Ämnesområdet som detta examensarbete utgår ifrån är aritmetikundervisning. Syftet är att undersöka hur förståelse för tals del-helhetsrelationer inverkar på elevers lärande av sambandet mellan addition och subtraktion. Syftet är även att undersöka hur förståelse för tals del-helhetsrelationer påverkar lärandet av talkamrater. Vidare undersöks vilka andra effekter förståelse för tals del-helhetsrelationer har på elevers matematiklärande. Examensarbetets metod är en litteraturstudie där forskning om del-helhetsrelationer i undervisningssammanhang undersöks. Det insamlade materialet innefattar enbart internationell litteratur mellan åren 1925 och 2013. Materialet består av 13 forskningsartiklar och en forskningsrapport samt två böcker. Resultatet visar att förståelse för tals del-helhetsrelationer är en viktig faktor i förståelsen för sambandet mellan addition och subtraktion. Genom förståelsen för tals helhet och delar får elever kunskaper som är användbara vid lärandet av talkamrater. Förståelse för tals del-helhetsrelationer har även positiv effekt på lösningar av additions- och subtraktionsproblem samt på förståelse för positionssystemet och tiotalsövergångar i både addition och subtraktion.

Under vår verksamhetsförlagda utbildning väcktes ett intresse för vilka strategier elever använder sig av när de ska lösa additioner med tiotalsövergång. Flertalet av eleverna vi mötte hade problem att genomföra additionsuppgifter inom ett större talområde. Syftet med denna studie är att undersöka hur matematikdidaktisk forskning beskriver hur elever löser additionsuppgifter med tiotalsövergång. Syftet besvaras genom frågeställningarna: Vilka strategier använder elever för att lösa uppgifter med tiotalsövergång samt hur kan tals del-helhetsrelationer underlätta för elever när de löser additioner med tiotalsövergång?Arbetet är en litteraturstudie där svensk och internationell matematikdidaktisk forskning analyserats. För att finna relevant forskning gjordes främst sökningar i databasen ERIC. I resultatet framkom det strategier som var mer framgångsrika att använda i additioner med tiotalsövergång. Strategier som bygger på uppräkning, exempelvis räkna alla och räkna vidare fungerar främst på uppgifter inom talområdet 0-10. Strategier som bygger på del-helhetrelationer, exempelvis talfakta och uppdelning av tal underlättar där tiotalsövergång krävs. Materialet pekar på att elevers förståelse för tals del-helhetsrelationer har ett samband med deras förmåga att tillämpa effektivare strategier i additioner med tiotalsövergång.

Aritmetik är den del inom matematiken som behandlar räknande och innefattar tals egenskaper och hur räknesätten fungerar och kan sättas i relation till varandra, däribland räknesätten addition och subtraktion. Förståelsen av tals egenskaper benämns vanligtvis som taluppfattning vilket innefattar olika aspekter av tal såsom bland annat tals del-helhetsrelationer. Tals additiva del-helhetsrelationer syftar till relationen där kvantiteten, helheten kan delas upp i två eller flera delar. Till exempel kan talet 7 delas upp i följande sammansättningar 6│1│7, 5│2│7 och 4│3│7 där 7 ses som helheten och där sammansättningarna visar de olika delarna. Syftet med denna litteraturstudie är att lyfta fram hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer. Arbetet är en litteraturstudie där vetenskapliga publikationer inom matematikdidaktisk forskning har lästs och analyserats. Litteraturstudien visar på hur elevers förståelse av de första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att lösa addition- och subtraktionsproblem. Det har framkommit att förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att se samband mellan addition och subtraktion, att se additionens kommutativa egenskap samt att använda de tio första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer även för additions- och subtraktionsproblem med tiotalsövergång genom att använda tio som referenspunkt. Det har även framkommit faktorer i undervisningen som främjar elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer däribland aktiviteter där eleverna ges möjlighet att utforska och kommunicera om deras förståelse. Litteraturstudien visar även att läraren har en viktig roll för att skapa en undervisning som främjar elevers förståelse. Med hjälp av strukturella representationer kan läraren synliggöra relationen mellan delarna samt mellan delarna och helheten. Vidare belyser litteraturstudien vikten av att läraren använder gester och tal för att rikta elevernas uppmärksamhet på det som undervisningen avser att lära.

En viktig grund för elever att lösa addition- och subtraktionsuppgifter är att tillägna sig tals additiva del-helhets relationer. Genom att se delar och helheten och förstå relationen dem emellan underlättar det för elever att lösa additions- och subtraktionsuppgifter på ett framgångsrikts sätt. För att detta ska ske behöver de få en undervisning som är utformad på ett sätt som gör det möjligt. Syftet med studie är att utifrån ett sociokulturellt perspektiv få en bild av hur undervisning av tals del-helhetsrelationer kan se ut i förskoleklass och årskurs 1. Analysen har gjorts med hjälp av Mediating Primary Mathematics (MPM) utifrån vilka artefakter och notationer lärarna använder och hur de medierar det matematiska innehållet. Resultatet visar bland annat skillnader i om artefakter och notationer var strukturella eller inte. Det visar också skillnader i hur lärare visar på generalisering i matematiska metoder; i vissa undervisningsepisoder gjordes det inte alls medan i vissa kunde man se det i större utsträckning. Resultatet indikerar att det finns skillnader i hur lärare skapar matematiska samband, bland annat sambanden mellan artefakter och notationer samt i vilken utsträckning lärare tar tillvara på och bygger vidare på elevinspel. / An important basis for students to solve problems of addition and subtraction, is having learned part-whole relations of numbers. Seeing parts and the whole, and understanding their relation, makes solving addition and subtraction successfully easier for students. To achieve this, they need instructions which are structured in a way that enables this. The aim of this study is to observe through a sociocultural perspective how part-whole relations of numbers is taught in primary school. The analysis has been done with the help of Mediating Primary Mathematics (MPM), taking into consideration which artefacts and inscriptions teachers use and how they mediate the mathematical content. The result shows, among other things, whether artefacts and inscriptions were or weren’t structural. It also shows differences regarding how teachers demonstrate generalizations within mathematical methods; in some lesson episodes it never occurred but in others it was more frequent. The result indicates that there are differences regarding how teachers build mathematical connections, including the connections between artefacts and inscriptions, and to which extent teachers make use of, and build on, students’ contributions.

Inom matematikundervisning för de lägre skolåldrarna finns det mängder av olika material och modeller som syftar till att göra det abstrakta konkret och hjälpa eleverna utveckla en god taluppfattning. Syftet med studien är att bidra med kunskap om förskoleklasselevers skilda uppfattningar av modeller som på ett strukturerat sätt visar tals del-helhetsrelationer. Syftet med studien uppnås genom att följande forskningsfråga besvaras: På vilka skilda sätt beskriver elever i förskoleklass olika strukturerade modeller som visar tals del-helhetsrelation? Studien bygger på den fenomenografiska forskningsansatsen och datamaterialet samlades in genom kvalitativa intervjuer med 17 elever från tre olika skolor. Materialet analyserades genom skapandet av beskrivningskategorier utifrån elevernas utsagor. I resultatet framkommer fem beskrivningskategorier av elevernas uppfattningar i relation till modellerna tioram, pärlband, talblock, talhus, fingrar och triad. Beskrivningskategorierna som lyfts fram i resultatet är: referenspunkter, ordinalitet, kardinalitet, uppdelning av tal och operera med tal. Då resultatet visar att elever uppfattar samma modell på olika sätt behöver läraren synliggöra modellernas struktur och användning för att eleverna ska få syn på det som avses.

Fingrarna har länge använts som en konkret representationsform för att lösa aritmetikuppgifter. Det finns flera olika sätt att använda sig av fingrarna och dessa beror på vilka aspekter som individen har urskilt. Med utgångspunkt i fenomenografin har kvalitativa intervjuer observerats för att undersöka variationen av hur elever i förskoleklass använder sina fingrar för att lösa additions- och subtraktionsuppgifter. Utifrån den valda metoden syftar studien till att undersöka elevers olika uppfattningar och sätt att använda fingrarna vid aritmetikuppgifter. Resultatet visar på att eleverna använde sig av tre kvalitativt olika sätt för att lösa aritmetikuppgifter. Utifrån analysen visade det sig att eleverna använder olika sätt utefter sina erfarenheter, vilka aspekter som urskilts och hur fenomenet uppfattas. Detta resulterade i tre kvalitativt skilda sätt, enskilda enheter, strukturerade delar och enskilda delar samt strukturerade fingermönster. Sätten går att skriva i en hierarkisk ordning då de innehåller olika framgångsrika kvaliteter. För att eleven ska kunna använda sig av det sätt som har högst framgångsrika kvaliteter krävs det att kunskaper om del-helhetsrelationer och fingermönster har urskilts. Alla elever har olika förutsättningar och förkunskaper. Vetskap om elevernas individuella förmåga gör att läraren kan anpassa och utmana eleven. För att eleven ska urskilja mer framgångsrika kvaliteter krävs det att läraren synliggör betydelsefulla aspekter i undervisningen, som exempelvis fingermönster. / The fingers have long been used as a concrete representation form for solving arithmetic tasks. There are several different ways to use your fingers and it all depends on which aspects the individual has distinguished. Based on phenomenography, qualitative interviews have been observed to investigate the variation in how pupils in preschool use their fingers to solve addition and subtraction tasks. Based on this chosen method, the study aims to investigate pupils’ different views and ways of using their fingers in arithmetic tasks. The result shows that the pupils used three qualitatively different ways to solve arithmetic tasks. Based on the analysis, it showed that the pupils use different ways along with their experiences, what aspects are distinguished and how the phenomenon is perceived. This resulted in three qualitatively different ways, individual pieces, structured parts and individual pieces, and structured finger patterns. These ways can be written in a hierarchical order as they contain different successful qualities. In order for the pupil to use the method that has the most successful qualities, it is necessary to have knowledge of partial-whole relationships and finger patterns. All pupils have different prerequisites and prior knowledge. Knowledge of the pupils' individual ability that enables the teacher to adapt and challenge the pupil. In order for the pupil to distinguish more successful grades, it is necessary for the teacher to make visible important aspects of the teaching such as finger patterns.

Additiva del-helhetsrelationer innebär en förståelse för hur de tio bastalen kan kombineras och vilken relation de har till varandra. Syftet med denna studie är att undersöka vad forskning säger om hur undervisning kan skapa en förståelse för elever om tals del-helhetsrelationer. För att kunna besvara syftet har två forskningsfrågor skapats som behandlar gynnsamma metoder samt kritiska aspekter i undervisningen. Metoden för arbetet är en litteraturstudie där internationell och nationell forskning inom området har analyserats. Materialet som ligger till grund för studien har genom närläsning granskats där teman har skapats. Resultatet visar på olika metoder samt variation och samtidighet av metoder. Det framkom även att strukturerade fingermönster kan fungera som ett hjälpmedel samt att ett-till-ett-räkning i vissa fall kan skapa svårigheter för eleverna i deras beräkningsprocess. Resultatet synliggjorde att kardinalitet, ordinalitet och subitisering är betydelsefulla aspekter som påverkar förståelsen för del-helhetsrelationer. Slutligen tydliggjordes sambandet mellan addition och subtraktion där matematikens lagar och regler tydligt framkommer.

Taluppfattning innefattar bland annat förståelsen för tal, tals struktur och tals inbördes relationer, exempelvis tals del-helhetsrelationer. Tals del-helhetsrelationer handlar om att ha en helhet och kunna dela upp helheten i två eller fler delar. En god taluppfattning har en betydande roll för matematisk framgång och därför är det viktigt att undervisningen på ett varierat och lekfullt sätt synliggör tals relationer och egenskaper. Studiens syfte handlar om olika karaktärsdrag i strukturerade modeller som synliggör tals additiva del-helhetsrelationer samt olika faktorer i undervisningen som påverkar elevers förståelse för tals del-helhetsrelationer med fokus på tals additiva strukturer och strukturerade modeller. Syftet uppnås genom att dessa forskningsfrågor besvaras: Vad karaktäriserar strukturerade modeller som främjar barns/elevers förståelse för tals additiva del-helhetsrelationer? Vilka faktorer i undervisningen om strukturerade modeller menar forskningen påverkar barns/elevers förståelse för tals additiva del-helhetsrelationer? Litteraturen som samlats in är elva vetenskapliga texter från nationella och internationella databaser och en tryckt avhandling alla skrivna på engelska som har analyserats utifrån studiens frågeställningar och sammanfattats i en översiktsmatris. Resultatet i litteraturstudien visar på flera återkommande karaktärsdrag i olika strukturerade modeller för tals del-helhetsrelationer som alla ses främjande för elevers utveckling av en god taluppfattning men på olika sätt. Resultatet visar även på att det finns flera faktorer i undervisningen om strukturerade modeller som påverkar hur eleverna tar till sig det matematiska innehållet. Studien visar på att strukturerade modeller i undervisningen kräver ett strukturerat arbetssätt av läraren, samt att olika modeller kan användas för att synliggöra olika matematiska idéer.

Syftet med denna studie är att belysa hur tre läromedel för årskurs 1 i matematik väljer att introducera addition och subtraktion. Syftet är också att belysa hur läromedlen synliggör möjligheterna för eleverna att utveckla sin förståelse för sambandet mellan addition och subtraktion. En kvalitativ metod har använts där innehållet i läromedlen, inklusive lärarhandledning, har analyserats utifrån valda delar av HLT-modellen, som är en hypotetisk inlärningsbana. Resultaten visar att de tre olika läromedlen introducerar addition och subtraktion på tre olika sätt. Favorit matematik fokuserar först på att lära eleverna additionskunskaper, sedan fokus på subtraktionskunskap för att sedan jobba med räknesätten lite tillsammans. Singma introducerar addition i ett kapitel för att i nästa kapitel introducera subtraktion. I kapitlet därefter introducerar de sambandet mellan räknesätten. Rik matematik introducerar båda räknesätten i samma kapitel. Vidare visar resultaten att de tre läromedlens fokus för att synliggöra sambandet av räknesätten ligger på olika delar av HLT-modellens steg men att det inte i något av läromedlen använder sig av ångrakonceptet. Detta kan leda till att elever får bristande kunskaper att koppla subtraktion till addition och uppnå flyt med grundläggande subtraktionskombinationer.

Följande examensarbete är en interventions-studie med utgångspunkt i aritmetik-undervis-ning och tals del-helhetsrelationer. Vissa fors-kare menar att del-helhetsrelationer är en grund för vidare aritmetikkunskaper, medan andra forskare menar att det är viktigare att elever utvecklar räkneförmågor. Syftet med denna studie är att undersöka hur undervis-ning om tals del-helhetsrelationer i addition och subtraktion kan utformas ur ett variat-ionsteoretiskt perspektiv. Lärandeobjektet för undervisningssekvensen är att identifiera ett okänt tal i en del-helhetsrelation inom talom-rådet 0-10. Undersökningen gjordes med 13 elever i för-skoleklass genom ett förtest, en undervis-ningssekvens om tre lektioner samt ett efter-test. Undervisningssekvensen och testerna vi-deoinspelades för att utgöra underlag för ana-lys. Lektionerna gjordes för att visa olika vari-ationsmönster som kontrast, separation, gene-ralisering och fusion för att eleverna skulle kunna urskilja kritiska aspekter. Exempelvis användes ”part-whole bars” och kommutati-vitet i undervisningen för att synliggöra de kri-tiska aspekterna. De kritiska aspekterna som kom fram i resultatet var att urskilja att de två delarna ryms i och tillsammans är lika mycket som helheten, kunna ta hjälp av två tal i en relation mellan helhet och delar för att finna det tredje talet, kunna ta hjälp av helheten och en del för att hitta den andra delen och att kunna ta hjälp av kunskaper om tidi-gare del-helhetsrelationer för att hitta okända tal i nya del-helhetsrelationer. / The following thesis is an intervention study based on arithmetic teaching and part-whole relationships of numbers. Some researchers argue that part-whole relationships are a basis for further arithmetic skills, while other re-searchers believe that it is more important that students develop counting abilities. The pur-pose of this study is to investigate how teach-ing of part-whole relationships in addition and subtraction can be designed from a variation theory perspective. The object of learning for the teaching sequence is to identify an un-known number of a part-whole relationship, in the number range 0-10. The study was conducted with 13 students in preschool class through a pre-test, a teaching sequence of three lessons and a post-test. The teaching sequence and the tests were vide-otaped to provide a basis for analysis. The les-sons were designed to show different patterns of variation such as contrast, separation, gen-eralization and fusion so that the students would be able to discern critical aspects. For example, "Part-whole bars" and commuta-tivity were used in the lessons, in order to highlight the critical aspects. The critical as-pects that emerged in the result were to discern that the two parts fit in and together is as much as the whole, be able to use two numbers in a relation between the whole and the parts to find the third number, be able to use the whole and one part to find the second part and to be able to use knowledge about previous part-whole relationships to find the unknown number in new part-whole relationships.