In dieser Arbeit wurden nanostrukturierte Oberflächen durch Immobilisierung von Gold- und Silber¬nanopartikeln mit Organosilanen hergestellt und bezüglich ihrer Eigenschaften als Substrate für die oberflächenverstärkte Raman-Streuung (SERS) untersucht. In Experimenten zum Einfluss von Partikelgröße und -anordnung auf die plasmonischen Eigenschaften wurden wesentliche Erkenntnisse für die Optimierung SERS-aktiver Nanostrukturen gewonnen. Durch Kombination experimen¬teller Untersuchungen, unter Verwendung von spektroskopischen und bildgebenden Ver¬fahren, mit elektro¬dynamischen Simulationen der lokalen Felder, wurden Zusammen¬hänge zwischen den plasmo¬nischen und nanoskopischen Eigen¬schaften von Partikeln auf Oberflächen und ihren SERS-Eigenschaften hergestellt. Die nanostrukturierten Oberflächen weisen hohe und über einen weiten Analyt-konzentrations¬bereich stabile Verstärkungsfakoren bei hoher mikros¬kopischer Homo-genität der Verstärkung auf. Dies macht sie zu geeigneten Substraten für quantitative Anwendungen von SERS. Das Potenzial der nano-strukturierten Ober¬flächen für den Einsatz in analytischen Fragestellungen wurde anhand mehrerer Anwendungen gezeigt. Durch simultane Immobilisierung verschiedener Nano¬partikel unter Verwendung desselben Linker¬moleküls wurden erstmalig Ober¬flächen mit definierten plasmonischen und funktionellen Eigen¬schaften repro¬duzierbar erzeugt. Diese neuartigen Mischsubstrate wurden in der Verfolgung katalytischer Reaktionen eingesetzt, wodurch erstmals Reaktions-konstanten solcher Reaktionen mittels SERS bestimmt werden konnten. Die Ergebnisse der Arbeit legen einen breiten Einsatz der plasmonischen nano¬struk-turierten Ober¬flächen in der Zukunft nahe. Dieser reicht von Untersuchungen in der Kata-lyse¬forschung über mikroskopische Anwendungen von SERS bis zur Verwendung in der klinischen Diagnostik. / Within this work nanostructured surfaces were generated by immobilization of gold and silver nanoparticles with organosilanes and characterized regarding their suitability as substrates for Surface-enhanced Raman scattering (SERS). Essential knowledge for the optimization of SERS-active nanostructures could be found by experimental invest-igations on the influence of particle size and assembly on the plasmonic properties. Through combined experimental investigations, including spectroscopic and imaging techniques, and electrodynamic simulations of local fields, the plasmonic and nanoscopic properties of particles on surfaces were related to their SERS-properties. The nanostructured surfaces exhibit high and, over a wide range of analyte concentration, stable enhancement factors with high microscopic homogeneity. Therefore immobilized nanostructures are suitable substrates for quantitative SERS. The potential for the use of the nanostructured surfaces in analytical problems was shown in various applications. Signal fluctuations that can occur in the detection of complex analyte mixtures can be significantly reduced by immobilization of the nanoparticles. This offers the possibility to use multivariate statistical methods for automated classification and identification of molecule mixtures but also for multiplexing and imaging by SERS. Simultaneous immobilization of gold and silver nanoparticles and gold and platinum nanoparticles using the same linker molecule allowed for the first time to generate surfaces with defined plasmonic and functional properties with low cost and high reproducibility. These new mix and match-substrates were used to follow catalytic reactions and determine reaction constants of such reactions for the first time using SERS. The outcome of this work suggests a wide range of applications of plasmonic nanostructured surfaces in the future. This includes the investigation of catalysis, microscopic applications of SERS and clinical diagnosis.

Wir konstruieren Beispiele von Kontaktmannigfaltigkeiten in jeder ungeraden Dimension, welche endliche nicht-triviale algebraische Torsion (im Sinne von Latschev-Wendl) aufweisen, somit straff sind und keine starke symplektische Füllung haben. Wir beweisen, dass Giroux Torsion algebraische 1-Torsion in jeder ungeraden Dimension impliziert, womit eine Vermutung von Massot-Niederkrüger-Wendl bewiesen wird. Wir konstruieren unendlich viele nicht diffeomorphe Beispiele von 5-dimensionalen Kontaktmannigfaltigkeiten, welche straff sind, keine starke symplektische Füllung zulassen und keine Giroux Torsion haben. Wir erhalten Obstruktionen für symplektische Kobordismen, ohne für deren Beweis die SFT Maschinerie zu verwenden. Wir geben eine provisorische Definition eines spinalen offenen Buchs in höherer Dimension an, basierend auf der vom 3-dimensionalen Fall aus Lisi-van Horn Morris-Wendl. In einem Anhang geben wir in gemeinsamer Autorenschaft mit Richard Siefring eine wesentliche Zusammenfassung der Schnitttheorie für punktierte holomorphe Kurven und Hyperflächen an, welche die 3-dimensionalen Resultate von Siefring auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Mittels der Schnitttheorie erhalten wir eine Anwendung für holomorphe Blätterungen von Kodimension zwei, die wir benutzen um das Verhalten von holomorphem Kurven in unseren Beispielen einzuschränken. / We construct examples in any odd dimension of contact manifolds with finite and non-zero algebraic torsion (in the sense of Latschev-Wendl), which are therefore tight and do not admit strong symplectic fillings. We prove that Giroux torsion implies algebraic 1-torsion in any odd dimension, which proves a conjecture of Massot-Niederkrüger-Wendl. We construct infinitely many non-diffeomorphic examples of 5-dimensional contact manifolds which are tight, admit no strong fillings, and do not have Giroux torsion. We obtain obstruction results for symplectic cobordisms, for which we give a proof not relying on SFT machinery. We give a tentative definition of a higher-dimensional spinal open book decomposition, based on the 3-dimensional one of Lisi-van Horn Morris-Wendl. An appendix written in co-authorship with Richard Siefring gives a basic outline of the intersection theory for punctured holomorphic curves and hypersurfaces, which generalizes his 3-dimensional results to higher dimensions. From the intersection theory we obtain an application to codimension-2 holomorphic foliations, which we use to restrict the behaviour of holomorphic curves in our examples.

Koagulation ist physikalisch bedeutsam für eine Vielzahl von technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen und bezeichnet die paarweise Verschmelzung von Clustern unterschiedlicher Masse. Der zeitliche Verlauf der Clusterkonzentration läßt sich durch Smoluchowskis Koagulationsgleichung beschreiben, einem unendliches System nichtlinearer Differentialgleichungen. Ausgangspunkt dieser Arbeit ist eine nichtlineare maßwertige Gleichung, die die Koagulations- und andere kinetische Gleichungen beinhaltet und verschiedene physikalische und chemische Mechanismen integriert. Sie ermöglicht einen allgemeinen Zugang zu Fragen bezüglich der Existenz von Lösungen und ihrer Approximation durch stochastische Partikelsysteme. Die Teilchensysteme werden dabei als reguläre Sprungprozesse modelliert, welche eine Menge diskreter Maße auf einem lokal-kompakten Raum als Zustandsraum besitzen. Die Arbeit untergliedert sich in drei Teile: Unter geeigneten Voraussetzungen an die Sprungraten werden zunächst für wachsende Teilchenzahlen Approximations- und Konvergenzaussagen unter Verwendung von Kompaktheitsargumenten, Martingaltheoremen und Lokalisierungstechniken bewiesen. Ihre Anwendung auf die Koagulationsgleichung mit Fragmentation, Quellen und Senken erlaubt anschließend die Herleitung neuer Existenzresultate und stochastischer Algorithmen. Der letzte Abschnitt illustriert die numerischen Eigenschaften und die Effizienz der neuen Algorithmen im Vergleich zu bisherigen Monte Carlo Methoden und ihre besondere Eignung zur Analyse des Gelationsphänomens, einem Phasenübergang, welcher zum Masseverlust im Clustersystem führt. / Coagulation is an important physical process for a wide range of technical and scientific applications and denotes the pairwise merging of clusters with different mass. The dynamic behaviour of the cluster concentration can be described by Smoluchowski's coagulation equation which is an infinite system of nonlinear differential equations. In this thesis we start with a nonlinear measure-valued equation generalizing the coagulation and other kinetic equations and integrating various physical and chemical processes. This equation allows a unified treatment of questions concerning existence of solutions and their approximation by means of stochastic particle systems. Here, the particle systems are defined as regular jump processes living on a set of point measures on a locally compact space. The thesis consists of three parts: First of all, approximation and convergence results for suitable jump rates and increasing particle numbers are proved by means of compactness theorems, martingale techniques and localizing procedures. Then, an application to the coagulation equation with fragmentation, source and efflux terms leads to new existence results and stochastic algorithms. Finally, their numerical features and efficiency are compared to known Monte Carlo methods and their specific convergence properties are presented with respect to a phase transition which is called gelation and leads to a loss of total cluster mass.

Gegenstand dieser Arbeit sind Geraden in komplexen Mannigfaltigkeiten. Dabei wird zum einen ein Geradenbegriff verwendet, der sich aus der Theorie der Twistorräume herleitet. Demnach ist eine Gerade in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine rationale Kurve, deren Normalenbündel isomorph zu dem Normalenbündel einer Geraden im n-dimensionalen komplexen projektiven Raum ist. Einen engeren Geradenbegriff erhält man, wenn man darüberhinaus fordert, dass eine Umgebung der Kurve isomorph zu einer Umgebung einer Geraden im projektiven Raum ist. Solche Geraden heissen tubular. In der Arbeit wird gezeigt, dass die beiden Geradenbegriffe nicht äquivalent sind und ein Kriterium dafür angegeben, wann eine Gerade nicht tubular ist. Mit der Deformationstheorie folgt aus der Existenz einer Geraden in einer Mannigfaltigkeit die Existenz einer Familie von Geraden, wobei die Geraden eine offene Menge überdecken. Daher gibt es auf solchen Mannigfaltigkeiten keine holomorphen Differentialformen und somit sind die meisten Methoden der Klassifikationstheorie nicht anwendbar. Als einziger Zugang bleibt die algebraische Reduktion, die in dieser Arbeit für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Geraden untersucht wird, wobei sich zunächst eine grobe Charakterisierung dieser Räume ergibt. Der Fall der algebraischen Dimension 2 erweisst sich dann als besonders günstig, da solche Mannigfaltigkeiten elliptische Faserungen über komplexen Flächen sind und die Existenz der Geraden impliziert, dass diese Flächen rational sind. Elliptische Hauptfaserbündel mit Geraden können dann vollständig beschrieben werden. Allgemeine Faserungen lassen sich auf Faserungen über Hirzebruch-Flächen zurückführen. Für diese werden notwendige Bedingungen an die Existenz von Geraden hergeleitet. / In this work we study lines in complex manifolds. Mostly we use a definition of lines which comes from the thory of twistor spaces. That means a line is a rational curve in a complex manifold with the same normal bundle as a line in a projective space. Another possibility for the definition of lines is to demand that a complete neighbourhood of the rational curve is biholomorphic equivalent to a neighbourhood of a line in a projective space. Such lines a called tubular lines. In this work we show that these two definitions of lines are not equivalent and we give a criterion for a line not to be tubular. From deformation theory follows that the existence of a line in a manifold induces a family of lines which covers an open subset. Therefore there are no non-trivial homolorphic differential forms on the manifold and most of the techniques of classification theory do not work. Therefore we study the algebraic reduction of the manifold. For 3 dimensional complex manifolds with lines we get a rough description. In the case of algebraic dimension 2 the algebraic reduction is an elliptic fibration over a surface and from the existence of lines we can conclude that this surface is rational. For such fibrations we have good descriptions and we can generalize the situation to fibrations over minimal rational surfaces. For them we give necessary condtions for the exitence of lines.

Diese Dissertation hat zwei Teile. Im ersten Teil untersuchen wir die Modulräume von Kurven mit multiplen Spinstrukturen. Wir stellen eine neue Kompaktifizierung dieser Räume mit geometrisch sinnvollem Grenzverhalten vor. Die irreduziblen Komponenten dieser Räume werden vollstandig klassifiziert. Die Ergebnisse aus diesem ersten Teil der Dissertation sind fundamental für die Degenerationstechniken im zweiten Teil. Im zweiten Teil untersuchen wir eine Reihe von Problemen, die von der klassischen Geometrie inspiriert werden. Unser Hauptaugenmerk liegt hierbei auf dem Fall von zwei Hyperebenen, die eine kanonische Kurve in jedem Schnittpunkt tangential berühren. Wir fragen, ob eingemensamer Tangentialpunk existieren kann. Unsere Analyse zeigt, dass so ein gemeinsamer Punkt nur in Kodimension 1 im Modulraum existieren kann. Wir berechen dann weiter die Klasse dieses Divisors. Insbesonders zeigen wir, dass diese Klasse eine hinreichend kleine Steigung hat, sodass die kanonischen Klassen von Modulräumen von Kurven mit zwei ungeraden Spinstrukturen gross ist, wenn der Genus grösser ist als neun. Falls die zugehörigen groben Modulräume gutartige Singularitäten haben, dann haben sie in diesem Intervall maximale Kodaria Dimension. / This thesis has two parts. In Part I we consider the moduli spaces of curves with multiple spin structures and provide a compactification using geometrically meaningful limiting objects. We later give a complete classification of the irreducible components of these spaces. The moduli spaces built in this part provide the basis for the degeneration techniques required in the second part. In the second part we consider a series of problems inspired by projective geometry. Given two hyperplanes tangential to a canonical curve at every point of intersection, we ask if there can be a common point of tangency. We show that such a common point can appear only in codimension 1 in moduli and proceed to compute the class of this divisor. We then study the general properties of curves in this divisor. Our divisor class has small enough slope to imply that the canonical class of the moduli space of curves with two odd spin structures is big when the genus is greater than 9. If the corresponding coarse moduli spaces have mild enough singularities, then they have maximal Kodaira dimension in this range.

In dieser Arbeit entwickeln und untersuchen wir ein numerisches Schema für die eindimensionale Wellengleichung mit Hysterese für unterschiedliche Arten von Randbedingungen. Diese Gleichung ist ein Modell für die Longitudinal- oder Torsionsschwingungen eines homogenen Stabes unter dem Einfluß einer uniaxialen äußeren Kraftdichte, wobei wir ein elastoplastisches Materialgesetz annehmen. Hysterese-Operatoren sind ratenunabhängige Volterra-Operatoren, die Zeitfunktionen in Zeitfunktionen abbilden. Mit ihnen lassen sich Gedächtniseffekte modellieren, wie sie zum Beispiel in der Elastoplastizität oder im Ferromagnetismus auftauchen. Zunächst führen wir Hysterese-Operatoren allgemein ein und analysieren dann eine spezielle Klasse von Hysterese-Operatoren, die Prandtl-Ishlinskii-Operatoren. Wir untersuchen ihre Gedächtnisstruktur und erklären, wie sich die Operatoren numerisch auswerten lassen. Dazu stellen wir zwei verschiedene Approximationsansätze vor. Wir führen aus, wie sich die approximierenden Operatoren implementieren lassen und leiten lineare und quadratische Fehlerabschätzungen her. Zur numerischen Lösung des gekoppelten Systems aus der Wellengleichung mit einem Hysterese-Operator führen wir ein implizites Differenzenschema mit Gedächtnis ein. Für eine Klasse von Hysterese-Operatoren zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des numerischen Schemas, beweisen mit Hilfe von Kompaktheitsschlüssen und einem Monotonieargument die Konvergenz des Verfahrens und leiten eine Fehlerabschätzung der Ordnung 1/2 her. Wir diskutieren, wie das vorgestellte Verfahren auf die Prandtl-Ishlinskii-Operatoren angewendet werden kann. / In this thesis we develop and investigate a numerical scheme for the one-dimensional wave equation with hysteresis for different kinds of boundary conditions. This equation can be regarded as a model for the longitudinal or torsional oscillations of a homogeneous bar under the influence of an uniaxial external force density assuming an elastoplastic material law. Hysteresis operators are rate-independent Volterra operators mapping time functions to time functions. This kind of operator can be used to model memory effects as they appear in elastoplasticity or ferromagnetism, for example. We first give an introduction to the general concept of hysteresis operators before we analyze a special class of hysteresis operators called Prandtl-Ishlinskii operators. We investigate their memory structure and explain how the operators can be evaluated numerically. To that end we present two different kinds of approximation schemes. We point out how the approximating operators can be implemented and we derive linear and quadratic error estimates. For the numerical solution of the coupled system of the wave equation with a hysteresis operator we introduce an implicit difference scheme with memory. For a class of hysteresis operators we show the existence and uniqueness of the numerical solution. We prove the convergence of the scheme by compactness and monotonicity arguments. We derive an error estimate of order 1/2. We discuss the application of the method presented to Prandtl-Ishlinskii operators.

In dieser Arbeit untersuchen wir die Interaktion von Holonomie und der globalen Geometrie von Lorentzmannigfaltigkeiten und pseudo-Riemannschen Untermannigfaltigkeiten in Räumen konstanter Krümmung. Insbesondere konstruieren wir schwach irreduzible, reduzible Lorentzmetriken auf den Totalräumen von gewissen Kreisbündeln, was zu einer Konstruktionsmethode von Lorentzmannigfaltigkeiten mit vorgegebener Holonomiedarstellung führt. Danach führen wir eine Bochnertechnik für die Lorentzmannigfaltigkeiten ein, die ein nirgends verschwindendes, paralleles, lichtartiges Vektorfeld zulassen, dessen orthogonale Distribution kompakte Blätter hat. Schließlich klassifizieren wir normale Holonomiedarstellungen von raumartigen Untermannigfaltigkeiten in Räumen konstanter Krümmung und verallgemeinern die Klassifikation eine größere Klasse von Untermannigfaltigkeiten. / In this thesis we study the interaction of holonomy and the global geometry of Lorentzian manifolds and pseudo-Riemannian submanifolds in spaces of constant curvature. In particular, we construct weakly irreducible, reducible Lorentzian metrics on the total spaces of certain circle bundles leading to a construction of Lorentzian manifolds with specified holonomy representations. Then we introduce a Bochner technique for Lorentzian manifolds admitting a nowhere vanishing parallel lightlike vector field whose orthogonal distribution has compact leaves. Finally, we classify normal holonomy representations of spacelike submanifolds in spaces of constant curvature and extend the classification to more general submanifolds.

Wir beweisen neuartige Konvergenz- und Approximationsresultate für die Lösungen einer Klasse von Modellen optimaler Portfolioliquidierung mit sofortigem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Jedes betrachtete Liquidierungsproblem erlaubt nur absolut stetige Handelsstrategien, und die optimale Strategie ist durch ein voll gekoppeltes mehrdimensionales quadratisches BSDE-System mit einer singulären Endbedingung gegeben. Innerhalb unseres Modellierungsrahmens beweisen wir, dass wenn der Parameter des sofortigen Preiseinflusses gegen null konvergiert, der absolut stetige optimale Portfolioprozess gegen einen stochastischen Prozess konvergiert, der durch die eindeutige Lösung einer regulären eindimensionalen quadratischen BSDE gegeben ist. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert die Lösung eines Modells optimaler Portfolioliquidierung ohne sofortigen Preiseinfluss, aber mit allgemeiner Semimartingalkontrolle mit Sprüngen ist. Unser Resultat liefert einen vereinheitlichten Rahmen, in den die zwei am häufigsten gebrauchten Modellierungsrahmen der Literatur über optimale Liquidierung eingebettet werden können, und liefert eine Grundlage für die Nutzung von Semimartingalen als Liquidierungsstrategien und für die Nutzung von Portfolioprozessen von unbeschränkter Variation. Unsere Resultate beruhen auf neuartigen Konvergenzresultaten für BSDEs mit singulären Endbedingungen und auf einem neuartigen Resultat der Darstellung von Lösungen von BSDEs durch gleichmäßig stetige Funktionen von Vorwärtsprozessen. Wir beweisen außerdem, dass die optimale Lösung in der deterministischen Version des ursprünglichen Liquidierungsmodells gleichmäßig approximiert werden kann, indem das Taylor-Polynom erster Ordnung verwendet wird, das um den singulären Punkt, an dem der sofortige Preiseinfluss verschwindet, entwickelt wird. Diese Approximation ist explizit darstellbar, was im Allgemeinen nicht für die optimale Lösung gilt. / We establish novel convergence and approximation results for the solutions to a class of optimal portfolio liquidation problems with instantaneous price impact and stochastic resilience. Each considered liquidation problem only allows for absolutely continuous trading strategies, and the optimal strategy is given in terms of a fully coupled multi-dimensional quadratic BSDE system with a singular terminal condition. Within our modeling framework, we prove that, when the instantaneous price impact parameter converges to zero, the absolutely continuous optimal portfolio process converges to a stochastic process that is given in terms of the unique solution to a regular one-dimensional quadratic BSDE. This limit turns out to be the solution to an optimal liquidation problem without instantaneous price impact, but with general semimartingale controls with jumps. Our result provides a unified framework within which to embed the two most commonly used modeling frameworks in the optimal liquidation literature and provides a foundation for the use of semimartingale liquidation strategies and the use of portfolio processes of unbounded variation. Our results are based on novel convergence results for BSDEs with singular terminal conditions and a novel representation result of BSDE solutions in terms of uniformly continuous functions of forward processes. We also prove that the optimal solution in the deterministic version of the original pre-limit optimal liquidation model can be approximated uniformly by using the first order Taylor polynomial expanded around the singular point where the instantaneous price impact vanishes. This approximation is explicitly computable, while the optimal solution generally is not.

Eine Zeitreihe ist eine zeitlich geordnete Folge von Datenpunkten. Zeitreihen werden typischerweise über Sensormessungen oder Experimente erfasst. Sensoren sind so preiswert geworden, dass sie praktisch allgegenwärtig sind. Während dadurch die Menge an Zeitreihen regelrecht explodiert, lag der Schwerpunkt der Forschung in den letzten Jahrzehnten auf der Analyse von (a) vorgefilterten und (b) kleinen Zeitreihendatensätzen. Die Analyse realer Zeitreihendatensätze wirft zwei Probleme auf: Erstens setzen aktuelle Ähnlichkeitsmodelle eine Vorfilterung der Zeitreihen voraus. Das beinhaltet die Extraktion charakteristischer Teilsequenzen und das Entfernen von Rauschen. Diese Vorverarbeitung muss durch einen Spezialisten erfolgen. Sie kann zeit- und kostenintensiver als die anschließende Analyse und für große Datensätze unrentabel werden. Zweitens führte die Verbesserung der Genauigkeit aktueller Ähnlichkeitsmodelle zu einem unverhältnismäßig hohen Anstieg der Komplexität (quadratisch bis biquadratisch). Diese Dissertation behandelt beide Probleme. Es wird eine symbolische Zeitreihenrepräsentation vorgestellt. Darauf aufbauend werden drei verschiedene Ähnlichkeitsmodelle eingeführt. Diese erweitern den aktuellen Stand der Forschung insbesondere dadurch, dass sie vorverarbeitungsfrei, unempfindlich gegenüber Rauschen und skalierbar sind. Anhand von 91 realen Datensätzen und Benchmarkdatensätzen wird zusätzlich gezeigt, dass die hier eingeführten Modelle auf den meisten Datenätzen die höchste Genauigkeit im Vergleich zu 15 aktuellen Ähnlichkeitsmodellen liefern. Sie sind teilweise drei Größenordnungen schneller und benötigen kaum Vorfilterung. / A time series is a collection of values sequentially recorded from sensors or live observations over time. Sensors for recording time series have become cheap and omnipresent. While data volumes explode, research in the field of time series data analytics has focused on the availability of (a) pre-processed and (b) moderately sized time series datasets in the last decades. The analysis of real world datasets raises two major problems: Firstly, state-of-the-art similarity models require the time series to be pre-processed. Pre-processing aims at extracting approximately aligned characteristic subsequences and reducing noise. It is typically performed by a domain expert, may be more time consuming than the data mining part itself, and simply does not scale to large data volumes. Secondly, time series research has been driven by accuracy metrics and not by reasonable execution times for large data volumes. This results in quadratic to biquadratic computational complexities of state-of-the-art similarity models. This dissertation addresses both issues by introducing a symbolic time series representation and three different similarity models. These contribute to state of the art by being pre-processing-free, noise-robust, and scalable. Our experimental evaluation on 91 real-world and benchmark datasets shows that our methods provide higher accuracy for most datasets when compared to 15 state-of-the-art similarity models. Meanwhile they are up to three orders of magnitude faster, require less pre-processing for noise or alignment, or scale to large data volumes.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit asymptotischen Syzygien und Gleichungen Abelscher Varietäten, sowie mit deren Anwendung auf zyklische Überdeckungen von Kurven von Geschlecht zwei. Was asymptotischen Syzygien angeht, zeigen wir für beliebige Geradenbündel auf projektiven Schemata: Wenn die asymptotischen Syzygien von Grad p eines Geradenbündels verschwinden, dann ist das Geradenbündel p-sehr ampel. Darüber hinaus verwenden wir die Bridgeland-King-Reid-Haiman Korrespondenz, um zu zeigen, dass dieses Ergebnis auch umgekehrt wahr ist, wenn es um eine glatte Fläche und kleine p geht. Dies dehnt Ergebnisse von Ein-Lazarsfeld und Ein-Lazarsfeld-Yang aus. Wir verwenden unsere Ergebnisse, um zu untersuchen, wie Syzygien verwendet werden können, um den Grad der Irrationalität einer Varietät zu begrenzen. Ferner, beweisen wir eine Vermutung von Gross and Popescu über Abelsche Flächen, deren Ideal durch Quadriken und Kubiken erzeugt wird. Außerdem verwenden wir die projektive Normalität einer Abelschen Fläche, um die Prym Abbildung, die mit zyklischen Überdeckungen von Geschlecht zwei Kurven assoziert ist, zu untersuchen. Wir zeigen, dass das Differential der Abbildung generisch injektiv ist, wenn der Grad der Überdeckung mindestens sieben ist. Wir dehnen damit Ergebnisse von Lange und Ortega aus. Abschließend zeigen wir, dass das Differential genau für bielliptische Überdeckungen nicht injectiv ist. / In this thesis we study asymptotic syzygies of algebraic varieties and equations of abelian surfaces, with applications to cyclic covers of genus two curves. First, we show that vanishing of asymptotic p-th syzygies implies p-very ampleness for line bundles on arbitrary projective schemes. For smooth surfaces we prove that the converse holds, when p is small, by studying the Bridgeland-King-Reid-Haiman correspondence for the Hilbert scheme of points. This extends previous results of Ein-Lazarsfeld and Ein-Lazarsfeld-Yang. As an application of our results, we show how to use syzygies to bound the irrationality of a variety. Furthermore, we confirm a conjecture of Gross and Popescu about abelian surfaces whose ideal is generated by quadrics and cubics. In addition, we use projective normality of abelian surfaces to study the Prym map associated to cyclic covers of genus two curves. We show that the differential of the map is generically injective as soon as the degree of the cover is at least seven, extending a previous result of Lange and Ortega. Moreover, we show that the differentials fails to be injective precisely at bielliptic covers.