mettons en lumière un phénomène de transition de phase dépendant de la régularité du payoff des options considérées. Quelques résultats numériques sont également proposés. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème Principal/Agent dans un cadre d'aléa moral. Une banque (qui joue le rôle de l'agent) possède un certain nombre de prêts dont elle est prête à échanger les intérêts contre des flux de capitaux. La banque peut influencer les probabilités de défaut de ces emprunts en exerçant ou non une activité de surveillance coûteuse. Ces choix de la banque ne sont connus que d'elle seule. Des investisseurs (qui jouent le rôle de principal) souhaitent mettre en place des contrats qui maximisent leur utilité tout en incitant implicitement la banque à exercer une activité de surveillance constante. Nous résolvons ce problème de contrôle optimal explicitement, décrivons le contrat optimal associé ainsi que ses implications économiques et fournissons quelques simulations numériques.