Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 5476.pdf: 893744 bytes, checksum: e444c4faa79c02073abeef63581d7ed5 (MD5) Previous issue date: 2013-08-27 / Financiadora de Estudos e Projetos / In this work we present some applications of graph theory in problems involving polynomial identities for the algebra Mn (K). A brief presentation of PI-theory and some concepts of graph theory, such as the definition of Eulerian graphs, which are the basic elements of this work, were presented to make the text self- contained. We show two different proofs of the Amitsur-Levitzki theorem, the proof of Razmyslov and other due to Swan's theorem - an important result on Eulerian graphs. Finally, a similar result of the Amitsur-Levitzki's theorem for skew-symmetric matrices is proved using elements of graph theory. We emphasize that the understanding of the technique makes it possible to simplify many results and has been an important tool in the study of PI-algebras. / Neste trabalho apresentamos algumas aplicações de Teoria de Grafos em problemas envolvendo identidades polinomiais para a álgebra das matrizes Mn (K). Uma breve apresentação de PI-teoria e de alguns on eitos de Teoria de Grafos, como a de_- nição de grafos eulerianos, que são os elementos básicos desta abordagem, foram apresentadas para tornar o texto auto contido. São explicitadas duas demonstrações distintas do Teorema de Amitsur-Levitzki, a de Razmyslov e uma de corrente do Teorema de Swan - um resultado importante a respeito de grafos eulerianos. Por _m, um resultado semelhante ao Teorema de Amitsur-Levitzki para matrizes antis- simétricas é demonstrado utilizando elementos de Teoria de Grafos. Ressaltamos que o entendimento da técnica utilizada torna possível a simplificação de diversos resultados e tem se mostrado uma importante ferramenta no estudo de PI-álgebras.

A crescente demanda por produtos de melhor qualidade, diferenciados e com custos competitivos tem forçado as manufaturas a se tornarem flexíveis, capacitando-as a responder às mudanças impostas pelo mercado. A flexibilidade permite que as empresas alcancem a customização desejada através da capacitação do sistema de responder e atuar em tempo real, mesmo em um ambiente de incertezas. Para atuar em tempo real, os sistemas de manufatura precisam de representações eficientes dos planos de produção. Muitas vezes, a atuação em tempo real torna-se inviável devido ao crescimento exponencial no número de planos de produção para cada máquina ou operação adicionada ao sistema. Uma possível solução para este problema é uso de representações adequadas para o espaço de estados. A escolha de uma representação adequada para o espaço de estados influencia na capacidade de reposta em tempo real, pois determina o desempenho computacional do sistema através da utilidade e eficiência dos algoritmos desenvolvidos, tornando possível explorar problemas clássicos de flexibilidade, tais como, seqüenciamento, otimização, etc. Entretanto, a geração de uma representação que trabalhe com o espaço de estados completo de uma manufatura é considerada um problema não polinomial (NP). Esta particularidade dificulta o desenvolvimento de algoritmos que trabalhem com uma manufatura flexível. Assim, a geração de uma representação, que trabalhe com pouca memória computacional e permita o desenvolvimento de heurísticas eficientes, é um importante desafio para uma avaliação efetiva da flexibilidade. Este trabalho objetiva o desenvolvimento de uma representação para o espaço de estados de uma manufatura com flexibilidade de seqüência. Na construção desta representação são aplicadas técnicas de modelagem baseadas na teoria dos grafos e nos princípios de álgebra booleana. Inicialmente, os grafos são utilizados para representar todas as seqüências de operações de uma manufatura, posteriormente estas seqüências são convertidas em formas normais disjuntivas (FND). Por fim, é apresentada uma possível aplicação da representação na FND em modelos de programação linear.

O presente trabalho trata basicamente do conteúdo expressões algébricas no ensino fundamental. Motivados pela crença de que a ausência do método de argumentação matemática e do pensamento genérico no atual ensino de Matemática têm se apresentado muito nociva ao estudo de expressões algébricas, desenvolvemos, em uma turma de sétima série, uma proposta didática onde apresentamos uma sequência de atividades que enfatizam estes dois aspectos. Tais atividades servem de pré-requisitos para o estudo de expressões algébricas. Inclui-se neste trabalho uma análise dos PCN para o ensino fundamental e uma análise crítica de livros didáticos de sétima série/oitavo ano sobre expressões algébricas. A partir destas análises, percebemos, nos livros didáticos, o inadequado emprego (no nosso ponto de vista) de polinômios neste nível de ensino, o que resultou na elaboração de um capítulo de conteúdo matemático versando sobre polinômios, dedicada a professores de Matemática da Educação Básica. / This text is closely related to the subject algebraic expressions in Fundamental School. Believing that the absence of the mathematical method and of what we call generical thought in the treatment of mathematics in the first school years causes much harm in the student’s mathematical education, mainly when one deals with algebraic expressions, we applied in a 7th grade class and present here a sequence of activities which give emphasis to those two aspects mentioned above and which prepare the students for the study of algebraic expressions. Additionally we include here an analysis of part of the PCN (Brazilian Curriculum Recommendations) and of nine 7th grade-school books, namely, the part related to algebraic expressions. Finally, we include a chapter about polynomials which was written for school teachers, motivated by the inadequate use (for this level of mathematical education, at least in our point of view) of polynomials in the school books which we have analyzed.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-23T14:58:20Z No. of bitstreams: 1 LEOMAQUES FRANCISCO SILVA BERNARDO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2009..pdf: 656966 bytes, checksum: 9ca0422e8cc572aa2c43d542260ef401 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-23T14:58:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 LEOMAQUES FRANCISCO SILVA BERNARDO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2009..pdf: 656966 bytes, checksum: 9ca0422e8cc572aa2c43d542260ef401 (MD5) Previous issue date: 2009-06 / Capes / Neste trabalho apresentamos um estudo sobre identidades e polinômios centrais para a álgebra das matrizes. Mais precisamente, apresentamos a descrição das identidades e polinômios centrais Zn-graduados e Z-graduados para a álgebra Mn(K) (matizes n x n sobre um corpo K), quando característica de K é zero. Depois, apresentamos a descrição dos polinômios centrais ordinários para a álgebra M2(K) (matrizes 2 x 2 sobre K), também para um corpo de característica zero. Finalmente, apresentamos duas construções clássicas de polinômios centrais para Mn(K), que surgiram como resposta a um problema sugerido por Kaplansky em 1956 sobre a existência de polinômios não triviais para esta álgebra. / In this work we study polynomial identities and central polynomials for matrix algebras. More precisely, we present the description of the identities and Zn-graded and Z-graded central polynomials for the algebra Mn(K) (the n x n matrices over the field K) when the characteristic of K is zero. Afterwards we give the description or the ordinary (nongraded) central polynomials for the algebra m2(K), the 2 x 2 matrices over K, assuming the field of characteristic zero. Finally, we present two classical constructions of central polynomials for Mn(K). These appeared as an answer to a problem posed by Kaplansky in 1956 about the existence of nontrivial central polynomials for that algebra.

Orientador: José Roberto Nogueira / Banca: Marluce da Cruz Scarabello / Banca: Suetônio de Almeida Meira / Resumo: Este trabalho tem por objetivo principal apresentar uma sugestão de como introduzir e contextualizar os conceitos de números complexos, utilizando como motivações áudios, vídeos e software, além de outras atividades complementares sugeridas. Os áudios tratam dos números complexos através de uma história livremente inspirada no livro O Médico e o Monstro, do escritor escocês Robert Louis Stevenson. Os vídeos mostram uma maneira divertida e curiosa de olhar para os números complexos contando um pouco sobre sua história. O software tem a finalidade de estudar as transformações geométricas no plano (translação, rotação, dilatação e contração), utilizando os conceitos e operações de números complexos, propriedades e características geométricas. Este material faz parte da coleção M3 - Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas, e serviu como base para organizarmos o nosso trabalho. Outro software utilizado é o GeoGebra que servirá de suporte para a realização das soluções das demais atividades sugeridas / Abstract: This work has as main objective to present a suggestion of how to introduce and contextualize the concepts of complex numbers, using as motivation audios, videos and software, and other complementary activities suggested. Audios deal with complex numbers through a story loosely inspired by the book The Doctor and Monster, the Scottish writer Robert Louis Stevenson. The videos show a fun and funny way to look at the complex numbers telling a little about their history. The software aims to study the geometric transformations in the plane (translation, rotation, expansion and contraction), using the concepts and operations of complex numbers, geometric properties and characteristics. This material is part of the M3 - Multimedia Mathematics collection of the State University of Campinas, and served as a basis for organizing our work. Another software used is "GeoGebra" that will be used to support the solutions of the other suggested activities / Mestre

Submitted by Luciana Sebin (lusebin@ufscar.br) on 2016-09-21T13:28:47Z No. of bitstreams: 1 DissLOV.pdf: 1914803 bytes, checksum: 804cb05c155b77cb508a930761a39826 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-23T18:22:41Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissLOV.pdf: 1914803 bytes, checksum: 804cb05c155b77cb508a930761a39826 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-23T18:22:47Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissLOV.pdf: 1914803 bytes, checksum: 804cb05c155b77cb508a930761a39826 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-23T18:22:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissLOV.pdf: 1914803 bytes, checksum: 804cb05c155b77cb508a930761a39826 (MD5) Previous issue date: 2015-02-23 / Não recebi financiamento / This study aimed to investigate which reveal the research published in the eleven editions of the Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) occurred in the period between 1987 until 2013 in relation to the concept of function. For this, it required a deepening of the concept of function from the works of Karlson (1961) and Caraça (1984), investigating aspects of its development in perspective called by Sousa (2004) as logical and historical. The process of scientific formalization of this concept was explored in works by Boyer (1974); Keys and Carvalho (2004); Souza Júnior (2007); Karlson (1961) and Zuffi (2001). Such studies have shown the need to understand how this concept was taken from the scientific field to the classrooms, leading us to investigate how did the disciplining process of this concept and how it has been proposed in some national curriculum documents. Such theoretical way were necessary to support the analysis of ENEM the articles selected for this research. The ENEM´s papers centered on the concept of function were subjected to content analysis procedures from the perspective of Bardin (2011). The selection of papers considered relevant for this research was given by two methods: the six annals of first issues, we did a full reading of the Annals, identifying those centered on the concept of function; from the seventh edition, the Annals were made available online in text format, which allowed us to do a search by key words: role, functions and algebra consulting title, keywords, abstract and body text. Such a search located 78 papers of scientific communication that were read in the search for converging themes. In the process we identified themes that were organized into four units of analysis: The importance of the function concept; Conceptual understanding; obstacles of Teaching and Learning; and methodologies that contribute to nderstanding the concept of function. The analysis showed the importance the concept of function is related to their social role, their articulating potential of mathematics content and their usefulness for other sciences. The authors point out that the main meanings necessary to understand the concept of function is the notion of respect, dependency, variables, movement / transformation, domain, codomain and image. The analysis also allowed us list the main factors that sometimes hinder the learning concept of function, such that: the reduction of the concept of function one / some of its meanings, the overly formal approach and misunderstanding on the part of the teacher in relative to this concept. According to the analysis, more efficient methods of teaching are related to more contextualized introduction of the concept of function, the use of classroom software (mainly to explore the graphical representation more dynamically) and articulated interpretation of the various ways to represent a same function. The analysis procedure showed that the authors of the research presented in ENEM already use this concept valuing the intrinsic meanings to it. With that, this research invites us to other studies on the relationship between research in mathematics education and what happens in classrooms. / A presente pesquisa teve como objetivo investigar o que revelam as pesquisas publicadas nas onze edições do Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) ocorridos no período entre 1987 até 2013, em relação ao conceito de função. Para isso, foi necessário um aprofundamento acerca do conceito de função a partir das obras de Karlson (1961) e Caraça (1984), investigando aspectos do seu desenvolvimento na perspectiva denominada por Sousa (2004) como lógico-histórica. O processo de formalização científica de tal conceito foi explorado nas obras de Boyer (1974); Chaves e Carvalho (2004); Souza Júnior (2007); Karlson (1961) e Zuffi (2001). Tais estudos evidenciaram a necessidade de compreender como esse conceito foi levado do campo científico para as salas de aulas, levando-nos a investigar como se deu o processo de disciplinarização de tal conceito e como o mesmo foi proposto em alguns documentos curriculares nacionais. Tais percursos teóricos foram necessários para fundamentar a análise dos artigos do ENEM selecionados para esta pesquisa. Os artigos do ENEM centrados no conceito de função foram submetidos a procedimentos de Análise de Conteúdo na perspectiva de Bardin (2011). A seleção de artigos considerados relevantes para esta pesquisa se deu por dois métodos: dos seis anais das primeiras edições foi realizada uma leitura dos Anais na íntegra, identificando aqueles centrados no conceito de função; a partir da sétima edição, os anais estavam disponibilizados online em formato de texto, o que nos permitiu fazer uma busca pelos descritores: função, funções e álgebra consultando título, palavras-chave, resumo e corpo do texto. Tal busca localizou 78 artigos de comunicação científica, que foram lidos na busca de temáticas convergentes. Nesse processo identificamos temas que foram organizados em quatro unidades de análise: A importância do conceito de função; compreensão conceitual; obstáculos de ensino e aprendizagem; e metodologias que contribuem para compreensão do conceito de função. As análises mostraram que a importância do conceito de função está relacionada a seu papel social, seu potencial articulador dos conteúdos da matemática e a sua utilidade para outras ciências. Os autores pontuam que os principais significados necessários à compreensão do conceito de função são a noção de relação, de dependência, de variáveis, de movimento/transformação,domínio, contradomínio e imagem. As análises também nos permitiram listar os principais fatores que por vezes obstaculizam a aprendizagem do conceito de função, sendo eles: a redução do conceito de função a um/alguns de seus significados, a abordagem excessivamente formal e a má compreensão por parte do professor em relação a este conceito. Segundo as análises, métodos mais eficientes de ensino estão relacionados à introdução mais contextualizada do conceito de função, ao uso de softwares em sala de aula (principalmente para explorar a representação gráfica de forma mais dinâmica) e a uma interpretação articulada das várias formas de representar uma mesma função. O procedimento de análise evidenciou que os autores das pesquisas apresentadas nos ENEM já exploram tal conceito valorizando os significados intrínsecos ao mesmo. Tendo isso, tal pesquisa convida-nos a outros estudos a respeito das relações existentes entre as pesquisas da Educação Matemática e o que ocorre nas salas de aula.

Submitted by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-27T19:13:01Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 630083 bytes, checksum: 9ec35216236b2cb573332fb7cd30c375 (MD5) / Approved for entry into archive by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-27T19:13:28Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 630083 bytes, checksum: 9ec35216236b2cb573332fb7cd30c375 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-27T19:13:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 630083 bytes, checksum: 9ec35216236b2cb573332fb7cd30c375 (MD5) Previous issue date: 2013-08-14 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / We present the main properties related to complex numbers. We justify as the history of mathematics can contribute to learning that content. Then we describe briefly the history of complex numbers. We also show where the complex numbers can be applied both within mathematics itself, and beyond. / Neste trabalho apresentamos as principais propriedades referentes aos números complexos. Justificamos como a História da Matemática pode contribuir para a aprendizagem desse conteúdo. Em seguida descreveremos de forma sucinta a história dos números complexos. Mostramos também onde os números complexos podem ser aplicados, tanto dentro da própria Matemática, como fora dela.

Submitted by MARIANA DE AVELAR GALVINO LIMA null (marianagalvino@hotmail.com) on 2018-02-20T12:35:40Z No. of bitstreams: 1 dissertação.pdf: 3429530 bytes, checksum: 08ea04bbed62f3ef05e2b15f151144d0 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Aparecida Puerta null (dripuerta@rc.unesp.br) on 2018-02-20T13:56:23Z (GMT) No. of bitstreams: 1 lima_mag_me_rcla.pdf: 3177317 bytes, checksum: ef245c18ecc68d1f5e40173ca320aec4 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-02-20T13:56:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 lima_mag_me_rcla.pdf: 3177317 bytes, checksum: ef245c18ecc68d1f5e40173ca320aec4 (MD5) Previous issue date: 2018-01-30 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / O presente trabalho constitui-se em um estudo das potencialidades didático-pedagógicas do Laboratório de Ensino de Matemática (LEM), na visão de professores, como auxiliar na superação de dificuldades dos alunos do Ensino Médio, diante dos conceitos e dos procedimentos da Álgebra, em especial ao uso da linguagem simbólica. Em um primeiro momento, discorre-se sobre a diversidade de “conceitos” atribuídos ao termo Álgebra e sobre ideias envolvidas no termo LEM. Analisam-se dois documentos curriculares, levando-se em conta conceitos, procedimentos e conteúdos algébricos, sob o enfoque da linguagem simbólica. Elucidam-se alguns problemas enfrentados pelos alunos, ressaltando-se a questão problemática em torno da linguagem simbólica. A fim de ilustrar tal situação, apresentam-se relatos de professores, nos quais argumentam sobre a importância da Álgebra e comentam sobre dificuldades encontradas pelos alunos. Em etapa posterior, atingindo-se a proposta da pesquisa, seleciona-se – como fonte para análise de propostas de intervenção que contemplem a metodologia do LEM e os conteúdos algébricos do Ensino Médio – o XI Encontro Nacional de Educação Matemática, com o tema “Educação Matemática: Retrospectivas e Perspectivas”. Examinou-se uma amostra de trabalhos obtida junto ao site do evento, composta por duas modalidades de pesquisas: Comunicações Científicas e Relatos de Experiência. A pesquisa enquadra-se na abordagem qualitativa, sendo, portanto, de natureza bibliográfica. A seleção e análise da amostra permitiram a identificação de uma variedade de questões concernentes ao trabalho com atividades laboratoriais e a Álgebra do Ensino Médio, tais como: o baixo número de estudos encontrados; a falta de diversificação quanto à contemplação dos conteúdos algébricos, centrando-se no tema Funções; estudos com desenvolvimentos repetitivos, alguns deles apresentando, superficialmente, o conteúdo abordado; falta de vinculação entre o uso de materiais concretos e jogos e os conteúdos abordados, dentre outros. Apesar disso, a análise dos dados confirma que há aproximação entre LEM e Álgebra, permitindo que se argumente a favor do LEM que: (i) as atividades laboratoriais encontradas favorecem o domínio da linguagem simbólica, pois incentivam o registro em linguagem verbal, estimulam a generalização verbal como ponto de partida para a generalização simbólica e proporcionam a abstração por meio de atividades experimentais ou a abstração por meio da observação; (ii) as tendências em Educação Matemática envolvidas nas atividades, por exemplo, a Modelagem Matemática e a Resolução de Problemas, assim como recursos concretos e softwares matemáticos, promovem situações em que a notação usada aproxima-se da notação formal da Matemática; (iii) o LEM contribui para a superação de dificuldades em Álgebra do Ensino Médio, oportunizando o enfrentamento de deficiências de níveis escolares anteriores. Em geral, o presente trabalho indica dois pontos centrais de importância para a Educação Matemática: o reconhecimento da ligação entre o LEM e a Álgebra, especialmente a presença de linguagem algébrica em atividades laboratoriais, e o fato de tais atividades não serem devidamente reconhecidas pelos professores no que concerne ao caso da Álgebra do Ensino Médio, inferindo-se a necessidade de ampliação da participação de professores de Matemática da Educação Básica na criação de propostas de ensino no campo da Álgebra. / This present paper comprehends a study on the didactic and pedagogical potentialities of the Math Teaching Lab (LEM) as seen by teachers, as an aid for high school students to overcome their difficulties in the face of the concepts and processes in Algebra, especially concerning the use of symbolic language. To begin with, the diversity of “concepts” attributed to the term Algebra and the ideas around the term LEM are discussed. Two curricular documents are analyzed, taking into consideration algebraic concepts, processes and contents, under the focus of symbolic language. Some of the problems faced by students are elucidated, pinpointing the problematic matter around symbolic language. Aiming at illustrating such situations, reports by teachers are presented, in which they discuss the importance of Algebra and comment on the difficulties found by their students. At a following stage, upon fulfilling the research proposal, the XI Encontro Nacional de Educação Matemática (11th National Mathematical Education Conference) – with the theme “Mathematical Education: Retrospects and Prospects” – is chosen as a source of analysis of intervention proposals which observe LEM methodology and high school algebraic contents. A sample of works obtained from the website of the event, composed of two research categories: Science Communications and Experience Reports, was examined. The research fits a qualitative approach, therefore, it is of a bibliographic nature. The sample selection and analysis allowed the identification of a variety of questions concerning the work with lab activities and high school Algebra, such as: the small number of studies found; the lack of diversification in terms of comprehending algebraic contents, focusing on the Functions subject; studies with repetitive development, some of them presenting the discussed content superficially; the lack of linkage between the use of concrete material and games and the discussed content, among others. In spite of that, the data analysis confirms that there is an approach between LEM and Algebra, allowing arguing in favor of LEM that: (i) the lab activities found promote the dominance of symbolic language, for they motivate the record in verbal language, promote verbal generalization as a starting point to symbolic generalization and they provide abstraction by means of experimental activities or abstraction by means of observation; (ii) the tendencies in Mathematical Education involved in the activities, for example, Mathematical Modeling and Problem Solving, as well as concrete resources and mathematical software, promote situations in which the notation used is close to formal mathematical notation; (iii) LEM contributes to overcome difficulties in high school Algebra, providing the tackling of deficiencies of previous schooling stages. Overall, the present work indicates two important main points for Mathematical Education: the acknowledgement of a linkage between LEM and Algebra, especially the presence of algebraic language in lab activities, and the fact that these activities are not properly recognized by teachers, concerning Algebra in high school, what infers the need to increase the participation of elementary school Mathematics teachers in the creation of teaching proposals in the field of Algebra.

Made available in DSpace on 2015-05-14T12:11:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 891353 bytes, checksum: 2d056c7f53fdfb7c20586b64874e848d (MD5) Previous issue date: 2010-12-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The basic concepts of what later became called category theory were introduced in 1945 by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. In 1940s, the main applications were originally in the fields of algebraic topology and algebraic abstract. During the 1950s and 1960s, this theory became an important conceptual framework in other many areas of mathematical research, especially in algrebraic homology and algebraic geometry, as shows the works of Daniel M. Kan (1958) and Alexander Grothendieck (1957). Late, questions mathematiclogics about the category theory appears, in particularly, with the publication of the Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) of Francis Willian Lawvere. After, other works are done in the category logic, such as the the current Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), and others. As introduction of application of the category theory in logic, this work presents a study on the logic category propositional. The first section of this work, shows to the reader the important concepts to a better understanding of subject: (a) basic components of category theory: categorical constructions, definitions, axiomatic, applications, authors, etc.; (b) certain structures of abstract algebra: monoids, groups, Boolean algebras, etc.; (c) some concepts of mathematical logic: pre-order, partial orderind, equivalence relation, Lindenbaum algebra, etc. The second section, it talk about the properties, structures and relations of category propositional logic. In that section, we interpret the logical connectives of the negation, conjunction, disjunction and implication, as well the Boolean connectives of complement, intersection and union, in the categorical language. Finally, we define a categorical boolean propositional semantics through a Boolean category algebra. / Os conceitos básicos do que mais tarde seria chamado de teoria das categorias são introduzidos no artigo General Theory of Natural Equivalences (1945) de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane. Já em meados da década de 1940, esta teoria é aplicada com sucesso ao campo da topologia. Ao longo das décadas de 1950 e 1960, a teoria das categorias ostenta importantes mudanças ao enfoque tradicional de diversas áreas da matemática, entre as quais, em especial, a álgebra geométrica e a álgebra homológica, como atestam os pioneiros trabalhos de Daniel M. Kan (1958) e Alexander Grothendieck (1957). Mais tarde, questões lógico-matemáticas emergem em meio a essa teoria, em particular, com a publica ção da Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) de Francis Willian Lawvere. Desde então, diversos outros trabalhos vêm sendo realizados em lógica categórica, como os mais recentes Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), entre outros. Como inicialização à aplicação da teoria das categorias à lógica, a presente dissertação aduz um estudo introdutório à lógica proposicional categórica. Em linhas gerais, a primeira parte deste trabalho procura familiarizar o leitor com os conceitos básicos à pesquisa do tema: (a) elementos constitutivos da teoria das categorias : axiomática, construções, aplicações, autores, etc.; (b) algumas estruturas da álgebra abstrata: monóides, grupos, álgebra de Boole, etc.; (c) determinados conceitos da lógica matemática: pré-ordem; ordem parcial; equivalência, álgebra de Lindenbaum, etc. A segunda parte, trata da aproximação da teoria das categorias à lógica proposicional, isto é, investiga as propriedades, estruturas e relações próprias à lógica proposicional categórica. Nesta passagem, há uma reinterpreta ção dos conectivos lógicos da negação, conjunção, disjunção e implicação, bem como dos conectivos booleanos de complemento, interseção e união, em termos categóricos. Na seqüência, estas novas concepções permitem enunciar uma álgebra booleana categórica, por meio da qual, ao final, é construída uma semântica proposicional booleana categórica.

Orientador: Erika Capelato / Banca: Renata Zotin Gomes de Oliveira / Banca: Camila Fernanda Bassetto / Resumo: O grande desafio no ensino da matemática, pelo menos no meu ponto de vista como professor nos últimos dez anos, é fazer com que os alunos percebam a importância e a praticidade da matemática em suas vidas. Isso vai além das teorias da Aritmética, Álgebra ou Geometria ensinadas na educação básica. Os alunos precisam perceber que os conceitos matemáticos são ferramentas que os ajudam a compreender o mundo a sua volta. Diante disto, esta dissertação busca apresentar conceitos matemáticos que levam à compreensão da Criptografia: conceitos da Teoria dos Números e da Álgebra. Fazemos ainda, um breve histórico sobre a Criptografia descrevendo a cifra de César e as cifras afins, o Sistema RSA e alguns métodos de troca de chaves. Relatamos alguns trabalhos desenvolvidos pelos estudantes do PROFMAT neste tema e apresentamos uma proposta de atividade para os estudantes do ensino básico. Esta atividade consiste na construção de um kit de encriptação e decriptação utilizando copos descartáveis. Com dinâmicas unindo elementos da Criptografia e o aplicativo Whatsapp, como meio de troca das mensagens criptografadas, motivamos a sala de aula para o aprendizado da Divisão Euclidiana e da Permutação. Além disso, pretendemos despertar nos alunos o interesse em aprofundar-se nos estudos da Matemática, principalmente na Teoria dos Números, já que esta é uma das ferramentas fundamentais no contexto da Criptografia, uma ciência com grande aplicabilidade na atualidade / Abstract: The great challenge in teaching mathematics, at least in my point of view as a teacher in the past ten years is to make students understand the importance and practicality of mathematics in their lives. This goes beyond the theories of arithmetic, algebra or geometry taught in basic education. Students need to realize that mathematical concepts are tools that help them understand the world around them. In view of this, this dissertation aims to present mathematical concepts that lead to understanding of cryptography: concepts of number theory and algebra. We also a brief history on the Encryption describing the Caesar cipher and related figures, the RSA system and some methods of key exchange. We report some work done by students PROFMAT this theme and present a proposal activity for students of basic education. This activity consists in building a kit of encryption and decryption using disposable cups. With dynamic linking elements Encryption and Whatsapp application as a means of exchange of encrypted messages, we motivate the classroom for learning Euclidean division and permutation. In addition, we intend to arouse students' interest in deepening the study of mathematics, especially in Number Theory, as this is one of the fundamental tools in the context of cryptography, a science with great applicability today / Mestre