<p>Syftet med denna studie är att undersöka hur barn mellan 3-6 års ålder utvecklar förståelse för antal på montessoriförskolor. Vi vill också se vilka metoder som används och vilken roll montessorimaterialen kan ha för barns lärande av antal. Vi har därför genomfört kvalitativa intervjuer med utbildade montessorilärare samt ostrukturerade deltagarobservationer bland barnen. Undersökningarna gjordes på tre olika montessoriförskolor i tre olika kommuner. Ett av våra mest betydelsefulla resultat visar på vikten av vardagsmatematik med barnen. Samtliga montessorilärare som intervjuades menar att det är betydelsefullt att barnen får många tillfällen till räkning samt att det är meningsfullt för dem. Montessorilärarna använder sig av både montessorimaterielen och andra metoder såsom spel, rim och ramsor, problematiseringar m.m. på förskolan för att stimulera barnets lärande av antal. Resultatet visar också att barnen använder sig av Gelman och Gallistels fem räkneprinciper i sitt räknande. Vår upplevelse är att miljön på en montessoriförskola stimulerar barn att räkna samtidigt som montessorilärarna medvetet använder sig av matematiken i sin kommunikation tillsammans med barnen.</p>

<p>En drivande kraft i detta arbete har varit reflektionens betydelse för elevers lärande.</p><p>Syftet med undersökningen var att studera hur matematikdagboken fungerar som ett pedagogiskt redskap för matematisk reflektion. Syftet var dessutom att beskriva hur elever reflekterar över sin lärandeprocess samt hur de upplever sitt reflekterande i matematikdagboksform.</p><p>Urvalet bestod av en elevgrupp i åk 8 som fick skriva matematikdagböcker under åtta veckor. Dagböckerna analyserades sedan med vägledning av innehållsanalys enligt Burnard. Eleverna besvarade även en enkät om användandet av matematikdagbok.</p><p>Resultatet visar att eleverna beskriver matematiska begrepp i matematikdagboken och de reflekterar över hur de gör uträkningar och löser problem. Eleverna reflekterar även över hur de lär sig nya saker och med enkla ord beskriver eleverna sin egen utveckling och upplevelsen av att lyckas lösa matematiska problem. Matematikdagbok kan användas som ett kommunikationsmedel där eleverna kan utveckla sitt matematiska kunnande. Matematikdagbok kan vara ett arbetsredskap igenom vilken pedagogen kan få en uppfattning om elevernas status i det matematiska tänkandet. Det eleverna skriver kan dessutom användas som underlag för individuell uppföljning, men även för planering av undervisningens struktur och innehåll.</p>

<p>I skolverkets styrdokument för de yrkesförberedande gymnasieprogrammen är det tydligt att</p><p>matematikundervisningen ska integreras med de aktuella karaktärsämnena. En genomgång av</p><p>litteratur i ämnet, bland annat rapporten Fem gymnasieskolor under omvandlingstryck, visar att</p><p>skolan har svårt att leva upp till denna integrering. Rapporten visar att svårigheterna är störst</p><p>inom matematiken. Lundin (2008), Mouwitz, Emanuelsson & Johansson (2003) Mouwitz</p><p>(2004) menar att matematikundervisningen och skolmatematiken är mycket traditionsbunden</p><p>och ämnesfokuserad. En integrering innebär att undervisningen blir elevfokuserad och att man</p><p>lämnar den traditionella matematikundervisningen. Min frågeställning är ”hur lärare försöker</p><p>integrera matematiken i ett karaktärsämne”.</p><p>För att besvara min fråga har jag sökt svar i befintlig litteratur, genomfört en</p><p>enkätundersökning bland elever samt intervjuat tre lärare. I den litteratur som jag har använt</p><p>framkommer det att det behövs en mer konkret och verklighetsanknuten matematik än den</p><p>traditionella på de yrkesförberedande programmen. Även min undersökning visar på detta</p><p>behov. Integrering är då ett sätt att möta detta behov.</p><p>Min undersökning visar att det är möjligt att genomföra en integrering av matematik i ett</p><p>karaktärsämne. För att en långsiktig integrering ska komma till stånd bör alla inblandade delta,</p><p>från ledningen ner till den enskilda läraren. Ledningen måste framförallt avsätta tid till</p><p>planering av undervisningen detta är framförallt av stor vikt i inledningsskedet. Arbetslaget</p><p>kommer vidare att till viss del få ändra sin undervisning från ämnesfokusering till</p><p>elevfokusering för att möta upp de krav som integreringen kommer att ställa.</p>

<p>In this thesis we study four groups of students in grade 8, 9 and 10 when they try to solve a classical mathematical problem: Which rectangle with given circumference has the largest area? The aim of the study was too see how the students did to solve a mathematichal problem?</p><p>The survey shows that students have rather poor strategies to solve mathematical problems. The most common mistake is that students don’t put much energy to understand the problem before trying to solve it. They have no strategies. This was clearly obvious when you look at Balacheff’s theory in an article from 1988. His first, and lowest, level is called naive empiricism. Typical for that level was that the student’s efforts to solve the problem just consisted of social interaction without any direction and structure. One reason can be that the students don’t recognize mathematical laws and general concepts well enough. Another problem is that they don’t check their results. Why they don’t do this is hard to say. Earlier results indicating that one reason can be that the students don’t take tasks in school as an intellectual challenge. The just consider it like something the must do.</p>

Syftet var att studera vilka olika räknemetoder som eleverna från skilda skolor använde vid beräkning av samma matematikuppgifter. Ett annat ändamål var att ta reda på vilka räknemetoder som lärdes ut av de olika lärarna på de skilda skolorna. Undersökningen har främst haft fokus på två skiljaktiga räknesätt som kallas lodrät algoritmräkning och skriftlig huvudräkning. Elever från skolår sju har fått göra en enkätundersökning i form av en matematikdiagnos. Elevernas beräkningsmetoder för matematikuppgifter innehållande de fyra olika räknesätten har jämförts. Intervjuer av klasslärare har genomförts och läromedlen har studerats. Resultatet visade att skriftlig huvudräkning är den vanligast förekommande räknemetoden som används av eleverna för matematikuppgifter i räknesätten; addition, subtraktion och multiplikation. Trots detta anses metoden av lärarna vara svårare än räkning med lodräta algoritmer. För att kunna ta till sig räknemetoden bör man ha goda kunskaper i positionssystemet och i multiplikationstabellen. Då det ofta brister för eleverna då det gäller dessa kunskaper, kan det stora flertalet inte tillgodogöra sig metoden på ett tillfredställande sätt.

This dissertation deals with the development of mathematical concepts from a historical and didactical perspective. In particular, the development of concepts in mathematical analysis during the 19th century is considered. The thesis consists of a summary and three papers. In the first paper we investigate the Swedish mathematician E.G. Björling's contribution to uniform convergence in connection with Cauchy's sum theorem from 1821. In connection to Björling's convergence theory we discuss some modern interpretations of Cauchy's expression x=1/n. We also consider Björling's convergence conditions in view of Grattan-Guinness distinction between history and heritage. In the second paper we study visualizations in mathematics from historical and didactical perspectives. We consider some historical debates regarding the role of intuition and visual thinking in mathematics. We also consider the problem of what a visualization in mathematics can achieve in learning situations. In an empirical study we investigate what mathematical conclusions university students made on the basis of a visualization. In the third paper we consider Cauchy's theorem on power series expansions of complex valued functions on the basis of a paper written by E.G. Björling in 1852. We discuss Björling's, Lamarle's and Cauchy's different conditions for expanding a complex valued function in a power seris. In the third paper we also discuss the problem of the ambiguites of fundamental concpets that existed during the mid-19th century. We argue that Cauchy's and Lamarle's proofs of Cauchy's theorem on power series expansions of complex valued functions are correct on the basis of their own definitions of the fundamental concepts involved.

<p><strong>Abstrakt</strong></p><p>Studien behandlar begreppskunskap inom området positionssystemet hos elever i matematiksvårigheter. Undersökningen har gjorts i årskurs 4 och omfattar naturliga tal avseende tiobassystemet.</p><p>Studien består av en kvantitativ undersökning och en kvalitativ del med intervjuer.</p><p>Resultatet av studien har organiserats i tre områden som har betydelse för individens utveckling av matematiska begrepp. Talområdet 1-10, talsystemets uppbyggnad samt förståelsen av stora tal.</p><p>Av resultatet framgår att förståelse av ett begrepp kan vara mer ytlig än den ser ut att vara. Brister i grundläggande begreppsförståelse kan leda till att räknesvårigheter uppstår. Svårigheter är bland annat begreppen talsort och platsvärde, särskilt i stora tal.</p><p><em>Sökord:</em> begrepp, matematiksvårigheter, positionssystemet, schema, specialundervisning, tiobassystemet.</p> / <p><strong>Abstract</strong></p><p>The study deals with the conceptual knowledge in the positional system for pupils with mathematical difficulties. The investigation was conducted in grade four and includes natural numbers for the ten-base system.<strong></strong></p><p>The study consists of a quantitative survey and a quality part with interviews.</p><p>The result of the study has been organized into three areas which have importance to the development of mathematical concepts for individuals. The number field 1-10, rules for the building of system of numbers and the understanding of large numbers.</p><p>The result shows that the understanding of a concept may be more superficial then it appears to be. Deficiency in basic conceptual understanding can lead to numeracy problems. The difficulties included the concepts place-value and magnitude of number, especially in large numbers.</p><p> </p><p><em>Keywords:</em> concept, mathematical difficulties, positional system, schema, special needs education, ten-base system.</p>

<p>Recent studies claims that Sweden has the lowest returns on education compared to other OECD countries. Other research made in the subject tend to focus on the gains from education, but forget to calculate the costs, both direct cost such as material, accommodation and food, but also opportunity costs from not working instead of investing in education.</p><p>The purpose of this thesis is to study if an investment in an education is an effective way of monetary utility maximizing in Sweden, in other words income. This thesis will investigate whether education will be a profitable investment, and if so how many years of employment it will take an individual to gain from that investment.</p><p>The Human Capital theory is the theoretical framework of this thesis and the result is in Swedish Crowns. This research quantifies that an education is an effective way to income maximizing and men’s payback time in monetary terms are more likely to be shorter than female’s.</p>

<p>Syftet med föreliggande studie är att, genom intervjuer med tolv elever ur år fem, undersöka deras uppfattningar om matematik. För att studera detta har vi använt oss av en kvalitativ metod med inspiration av den fenomenografiska ansatsen. Utifrån studiens syfte och frågeställningar har tre temaområden framtagits inom vilka elevernas uppfattningar analyserats och därefter kategoriserats. Ur resultatet framkommer en relativt snäv syn på matematiken där läroboken är dominerande i elevernas uppfattningar. Boken fungerar som utgångspunkt både i definitionen av matematikämnet och vid beskrivningen av hur ämnet upplevs. Detta kan ha sin grund i, vilket framgår i elevernas beskrivning av matematiklektionerna, att undervisningen till stor del kännetecknas av räknande i läroboken. Ett stort antal av eleverna uppfattar undervisning i matematik som mer eller mindre lustfyllt beroende på hur långt de kommit i läroboken. Att ligga långt fram och att räkna fort framstår som betydande för hur duktiga eleverna upplever sig vara. Flertalet elever uttrycker dessutom en önskan om variation i undervisningen med förslag såsom miljöombyte, nyttjande av konkret material eller möjlighet till arbete närmare det egna intresseområdet. Samtliga elever beskriver dock matematikämnet som viktigt där de flesta argumenten är av funktionell karaktär. Den praktiska användbarheten av matematiken framkommer i liten utsträckning, då främst i anknytning till handel och pengahantering.</p> / <p>The aim of the present study is, through interviews with 12 students in year five, to investigate their views on mathematics. In order to study this, we have used a qualitative approach inspired by the phenomenographic methodology. Based on the study’s aims, three areas have been identified, in which the pupils’ views were analyzed and then categorized. The results showed a somewhat limited view of mathematics, where the course textbook heavily influenced pupils’ perceptions of the subject. The study shows that the textbook largely forms the basis both for how the subject is defined and perceived. This could be based on teaching being largely based on arithmetic exercises in the textbook itself, as is shown in students’ description of mathematics lessons. A large number of pupils correlate their enjoyment of mathematics with how far they have come in the courseware.  <em>To be a long way into the book </em>and <em>to be able to calculate quickly </em>are both key indicators of how mathematically able students consider themselves to be. In addition a majority of pupils express a desire for more variation in teaching methods, with proposals such as a change of scenery, the use of real world examples, or the possibility to concentrate on an area in which they were particularly interested. However, all pupils consider the subject of mathematics to be important, where the most common arguments are of a functional nature. The practical usefulness of mathematics was considered to be limited, mainly confined to shopping and managing money.</p>

<p>Competence in mental arithmetic is recognised by many as essential to be active participants in the fast flowing, high technological society we live in today.  Many have noticed pupils’ unwillingness to set their calculators aside and practice this aspect of mathematics when possible.  Furthermore, some studies show that pupils’ ability to compute mentally deteriorates as they pass through the school system.  Through testing classes in a Swedish obligatory school and an upper secondary school, the aim of this thesis is to see if the goals set by The National [Swedish] Agency for Education regarding mental arithmetic, are being fulfilled.  Through using questionnaires to collect the strategies and ideas of the pupils, a wide range of problematic mathematical misconceptions became evident.  These are highlighted since they are important aspects teachers should be aware of.  The results of this study show that the obligatory school classes are far from reaching the goals set for them whereas the upper secondary classes show good results.  Furthermore, there is an apparent improvement in their progression, resulting in a fulfilment the official goals.  Many pupils however, seem reluctant to rely on their mental arithmetic capabilities and resort to algorithmic strategies.  Other problems to emerge are in carrying out table calculations and in a lack of number sense when deeming if the answers are reasonable.   </p>