I denna studie har elevers kunnande inom komplexa samhällsfrågor med hjälp av en visuell modell i form av ett plotdiagram undersökts. Studien undersökte även hur elevers resonemang i olika åldrar skiljer sig i frågan kring att föra kvalitativa resonemang. För att ta reda på detta ställdes två frågeställningar där den ena berörde vad elever lär sig och inte lär sig inom olika samhällsfrågor med hjälp av ett plotdiagram. Den andra frågan berörde vad som skiljer elevers sätt att föra kvalificerade resonemang utifrån ett plotdiagram i olika årskurser. Detta gjordes genom en fenomenografisk och variationsteoretisk ram där materialet som analyserades var för-och eftertester samt gruppdiskussioner som eleverna förde efter utförd undervisning. Det som synliggjordes i studiens resultat var bland annat att elever med hjälp av en visuell modell, kunde få syn på kausala samband och bakomliggande orsaker till vissa världsliga problem som dessa samhällsfrågor belyser. Även att ju mer eleverna är förtrogna med ämnesinnehållet desto mer kvalitativa resonemang kan de föra, vilket sker på mellanstadiet men inte i samma utsträckning som på högstadiet. Detta blir intressant då de yngre eleverna för mer kvalificerade resonemang än de äldre. / Säger bilden mer än tusen ord? – Om utveckling av elevers visuella litteracitet i samhällskunskapsundervisningen

Swedish students are showing a continuous deterioration of knowledge about the concept of mathematical place-value and by looking at a closer analysis, made by the TIMSS, it was made even more visible that the concept of place-value, which is associated with our positional system, is very central to students' understanding of the number concept. The PISA - report further demonstrates that it is possible to discern the deteriorating knowledge of students' perceptions of digits’ place-values in calculations of standard algorithms. The study is carried out because I want to explore as well as contribute to the research on the opportunities students are given to understand the positional system. The study aims to create knowledge on students' opportunity to understand the positional system in the sixth grade. The questions the study seeks to answer are the following:  What are the different patterns of variation the students meet during the lesson about the positional system?  Which are the critical aspects that can be discerned when listening to the students' descriptions of the positional system? To get answers to these questions, and thus fulfill the purpose of the study, different teachings have been observed and students have been interviewed. The theory of this work is variation theory. This theory was chosen because it makes it possible to understand many different ways to treat a selected subject of matter as well as to relate it to students' opportunities to learn. Results of the study show that students encounter several different parts of the pattern of variation in the teaching about the positional system, including contrast, generalization and separation. By taking in the students' descriptions of the positional system, three critical aspects could be discerned. These were the place-value together with the significance of zero in multi-digit numbers, numbers properties and lastly number sence. The conclusion is that students have different opportunities to develop an understanding of the positional system in the sixth grade. The possibilities are different depending on which critical aspects that are distinguished by the students in the education of the positional system. / Svenska elever visar kontinuerligt försämrade kunskaper kring begreppet platsvärde och vid en noggrannare granskning av TIMSS (Skolverket, 2012) synliggjordes att begreppet platsvärde, som är förknippat med vårt positionssystem, är ett centralt begrepp för elevers förståelse av talbegrepp. PISA rapporten (Skolverket, 2013) påvisar ytterligare att det går att urskilja försämrade kunskaper om elevers uppfattningar om siffrors platsvärden vid beräkningar av standardalgoritmer. Studien genomfördes för att undersöka och bidra till forskningen om vilka möjligheter elever ges till att förstå positionssystemet. Studien syftar till att bilda kunskap om elevers möjligheter att förstå positionssystemet i årskurs 6. De frågeställningar studien syftar till att besvara är:  Vilka variationsmönster möter elever i undervisning om positionssystemet?  Vilka kritiska aspekter kan urskiljas vid elevers beskrivningar av positionssystemet? För att få svar på frågeställningarna och därmed uppfylla syftet med studien har undervisning observerats och elever intervjuats. I studien finns inslag av variationsteorin. Teorin valdes för att göra det möjligt att förstå hur olika sätt att behandla ett valt ämnesinnehåll relaterar till elevers möjligheter att lära. Studiens resultat visar att elever möter olika variationsmönster i undervisning om positionssystemet, däribland kontrast, generalisering och separation. Vid elevers beskrivningar av positionssystemet kunde det urskiljas tre kritiska aspekter, positionens värde och nollans betydelse i ett flersiffrigt tal, talens egenskaper och talsortsuppfattning. Slutsatsen är att elever har olika möjligheter att utveckla förståelse för positionssystemet i årskurs 6. Möjligheterna ser olika ut beroende på vilka kritiska aspekter eleverna urskilt i undervisning om positionssystemet.

Studiens syfte är att bilda kunskap om elevers förståelse av likhetstecknet och hur undervisning om likhetstecknet i årskurs 3 kan varieras för att bli så effektiv som möjligt. Syftet ska besvaras genom frågeställningarna: vilka variationsmönster som de studerade eleverna kan möta och vilka kritiska aspekter som elever kan identifiera. Kritiska aspekter är det som elever behöver identifiera för att förstå det som ska läras. Variationsmönster innebär att det som är kritiskt i undervisningen ska varieras för att synliggöras. Studien har sin ansats i variationsteorin, där variationsmönster och kritiska aspekter är centrala begrepp. En lektion observerades i årskurs 3 och sex elever valdes ut och intervjuades om likhetstecknet. Resultatet av studien visar att eleverna mötte sex kritiska aspekter i undervisningen. I varje kritisk aspekt mötte eleverna ett eller flera variationsmönster. Studien visar också att alla de intervjuade eleverna har en relationell och instrumentell förståelse av likhetstecknet. Eleverna har förståelse av en kritisk aspekt, som den observerade lektionen inte hade berört, nämligen att alla tal måste ingå i en uppgift för att lösningen ska vara korrekt. Fyra av sex elever har förståelse av den kritiska aspekten att det ska vara ekvivalens i en kedja av likheter. Resultatet visar också att elevernas förståelse av likhetstecknet inte är beroende av att de möter variationsmönster i undervisningen, men att de möter de kritiska aspekterna på något sätt. / The aim of the study is to explore the understanding of the equal sign and how the teaching about the equal sign among third grade students can be varied to be as effective as possible.  The aim will be answered trough the questions: what patterns of variation can the studied students meet and what critical aspects have the students identified. Patterns of variation means that what is critical in the teaching should be varied to become visible. Critical aspects is what students need to identify to understand what should be learned. The foundation of the study is the Variation Theory, where patterns of variation and critical aspects are central concepts. The observations were accomplished during a third grade lesson and six students were selected for interviews about the equal sign. The result of the study shows that the students met six critical aspects during the lesson. For every critical aspect there were one or several patterns of variation that was exposed to the students. The result also states that the students who were interviewed have a relational and instrumental understanding of the equal sign. The students also have understanding of a critical aspect that they did not meet in the observed lesson, namely that all numbers have to enter in a task. Four out of six students have understanding of the critical aspect that there should be equivalence in a chain of similarities. The result also show that the students understanding of the equal sign is not dependent of that they meet patterns of variation in the teaching, but that they meet the critical aspects somehow.

Studien är gjord i en klass med flerspråkiga elever i årskurs 4. Fokus ligger på att identifiera svårigheter för flerspråkiga elevers lärande i matematik. Detta sker genom att identifiera svårigheter för dem i olika typer av matematiska uppgifter samt genom elevintervjuer om elevernas upplevelser om dessa uppgifter. Studien använder sig av variationsteorins kritiska aspekter för att identifiera och kategorisera dessa svårigheter medan fenomenografin är den centrala teori som studien utgår ifrån gällande elevers upplevelser om uppgifterna. Studien har samlat in sin empiri genom ett arbetsblad med matematikuppgifter som flerspråkiga elever har fått lösa samt elevintervjuer där elever har beskrivit sina upplevelser om dessa uppgifter. Resultatet visade hur textuppgifter och uppgifter med innehåll kopplat till svensk kultur skapade problematik för elever när de löste matematiska textuppgifter. Eleverna själva uttryckte även en frustration om dessa uppgifter då de själva ansåg att de hade klarat uppgifterna i stor utsträckning om de förstått vad uppgiften handlat om. Vidare i diskussionen förs en diskussion om hur dessa olika faktorer påverkar elever i skolämnet matematik och hur anpassning kan ske för att skapa en rättvis och lärorik skolgång för flerspråkiga elever i matematik.

Studiens syfte är framtaget med bakgrund av att de fyra räknesätten och deras samband har visat sig viktiga för elevernas djupare förståelse inom matematik. Svenska elever i årskurs 4 visar att taluppfattning är det svåraste matematiska området i TIMSS 2015 trots att eleverna redan i årskurs 3 enligt den nuvarande läroplanen (Skolverket, 2011) ska ha arbetat med de fyra räknesätten och deras samband. Fokus i den här studien är multiplikations och divisions samband. Utifrån detta fanns ett behov att bidra med kunskap om elevernas uppfattningar om sambandet mellan räknesätten samt de missuppfattningar och svårigheter som kan uppstå när elevernas räknar med tal som fokuserar sambandet mellan multiplikation och division. Den här studiens syfte är att bidra med förståelse om elevernas uppfattningar och de kritiska aspekter för lärande som kan finnas i elevers förståelse av sambandet mellan division och multiplikation. Studien genomfördes med 8 elevintervjuer som metod, eleverna gick i årskurs 4. Studiens resultat visar att elevernas uppfattning om sambandet mellan multiplikation och division är tydliga när de berättar om sambandet men att det blir mer komplext när de ska lösa uppgifter. Resultatet visa även att 4 kritiska aspekter inom fenomenet sambandet mellan multiplikation och division har identifierats. De fyra kritiska aspekterna är skutträkning, att illustrera multiplikation och division med andra representationsformer än siffror, att skilja multiplikation från addition samt att dividera med 0,5.

The research for this thesis was done to examine, describe and understand the ways in which mathematical content (algebra) is communicated in classrooms. It also sought to identify the opportunities that allow successful classroom communication. The educational design research approach in this study was used to understand the connection between teaching, communication and students' learning. The empirical material consisted of video-recorded lessons, observations, students’ tests and teachers’ written reports of the instructions for lessons. The empirical material was analysed using concepts relating to variation theory, strong compositionality and research results found in mathematics education. Some important findings have been found in this thesis. Communicative success is linked to a hierarchic structure of communicative events with a strong compositionality. It is also linked to the discernment of the structure of algebraic objects. This structure is a relation between para- and proto-mathematical concepts and a form of composition with a semantic character. Teachers support successful classroom communication by using research results found in mathematics education to open up patterns of variation in the critical aspects of an object of learning. Similarity is a pattern identified in this study, and it is defined as the property of two or more expressions to adapt the same meaning. Teachers also support successful classroom communication through a systematic analysis of the parts of an object of learning, relations between parts, how to relate the parts to each other in different ways, the relation between the parts, the relation between the parts and the whole as well as the relation between different wholes. Through and around tasks, teachers and students are communicating successfully or not according to the opportunities provided in the classroom to work out the meaning of the whole by understanding the meaning of the simple parts, the semantic significance of a finite number of syntactic modes of composition, and by recognizing how the whole is made up out of simple parts. If the choice/construction of tasks is focused on what may vary and what stays invariant, students' opportunities to distinguish aspects that could lead to algebraic generalizations are improved. One of the values of this study is in the design of the project that contributes to integration of research results found in mathematics education, in teachers' practice. In addition, a value of the study lies in its operational definition of the concept of communication, which can be used to study successful communication. Communication is a collectively performed patterned activity in which an aspect that is critical for one or more students (A) is focused on by the action of the teacher or other students (B) so that A discerns the aspects focused on by B.

Bråkområdet är enligt verksamma lärare men även forskning ett komplext område. Syftet med studien är att undersöka vilka kritiska aspekter som förekommer i årskurs fem och årkurs sex på en skola. Studien ämnar också att undersöka hur klassernas matematiklärare undervisar kring dem. De kritiska aspekterna identifierades med hjälp av ett förtest och för att få en djupare förståelse för dem intervjuades 11 elever. Lärarna fick därefter i uppdrag att genomföra varsin lektion med innehåll som baserades på de identifierade kritiska aspekterna. Dessa lektioner observerades och för att synliggöra om eleverna hade uppfattat lektionsinnehållet genomfördes ett eftertest. Kortfattat visade resultatet att bråkområdet är svårt för både lärare och elever.

Syftet med studien är att bidra med kunskap om att undervisa naturvetenskap i förskolan gällande fysikfenomenet densitet i en learning study. Frågeställningarna som behandlas i studien är:  Vilka aspekter av densitetsbegreppet är kritiska för barnens förståelse?  Hur kan learning study som modell användas för att synliggöra undervisningsinnehållet? Studiens teoretiska ramverk har sin utgångspunkt i fenomenografin, variationsteorin och utvecklingspedagogiken. Studien vilar på en kvalitativ ansats och utgår från en anpassad learningstudymodell i syfte att bryta ned lärandeobjektet densitet till undervisning. Learningstudymodellen används för att skifta barns fokus från föremålet till föremålets material. Metoden som används för datainsamling är videoobservation, fältanteckningar samt semistrukturerade barnintervjuer. Studiens resultat visar att i koppling till de föreställningar barnen i studien gav uttryck för var: färg, storlek, vikt, material, flytförmåga samt egenskaperna: vingar, simma och drunkna, kritiska aspekter i lärandeobjektet densitet. Studiens resultat visar även att learningstudymodellen kan vara ett stöd för förskollärare i undervisningen av lärandeobjektet densitet. Vidare visar studien hur förskollärare systematiskt kan variera, bryta ned, anpassa och undervisa densitet i en learning study. Avslutningsvis visar studiens resultat att en kritisk aspekt hos lärandeobjektet densitet är att skifta barns fokus från föremålet till föremålets material.

Syftet med studien är att identifiera kritiska aspekter i addition och subtraktion med tal i decimalform samt om och i så fall hur dessa synliggörs vid skriftliga beräkningar av elever i skolår 5 och skolår 7 från två skolor i Sverige. Med utgångspunkt i variationsteorin har empirin samlats in genom tester och intervjuer. Resultatet visar att samma kritiska aspekter som återfinns i tidigare forskning även syns i denna empiri. De mest frekventa kritiska aspekterna är att elever skriver algoritmer med rak högerkant, konsekvent subtraherar det minsta från det största, inte förstår att 0 – 4 kräver växling eller behandlar decimaltal som heltal. I skolår 7 kan en viss progression ses då de äldre eleverna i intervjuerna ger uttryck för begrepp (exempelvis position, platsvärde och decimaltecken) som de till skillnad från skolår 5 har utskilt.

Studiens syfte är att med stöd av variationsteorin undersöka vad högläsning av skönlitteratur kan bidra med i undervisning av läsförståelsestrategier. Syftet besvaras genom följande syftesfrågor: Vilka är för den valda elevgruppen de kritiska aspekterna vid undervisning om läsning ”mellan raderna”. Hur kan man med hjälp av variationsteorin planera, genomföra och utvärdera undervisning som behandlar läsförståelse med fokus på att läsa mellan raderna? Vad bidrar högläsning av skönlitteratur till vid undervisning av läsförståelsestrategier och vad krävs av läraren för att ett lärande ska ske med hjälp av högläsning?Med stöd av den systematiska metoden Learning study besvarades syftesfrågorna genom att lektioner utfördes med en elevgrupp på 21 elever i årskurs 3. Undervisningen prövade variationsteorin vilken också fungerade som analysverktyg. Resultatet visar att med stöd av forskning kan lärare ta reda på generella kritiska aspekter inför ett ämne som grund för att ta reda på elever förförståelse. Genom att sedan konkretisera de kritiska aspekterna möjliggörs god undervisning med stöd av systematiken i en Learning study. Högläsning kan med fördel användas vid läsförståelseundervisning då det visar sig påverka positivt på motivationen. Det kräver dock god kunskap av läraren i hur läsförståelsestrategier används och undervisas för att lyckas med högläsning som funktionellt verktyg.