Dans cette thèse, on étudie le problème de la consommation et de l’investissement pour le marché financier de "spread" (différence entre deux actifs) défini par le processus Ornstein-Uhlenbeck (OU). Ce manuscrit se compose de sept chapitres. Le chapitre 1 présente une revue générale de la littérature et un bref résumé des principaux résultats obtenus dans cetravail où différentes fonctions d’utilité sont considérées. Dans le chapitre 2, on étudie la stratégie optimale de consommation / investissement pour les fonctions puissances d’utilité pour un intervalle de temps réduit a 0 < t < T < T0. Dans ce chapitre, nous étudions l’équation de Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) par la méthode de Feynman - Kac (FK). L’approximation numérique de la solution de l’équation de HJB est étudiée et le taux de convergence est établi. Il s’avère que dans ce cas, le taux de convergencedu schéma numérique est super–géométrique, c’est-à-dire plus rapide que tous ceux géométriques. Les principaux théorèmes sont énoncés et des preuves de l’existence et de l’unicité de la solution sont données. Un théorème de vérification spécial pour ce cas des fonctions puissances est montré. Le chapitre 3 étend notre approche au chapitre précédent à la stratégie de consommation/investissement optimale pour tout intervalle de temps pour les fonctions puissances d’utilité où l’exposant γ doit être inférieur à 1/4. Dans le chapitre 4, on résout le problème optimal de consommation/investissement pour les fonctions logarithmiques d’utilité dans le cadre du processus OU multidimensionnel en se basant sur la méthode de programmation dynamique stochastique. En outre, on montre un théorème de vérification spécial pour ce cas. Le théorème d’existence et d’unicité pour la solution classique de l’équation de HJB sous forme explicite est également démontré. En conséquence, les stratégies financières optimales sont construites. Quelques exemples sont donnés pour les cas scalaires et pour les cas multivariés à volatilité diagonale. Le modèle de volatilité stochastique est considéré dans le chapitre 5 comme une extension du chapitre précédent des fonctions logarithmiques d’utilité. Le chapitre 6 propose des résultats et des théorèmes auxiliaires nécessaires au travail.Le chapitre 7 fournit des simulations numériques pour les fonctions puissances et logarithmiques d’utilité. La valeur du point fixe h de l’application de FK pour les fonctions puissances d’utilité est présentée. Nous comparons les stratégies optimales pour différents paramètres à travers des simulations numériques. La valeur du portefeuille pour les fonctions logarithmiques d’utilité est également obtenue. Enfin, nous concluons nos travaux et présentons nos perspectives dans le chapitre 8. / This thesis studies the consumption/investment problem for the spread financial market defined by the Ornstein–Uhlenbeck (OU) process. Recently, the OU process has been used as a proper financial model to reflect underlying prices of assets. The thesis consists of 8 Chapters. Chapter 1 presents a general literature review and a short view of the main results obtained in this work where different utility functions have been considered. The optimal consumption/investment strategy are studied in Chapter 2 for the power utility functions for small time interval, that 0 < t < T < T0. Main theorems have been stated and the existence and uniqueness of the solution has been proven. Numeric approximation for the solution of the HJB equation has been studied and the convergence rate has been established. In this case, the convergence rate for the numerical scheme is super geometrical, i.e., more rapid than any geometrical ones. A special verification theorem for this case has been shown. In this chapter, we have studied the Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equation through the Feynman–Kac (FK) method. The existence and uniqueness theorem for the classical solution for the HJB equation has been shown. Chapter 3 extended our approach from the previous chapter of the optimal consumption/investment strategies for the power utility functions for any time interval where the power utility coefficient γ should be less than 1/4. Chapter 4 addressed the optimal consumption/investment problem for logarithmic utility functions for multivariate OU process in the base of the stochastic dynamical programming method. As well it has been shown a special verification theorem for this case. It has been demonstrated the existence and uniqueness theorem for the classical solution for the HJB equation in explicit form. As a consequence the optimal financial strategies were constructed. Some examples have been stated for a scalar case and for a multivariate case with diagonal volatility. Stochastic volatility markets has been considered in Chapter 5 as an extension for the previous chapter of optimization problem for the logarithmic utility functions. Chapter 6 proposed some auxiliary results and theorems that are necessary for the work. Numerical simulations has been provided in Chapter 7 for power and logarithmic utility functions. The fixed point value h for power utility has been presented. We study the constructed strategies by numerical simulations for different parameters. The value function for the logarithmic utilities has been shown too. Finally, Chapter 8 reflected the results and possible limitations or solutions

Dans cette thèse, nous proposons une approche progressive (forward) pour la représentation probabiliste d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) nonlinéaires et nonconservatives, permettant ainsi de développer un algorithme particulaire afin d'en estimer numériquement les solutions. Les Equations Différentielles Stochastiques Nonlinéaires de type McKean (NLSDE) étudiées dans la littérature constituent une formulation microscopique d'un phénomène modélisé macroscopiquement par une EDP conservative. Une solution d'une telle NLSDE est la donnée d'un couple $(Y,u)$ où $Y$ est une solution d' équation différentielle stochastique (EDS) dont les coefficients dépendent de $u$ et de $t$ telle que $u(t,cdot)$ est la densité de $Y_t$. La principale contribution de cette thèse est de considérer des EDP nonconservatives, c'est-à- dire des EDP conservatives perturbées par un terme nonlinéaire de la forme $Lambda(u,nabla u)u$. Ceci implique qu'un couple $(Y,u)$ sera solution de la représentation probabiliste associée si $Y$ est un encore un processus stochastique et la relation entre $Y$ et la fonction $u$ sera alors plus complexe. Etant donnée la loi de $Y$, l'existence et l'unicité de $u$ sont démontrées par un argument de type point fixe via une formulation originale de type Feynmann-Kac. / This thesis performs forward probabilistic representations of nonlinear and nonconservative Partial Differential Equations (PDEs), which allowto numerically estimate the corresponding solutions via an interacting particle system algorithm, mixing Monte-Carlo methods and non-parametric density estimates.In the literature, McKean typeNonlinear Stochastic Differential Equations (NLSDEs) constitute the microscopic modelof a class of PDEs which are conservative. The solution of a NLSDEis generally a couple $(Y,u)$ where $Y$ is a stochastic process solving a stochastic differential equation whose coefficients depend on $u$ and at each time $t$, $u(t,cdot)$ is the law density of the random variable $Y_t$.The main idea of this thesis is to consider this time a non-conservative PDE which is the result of a conservative PDE perturbed by a term of the type $Lambda(u, nabla u) u$. In this case, the solution of the corresponding NLSDE is again a couple $(Y,u)$, where again $Y$ is a stochastic processbut where the link between the function $u$ and $Y$ is more complicated and once fixed the law of $Y$, $u$ is determined by a fixed pointargument via an innovating Feynmann-Kac type formula.

In this thesis we examine methodologies for determining free energy differences (FEDs) of phases via Monte Carlo simulation. We identify and address three generic issues that arise in FED calculations; the choice of representation, the choice of estimator, and the choice of sampling strategy. In addition we discuss how the classical framework may be extended to take into account quantum effects. Key words: Phase Mapping, Phase Switch, Lattice Switch, Simulated Tempering, Multi-stage, Weighted Histogram Analysis Method, Fast Growth, Jarzynski method, Umbrella, Multicanonical, Path Integral Monte Carlo, Path Sampling, Multihamiltonian, fluctuation theorem.

Cette thèse présente une description nouvelle et les conséquences physiques de la seconde transition pour les gaz parfait de Bose dans des milieux fortement anisotropes. Nous développons ainsi dans le chapitre 1 une approche dite d'échelle qui permet de revisiter les différents concepts autour de la condensation de Bose-Einstein: la condensation généralisée (M.van den Berg, J.Lewis, J.Pulé, 1986), les cycles infinis (R.Feynman, 1953) et les corrélations à longue portée (O.Penrose, L.Onsager, 1956). Cette nouvelle approche nous permet, dans un premier temps, de montrer l'équivalence entre ces critères de condensation et entre les différentes classifications de condensats. Ensuite, dans les chapitres 2 et 3, nous caractérisons, les effets physiques (nouvelle température critique, modification des fractions condensées, la localisation énergétique et les longueurs de cohérence) pour les gaz de Bose dans des boîtes quasi-2D (Ch2) et des pièges harmoniques quasi-1D (Ch3) exponentiellement anisotropes. Dans le chapitre 4, nous discutons principalement l'analogie entre cycles et polymère à la P.-G de Gennes que fourni notre description des cycles via notre méthode d'échelle. Les modèles pièges et de boîtes tri-dimensionnelles exponentiellement anisotropes que nous présentons, sont, en limite thermodynamique, des cas intermédiaires entre les modèles tri-dimensionnels anisotropes conventionnels (anisotropie linéaire) et les modèles de basses dimensions, pour lesquels, pour le cas sans interactions entre particules, la notion de condensat sur le mode fondamental n'est pas évidente. Ceci donne une première approche pour le cas du gaz en faibles interactions qu'il conviendra de traiter par la suite.

Cette thèse se compose de trois parties indépendantes portant sur l'application du contrôle stochastique à la finance. Dans la première partie, nous étudions le problème de maximisation de la fonction d'utilité dans un marché incomplet avec défauts et information totale/partielle. Nous utilisons le principe de la programmation dynamique pour pouvoir caractériser la fonction valeur solution du problème. Ensuite, nous utilisons cette caractérisation pour en déduire une EDSR dont la fonction valeur est solution. Nous donnons également une approximation de cette fonction valeur. Dans la seconde partie, nous étudions les EDSR à sauts. En utilisant les résultats de décomposition des processus à sauts liée au grossissement progressif de filtration, nous faisons un lien entre les EDSR à sauts et les EDSR browniennes. Cela nous permet de donner un résultat d'existence, un théorème de comparaison ainsi qu'une décomposition de la formule de Feynman-Kac. Puis nous utilisons ces techniques pour la détermination du prix d'une option européenne dans un marché complet et le prix d'indifférence d'un actif contingent non duplicable dans un marché incomplet. Enfin, dans la troisième partie, nous utilisons la théorie des erreurs pour expliquer le risque de liquidité comme une propriété intrinsèque au marché. Cela nous permet de modéliser la fourchette Bid-Ask. Puis nous résolvons dans ce modèle le problème de liquidation optimale d'un portefeuille en temps discret et déterministe en utilisant la programmation dynamique.

The five essays in this dissertation are all concerned with how commodity price uncertainty affects the valuation of real and financial assets.  Focusing on the stochastic process approximating the price process of the commodity, a time-inhomogeneous mean reverting process is suggested and used in the valuation of a pulp mill.  Also an analytic approximation and a parameter estimation procedure to a stochastic volatility option-pricing model are developed.  Generally, the large valuation differences and hedging errors that occur for different assumptions about the price process indicate the importance of an appropriately specified price process.  The dissertation provides examples of this. The question of whether commodity prices are mean reverting or follow a random walk is also studied.  Using a large database with close to 300 different commodities, econometric tests favour a random walk.  There are very few exceptions.  However, when applied to an option pricing model, the time-inhomogeneous mean reverting process gives smaller hedging errors than the traditional Black-Scholes model based on a random walk.  The results are therefore inconclusive, although mean reversion seems more predominant than econometric tests reveal. / Diss. Stockholm : Handelshögskolan, 2003

<p dir="ltr">In this thesis, we develop an algebraic framework for colored, colored connected, semi-grouplike-flavored, and pathlike co-/bi-/Hopf algebras, which are essential in combinatorics, topology, number theory, and physics. Moreover, we introduce and explore simply colored comonoid, which generalises the notion of colored conilpotent coalgebra. The simply colored structure captures the essence of being connected and give unified treatment of all connected co-/bi-algebras. </p><p dir="ltr">As a consequence, we establish precise conditions for the invertibility of characters essential for renormalization in the Connes-Kreimer formulation, supported by examples from these fields. In order to construct antipodes, we discuss formal localization constructions and quantum deformations. These allow to define and explain the appearance of Brown style coactions. We also investigate the relation between pointed coalgebras and color conilpotent coalgebras. </p><p dir="ltr">Using these results, we interpret all relevant coalgebras through categorical constructions, linking the bialgebra structures to Feynman categories and applying our developed theory in this context. This comprehensive framework provides a robust foundation for future research in mathematical physics and algebra.</p>

In dieser Arbeit wird der Ansatz der Weltlinienquantenfeldtheorie (WQFT) zur Berechnung von Observablen des klassischen allgemeinen relativistischen Zweikörpersystems vorgestellt. Kompakte Körper wie Schwarze Löcher oder Neutronensterne werden im Rahmen einer effektiven Feldtheorie mit Weltlinienfeldern beschrieben. Die WQFT behandelt alle Weltlinienfelder gleichberechtigt mit dem Gravitationsfeld und ist definiert als die tree-level-Beiträge eines Pfadintegrals auf diesen Feldern. Zuerst wird die effektive feldtheoretische Beschreibung von kompakten Körpern mit Weltlinien und die post-Minkowski'schen Approximation der Streuung dieser Körpern vorgestellt. Die Einbeziehung des Spins wird mit besonderem Augenmerk auf ihre supersymmetrische Beschreibung in Form von antikommutierenden Grassmann-Variablen analysiert. Anschließend wird die WQFT mit einer Diskussion ihrer in-in Schwinger-Keldysh-Formulierung, ihrer Feynman-Regeln und Graphengenerierung sowie ihrer on-shell Einpunktfunktionen vorgestellt. Die Berechnung von Streuobservablen erfordert im Allgemeinen die Auswertung von Multi-Loop-Integralen, und wir analysieren die Zwei-Loop-Integrale, die in der dritten post-Minkowski'schen Ordnung der Weltlinienobservablen auftreten. Schließlich wenden wir uns den Ergebnissen der WQFT zu und beginnen mit der gravitativen Bremsstrahlung bei der Streuung zweier rotierender Körper. Diese Wellenform wird zusammen mit der Strahlungsinformation der Linear- und Drehimpulsflüsse diskutiert. Der gesamte abgestrahlte Drehimpuls führender post-Minkowski'schen Ordnung wird abgeleitet. Wir präsentieren dann die Ergebnisse des konservativen und strahlenden Impulses und des Spin-Kicks bei dritter post-Minkowski'scher Ordnung und quadratischer Ordnung in Spins zusammen mit der Abbildung der ungebundenen Ergebnisse auf einen konservativen (gebundenen) Hamiltonian bei der entsprechenden perturbativen Ordnung. / In this work the worldline quantum field theory (WQFT) approach to computing observables of the classical general relativistic two-body system is presented. Compact bodies such as black holes or neutron stars are described in an effective field theory by worldline fields with spin degrees of freedom efficiently described by anti-commuting Grassmann variables. Novel results of the WQFT include the gravitational bremsstrahlung at second post-Minkowskian order and the impulse and spin kick at third post-Minkowskian order all at quadratic order in spins. Next, the WQFT is presented with a comprehensive discussion of its in-in Schwinger-Keldysh formulation, its Feynman rules and graph generation and its on-shell one-point functions which are directly related to the scattering observables of unbound motion. Here, we present the second post-Minkowskian quadratic-in-spin contributions to its free energy from which the impulse and spin kick may be derived to the corresponding order. The computation of scattering observables requires the evaluation of multi-loop integrals and for the computation of observables at the third post-Minkowskian order we analyze the required two-loop integrals. Our discussion uses retarded propagators which impose causal boundary conditions of the observables. Finally we turn to results of the WQFT starting with the gravitational bremsstrahlung of the scattering of two spinning bodies. This waveform is discussed together with its radiative information of linear and angular momentum fluxes. Lastly we present the conservative and radiative impulse and spin kick at third post-Minkowskian order and quadratic order in spins together with the a conservative Hamiltonian at the corresponding perturbative order. The results obey a generalized Bini-Damour radiation-reaction relation and their conservative parts can be parametrized in terms of a single scalar.

Wir studieren die perturbative Quantisierung von Eichtheorien und Gravitation. Unsere Untersuchungen beginnen mit der Geometrie von Raumzeiten und Teilchenfeldern. Danach diskutieren wir die verschiedenen Lagrangedichten in der Kopplung der (effektiven) Quanten-Allgemeinen-Relativitätstheorie zum Standardmodell. Desweiteren studieren wir den zugehörigen BRST-Doppelkomplex von Diffeomorphismen und Eichtransformationen. Danach wenden wir Connes--Kreimer-Renormierungstheorie auf die perturbative Feynmangraph-Entwicklung an: In dieser Formulierung werden Subdivergenzen mittels des Koprodukts einer Hopfalgebra strukturiert und die Renormierungsoperation mittels einer algebraischen Birkhoff-Zerlegung beschrieben. Dafür verallgemeinern und verbessern wir bekannte Koprodukt-Identitäten und ein Theorem von van Suijlekom (2007), das (verallgemeinerte) Eichsymmetrien mit Hopfidealen verbindet. Insbesondere lässt sich unsere Verallgemeinerung auf Gravitation anwenden, wie von Kreimer (2008) vorgeschlagen. Darüberhinaus sind unsere Resultate anwendbar auf Theorien mit mehreren Vertexresuiden, Kopplungskonstanten und ebensolchen mit einer transversalen Struktur. Zusätzlich zeigen wir Kriterien für die Kompatibilität dieser Hopfideale mit Feynmanregeln und dem gewählten Renormierungsschema. Als nächsten Schritt berechnen wir die entsprechenden Gravitations-Materie Feynmanregeln für alle Vertexvalenzen und mit einem allgemeinen Eichparameter. Danach listen wir alle Propagator- und dreivalenten Vertex-Feynmanregeln auf und berechnen die entsprechenden Kürzungsidentitäten. Abschließend stellen wir geplante Folgeprojekte vor: Diese schließen eine Verallgemeinerung von Wigners Klassifikation von Elementarteilchen für linearisierte Gravitation ein, ebenso wie die Darstellung von Kürzungsidentitäten mittels Feynmangraph-Kohomologie und eine Untersuchung der Äquivalenz verschiedener Definitionen des Gravitonfeldes. Insbesondere argumentieren wir, dass das richtige Setup um perturbative BRST-Kohomologie zu studieren eine differentialgraduierte Hopfalgebra ist. / We study the perturbative quantization of gauge theories and gravity. Our investigations start with the geometry of spacetimes and particle fields. Then we discuss the various Lagrange densities of (effective) Quantum General Relativity coupled to the Standard Model. In addition, we study the corresponding BRST double complex of diffeomorphisms and gauge transformations. Next we apply Connes--Kreimer renormalization theory to the perturbative Feynman graph expansion: In this framework subdivergences are organized via the coproduct of a Hopf algebra and the renormalization operation is described as an algebraic Birkhoff decomposition. To this end, we generalize and improve known coproduct identities and a theorem of van Suijlekom (2007) that relates (generalized) gauge symmetries to Hopf ideals. In particular, our generalization applies to gravity, as was suggested by Kreimer (2008). In addition, our results are applicable to theories with multiple vertex residues, coupling constants and such with a transversal structure. Additionally, we also provide criteria for the compatibility of these Hopf ideals with Feynman rules and the chosen renormalization scheme. We proceed by calculating the corresponding gravity-matter Feynman rules for any valence and with a general gauge parameter. Then we display all propagator and three-valent vertex Feynman rules and calculate the respective cancellation identities. Finally, we propose planned follow-up projects: This includes a generalization of Wigner's classification of elementary particles to linearized gravity, the representation of cancellation identities via Feynman graph cohomology and an investigation on the equivalence of different definitions for the graviton field. In particular, we argue that the appropriate setup to study perturbative BRST cohomology is a differential-graded Hopf algebra.

Nous présentons des évaluations théoriques et<br />numériques de contributions de l'électrodynamique quantique (QED) aux<br />niveaux d'énergie des ions à un et deux électrons. <br /><br />Nous donnons tout d'abord un aperçu des mesures de niveaux d'énergie<br />dans les systèmes simples formés d'un noyau et de quelques électrons<br />(en nous concentrant sur l'hydrogène, les ions hydrogénoïdes, l'hélium<br />et les ions héliumoïdes, y compris très chargés). De tels niveaux<br />permettent entre autres des mesures très précises de constantes<br />fondamentales (comme par exemple la constante de structure<br />fine alpha ou le Rydberg).<br /><br />Nous faisons le point sur une méthode d'évaluation formelle des<br />niveaux d'énergie prédits par QED : la méthode "de la fonction de<br />Green à deux temps", et nous en donnons une présentation très<br />détaillée. Cette méthode permet d'obtenir de QED les énergies de<br />niveaux atomiques, y compris lorsque ceux-ci sont dégénérés ou<br />quasi-dégénérés (dans l'approximation d'électrons ne subissant que<br />l'attraction du noyau) --- ce qu'il n'est possible de faire qu'avec<br />une seule autre méthode, très récente. Nous montrons qu'il est<br />possible de résoudre les difficultés de principe que pose la méthode<br />de la fonction de Green à deux temps, grâce à une étude (restreinte au<br />problème considéré) du lien entre les propriétés analytiques d'une<br />fonction méromorphe et de son développement perturbatif. Afin de<br />pouvoir utiliser de façon pratique la méthode de la fonction de Green<br />à deux temps pour l'obtention des niveaux d'énergie prédits par QED,<br />nous introduisons de plus la méthode graphique "de la particule<br />fantôme", qui permet de calculer systématiquement un hamiltonien<br />effectif pour les niveaux considérés. Enfin, nous présentons un calcul<br />détaillé d'une contribution (la "self énergie écrantée") au<br />hamiltonien effectif, qui montre que la méthode de la particule<br />fantôme peut être appliquée de façon générale à l'évaluation des<br />déplacements en énergie dûs à n'importe quel diagramme de Feynman.<br /><br />Enfin, nous étendons par des formules analytiques la méthode<br />actuellement la plus précise de calcul du déplacement le plus<br />important de QED (la self énergie), dans l'hydrogène et les ions<br />hydrogénoïdes. Cette méthode numérique permet d'obtenir le déplacement<br />de self énergie de niveaux de moment cinétique quelconque (elle était<br />auparavant restreinte à j <= 3/2). Nous montrons qu'il est ainsi<br />possible de calculer numériquement le déplacement de self énergie de<br />nombreux niveaux excités, avec une très bonne précision.