Cette thèse étudie deux modèles de calcul: les marches quantiques (QW) et les automates cellulaires quantiques (QCA), en vue de les appliquer en simulation quantique. Ces modèles ont deux avantages stratégiques pour aborder ce problème: d'une part, ils constituent un cadre mathématique privilégié pour coder la description du système physique à simuler; d'autre part, ils correspondent à des architectures expérimentalement réalisables.Nous effectuons d'abord une analyse des QWs en tant que schéma numérique pour l'équation de Dirac, en établissant leur borne d'erreur globale et leur taux de convergence. Puis nous proposons une notion de transformée de Lorentz discrète pour les deux modèles, QW et QCA, qui admet une représentation diagrammatique s'exprimant par des règles locales et d'équivalence de circuits. Par ailleurs, nous avons caractérisé la limite continue d'une grande classe de QWs, et démontré qu'elle correspond à une classe d'équations aux dérivées partielles incluant l'équation de Dirac massive en espace-temps courbe de $(1+1)$-dimensions.Finalement, nous étudions le secteur à deux particules des automates cellulaires quantiques. Nous avons trouvé les conditions d'existence du spectre discret (interprétable comme une liaison moléculaire) pour des interactions à courte et longue portée, à travers des techniques perturbatives et d'analyse spectrale des opérateurs unitaires. / This thesis is devoted to the development of two well-known models of computation for their application in quantum computer simulations. These models are the quantum walk (QW) and quantum cellular automata (QCA) models, and they constitute doubly strategic topics in this respect. First, they are privileged mathematical settings in which to encode the description of the actual physical system to be simulated. Second, they offer an experimentally viable architecture for actual physical devices performing the simulation.For QWs, we prove precise error bounds and convergence rates of the discrete scheme towards the Dirac equation, thus validating the QW as a quantum simulation scheme. Furthermore, for both models we formulate a notion of discrete Lorentz covariance, which admits a diagrammatic representation in terms of local, circuit equivalence rules. We also study the continuum limit of a wide class of QWs, and show that it leads to a class of PDEs which includes the Hamiltonian form of the massive Dirac equation in (1+1)-dimensional curved spacetime.Finally, we study the two particle sector of a QCA. We find the conditions for the existence of discrete spectrum (interpretable as molecular binding) for short-range and for long-range interactions. This is achieved using perturbation techniques of trace class operators and spectral analysis of unitary operators.

Des études antérieures ont mis en évidence que le transfert de solutés neutres à travers des membranes est influencé par la présence d'ions en solution. Ainsi, la connaissance des interactions multiples à l'échelle nanométrique, entre le polymère, l'eau et les solutés (ions, espèces organiques) constituent un verrou pour l'amélioration des performances des procédés membranaires. Dans cette étude une approche multi-échelle fondamentale est proposée, combinant des outils théoriques et expérimentaux, afin d'obtenir les paramètres microscopiques et macroscopiques caractérisant les interactions étudiées pour différentes compositions ioniques. Plus précisément, il s'agit de comprendre comment les ions affectent le transfert d'un soluté organique. Dans un premier temps, certaines propriétés caractérisant l'hydratation des ions sont calculées et comparées aux flux de diffusions de sucres à travers des membranes de Nanofiltration et échangeuses d'ions obtenus pour différentes compositions ioniques. Dans un deuxième temps, des systèmes constitués d'une membrane échangeuse de cations (CMX) équilibrée avec différents cations ainsi que le glucose hydraté sont modélisés en utilisant une approche combinée Mécanique Quantique/ Mécanique Moléculaire. Cette approche a permis d'étudier la solubilité du sucre dans la matrice polymère ainsi que les interactions polymère-polymère comme l'énergie de cohésion. Enfin, l'influence des ions sur les caractéristiques physiques de la membrane CMX est étudiée en utilisant diverses méthodes expérimentales comme la détermination des angles de contacts et des spectres IR ou la mesure de la température de solidification par DSC. Les propriétés vibrationnelles sont également calculées dans le cadre de la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT). L'ensemble de ces données sont comparées avec les grandeurs de transport afin de valider les mécanismes moléculaires proposés. Ce travail montre que la nature des contre-ions de la membrane modifie l'énergie de cohésion entre les fragments de la membrane. Ainsi, l'énergie de cohésion influe sur la diffusion des composés organiques neutres à travers les membranes. / Previous works have shown that the transfer of neutral solutes through membranes is influenced by the presence of ions in solution. In the framework of process intensification, the knowledge of the molecular mechanisms involved is of fundamental importance to increase and predict the process performances. The aim of this Thesis is to use a combined quantum/molecular computational approach and experimental methodologies to better understand how ions can affect the solute flux. In the first part of the work, some properties of ions in solution are computed and compared with sugar fluxes through membranes for nanofiltration and electrodialysis. In the following, systems composed of Cation-exchange membrane equilibrated by different counter-ion and hydrated glucose are examined by Quantum Mechanics/Molecular Mechanics. This is done mainly to investigate the sugar solubility in the polymer matrix and diffusion related interactions like polymer chain-chain cohesion energy. In the last part, contact angle, differential scanning calorimetry and Infra-Red spectra are measured to characterize the physical properties of the membrane and possible influence of the counter-ion on cation exchange membrane. This work shows that the nature of the counter-ions modifies the cohesion energy between the membrane polymer fragments. In its turn, the cohesion energy affects the diffusion of neutral organic compounds through the membranes.

Cette thèse traite la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts couplés à un réservoir externe. Un modèle spécifique exactement soluble, le modèle sphérique, sert comme exemple paradigmatique. Ce modèle se résout exactement en toute dimension spatiale et pour des interactions très générales. Malgré sa simplicité technique, ce modèle est intéressant car ni son comportement critique d’équilibre ni celui hors équilibre est du genre champ moyen. La présentation débute avec une revue sur la mécanique statistique des transitions de phases classique et quantique, et sur les propriétés du modèle sphérique. Sa dynamique quantique ne se décrit point à l’aide d’une équation de Langevin phénoménologique. Une description plus complète à l’aide de la théorie de l’équation de Lindblad est nécessaire. Les équations de Lindblad décrivent la relaxation d’un système quantique vers son état d’équilibre. En tant que premier exemple, le diagramme de phases dynamique d’un seul spin sphérique quantique est étudié. Réinterprétant cette solution en tant qu’une approximation champ moyen d’un problème de N corps, le diagramme de phases quantique est établi et un effet « congeler en réchauffant » quantique est démontré. Ensuite, le formalisme de Lindblad est généralisé au modèle sphérique quantique de N particules: primo, la forme précise de l’équation de Lindblad est obtenue des conditions que (i) l’état quantique d’équilibre exacte est une solution stationnaire de l’équation de Lindblad et (ii) dans le limite classique, l’équation Langevin de mouvement est retrouvée. Secundo, le modèle sphérique permet la réduction exacte du problème de N particules à une seule équation intégro-différentielle pour le paramètre sphérique. Tertio, en résolvant pour le comportement asymptotique des temps longs de cette équation, nous démontrons que dans la limite semi-classique, la dynamique quantique effective redevient équivalente à une dynamique classique, à une renormalisation quantique de la température T près. Quarto, pour une trempe quantique profonde dans la phase ordonnée, nous démontrons que la dynamique quantique dépend d’une manière non triviale de la dimension spatiale. L’émergence du comportement d’échelle dynamique et des corrections logarithmiques est discutée en détail. Les outils mathématiques de cette analyse sont des nouveaux résultats sur le comportement asymptotique de certaines fonctions hypergéométriques confluentes en deux variables / This study deals with the dynamic properties of open quantum systems far from equilibrium in d dimensions. The focus is on a special, exactly solvable model, the spherical model (SM), which is technically simple. The analysis is of interest, since the critical behaviour in and far from equilibrium not of mean-field type. We begin with a résumé of the statistical mechanics of phase transitions and treat especially the quantum version of the SM. The quantum dynamics (QD) of the model cannot be described by phenomenological Langevin equation and must be formulated with Lindblad equations.First we examine the dynamic phase diagram of a single spherical quantum spin and interpret the solution as a mean-field approximation of the N-body problem. Hereby, we find a quantum mechanical ‘freezing by heating’ effect. After that, we extend the formalism to the N-body problem, determining first the form of the Lindblad equation from consistency conditions. The SM then allows the reduction to a single integro-differential equation whose asymptotic solution shows, that the effective QD in the semi-classical limit is fully classical. For a deep quench in the ordered phase, we show that the QD strongly and non-trivially depends on d and derive the dynamic scaling behaviour and its corrections. The mathematical tools for this analysis are new results on the asymptotic behaviour of certain confluent hypergeometric functions in two variables

<p align="justify">Les fonctions de Lagrange sont des fonctions indéfiniment dérivables qui s'annulent en tous les points d'un réseau sauf un. Ces fonctions sont utilisées comme fonctions de base d'un calcul variationnel. Les éléments de matrice de ce calcul sont évalués à l'aide de la règle de quadrature de Gauss définie par le réseau de points. Les équations à résoudre prennent ainsi la forme d'équations sur réseau.</p><p><p align="justify">La méthode des réseaux de Lagrange allie simplicité et précision. La matrice représentant le potentiel est diagonale et ne dépend que des valeurs prises par le potentiel aux points du réseau. Contrairement à la méthode des différences finies, une expression analytique est obtenue pour la solution. Nous cherchons clans cette thèse à cerner les avantages et inconvénients de la méthode des réseaux de Lagrange, ainsi qu'à étendre son champ d'application en mécanique quantique. Nous montrons notamment que cette méthode peut être reliée à d'autres méthodes sur réseau, telles que les méthodes de la variable discrétisée (DVR) ou du réseau de Fourier, qui sont fort utilisées en physique atomique et moléculaire.</p><p><p align="justify">Dans les problèmes à deux corps, nous appliquons la méthode à l'étude des états liés et nous l'étendons au cas des collisions, c'est-à-dire aux états libres. Une nouvelle technique de calcul de la longueur de diffusion et de la portée effective est également considérée. Dans certains cas, la solution exacte du problème à deux corps existe sous forme analytique, ce qui permet une étude de la précision de la méthode en ce qui concerne les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice hamiltonienne. L'extension de la méthode aux problèmes à deux corps régis par une dynamique semi-relativiste est également examinée.</p><p><p align="justify">Dans le cas des problèmes à trois corps, nous effectuons une comparaison entre plusieurs systèmes de coordonnées auxquels sont couplés différents réseaux de Lagrange. Les résultats de cette comparaison dépendent de la présence de singularités dans les potentiels, celles-ci pouvant limiter fortement la précision de la méthode.</p><p><p align="justify">En physique nucléaire, nous comparons deux approches sur réseaux de Lagrange lors de l'étude de l'état fondamental du noyau 6He. Il s'agit d'un noyau à halo de neutrons, pour lequel il existe une forte probabilité de trouver deux des neutrons loin des autres nucléons. Le noyau 6He peut ainsi être traité comme un système à trois corps, constitué d'une particule alpha et de deux neutrons. Nous étendons également le modèle à trois corps pour ce noyau au cas d'interactions à deux corps plus générales, c'est-à-dire contenant différents opérateurs agissant sur les spins des nucléons.</p><p><p align="justify">En physique atomique et moléculaire, où les interactions sont, en première approximation, purement coulombiennes, nous nous sommes intéressé aux états S et P des principaux systèmes à trois corps que sont l'atome d'hélium He, les ions hydrogène H-et positronium Ps-, l'ion moléculaire d'hydrogène HZ et la molécule muonique dt"mu". Les fonctions d'onde approchées obtenues lors de la détermination des états liés sont utilisées pour évaluer des rayons quadratiques moyens et les rayons de masse de ces systèmes.</p><p> / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished

<p align="justify">Les transformations de supersymétrie (ou de Darboux) sont appliquées à l'étude du problème inverse, c'est à dire à la construction d'un potentiel d'interaction à partir de données de collisions, en mécanique quantique. En effet, ces transformations permettent de construire de nouveaux potentiels à partir d'un potentiel donné. Leur formalisme est étudié en détail, ainsi que celui correspondant à l'itération de deux telles transformations (paires de transformations).</p><p><p align="justify">La présence d'états liés rend le problème inverse ambigu :plusieurs potentiels ayant des spectres liés différents peuvent avoir les mêmes propriétés pour la description des collisions; de tels potentiels sont dits équivalents en phase. Une décomposition originale du problème inverse est proposée pour gérer efficacement cette ambiguïté :dans un premier temps, un potentiel est construit à partir des données de collision (ce qui constitue le problème inverse proprement dit); dans un second temps, tous les potentiels équivalents en phase au potentiel ainsi obtenu sont construits. Avant ce travail, il était connu que ces deux aspects du problème inverse pouvaient être traités à l'aide de paires de transformations de supersymétrie.</p><p><p align="justify">En ce qui concerne la construction de potentiels équivalents, nous étendons les méthodes existantes à des catégories de potentiels très utilisées en physique nucléaire, à savoir les potentiels optiques (ou complexes), les potentiels en voies couplées et les potentiels dépendant linéairement de l'énergie. En utilisant une paire de transformations permettant d'enlever un état lié, nous comparons les propriétés physiques des potentiels nucléaires profonds (c'est à dire possédant des états liés interdits par le principe de Pauli) et peu profonds. Des calculs dans des modèles à trois corps du noyau à halo d'6He et de la collision 16O+17O à basse énergie n'ont pas révélé d'importantes différences entre ces familles de potentiels. D'autres types de transformations permettent d'ajouter des états liés à énergie et normalisation arbitraires. Cependant, dans le cas à plusieurs voies, leur utilisation est compliquée par la possibilité d'avoir des états liés dégénérés et non dégénérés. Une étude préliminaire à deux voies montre que ces deux types d'états peuvent être traités par supersymétrie.</p><p><p align="justify">En ce qui concerne le problème inverse proprement dit, nous montrons que l'utilisation de transformations simples (plutôt que de paires) permet une meilleure compréhension des méthodes existantes, tant pour l'inversion à moment cinétique orbital fixe que pour l'inversion à énergie fixe. De plus, l'utilisation de transformations simples mène dans certains cas à de nouvelles catégories de potentiels. Ainsi, nous construisons un nouveau potentiel d'interaction nucléon nucléon pour l'onde 1S; ce potentiel possède une singularité en r 2 à l'origine. La possibilité de construire des potentiels profonds par inversion est brièvement discutée. Pour les voies couplées, une étude bibliographique révèle certaines propriétés contradictoires des méthodes existantes, mais une analyse complète reste à faire.</p><p> / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Les hypersensibilités allergiques médicamenteuses sont des pathologies mettant en jeu le système immunitaire et induites par la prise de médicaments. Notre travail s’est décomposé en quatre étapes successives : 1- Nous avons classé les β-lactamines en fonction de leurs champs moléculaires, et obtenons un dendrogramme de 4 familles, validé par les données cliniques. Nous avons également réalisé une étude de 3D-QSAR visant à connaître les parties du médicament impliquées dans la pathologie, et à prédire l’allergénicité des β-lactamines. 2- Partant de l’hypothèse que les β-lactamines sont des haptènes, nous avons étudié leur réactivité vis-à-vis d’acides aminés de type lysine et sérine. Nous avons ensuite réalisé des expériences de « docking » afin de définir les interactions entre le médicament et l’albumine sérique humaine. Nous concluons que les sites des lysines 190 et 212 sont les plus adaptés pour la fixation covalente de la drogue et avons validé cette analyse par des méthodes mixtes QM/MM. Enfin, grâce à notre logiciel SuMo, nous avons déterminé d’autres protéines candidates pour l’hapténisation. 3- S’agissant des HyperSensibilités Allergiques Immédiates, nous avons modélisé les différents partenaires que sont les IgE, la β-lactamine portée ou non par une protéine. Nous avons envisagé plusieurs modes de reconnaissance. D’autre part, nous avons analysé les modifications de la protéine, induites par la fixation de la drogue. 4- Concernant les HSA retardées, nous avons émis plusieurs scénarios de reconnaissance de la β-lactamine par le TCR. Nous avons modélisé différents complexes impliquant le TCR, le peptide hapténisé par le médicament, un ion éventuel, ainsi que le CMH, et les soumettons à des dynamiques moléculaires afin d’en étudier la pertinence. D’autre part, nous avons déterminé plusieurs peptides, issus des protéines d’hapténisation et susceptibles de présenter le médicament au TCR, via le CMH. L’ensemble des résultats obtenus est ou sera validé par des expériences in vitro et in vivo. / Drug hypersensitivity is an immune-mediated reaction to a drug. Our work was divided into four stages: 1 - We have classified β-lactam antibiotics based on their molecular fields, and obtained a dendrogram of 4 families, validated by clinical data. We also conducted a 3D-QSAR study to determine what parts of the drug are involved in the pathology and to predict the allergenicity of β- lactams. 2 - Under the assumption that β-lactam antibiotics are haptens, we studied their reactivity in comparison with lysine and serine. We then conducted "docking" experiments to define the interactions between the drug and human serum albumin. We conclude that lysine 190 and 212 are the most suitable sites for the covalent binding of the drugs. We validate this analysis by mixed QM / MM methods. Finally, thanks to our software SuMo, we have found other candidate proteins for haptenization. 3 - Regarding immediate hypersensitivity reactions, we modeled the IgE, the β-lactam and the haptenized protein. We considered several modes of recognition. Secondly, we analyzed the structural changes of the protein induced by the binding of the drug. 4 - Concerning delayed reactions, we considered different scenarios for the recognition of β-lactam by the TCR. We modeled complexes involving the TCR, the peptide haptenized by the β-lactam, a possible ion, and the MHC. We investigated them with molecular dynamics to study their relevance. On the other hand, we have identified many peptides derived from haptenization proteins and able to present the drug to the TCR through the MHC. The validity of the obtained results is or will be confirmed using experiments in vitro and in vivo.

De nombreux processus biologiques liés aux membranes cellulaires lipidiques sont encore très mal connus. La présence d'eau et d'ions à l'interface influence les propriétés structurelles et dynamiques de la bicouche lipidique. Les techniques de fluorescence sont très utiles pour étudier les membranes en raison de la grande sensibilité des sondes à leur environnement. Nous avons utilisé la technique de relaxation de solvant (SR) pour explorer l'hydratation et la mobilité de l'eau. Nous avons également réalisé des calculs quantiques (QM) et des dynamiques moléculaires (DM) pour étayer nos expériences. Les résultats SR montrent qu'un petit cation (Na+) est très attiré par la membrane et augmente sa rigidité à l'opposé des cations (NH4+, Cs+) plus gros. Les anions (CI04-, SCN-) s'adsorbent à l'interface plus facilement que Cl-. Ces anions changent la mobilité et l'hydratation des têtes polaires des lipides de la bicouche. Les études SR de la zone hydrophobe de la membrane montrent que les processus de relaxation sont ici très complexes. lis reflètent des processus rapides intramoléculaire (relaxation de torsion, transferts de charge) et des processus intermoléculaires lents. Les calculs QM ont permis de créer les champs de force de trois sondes fluorescentes (Prodan, Laurdan et C-laurdan). Les simulations DM ont permis de déterminer les positions des sondes dans une membrane DOPC. La modélisation reproduit correctement les résultats SR, en particulier les temps de relaxation : de l'ordre de la ps en solvant aqueux et de la ns dans la membrane. Les simulations MD sont complémentaires des méthodes SR et permettent de surveiller le comportement de molécules uniques. / Many biologically important processes and phcnomena in lipid membranes are still not fully understood. The presence of ions and water molœules has a significant influence on the structural and dynamical properties of lipid bilayers. Fluorescent techniques are versatile tools for studying the lipid membranes, because the fluorescence emission is strongly sensitive to dye environment. We have conducted fluorescent solvent relaxation (SR) experiments to explore the hydration and mobility properties in lipid membranes in the presence of different chaotropic ions. We have also carried out Quantum Mechanical (QM) calculations and Molecular Dynamics (MD) simulations for supporting the SR experiments. SR experiments show that small cation (Na+) is attracted to the membrane and increases rigidity ofbilayer, while larger cations (NH/, Cs+) should not. Large anions (CI04·, SCN') adsorl, at the membrane interface more easily than smaller ones (Cl') and significantly change tl!e mobility and hydration of the headgroup region oflipid bilayer. SR study ofhydrophobic part of the membrane show that SR processes are complex there and reflect botl!: faster, intramolecular (torsional relaxation or fonnation of charge transfer state) and slower, intermolecular (SR) relaxation processes. QM calculatiom were used to create force-field for three fluorescent dyes (Prodan, Laurdan and C-laurdan). MD simulations allow detennining position of the dye in the lipid membrane in the ground state and after excitation and reproduce correctly SR timescale- ps in water and ns in the membrane. MD simulations extend the capabilities of SR method and allow observing the behaviour of individual molecules.

Dans cette thèse nous étudions un système quantique, obtenu comme un analogue d'un système classique superintégrable perturbé au moyen de la quantification géométrique. Notre objectif est de mettre en évidence la présence des phénomènes analogues à ceux qui caractérisent la superintégrabilité classique, notamment la coexistence des mouvements réguliers et chaotiques liés aux effets des résonances ainsi que la régularité du régime non-résonant. L'analyse est effectuée par l'étude des distributions du Husimi des états quantiques sélectionnés, avec une attention particulière aux états stationnaires et à l'évolution des états cohérents. Les calculs sont effectués en utilisant les méthodes numériques et les méthodes perturbatives. Les calculs sont effectués en utilisant les méthodes numériques et les méthodes perturbatives. Bien que cette thèse devrait être considérée comme une étude préliminaire, dont l'objectif est de créer le socle des études futures, nos résultats donnent des indications intéressantes sur la dynamique quantique. Par exemple, il est démontré comment les résonancees classiques exercent une influence considérable sur le spectre du système quantique et comment il est possible, dans le comportement quantique, de trouver une trace de l'invariant adiabatique dans le régime de résonance. / The abundance, among physical models, of perturbations of superintegrable Hamiltonian systems makes the understanding of their long-term dynamics an important research topic. While from the classical standpoint the situation, at least in many important cases, is well understood through the use of Nekhoroshev stability theorem and of the adiabatic invariants theory, in the quantum framework there is, on the contrary, a lack of precise results. The purpose of this thesis is to study a perturbed superintegrable quantum system, obtained from a classical counterpart by means of geometric quantization, in order to highlight the presence of indicators of superintegrability analogues to the ones that characterize the classical system, such as the coexistence of regular motions with chaotic one, due to the effects of resonances, opposed to the regularity in the non resonant regime. The analysis is carried out by studying the Husimi distributions of chosen quantum states, with particular emphasis on stationary states and evolved coherent states. The computation are performed using both numerical methods and perturbative schemes. Although this should be considered a preliminary work, the purpose of which is to lay the fundations for future investigations, the results obtained here give interesting insights into quantum dynamics. For instance, it is shown how classical resonances exert a considerable influence on the spectrum of the quantum system and how it is possible, in the quantum behaviour, to find a trace of the classical adiabatic invariance in the resonance regime. / L'abbondanza, fra i modelli fisici, di perturbazioni di sistemi Hamiltoniani superintegrabili rende la comprensione della loro dinamica per tempi lunghi un importante argomento diricerca. Mentre dal punto di vista classico la situazione, perlomeno in molti case importanti, è ben compresa grazie all'uso del teorema di stabilità di Nekhoroshev e della teoria degli invariantiadiabatici, nel caso quantistico vi è, al contrario, una mancanza di risultati precisi. L'obiettivo di questa tesi è di studiare un sistema superintegrabile quantistico, ottenuto partendo da un corrispettivo classico tramite quantizzazione geometrica, al fine di evidenziare la presenza di indicatori di supertintegrabilità analoghi a quelliche caratterizzano il sistema classico, come la coesistenza di moti regolari e caotici, dovuta all'effetto delle risonanze, in contrapposizione con la regolarità nel regime non risonante. L'analisi è condotta studiando le distribuzioni di Husimi di stati quantistici scelti, con particolare enfasi posta sugli stati stazionari e sugli stati coerenti evoluti. I calcoli sono effettuati sia utilizzando tecniche numeriche che schemi perturbativi. Pur essendo da considerardi questo un lavoro preliminare, il cui compito è di porre le fondamenta per analisi future, i risultati qui ottenuti offrono interessanti spunti sulla dinamica quantistica. Per esempio è mostrato come le risonanze classiche abbiano un chiaro effeto sullo spettro del sistema quantistico, ed inoltre comesia possibile trovare una traccia, nel comportamento quantistico, dell'invarianza adiabatica classica nel regime risonante.

Le présent mémoire est dédié à l’étude du rôle de la mécanique quantique supersymétrique dans la construction d’opérateurs d’échelle et de leurs applications pour le système quantique de Rosen-Morse. L’aboutissement de ces travaux est contenu dans un article qui constitue le dernier chapitre du mémoire. Précisément, on motive l’échec de la réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le potentiel de Rosen-Morse avec les méthodes traditionnelles. On exploite la propriété d’invariance de forme dans le contexte de la mécanique quantique supersymétrique comme un outil alternatif pour offrir une première approche quantique à la réalisation des opérateurs d’échelle pour la version hyperbolique de ce potentiel. On utilise cette réalisation pour obtenir celle d’opérateurs d’échelle pour une classe particulière d’extensions rationnelles du potentiel de Rosen-Morse hyperbolique avec des techniques issues de la supersymétrie. Des états cohérents sont construits à partir des réalisations obtenues pour les différents systèmes. Certaines de leurs propriétés sont analysées et mises en comparaison. En parallèle, on utilise une transformation canonique ponctuelle pour déduire une première réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le système de Rosen-Morse trigonométrique. De cette réalisation sont construits des états cohérents pour lesquels des propriétés sont similairement analysées. / This master thesis is dedicated to the study of the role of supersymmetric quantum mechanics in the construction of ladder operators and of their applications for the quantum Rosen-Morse system. The results of this work are presented in an article that constitutes the last chapter of the thesis. Precisely, we motivate the failure of traditional methods in providing a realization for the Rosen-Morse ladder operators as differential operators. We provide a first quantum-based solution to this problem by using the shape invariance property in supersymmetric quantum mechanics as a tool in the construction of the ladder operators for the hyperbolic version of this potential. We use the latter realization to obtain that of a specific class of rational extensions of the hyperbolic Rosen-Morse system by means of supersymmetric techniques. Coherent states are constructed from the ladder operators obtained for the different systems. Some properties are analyzed and compared. In addition, we make use of a point canonical transformation in the derivation of the first realization of the ladder operators of the trigonometric Rosen-Morse system as differential operators. From this realization, we construct coherent states for which some properties are similarly analyzed.

Cette thèse est organisé en deux parties. Dans la première partie nous nous adressons à un problème vieux dans la théorie de jauge - le calcul du spectre et des fonctions d'onde. La stratégie que nous proposons est de construire une base d'états stochastiques de liens de Bargmann, construite à partir d'une distribution physique de densité de probabilité. Par la suite, nous calculons les amplitudes de transition entre ces états par une approche analytique, en utilisant des intégrales de chemin standards ainsi que la théorie des groupes. Également, nous calculons numériquement matrices symétrique et hermitienne des amplitudes de transition, via une méthode Monte Carlo avec échantillonnage pondéré. De chaque matrice, nous trouvons les valeurs propres et les vecteurs propres. En appliquant cette méthode â la théorie de jauge U(l) en deux dimensions spatiales, nous essayons d'extraire et de présenter le spectre et les fonctions d'onde de cette théorie pour des grilles de petite taille. En outre, nous essayons de faire quelques ajustement dynamique des fenêtres de spectres d'énergie et les fonctions d'onde. Ces fenêtres sont outiles de vérifier visuellement la validité de l'hamiltonien Monte Carlo, et de calculer observables physiques. Dans la deuxième partie nous étudions le comportement chaotique de deux systèmes de billard classiques, par la théorie des matrices aléatoires. Nous considérons un gaz périodique de Lorentz à deux dimensions dans des régimes de horizon fini et horizon infini. Nous construisons quelques matrices de longueurs de trajectoires de un particule mobile dans ce système, et réalisons des études des spectres de ces matrices par l'analyse numérique. Par le calcul numérique des distributions d'espacement de niveaux et rigidité spectral, nous constatons la statistique des espacements de niveaux suggère un comportement universel. Nous étudions également un tel comportement pour un système optique chaotique. En tant que quasi-système de potentiel, ses fluctuations dans l'espacement de ses niveaux suivent aussi un comportement GOE, ce qui est une signature d'universalité. Dans cette partie nous étudions également les propriétés de diffusion du gaz de Lorentz, par la longueur des trajectoires. En calculant la variance de ce quantité, nous montrons que dans le cas d'horizons finis, la variance de longueurs est linéaire par rapport au nombre de collisions de la particule dans le billard. Cette linéarité permet de définir un coefficient de diffusion pour le gaz de Lorentz, et dans un schéma général, elle est compatible avec les résultats obtenus par d'autres méthodes.